7.11.Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной параболами x = y2 ¡ 3y и x = 2 ¡ y2.

0 · t · 2¼.

7.15.Найдите длину одной арки циклоиды x = a(t ¡ sin t);

y= a(1 ¡ cos t) (0 · t · 2¼).

7.16.Найдите длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от начала координат до точки A(4; 8).

7.17.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси OX плоской фигуры, ограниченной полуволной синусоиды

y= sin x (0 · x · ¼) и осью OX.

7.18.Найдите путь, пройденный точкой за четвертую секунду, зная скорость ее прямолинейного движения v = 3t2 ¡2t ¡3 (м/с).

7.19.Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до

ее остановки, зная скорость ее прямолинейного движения v = 18t ¡ 6t2 (м/с).

Вопросы к экзамену

1.Числовые множества. Действия с числами. Модуль действительного числа, свойства модуля.

2.Определение степени вещественного числа, формулы сокращенного умножения.

122

3.Определение логарифма и его свойства.

4.Числовые множества, ограниченные (сверху, снизу, ограниченные) множества. Наибольший и наименьший элементы числовых множеств.

5.Определение функции одной вещественной переменной, область определения и область значений функции. Способы задания функции.

6.Композиции функций и арифметические действия над функциями.

7.Свойства функций: монотонность, ограниченность, обратимость. Простейшие элементарные функции и их графики.

8.Последовательность вещественых чисел: определение, примеры, график.

9.Монотонные последовательности.

10.Ограниченные последовательности.

11.Предел числовой последовательности. Сходящиеся последовательности.

12.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.

13.Свойства сходящихся последовательностей: предел постоянной последовательности, ограниченность сходящейся последовательности, переход к пределу в неравенстве, предел сжатой последовательности, сохранение неравества между пределом и заданным числом, арифметические действия над пределами.

14.Предел монотонной и органиченной последовательности. Число e.

123

15.Предел функции одной переменной (различные случаи). Единственность предела.

16.Бесконечно малые и бесконечно большие функции: определения, примеры, свойства.

17.Односторонние пределы функции в точке.

18.Свойства предела функции: предел постоянной функции, переход к пределу в неравенстве между функциями, предел сжатой функции, сохранение неравества между пределом и заданным числом, арифметические действия над пределами, предел композиции функций.

19.Непрерывные функции. Непрерывность элементарной функции.

20.Одностронняя непрерывность. Точки разрыва. Исследование функций на непрерывность.

21.Свойства непрерывных функций: теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной на отрезке функции, теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции.

22.Производная функции одной переменной. Физический и геометрический смысл производной. Дифференцируемая в точке функция. Связь дифференцируемости и непрерывности.

23.Правила дифференцирования. Производная сложной функции.

24.Производные элементарных функций. Таблица производных.

25.Основные теоремы о производных (Ферма, Лагранжа).

26.Приложение производной к вычислению пределов функций (правило Лопиталя).

124

27.Производные высших порядков. Формула Лейбница.

28.Приложение производной к приближенным вычислениям: формула Тейлора.

29.Дифференциал функции одной переменной. Свойства дифференциала.

30.Исследование функций на монотонность: признак монотонности функции.

31.Экстремумы функции одной переменной, необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции.

32.Выпуклые функции. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба графика функции.

33.Асимптоты графика функции.

34.Схема полного исследования функции. Построение графика функции.

35.Первообразная.

36.Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

37.Основные методы вычисления неопределенного интеграла: замена переменной (подведение функции под знак дифференциала), интегрирование по частям, интегрирование рациональной функции.

38.Определенный интеграл: определение и свойства. Геометрический смысл.

39.Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

125