2. Если f®ng бесконечно малая последовательность, а fxngограничена, то f®n ¢ xng бесконечно малая последовательность.

3. Если f®ng бесконечно малая последовательность, то f 1 g

бесконечно большая последовательность.

®n

Символически это свойство можно записать в виде:

· ¸

10 = 1:

4. Если fxng бесконечно большая последовательность, то

f 1 g бесконечно малая последовательность. xn

Символически это свойство можно записать в виде:

· 1 ¸

1 = 0:

Задачи (предел последовательности)

3.1. Изобразите на плоскости график последовательности.

3.2.Исследуйте на монотонность и ограниченность последовательности из 3.1.

40

½ 1 ¾

3.3. Докажите по определению, что последовательность n2

является бесконечно малой, а последовательность f2ng бесконечно большой.

3.4.Найдите пределы последовательностей из 3.1.(при условии, что они существуют).

3.5.Найдите пределы последовательностей:

3.6. Вычислите указанные пределы.

41

3.4.Предел функции

Впараграфе 3.1. было рассмотрено понятие предела частного вида функций последовательности, теперь обобщим это понятие на случай произвольной функции.

Определение 3.2. Пусть a действительное число. Окрестностью числа a называется промежуток вида (a ¡ ±; a + ±), где ± положительное число.

Заметим, что точка a всегда принадлежит своей окрестности. Пусть теперь функция f определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a (например,

функция f(x) = x1 определена в любой окрестности точки 0, за исключением самой точки 0).

Определение 3.3. ( предела функции f в точке a (конечный случай)). Число b называется пределом функции f в точке a, если для любого положительного числа " можно подобрать положительное число ± такое, что для всех x 2 D(f), отличных от a (x 6= a) и удовлетворяющих условию jx¡aj < ±, выполняется неравенство jf(x) ¡ bj < ".

Можно показать, что функция может иметь не более одного предела в точке.

Если предел функции f в точке a существует и равен b, то

его обозначают одним из следующих символов: lim f(x) = b; или

x!a

f(x) ! b при x ! a, или f(x)¡¡!b:

x!a

Пример 3.6. Приведем доказательство предельного равенства, используя определение предела. Докажем по определению, что число 3 является пределом функции y = 2x + 3 в точке 1, то есть докажем предельное равенство lim(2x + 1) = 3.

". Заметим, что j2x + 1 ¡ 3j < " () j2x ¡ 2j < " () 2jx ¡ 1j < ". Теперь осталось подобрать ±, чтобы из неравенств x =6 1; jx ¡ 1j < ± следовало неравенство 2jx ¡ 1j < ", которое, в

42

свою очередь, равносильно неравенству jx ¡ 1j < 2". Следовательно, в качестве ± надо взять любое положительное

число, меньшее либо равное 2".

Определение 3.4. (предела функции, когда x ! +1). Число b называется пределом функции f при x ! +1, если для любого положительного числа " можно подобрать положительное число M такое, что для всех x 2 D(f), удовлетворяющих условию x > M, выполняется неравенство jf(x) ¡ bj < ".

При этом пишут: lim f(x) = b

x!+1

Определение 3.5. (предела функции, когда x ! ¡1). Число b называется пределом функции f при x ! ¡1, если для любого положительного числа " можно подобрать положительное число M такое, что для всех x 2 D(f), удовлетворяющих условию x < ¡M, выполняется неравенство jf(x) ¡ bj < ".

При этом пишут: lim f(x) = b

x!¡1

положительное число M такое, чтобы из неравенства x > M

Следовательно, в качестве M надо взять любое число, большее либо равное 21".

3.5.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

иих свойства

43

Определение 3.6. Функция y = ®(x) называется бесконеч-

но малой в точке a, или при x ! a, если lim ®(x) = 0.

x!a

Например,

² Функция y = x2 является бесконечно малой в точке 0.

² Функция y = (x ¡1)3 является бесконечно малой в точке 1.

² Функция y = x1 является бесконечно малой при x ! +1.

Пример 3.8. Докажем, что функция y = (x ¡ 1)3 является бесконечно малой в точке 1.

Для этого убедимся, что lim(x ¡ 1)3 = 0.

x!1

Зафиксируем положительное число " и для него подберем положительное число ± такое, чтобы из неравенств x =6 1; jx ¡ 1j < ± следовало бы неравенство j(x ¡ 1)3 ¡ 0j < ".

Заметим, что

Очевидно, в качестве ± надо взять любое положительное число, меньшее либо равное ".

Свойства бесконечно малых функций

1.Если ®; ¯ бесконечно малые в точке a функции, то ®+¯ также бесконечно малая в точке a функция.

2.Если ® бесконечно малая в точке a функция и c 2 R, то c ¢ ® также бесконечно малая в точке a функция.

3.Если ®; ¯ - бесконечно малые в точке a функции, то ® ¢ ¯ также бесконечно малая в точке a функция.

4.Если f - ограниченная в окрестности точки a функция, а ® - бесконечно малая в точке a, то ® ¢ f также бесконечно малая в точке a функция.

44

Определение 3.7. Функция y = f(x) называется бесконечно большой в точке a, или при x ! a, если для любого положительного числа E можно подобрать положительное число ± такое, что для всех x 2 D(f), удовлетворяющих неравенствам x =6 a; jx ¡ aj < ±, выполняется неравенство jf(x)j > E.

Определение 3.8. Функция y = f(x) называется бесконечно большой при x ! +1, если для любого положительного числа E можно подобрать положительное число M такое, что для всех x 2 D(f), удовлетворяющих неравенству x > M, выполняется неравенство jf(x)j > E.

Определение 3.9. Функция y = f(x) называется бесконечно большой при x ! ¡1, если для любого положительного числа E можно подобрать положительное число M такое, что для всех x 2 D(f), удовлетворяющих неравенству x < ¡M, выполняется неравенство jf(x)j > E.

Например,

² Функция y = x1 является бесконечно большой в точке 0.

1

² Функция y = (1 ¡ x)2 является бесконечно большой в точке 1.

² Функция y = x3 является бесконечно большой при x ! +1.

Пример 3.9. Докажем, что функция y = x1 является беско-

нечно большой при x ! 0.

Зафиксируем положительное число E и для него подберем положительное число ± такое, чтобы из неравенств x 6= 0; jxj < ±

x =6 0; jxj < ± следовало неравенство jxj < E .

45

Очевидно, в качестве ± надо взять любое положительное чис-

ло, меньшее либо равное E1 .

Пример 3.10. Докажем, что функция y = x3 является бесконечно большой при x ! +1. Зафиксируем положительное число E и для него подберем положительное число M такое, чтобы из

Очевидно, в качестве Mpнадо взять любое положительное число, большее либо равное 3 E.

Важные замечания о бесконечно больших функциях

1.Если f бесконечно большая в точке a функция и все значения этой функции в некоторой окрестности точки a положительны, то функция f имеет предел в точке a, рав-

ный +1 и пишут: lim f(x) = +1.

x!a

2.Если f бесконечно большая в точке a функция и все значения этой функции в некоторой окрестности точки a отрицательны, то функция f имеет предел в точке a, рав-

ный ¡1 и пишут: lim f(x) = ¡1.

x!a

3.Бесконечно большая в точке a функция в общем случае

может не иметь предела в этой точке. Например, функция f(x) = x1 не имеет предела в точке 0, хотя и является в ней бесконечно большой. Если же бесконечно большая в точке a функция имеет предел в этой точке, то он не может быть конечным.

4.f бесконечно большая в точке a, тогда и только тогда,

когда lim jf(x)j = +1.

x!a

Свойства бесконечно больших функций

46

1.Если f бесконечно большая в точке a функция, то f1 бесконечно малая в точке a функция.

3.6. Понятие непрерывной функции. Свойства предела (непрерывности)

Определение 3.10. Функцию f называют непрерывной в

точке a, если a 2 D(f) и lim f(x) = f(a).

x!a

Определение 3.11. Если f определена в любой окрестности точки a и не является непрерывной в этой точке, то говорят, что в точке a функция f имеет разрыв, при этом точка a называется

точкой разрыва функции f.

Таким образом, точка a будет точкой разрыва функции f, если:

1) f определена в точках любой окрестности точки a, а в самой точке a не определена;

2) f определена в точке a, но lim f(x) =6 f(a), либо предел

x!a

функции f в точке a вовсе не существует.

Свойства предела функции

Сформулируем свойства предела в виде теорем.

Теорема 3.1. Число b предел функции f в точке a тогда и только тогда, когда f(x) представимо в виде f(x) = b + ®(x), где ®(x) бесконечно малая в точке a функция.

Теорема 3.2 (о единственности предела). Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

47

Теорема 3.3 (о пределе постоянной функции). Предел по-

стоянной величины равен самой постоянной, т.е. lim c = c; где

x!a

c 2 R:

Теорема 3.4 ( о переходе к пределу в неравенстве между

функциями). Пусть lim f(x) = b; f(x) ¸ 0 или f(x) > 0 (со-

x!a

ответственно, f(x) · 0 или f(x) < 0), при всех x из некоторой окрестности точки a, x 6= a, тогда b ¸ 0(соответственно, b · 0).

или f(x) < g(x), при всех x из некоторой окрестности точки a, x 6= a, тогда b · c.

Теорема 3.5 (о сохранении функцией неравенства между

пределом и заданным числом). Пусть lim f(x) = b и b > ® (соот-

x!a

ветственно, b < ®, , тогда существует окрестность точки a такая, что f(x) > ® (соответственно, f(x) < ®) при всех x из этой окрестности точки a, x =6 a.

Следствие. Непрерывная в точке a функция сохраняет знак

Вусловиях теорем 3.1 3.6 переменная x может стремиться

кбесконечности (т.е. рассматриваемая точка a может быть бесконечностью).

Теорема 3.7 (об арифметических действиях над предела-

то

48

Вформулировке теоремы 3.7 переменная x может стремиться

ик бесконечности, также значения пределов b или c могут быть бесконечностями. Необходимо учитывать, что сумма b+c неопределена, если b и c равны соответственно бесконечностям разного знака; разность b¡c неопределена, если b и c равны соответственно бесконечностям одного знака; произведение b ¢c неопределено, если один из этих сомножителей равен нулю, а другой бесконечности; частное b ¥ c неопределено, если b и c одновременно равны нулю или бесконечности.

Следствия

1. Постоянный множитель можно выностиь за знак предела:

2.Если функции f и g непрерывны в точке a, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии, что

lim g(x) 6= 0) также непрерывны в точке a.

x!a

тогда lim g(f(x)) = c.

x!a

Из теорем 3.7 и 3.8 следует важное утверждение: Элементарная функция непрерывна в любой точке области определения.

3.7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность

Определение 3.11. Пределом функции f в точке a слева (соответственно, справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что x стремится к a, оставаясь все время меньше (соответственно, больше) значения a.

49

Пределы функции f слева и справа в точке a объединяют под названием односторонних пределов, их соответственно обозначают

Символически эти равенства можно записать в виде:

Определение 3.12. Функция называется непрерывной слева (соответственно, справа) в точке a, если

Теорема 3.9. Функция непрерывна в точке, тогда и только тогда, когда она непрерывна и слева, и справа в этой точке.

Пример 3.11. Найдите односторонние пределы функции

1

y = x ¡ 3 в точке 3.

Пример 3.12. Найдите односторонние пределы функции

1

y = x2 + 5x + 6 в точке ¡2.

50

Пример 3.13. Найдите односторонние пределы функции

1

y = x2 + 5x + 6 в точке ¡3.

Решение

51

Пример 3.14. Найдите односторонние пределы функции

Пример 3.15. Исследуйте функцию y = f(x) на непрерывность, если

если x < ¡3, : если x ¸ ¡3

Решение

Данная функция непрерывна на промежутке (¡1; ¡3), как элементарная, т.к. для всех x из этого промежутка: f(x) =

1. Аналогично, данная функция непрерывна на промежутке

x + 3

(¡3; +1), как элементарная, т.к. для всех x из этого промежутка: f(x) = x2 + x.

Осталось выяснить непрерывность данной функции в точке ¡3. Для этого нужно проверить справедливость равенства

lim f(x) = f(¡3).

x!¡3

52

Поскольку левый и правый пределы функции в точке ¡3 не совпадают, то в этой точке не существует предела, поэтому функция имеет разрыв в точке ¡3. Заметим, что f(¡3) = 6, т.е. данная функция непрерывна справа в точке ¡3.

Итак, данная функция непрерывна на всей области определения, кроме точки ¡3.

3.8. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim sin x = 1

x!0 x

Второй замечательный предел и его следствия

Приведем примеры вычисления пределов функций с использованием замечательных пределов.

Пример 3.16

53

3.9. Важные свойства непрерывных функций

Теорема 3.10 (теорема Больцано-Коши о нуле непрерывной функции). Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и принимает значения разных знаков на концах отрезка, т.е. f(a) ¢ f(b) < 0. Тогда существует точка c 2 (a; b) такая, что f(c) = 0:

Следствие (теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и f(a) < f(b). Тогда для любого ° 2 (f(a); f(b)) существует точка c 2 (a; b) такая, что f(c) = °:

Теорема 3.11 (теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда, во-первых, функция f ограничена на отрезке [a; b], и, во-вторых, функция имеет

наименьшее и наибольшее значения на отрезке [a; b], т.е. существуют такие x¤; x¤ 2 [a; b], что f(x¤) = minf; f(x¤) = maxf.

54