y = sin x, и оцените погрешность приближенного вычисления.

приближенно y(1; 005).

Тема 5. Приложение производной к исследованию функций

5.1. Исследование функции на монотонность

Теорема 5.1 (необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемой функции).

Дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на интервале (a; b) тогда, и только тогда, когда f0(x) ¸ 0 для всех x 2 (a; b) .

Дифференцируемая функция y = f(x) убывает на интервале (a; b) тогда, и только тогда, когда f0(x) · 0 для всех x 2 (a; b) .

Пример 5.1. Определить промежутки монотонности функции y = 2x3 + 3x2 ¡ 12x + 1.

Решение

Функция определена на всей числовой оси.

Найдем ее производную: y0 = 6x2 + 6x ¡ 12. Она определена на всей числовой оси и равна нулю в точках

77

x1 = ¡2 и x2 = 1. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (¡1; ¡2), (¡2; 1); (1; +1). Определим знак производной на каждом из этих интервалов, для чего достаточно установить знак y0(x) в какой-либо одной точке каждого интервала. Для первого интервала возьмем x = ¡3, y0(¡3) = 24 > 0, следовательно, в интервале (¡1; ¡2) функция возрастает; для второго интервала возьмем точку x = 0, y0(0) = ¡12 < 0, следовательно, в интервале (¡2; 1) функция убывает; для третьего интервала возьмем точку x = 2, y0(2) = 24 > 0, следовательно, в интервале (1; +1) функция возрастает.

5.2 Исследование функции на экстремум.

Точка x0 называется точкой локального максимума функции y = f(x), если для всех x из некоторого интервала (x0¡±; x0+

±) выполнено неравенство f(x0) ¸ f(x).

Точка x0 называется точкой локального минимума функции y = f(x), если для всех x из некоторого интервала (x0 ¡ ±; x0 + ±) выполнено неравенство f(x0) · f(x).

Таким образом, можно заметить, что в точке локального максимума значение функции больше, чем в окружающих ее точках, а в точке локального минимума меньше.

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума.

Как найти точки экстремума функции?

Точку x0 назовем стационарной точкой функции y = f(x), если f0(x0) = 0 .

Из теоремы Ферма следует необходимое условие экстремума: точки экстремума функции нужно искать среди ее стационарных точек (т.к. если x0 точка экстремума функции и существует f0(x0), то f0(x0) = 0 ) и тех точек, где производной не существует.

Все вместе эти точки называются критическими. Достаточное условие того, что критическая точка будет

являться точкой экстремума, дает следующая теорема:

78

Теорема 5.2 (достаточное условие локального экстремума). Пусть x0 критическая точка функции y = f(x), и пусть y = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала (x0 ¡ ±; x0 + ±); ± > 0, за исключением, быть может, самой точки x0. Тогда,

если f0(x) > 0 при всех x 2 (x0 ¡ ±; x0) и f0(x) < 0 при всех x 2 (x0; x0 + ±) (т. е. производная положительна слева от x0 и

отрицательна справа), то x0 точка локального максимума; если f0(x) < 0 при всех x 2 (x0 ¡ ±; x0) и f0(x) > 0 при всех

x 2 (x0; x0 + ±) (т. е. производная отрицательна слева от x0 и положительна справа), то x0 - точка локального минимума.

Из приведенных выше теорем видно, что монотонность и экстремумы функции непосредственно связаны со знаком ее производной. Потому является естественной следующая схема исследования функции на монотонность и экстремумы:

1.Находим область определения функции, изображаем ее на числовой прямой.

2.Вычисляем производную f0(x). Находим критические точки (т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует). Отмечаем эти точки на числовой прямой.

Критические точки (если они есть) разбивают область определения функции на несколько интервалов.

3.Определяем знаки производной f0(x) на полученных ин-

тервалах. Для этого на каждом интервале берем одну точку (любую!), подставляем ее в производную f0(x) и смотрим, какого знака число получилось. С учетом того, что знак производной в пределах одного интервала не меняется, это и будет знак производной на всем интервале.

4.Делаем выводы о монотонности функции и точках экстре-

мума.

Если на каком-либо интервале производная положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом интервале (в соответствии с теоремой 5.1).

Если при переходе через какую-либо из критических точек производная меняет свой знак, то эта точка, в соответствии с

79

теоремой 5.2, является точкой экстремума (точкой минимума, если знак производной меняется с "¡"на "+" , и точкой максимума, если знак меняется с "+"на "¡").

Пример 5.2. Найти промежутки монотонности и точки локального экстремума функции y = x3 + 2x2.

Решение

Будем придерживаться описанной выше схемы.

1.Область определения функции вся числовая прямая.

2.Вычисляем производную: f0(x) = 3x2 + 4x = x(3x + 4). Производная существует во всех точках. Найдем точки, в ко-

торых она равна нулю.

f0(x) = 0, когда x = 0 или x = ¡4=3. Это критические точки. Отмечаем их на числовой прямой. У нас получилось три интервала.

3. Определяем знак производной на каждом из полученных интервалов.

На интервале (¡1; ¡4=3) возьмем, например, точку x = ¡2. f0(¡2) = 4 > 0. Значит, на всем этом интервале производная положительна.

На интервале (¡4=3; 0) возьмем точку x = ¡1.

f0(¡1) = ¡1 < 0, значит, на всем этом интервале производная отрицательна.

На интервале (0; +1) возьмем точку x = 1.

f0(1) = 7 > 0, значит, на всем этом интервале производная положительна.

4. С учетом знаков производных заключаем, что функция возрастает на интервалах (¡1; ¡4=3) и (0; +1), убывает на интервале (0; +1).

При переходе через точку x = ¡4=3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому x = ¡4=3 - точка локального максимума.

При переходе через точку x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому x = 0 - точка локального минимума.

Точка x0 называется точкой абсолютного максимума (соответственно, точкой абсолютного минимума) функции

80

y = f(x), если для всех x 2 D(f) выполнено неравенство f(x0) ¸ f(x) (соответственно, f(x0) · f(x)).

Значение функции y = f(x) в точке абсолютного максимума называется максимумом функции f и обозначается max f.

Значение функции y = f(x) в точке абсолютного минимума называется минимумом функции f и обозначается min f.

В частности, функция, определенная и непрерывная на отрезке [a; b], обладает максимальным и минимальным значениями (в силу теоремы Вейерштрасса), при этом их следует искать или в критических точках функции, принадлежащих интервалу (a; b), или на концах отрезка, т.е. в точках a и b.

Пример 5.3. Найти минимальное и максимальное значения функции y = x3 ¡ 3x2 на отрезке [¡2; 1].

Решение

Найдем критические точки:

y0 = (x3 ¡ 3x2)0 = 3x2 ¡ 6x = 3x(x ¡ 2) = 0 при x = 0 и x = 2. Из них интервалу (¡2; 1) принадлежит только одна x = 0, следовательно, минимальное и максимальное значения данной функции будем искать среди следующих значений: f(0), f(¡2)

и f(1).

f(0) = 0, f(¡2) = ¡20, f(1) = ¡2

Итак, на отрезке [¡2; 1] функция имеет следующие минимальное и максимальное значения:

max f = f(0) = 0; min f = f(¡2) = ¡20.

5.3. Исследование функции на выпуклость

Функция y = f(x) называется выпуклой вверх (соответственно, выпуклой вниз) на промежутке (a; b), если любая касательная к графику этой функции лежит выше (соответственно, ниже) графика.

Точку x0 из области определения функции f будем назвать точкой перегиба графика функции f, если в некоторой окрестности точки x0 график функции при переходе через точку (x0; f(x0)) меняет направление выпуклости.

81

Теорема 5.3 (достаточные условия выпуклости). Пусть функция y = f(x), определенная на промежутке (a; b), име-

ет вторую производную f00(x) при всех x 2 (a; b). Тогда если f00(x) ¸ 0 при всех x 2 (a; b), то функция y = f(x) выпукла вниз на промежутке (a; b), если же f00(x) · 0 при всех x 2 (a; b),

то функция y = f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b). Из теоремы 5.3 вытекает схема исследования на выпуклость

функции y = f(x), имеющей вторую производную во всех точках области определения:

1) находим вторую производную f00(x) функции y = f(x), решаем уравнение f00(x) = 0; x 2 D(f);

2) корни этого уравнения делят область определения на интервалы, в каждом из которых f00(x) сохраняет знак. В интервалах, где f00(x) > 0, график функции y = f(x) является выпуклым вниз, а в интервалах, где f00(x) < 0, график функции y = f(x) является выпуклым вверх.

Пример 5.4. Исследовать на выпуклость функцию y = 3x ¡ x3.

Решение

1. Находим y00.

y0 = 3 ¡ 3x2; y00 = ¡6x при всех x 2 D(f) = R.

2.Решаем уравнение y00 = ¡6x = 0, откуда x = 0. Точка x = 0 разбивает область определения заданной функции на два интервала: (¡1; 0) и (0; +1).

Определяем знак y00 на каждом из интервалов: y00 > 0 при всех x 2 (¡1; 0) и y00 > 0 при всех x 2 (0; +1). Следовательно, функция y = 3x ¡ x3 выпукла вниз на интервале (¡1; 0) и выпукла вверх на интервале (0; +1).

В точке (0,0) заданная функция меняет направление вы-

пуклости, значит (0;0) - точка перегиба графика функции y = 3x ¡ x3.

Пример 5.5. Исследовать на выпуклость функцию

3

y = x2 ¡ 1:

82

Решение

D(f) = (¡1; ¡1) [ (¡1; 1) [ (1; +1):

y00 = 6 3x2 + 1 6= 0 при всех x 2 D(f): (x2 ¡ 1)3

Однако y00 > 0 при всех x 2 (¡1; ¡1) [ (1; +1) и y00 < 0 при всех x 2 (¡1; 1).

3

Следовательно, функция y = x2 ¡ 1 выпукла вниз на интер-

валах (¡1; ¡1) и (1; +1) области определения этой функции и выпукла вверх на интервале (¡1; 1).

Заметим, что точек перегиба у заданной функции не существует.

5.4. Асимтоты графика функции

Асимптотой графика функции называют прямую, к которой приближается кривая графика, когда точка этой кривой неограниченно удаляется от начала координат.

Различают асимптоты вертикальные (параллельные оси ординат) и наклонные (не параллельные оси ординат).

Прямую с уравнением x = a называют вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов lim f(x) или lim f(x) является бесконечным.

Пусть функция y = f(x) определена на неограниченном сверху (соответственно, снизу) промежутке. Прямую с уравнением y = kx + b называют наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x ! +1 (соответственно, при x ! ¡1), если

83

1. Найдем сначала вертикальные асимтоты.

D(f) = (¡1; ¡1) [ (¡1; 1) [ (1; +1). Так как в точках 1 и -1 функция не определена, а в любой малой окрестности этих точек определена, найдем в них односторонние пределы:

Следовательно, прямые x = ¡1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами графика заданной функции.

2. Найдем наклонные асимтоты при x ! +1 и при x ! ¡1 (т.к. функция определена на множестве неограниченном и снизу

Пример 5.7. Найти асимптоты функции y = xx+ 1.

Решение

1. Найдем сначала вертикальные асимтоты.

84

D(f) = (¡1; ¡1) [ (¡1; +1). Так как в точке -1 функция не определена, а в любой малой окрестности этой точки определена, то найдем в ней односторонние пределы:

Следовательно, прямая x = ¡1 является вертикальной асимптотой графика заданной функции.

2. Найдем наклонные асимтоты при x ! +1 и при x ! ¡1 (т.к. функция определена на множестве неограниченном и снизу и сверху).

Аналогично, при x ! ¡1 получим k = 1; b = ¡1. Следовательно, y = x ¡ 1 - наклонная асимптота графика

заданной функции как при x ! +1, так и при x ! ¡1.

5.5. Схема полного исследования функции

Заключительным этапом исследования функции, в котором испльзуются результаты ее исследвания на монотонность, экстремум, выпуклость, существование асимптот, является построение графика этой функции, т.к. он дает наиболее наглядное представление о ходе изменения функции и ее свойствах.

При построении графика функции будем придерживаться следующей схемы.

1.Находим область определения функции.

2.Находим точки разрыва функции и вычисляем в них односторонние пределы. Выясняем поведение функции на бесконечности (при условии, что область определения этой функции неограничена). Находим уравнения асимптот (если они существуют).

85