1 |
|
|
|
Следовательно, интеграл Z |
dx |
сходится (к числу 2). |
|
p |
|
||
x |
|||
0
На сходящиеся несобственные интегралы распространяются многие свойства определенного интеграла. Существуют специальные признаки, позволяющие выяснять сходимость несобственных интегралов, не применяя определения.
Заметим следующее:
|
+1 |
|
|
|
||
Несобственный интеграл |
Z1 |
|
|
dx |
сходится при ® > 1 и расхо- |
|
|
|
|
||||
|
|
x® |
||||
дится при ® · 1. |
|
b |
|
|
||
Несобственный интеграл Za |
|
|
|
dx |
сходится при ® < 1 и |
|
|
|
|||||
|
(b ¡ x)® |
|||||
расходится при ® ¸ 1. |
|
|
|
|
|
|
Задачи
7.1.Применяя формулу Ньютона-Лейбница вычислите следующие определенные интегралы
1: Z01 x4dx; |
2: Z13(4x ¡ x2 ¡ 3)dx; |
||||||
3: Z1 |
x ; |
4: |
¼ |
cos2 x; |
|||
Z0 |
|||||||
2 |
dx |
|
4 |
|
dx |
||
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
5: Z0 e¡2xdx; |
|
|
|
|
|||
6: Z2 |
sin2 2xdx; |
||||||
¡1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
118
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8: Z2 |
|
|
|||
7: |
Z1 |
2 |
|
p |
|
1 |
|
|
dx; |
cos2 2xdx; |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
¡ |
x2 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
xdx |
|
9: |
|
|
p |
|
|
|
dx; t = p2 + 4x; |
10: |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + 1)2 |
||||||||||||
|
|
2 + 4x |
||||||||||||||||
|
Z0 |
px + 1 |
|||||||||
|
4 |
x ¡ 1 dx; t = p |
|
|
|||||||
11: |
|
|
x |
; |
|||||||
Z¡1 p |
|
|
|
|
|
||||||
13: |
|
|
|
||||||||
4 ¡ 5xdx; |
|||||||||||
|
¡12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
dx |
|||||
15: |
p |
|
|
(1 + x); |
|||||||
x |
|||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17: Z0 |
|
|
|
|
x |
||||||
p |
|
dx; |
|||||||||
1 + x2 |
|||||||||||
Z2
19: (3 ¡ 2x)e¡3xdx;
0
12:
14:
16:
18:
20:
Z4 pxdx+ 1; t = px;
0
Z8
p3xx+ 1dx;
1
1
Z2
5x
(1 ¡ x2)3 dx;
0
Ze
ln2 xdx;
0
Ze
x2 ln xdx;
1
119
|
¼ |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
21: Z0 |
|
|
|
22: Z1 |
|
xdx |
|
|
|||
x sin 2xdx; |
|
ln |
|
; |
|
||||||
x3 |
|
|
|||||||||
|
7 |
p |
|
8 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
Z |
|
|
|
|
Z |
|
|
dx |
|
|
23: |
49 ¡ x2dx; x = 7 sin t; |
24: |
x2 + 6x + 8 |
: |
|||||||
7.2.Вычислите несобственные интегралы (или установите их расходимость)
1:
3:
5:
7:
9:
Z+1dx x4 ;
1
Z+1
e¡xdx;
0
Z3
1
(x ¡ 1)2 dx;
1
Z+1
e¡5xdx;
1
Z4 |
p3 |
1 |
|
dx; |
4 |
x |
|||
3 |
¡ |
|
|
|
2:
4:
6:
8:
10:
Z+1 dx px;
1
Z3
px1¡ 1dx;
1
Z+1
dx
(x + 1)3 ;
1
Z2
1
(1 ¡ x)2 dx;
1
Z0
e3x+2dx;
¡1
120
11: |
Z0 |
|
x2 + 9; |
12: |
Z1 |
|
xp3 x dx; |
|||
|
+1 |
dx |
|
|
+1x + 5 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
13: Z0 |
|
|
|
14: Z1 |
|
dx |
||||
ln x; |
|
|
; |
|
||||||
|
x ln3 x |
|||||||||
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
||
15: |
Ze |
|
dx |
; |
16: |
Z0 |
arctg x |
|||
|
|
|
|
dx: |
||||||
|
x ln3 x |
|
x2 + 9 |
|||||||
7.3.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 1, осью OX и прямыми x = 1 и x = 4.
7.4.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = px и прямыми y = 0 и x = 3.
7.5.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = 2x2 ¡ 3x и прямой y = x.
7.6.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной полукубической параболой y2 = x3 и прямой x = 4.
7.7.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2 ¡ 2x ¡ 2 и прямой y = x ¡ 4.
7.8.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = ln x и прямыми y = 0, x = 1, x = e.
7.9.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x и y = x ¡ 2 и прямыми x = 0, x = 2.
7.10.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболами y = ¡x2 + 2x + 3 и y = 2x2 ¡ 13x + 15.
121