Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Новосибирский государственный педагогический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
высшая математика.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
18.05.2015
Размер:
1.01 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

40.Приложения определенного интеграла к нахождению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг кривых.

41.Определения несобственных интегралов 1-го и 2-го родов. Установление их сходимости (расходимости).

Образцы экзаменационных задач

1. Решите уравнение

¯

x + 2

¯

 

x + 2

¯

x2 ¡ 1

¯

=

1 ¡ x2

¯

 

¯

 

 

¯

 

¯

 

 

2. Найдите область определения функции

1

y = log2 3x+5

x¡4

3.Составьте композицию g(f(x)) и найдите ее область определения, если

x

r

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

g(x) =

1

; f(x) =

 

 

7 ¡ 2x

 

 

 

 

2n + 1

4. Выясните, является ли последовательность an =

2n ¡ 2

ограниченной, монотонной.

 

 

 

 

 

5.Докажите, что функция y = 1¡2x убывает на всей области определения. Ограничена ли она? (Ответ обоснуйте).

126

6. Исследуйте на непрерывность функцию

6:1: f(x) = 8 x2+ 2;

x < ¡2; ;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

:

 

 

+ 2x;

 

¸ ¡

 

< x

x

2;

6:2: f(x) =

8

 

1

;

x ¸ 0; :

 

2x2 + 4

 

<

3x

¡

2;

 

x < 0:

 

:

 

 

 

 

 

 

 

7. Найдите производную функции

7:1: y = px ¡ 1 tg(x2 + 1);

7:3: y = ex2+3x;

7:2 y = x2 + 2; sin 2x

1

7:4 y = ln tg(2x ):

x2

8. Исследуйте функцию y = 2 ¡ x2 и постройте ее график.

9. Найдите неопределенный интеграл

 

 

 

9:1: Z

cos(18x ¡ 10)dx;

9:2: Z

x28x2¡1dx;

 

9:3:

x2 cos xdx;

9:4:

 

x ¡ 1

dx:

 

(x + 2)(x ¡ 3)

Z

 

Z

 

 

127

Приложение

Свойства показательной и логарифмической функции

aloga x = x ;

 

 

 

 

loga ax = x ;

 

 

 

ax+y = axay ;

 

 

 

 

loga(xy) = loga x + loga y ;

ax¡y =

ax

;

 

 

 

 

loga

x

= loga x

 

loga y ;

y

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

(ax)y = axy ;

 

 

 

 

loga x³y ´= y loga x ;¡

 

a0 = 1 ;

a1 = a ;

loga 1 = 0 ; loga a = 1 ;

ab = eb ln a ;

 

 

 

 

loga b = ln b= ln a :

 

 

Свойства тригонометрических функций

1. Таблица синусов и косинусов некоторых углов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

0

 

¼

 

¼

 

¼

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

4

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

0

 

1

 

2

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

2

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Формулы приведения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(¡x) = ¡ sin x ;

 

cos(¡x) = cos x ;

sin

x + ¼

= cos x ;

sin(x + ¼) =

 

sin x ;

cos

¡x + ¼2

¢=

¡

sin x ;

cos(x + ¼) =

¡ cos x ;

¡

 

2 ¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

cos(x + 2¼n) = cos x ;

 

sin(x + 2¼n) = sin x ; n 2 Z

3. Формулы сложения, вычитания и умножения: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ; sin(x ¡ y) = sin x cos y ¡ cos x sin y ;

128

cos(x + y) = cos x cos y ¡ sin x sin y ;

 

cos(x ¡ y) = cos x cos y + sin x sin y ;

 

 

 

 

 

tg(x + y) =

tg x + tg y

;

tg(x

¡

y) =

tg x ¡ tg y

 

;

 

 

 

 

 

 

1 + tg x tg y

 

1

¡

tg x tg y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x+sin y = 2 sin

x + y

cos

x ¡ y

; cos x+cos y = 2 cos

x + y

cos

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

sin x

sin y = 2 sin

x ¡ y

cos

x + y

; cos x

 

cos y = 2 sin

x + y

sin

 

 

 

 

¡

2

2

 

 

 

¡

¡

 

 

 

2

 

 

sin x cos y = 12(sin(x + y) + sin(x ¡ y)) ; sin x sin y = 12(cos(x ¡ y) ¡ cos(x + y)) ;

cos x cos y = 12(cos(x + y) + cos(x ¡ y))

4. Формулы двойных углов:

sin 2x = 2 sin x cos x ;

cos 2x = cos2 x ¡ sin2 x = 1 ¡ 2 sin2 x = 2 cos2 x ¡ 1 ; 1 ¡ cos 2x = 2 sin2 x ; 1 + cos 2x = 2 cos2 x :

Правила дифференцирования

(f(x) § g(x))0 = f0(x) § g0(x)

(f(x)g(x))0 = f0(x)g(x) + f(x)g0(x)

 

(cf(x))0 = cf0(x); c

2

R

µg(x)

 

 

 

 

 

0

 

 

g2(x)

 

 

f(x)

=

f0

(x)g(x) ¡ f(x)g0(x)

 

 

 

 

 

x ¡ y ; 2

x ¡2 y ;

129

Таблица производных элементарных функций

1: c 0 = 0 :

2: (x®)0 = ®x®¡1:

3: (ax)0 = ax ln a;

(ex)0 = ex:

4: (loga x)0 = x ln1 a: (ln x)0 = x1 :

5: (sin x)0 = cos x:

6:

(cos x)0 = ¡ sin x :

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7:

(tg x)0 =

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

8:

(ctg x)0 = ¡

 

1

 

 

 

:

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

9:

(arcsin x)0 =

p

 

1

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ¡ x1

 

 

 

10:

(arccos x)0 = ¡

p

 

 

 

 

 

:

1 ¡ x

2

11:

(arctg x)0 =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x1

 

 

 

12:

(arcctg x)0 = ¡

 

:

 

1 + x2

 

 

 

Таблица неопределенных интегралов

1: Z

 

 

 

 

2: Z

 

 

 

 

u2

du = u + C;

udu =

 

 

+ C;

2

3: Z u®du = ® + 1 + C;

4: Z

 

udu = ln juj + C;

 

 

 

 

u®+1

 

1

 

 

 

 

 

 

5: Z eudu = eu + C;

6: Z audu = ln a + C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

au

 

7: Z

cos udu = sin u + C;

8: Z

sin udu = ¡ cos u + C;

9: Z

1

du = tg u + C;

10: Z

1

du = ¡ ctg u + C;

 

 

 

 

 

cos2 u

 

sin2 u

130

11: Z

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

du =

 

arctg

 

 

 

+ C;

u2 + a2

a

a

12: Z

p

1

 

du = arcsin

u

 

+ C;

 

 

 

a

a2 ¡ u2

Z

u2

¡

a2

 

 

 

2a

 

¯u + a

¯

 

 

13:

 

 

 

 

du =

1

 

ln

¯

u ¡ a

¯

+ C;

 

 

1

 

 

 

¯

¯

14: Z

 

1

§

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

p

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

du = ln ju + u2 § aj + C:

u2

 

a

131

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности