Тогда существует предел lim f(x), причем
x!a g(x)
|
|
|
|
lim |
|
f(x) |
= lim |
f0(x) |
= c: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x a |
|
|
x |
! |
a g0(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.17. Найдите предел lim |
|
x3 + x2 ¡ 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение |
2x3 |
¡ x2 |
¡ x |
h |
1i |
|
x!1 |
2x3 ¡ x2 ¡ x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x!1 |
|
x!1 |
(2x3 |
¡ x2 |
¡ x)0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
x3 |
+ x2 |
¡ 1 |
= |
|
1 |
|
= lim |
(x3 |
+ x2 |
¡ 1)0 |
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
|
3x2 + 2x |
= |
1 |
|
= lim |
|
(3x2 + 2x)0 |
|
= |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x!1 6x2 ¡ 2x ¡ 1 |
|
|
|
x!1 (6x2 ¡ 2x ¡ 1)0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= lim |
6x + 2 |
= |
1 |
|
= lim |
|
(6x + 2)0 |
= lim |
6 |
|
= |
1 |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
||||||||||||||||||||
x!1 12x ¡ 2 |
h |
1i |
x!1 (12x ¡ 2)0 |
x!1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задачи (высшие производные и их некоторые приложения)
4.12. Найдите дифференциал функции. r
1: y = p4 + x2, 2. y = ln x + 1, 3. y = arctg x2. x ¡ 1
4.13. Найдите y00, если
1: y = x5 + 3x4 ¡ 5x2 + x ¡ 1; 2: y = 2x3 ¡ 3x2 + 1;
3: y = (x2 + 1)3; |
4: y = x ln x; |
||
5: y = 2x + ctg 2x; |
6: y = cos ex; |
||
7: y = xex2 ; |
8: y = p |
|
arctg x; |
1 ¡ x2 |
|||
74
9: y = |
x3 |
; |
10: y = arctg |
2 |
+ x2 |
|
: |
|||
3 ¡ x2 |
|
¡ x2 |
||||||||
|
|
2 |
|
|||||||
4.14. Найдите указанные производные. |
|
|
|
|
|
|
||||
1: yV ; если y = x3 + 3x2 + 4; |
2: yIV если y = e2x + x3; |
|
||||||||
3: yV ; если y = sin x; |
4: yIV ; если y = cos 2x; |
|
||||||||
5: yV ; если y = sin2 x; |
6: y(n); если y = eax; |
|
||||||||
7: y(n); если y = ln x; |
8: y(n); если y = |
1 |
¡ x |
; |
|
|||||
1 |
|
|||||||||
+ x |
|
|||||||||
9: y(20); если y = ex ¢ x3; |
10: y(100); если y = x3 ¢ ln x |
: |
||||||||
4.15.Найдите дифференциалы второго порядка следующих
функций: p
1. y = 3 x2 3. y = (x2 + x + 1)e¡x.+ 3; 2. y = 4¡x2 ;
4.16.Найдите дифференциалы третьего порядка следующих функций:
1. y = xm; 2. y = sin2 x:
4.17.Найдите пределы, пользуясь правилом Лопиталя.
1: |
lim |
|
sin 5x |
|
; |
2: |
lim |
tg 7x |
; |
|
|
|
|
||||||
|
x!0 sin 10x |
|
|
x!0 tg 20x |
|
||||
3: |
lim |
|
cos 3x |
; |
4: |
lim |
ex ¡ 1 |
; |
|
|
cos x |
sin x |
|||||||
|
x!¼2 |
|
|
|
|
x!0 |
|
||
75
5:
7:
9:
11:
13:
15:
17:
19:
lim |
|
1 ¡ cos x |
; |
|
|
|
|
|
6: |
|||||||||
x!0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
ln x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x!1 x ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10: |
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x!+1 e |
|
|
|
|
|
|
¡ 9¶ |
|
|
|||||||||
x!3 |
µx ¡ 3 ¡ x2 |
|
|
|||||||||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
; |
12: |
|||||
|
x ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
14: |
||||||
x!1 xn ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim x ctg 2x; |
|
|
|
|
|
|
|
16: |
||||||||||
x!0 |
µln x |
¡ x ¡ 1¶; |
|
|
||||||||||||||
x!1 |
|
18: |
||||||||||||||||
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
lim(cos x) |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
20: |
||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x!0
lim |
xm ¡ am |
; |
|
|
|
|
|||||
x!a |
|
xn ¡ an |
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
ex2 ¡ 1 |
; |
|
|
|
|
||||
x!0 cos x ¡ 1 |
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
xm |
; m |
2 |
Z; a > 0; |
||||||
|
|
||||||||||
x!+1 eax |
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
ln cos ax |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x!0 |
ln cos bx |
|
|
|
|
|
|||||
lim |
ex ¡ e¡x |
; |
|
|
|
|
|||||
x!0 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||
lim |
1 ¡ cos x |
; |
|
|
|
|
|||||
x!0 |
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
x |
|
|
|
|
|
¼ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
µctg x ¡ |
2 cos x¶ |
|||||||||
x!¼2 |
|
|
|||||||||
lim (sin x)tg x:
x!¼2
1
4.18. Найдите приближенно значение p , используя форму-
4 e
лу Тейлора - Маклорена третьего порядка для функции y = ex, и оцените погрешность приближенного вычисления.
4.19.Найдите приближенно значение sin 10±, используя формулу Тейлора - Маклорена третьего порядка для функции
76