Решение

Найдем элементы множества A: это все натуральные числа x, которые являются делителями числа 20 (т.е. делят число 20 нацело). Перечислим их: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Следовательно,

A = f1; 2; 4; 5; 10; 20g:

Найдем элементы множества B: это все натуральные числа x, которые удовлетворяют неравенству x2 ¡ 14x + 33 · 0. Числа 3 и 11 являются корнями квадратного трехчлена x2 ¡ 14x + 33, следовательно, все числа принадлежащие отрезку [3; 11] являются решениями неравенства x2 ¡ 14x + 33 · 0, но нас интересуют только натуральные числа этого отрезка, поэтому

B = f3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11g:

Тогда A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 20g; A \ B = f4; 5; 10g;

A n B = f1; 2; 20g;

B n A = f3; 6; 7; 8; 9; 11g:

Множества A и B ограничены и обладают наибольшим и наименьшим элементами.

minA = 1; maxA = 20; minB = 3; maxB = 11:

Задачи

1.1. Применяя формулы сокращенного умножения, вычислите

13

1.3. Решите квадратные неравенства

При решении задач 1.5 1.9 примените определение модуля и его свойства.

Модулем вещественного числа x называется само это число, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если x отрицательное, обозначается символом jxj, т.е.

(

jxj =

x; если x ¸ 0; ¡x; если x < 0.

Модуль числа x (jxj) - геометрически означает расстояние между точками x и 0 на числовой прямой, а модуль разности чисел x и y (jx¡yj) расстояние между точками x и y на числовой прямой.

1.4.Докажите свойства модуля

1)jaj ¸ 0; jaj = 0 , a = 0;

2)j ¡ aj = jaj; ja ¡ bj = jb ¡ aj;

14

5)a2 = jaj;

6) a · jaj; ¡a · jaj; ¡jaj · a · jaj

7)ja + bj · jaj + jbj:

1.5.Пусть mn правильная дробь. Что больше ¯¯¯1 ¡ mn ¯¯¯ или ¯¯¯1 ¡ mn ¯¯¯?

1.6.Найдите все a такие, что

15

1.10. Решите неравенства методом интервалов.

1.12.Докажите, что если числитель и знаменатель правильной дроби увеличить на одно и то же положительное число, то получится дробь, большая данной.

1.13. Докажите иррациональность чисел p2; lg 2:

1.14.Пусть r рациональное число, не равное нулю, ® иррациональное число. Докажите иррациональность чисел

r + ®; r ¡ ®; r ¢ ®; ®r :

При решении задач 1.15 1.16 примените определение корня n-ой степени и его свойства.

Корнем n -ой степени из числа a называется число b, n-я степень которого равна a, т.е. bn = a.

16

Справедливы следующие утверждения.

2.Корнень n -ой степени из числа 1 равен 1.

3.Корнень n -ой степени из числа 0 равен 0.

4.Корень нечетной степени из произвольного числа единственен и имеет знак самого числа.

5.Существует ровно два корня четной степени n из поло-

жительного числа a, они противоположны по знаку и равны по p

модулю. Отрицательный корень обозначают ¡ n a. Положительный корень 2-й степени из числа apназывают

арифметическим корнем квадратным и обозначают a:

6. Корня четной степени из отрицательного числа не существует.

Например, существует ровно два корня квадратных из числа 36, они равны соответственно 6 и 6, однако p36 = 6, положительный корень 6 обозначают p36, а отрицательный корень 6 обозначают ¡p36.

17

7: (x ¡ y)pa; гдеx ¸ y; 8: (a ¡ b)pm; гдеa · b:

1.17. Упростите

При решении задач 1.18 1.21 примените определение логарифма.

Пусть b > 0; a > 0; a 6= 1. Логарифмом числа b по основанию a называют такое число x, что ax = b. Его обозначают loga b, т.е. x = loga b, и следовательно, aloga b = b

1.18. Найдите

1.19. Найдите b, если

18

1.20. Имеют ли смысл следующие символы

В задачах 1.22 1.29 найдите элементы числовых множеств A; B; A[B; A\B; AnB; B nA: Выясните являются ли множества A и B ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными; найдите наименьший и наибольший элементы этих множеств (в случае их существования).

B = ©x 2 R j x3 + x2 ¡ x ¡ 1 < 0ª

19

В задачах 1.30 1.38 выясните, является ли множество A ограниченым снизу, ограниченным сверху, ограниченным, и найдите его наименьший и наибольший элементы (в случае их существования).

20