Тема 4. Производная и дифференциал. Свойства дифференцируемых функций

4.1. Определение производной. Понятие дифференцируемости функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке D(f).

Точка x0 2 D(f) такая, что x0 §¢x 2 D(f), где ¢x какое-нибудь число. Обозначим через ¢y разность f(x0 + ¢x) ¡ f(x0), ¢x на-

зывают приращением аргумента, а ¢y приращением функции. Если существует предел отношения приращения функции ¢y к вызвавшему его приращению аргумента ¢x при стремлении последнего к нулю, то его (предел) называют производной

функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f0(x0), т.е.

f0(x0) = lim ¢y ;

¢x!0 ¢x

Для обозначения производной также приняты символы

dxdy :

Операция нахождения производной называется дифференцированием. Если предел (4.1) конечен, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0.

Необходимым (но недостаточным) условием дифференцируемости функции является ее непрерывность.

Пример 4.1. Найдите производную функции f(x) = x2 в точке x0, пользуясь определением.

Решение

58

Следовательно, f0(x0) = 2x0:

Пример 4.2. Пользуясь определением, вычислите производную функции f(x) = x2 + 3x + 1 в точке x = 1.

Решение

Аргументу x = 1 придадим приращение ¢x и вычислим соответствующее приращение ¢y:

¢y = f(1 + ¢x) ¡ f(1) = (1 + ¢x)2 + 3(1 + ¢x) + 1¡

¡(12 + 3 ¢ 1 + 1) = (¢x)2 + 5¢x:

Составим отношение приращения функции к приращению

аргумента

¢y = (¢x)2 + 5¢x = ¢x + 5 ¢x ¢x

и найдем предел этого отношения при ¢x ! 0:

Следовательно, f0(1) = 5.

4.2. Правила дифференцирования

Если функции y = f(x) и y = g(x) дифференцируемы, то дифференцируемы также функции f(x)+g(x); f(x)¡g(x); cf(x); (c¡

постоянная); f(x)g(x); и f(x) (g(x) =6 0); причем справедливы g(x)

формулы:

59

Если функция u = u(x) дифференцируема в точке x, а функция y = f(u) дифференцируема в точке u = u(x) , то сложная функция y = f(u(x)) (композиция функций u и f) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

y0 = (f(u(x)))0 = f0(u(x)) ¢ u0(x) (4:6):

Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для вычисления производной функции y = f(u(v(x))), если функции y = f(u), u = u(v); v = v(x) дифференцируемы, то справедлива формула:

y0 = (f(u(v(x))))0 = f0(u(v(x))) ¢ (u(v(x)))0 =

= f0(u(v(x))) ¢ u0(v(x)) ¢ v0(x) (4:7):

60

4.4. Таблица производных элементарных функций

Пример 4.3. Найдите y0, если y = 1 ¡ 2x3.

Решение

Применяя формулы (4.1) и (4.4) правил и формулы 1 и 2 таблицы, имеем

y0 = (1 ¡ 2x3)0 = (1)0 ¡ (2x3)0 = 0 ¡ 2(x3)0 = ¡2 ¢ 3 ¢ x2 = ¡6x2:

Пример 4.4. Найдите y0, если y = (x ¡ 1)px:

Решение

Применяя формулы (4.3) и (4.2) правил и формулу 2 таблицы, имеем

y0 = ((x¡1)px)0 = (x¡1)0px+(x¡1)(px)0 = px+(x¡1)(x12 )0 =

61

Решение

Применяя формулу (4.5) правил и формулу 2 таблицы, имеем

Пример 4.6. Найдите производную функции y = cos5 x.

Решение

Это сложная функция вида y = u5, где u = cos x (u назовем промежуточным аргументом). Используя формулу (4.6) правил

иформулы 5 и 6 таблицы , получим

y0 = (u5)0 ¢ u0 = 5u4(cos x)0 = 5 cos4 x(¡ sin x) = ¡5 cos4 x sin x:

дых навыков) не указывают промежуточных аргументов и решение задачи записывают в виде:

62

Пример 4.9. Найдите y0, если y = esin px:

Решение

Применяя формулу (4.6) правил и формулы 3, 5 и 2 таблицы, имеем

4.5. Механический и геометрический смысл производной

Пусть закон движения материальной точки описывается функцией s = s(t), которая отражает зависимость пройденного точкой расстояния от времени. Скорость материальной точки

вмомент времени t это есть производная функции s = s(t)

вточке t, т.е. v(t) = s0(t). В этом заключается механический смысл производной.

Вообще какой бы процесс не описывала функция y = f(t), f0(t) есть скорость изменения этого процесса в момент t.

Пусть функция задана уравнением y = f(x). Рассмотрим

некоторую точку M0(x0; f(x0)) на графике этой функции и проведем в ней касательную к графику. Угловой коэффициент касательной в точке M0(x0; f(x0)) есть производная функции y =

63

f(x) в точке x0. В этом заключается геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в

точке M0(x0; f(x0)) имеет вид:

y = f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0):

Уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке M0(x0; f(x0)) имеет вид:

1

y = f(x0) ¡ f0(x0)(x ¡ x0):

Пример 4.10. В какие моменты времени скорость точки равна нулю, если закон движения точки по прямой описывается уравнением s = t3 ¡ 3t2 + 3t + 5 (s путь в метрах, t время в секундах)?

Решение

Скорость точки равна нулю в те моменты времени, в которых производная функции s = s(t) равна нулю.

s0 = (t3 ¡ 3t2 + 3t + 5)0 = 3t2 ¡ 6t = 0 ()

() 3t(t ¡ 2) = 0 () t = 0 или t = 2:

Скорость точки равна нулю в момент t = 0 и t = 2: Пример 4.11. Найдите уравнение касательной к кривой y =

x2 в точке A(2; 4).

Решение

f(x) = x2; f0(x) = 2x; x0 = 2; f(x0) = f(2) = 4;

f0(x0) = f0(2) = 2 ¢ 2 = 4:

Уравнение касательной:

y = f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0) = 4 + 4(x ¡ 2) = 4x ¡ 4:

64