Тема 7. Определенный интеграл и его приложения

7.1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b] и огра-

Обозначим 4xk = xk ¡ xk¡1. В каждом сегменте [xk¡1; xk] (k = 1; 2; :::; n) выберем по точке »k (k = 1; 2; :::; n).

Рассмотрим сумму

Xn

s = f(»k) ¢ 4xk;

k=1

называемую интегральной суммой функции f на отрезке [a; b].

Пусть ¸ = max 4xk. Если существует кончный предел инте-

1·k·n

гральных сумм функции f на отрезке [a; b] при ¸ ! 0, не зависящий ни от способа дробления отрезка на сегменты [xk¡1; xk] (k = 1; 2; :::; n) точками xk (k = 1; 2; :::; n), ни от выбора точек

»k (k = 1; 2; :::; n) в сегментах [xk¡1; xk] (k = 1; 2; :::; n), то его называют определенным интегралом функции f на от-

Zb

резке [a; b] и обозначают f(x)dx. При этом функцию f назы-

a

вают интегрируемой на отрезке [a; b]. Итак, по определению имеем:

f(x)dx называют подынтегральным выражением, a и b пределами интегрирования.

108

Можно доказать, что всякая непрерывная на отрезке функ-

ция интегрируема на этом отрезке.

Zb

Число f(x)dx имеет много интерпретаций. С помощью

a

определенного интеграла находят площадь криволинейной трапеции; путь, пройденный точкой; работу переменной силы, действующей на материальную точку; количество вещества, вступившего в химическую реакцию; прирост численности популяции и др.

7.2. Свойства определенного интеграла

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a; b]. Тогда справедливы следующие свойства:

109

7.3. Вычисление определенного интеграла

Теорема 7.1( формула Ньютона-Лейбница).

Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], а F ее какаялибо первообразная, то

Zb

f(x)dx = F (b) ¡ F (a):

a

При вычислении определенного¯ интеграла удобно применять обозначение: F (b) ¡ F (a) = F (x) ¯¯¯ ba , тогда формула НьтонаЛейбница примет вид:

110

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть f определена и непрерывна на отрезке [a; b], а функция ' имеет непрерывную производную на отрезке [®; ¯] и '(t) 2 [a; b] при всех t 2 [®; ¯], причем '(®) = a; '(¯) = b. Тогда

Zb Z¯

f(x)dx = f('(t))'0(t)dt:

a®

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла

111

=3e ¡ 1 ¡ (2e ¡ 2) = e + 1

7.4.Некоторые приложения определенного интеграла

1.Площадь криволинейной трапеции

Пусть y = f(x) ограниченная функция, определенная на отрезке [a; b]. y = f(x) ¸ 0 при всех x 2 [a; b].

Криволинейной трапецией называется множество то-

чек плоскости (обозначим его Ef ), ограниченное графиком функции y = f(x) и прямыми y = 0; x = a; x = b, т.е.

Ef = f(x; y)j 0 · y · f(x); a · x · bg

Площадь криволинейной трапеции определяется по фор-

муле

Zb

P (Ef ) = f(x)dx:

a

112

2. Площадь межграфика функций

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) таковы, что f(x) · g(x) при всех x 2 [a; b]. Межграфиком функций f и g называется множество точек плоскости (обзначим его Efg), ограниченное графиками функций f и g и прямыми x = a и x = b, т.е.

Efg = f(x; y)j f(x) · y · g(x); a · x · bg

Площадь межграфика Efg определяется по формуле

Zb

P (Efg) = (g(x) ¡ f(x))dx

a

3.Объем тела вращения

Объем тела вращения (Vвр), получаемого вращением графика функции y = f(x), определенной на отрезке [a; b], вокруг оси OX, вычисляется по формуле:

Zb

Vвр = ¼ f2(x)dx

a

4. Длина дуги кривой

Длина дуги кривой °, задаваемой параметрическими урав-

113

В частности, если кривая является графиком некоторой функции y = f(x), определеной на отрезке [a; b], то длина графика функции f (Гf ) вычисляется по формуле:

Zb p

l(Гf ) = 1 + (f0(x))2dx

a

7.5. Понятие несобственного интеграла

Вводя понятие определенного интеграла мы рассматривали только ограниченные функции, определенные на ограниченных промежутках. Нарушение этих условий приводит к понятию несобственного интеграла.

Несобственный интеграл от функции, определенной на неограниченном промежутке

Пусть функция f определена на промежутке [a; +1) и непре-

рывна на любом отрезке [a; t]; t ¸ a. Тогда, если существует

Zt

предел lim f(x)dx, то его называют несобственным инте-

t!+1

a

Z+1

a

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

11

114

Несобственный интеграл от неограниченной функции

Пусть функция f определена и непрерывна на ограниченном промежутке [a; b), и f неограничена в окрестности точ-

ки b, т.е. lim f(x) = (§)1. Тогда, если существует предел

x!b¡0

Zt

lim f(x)dx, то его называют несобственным интегралом

t!b¡0

a

Zb

II-го рода от функции f и обозначают f(x)dx.

a

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f, определенной на промежутке (a; b] и неограниченной в

115

Если функция f определена на промежутке (a; b) и неограничена и в окрестности точки a, и в окрестности точки b. Тогда несобственный интеграл по промежутку (a; b) определяется

Zc Zb

как сумма двух несобственных интегралов f(x)dx и f(x)dx,

a c

где c - произвольная точка промедутка (a; b), причем интеграл

Zb

f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый

a

Zc Zb

из интегралов f(x)dx и f(x)dx.

ac

Если функция f определена на промежутке (a; b) за исключением некоторой внутренней точки c этого промежутка, то несобственный интеграл по промежутку (a; b) определяется как сум-

Zc Zb

ма двух несобственных интегралов f(x)dx и f(x)dx, причем

a c

Zb

интеграл f(x)dx сходится тогда и только тогда, когда сходится

a

Zc Zb

каждый из интегралов f(x)dx и f(x)dx.

116

Решение

0t

pp

=lim (2 1 ¡ 2 t) = 2:

t!0+0

117