Задачи

31

2.3.Найдите композиции g ± f и f ± g, если

1) f(x) = sin x, g(x) = 2x; 2) f(x) = ln x, g(x) = px;

3) f(x) = jxj, g(x) = tg x; 4) f(x) = x2¡x1, g(x) = arcsin x.

2.4.Составьте какую-либо композицию из всех указанных функций

2.5.Представьте сложные функции в виде композиции простейших элементарных функций.

2.6.Выясните, является ли функция y = 1 ¡ x2 монотонной на промежутках 1) [0; +1); 2) (¡1; 0]; 3) R:

32

2.7.Выясните, являются ли указанные функции ограниченными снизу (ограниченными сверху, ограниченными).

2.8.Для заданной функции y = f(x) найдите обратную (если таковая существует) и изобразите графики данной и обратной ей функций.

33

Тема 3. Предел функции, свойства предела. Непрерывность функции

3.1. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Последовательностью называют функцию, определенную на множестве натуральных чисел: y = f(n); n 2 N; т.е. функцию натуральной переменной. Для последовательности значение f(n) принято обозначать xn, а саму последовательность символами

(xn)n2N , или fxng, или x1; x2; : : : ; xn; : : :.

Элемент xn называют n-м членом последовательности fxng. Примеры последовательностей:

6. f(¡2)ng : ¡2; 4; ¡8; 16; : : :

Графиком последовательности fxng называют множество точек плоскости (n; xn), где n 2 N. Поскольку первая координата каждой такой точки есть натуральное число, то все точки вида (n; xn) изолированы друг от друга (т.е. можно каждую такую точку заключить в круг, несодержащий других точек графика последовательности).

34

Последовательность fxng называется возрастающей (соответственно, убывающей), если xn · xn+1 (соответственно,

xn ¸ xn+1) при всех n 2 N (либо при всех n 2 N; n ¸ n0). xn · xn+1 при всех n 2 N означает, что

x1 · x2 · x3 · ¢ ¢ ¢ · xn · xn+1 · ¢ ¢ ¢ :

xn ¸ xn+1 при всех n 2 N означает, что

Очевидно, что xn+1 ¡ xn < 0 при всех n 2 N, следовательно,

Последовательность fxng называется ограниченной снизу (соответственно, сверху), если существует число m такое, что xn ¸ m при всех n 2 N(соответственно, существует число M такое, что xn · M при всех n 2 N).

Последовательность fxng называется ограниченной, если существуют числа m и M такие, что m · xn · M при всех

n 2 N. ½n + 1¾

Пример 3.2. Докажите, что последовательность

ограничена.

n

сверху числом 2.

Так как заданная последовательность ограничена и сверху и снизу, то она ограничена.

Последовательность fxng называется неограниченной снизу (соответственно, сверху), если каково бы ни было число m найдется n0 2 N, что xn0 < m (соответственно, каково бы ни было число M найдется n0 2 N, что xn0 > M).

Последовательность, неограниченная ни снизу, ни сверху, называется неограниченной.

Пример 3.3. Докажите, что последовательность f2n ¡ 1g неограничена сверху.

Решение

Предположим противное. Пусть последовательность f2n ¡ 1g ограничена сверху. Тогда существует такое число M, что 2n ¡ 1 < M при всех n 2 N. Но последнее неравенство

означает, что n < M + 1 при всех n 2 N, т.е. любое натуральное

2

число меньше числа M + 1, что, в свою очередь, невозможно.

2

Полученное противоречие доказывает, что последовательность f2n ¡ 1g неограничена сверху.

Определение 3.1. Число a называют пределом последовательности fxng, если каково бы ни было положительное число " найдется номер n0 2 N такой, что jxn ¡ aj < " при всех n 2 N; n ¸ n0, т.е. начиная с некоторого номера n0

36

все члены последовательности fxng попадают в промежуток a ¡ " < xn < a + ".

Если последовательность fxng имеет пределом число a, то говорят, что fxng сходится к числу a, или, просто, сходится.

При этом пишут: a = nlim!1 xn, или xn ! a при n ! 1. Пример 3.4. Докажите предельные равенства

Решение

1) Зафиксируем положительное число " и для него подбе-

Следовательно, в качестве n0 надо взять натуральное число, большее 1".

3.2.Свойства сходящихся последовательностей

1.Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

37

2.Сходящаяся последовательность ограничена.

Однако обатное не верно, т.е. не всякая ограниченная пос-

ледовательность сходится. Например, последовательность f(¡1)ng ограничена, но не имеет предела.

n 2 N, то nlim!1 zn = a.

5.Пусть fxng сходится к числу a, а fyng сходится к числу b (b 6= 0), тогда последовательность fxn ¤ yng, где ¤ означает одно из четырех арифметических действий +; ¡; ¢; ¥, сходится к числу a ¤ b.

6.Если последовательность fxng монотонно возрастает, или монотонно убывает, и при этом является ограниченной, то она сходится.

растает и ограничена, а именно 2 · xn · 3 при всех n 2 N. Следовательно, согласно свойству 6, указанная последовательность сходится к некоторому числу из промежутка [2; 3]. Это число

Точное значение числа e указать невозможно, т.к. оно является иррациональным, его оценивают лишь приближенно e ¼

2; 7182.

Число e находит многочисленные применения при описании (составлении математических моделей) естественных процессов в природе и обществе.

38

3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Последовательность f®ng называют бесконечно малой,

Последовательность fxng называют бесконечно большой, если каково бы ни было чило M > 0 можно указать номер n0 такой, что jxnj > M при всех n 2 N; n ¸ n0 .

Например, последовательность f(¡2)ng бесконечно большая.

Приведем несколько важных замечаний о бесконечно больших последовательностях.

–Если, начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (соответственно, отрицательны), то говорят, что такая последова-тель- ность имеет предел +1 (соответственно, ¡1).

–Бесконечно большая последовательность может не иметь предела.

–Бесконечно большая последовательность всегда неограничена, однако обратное неверно, т.е. существуют неограни-

ченные последовательности, которые не являются бесконечно большими, например, nn(¡1)n o.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

1.Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая поледовательность.

39