Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Відомі наступні дані про розподіл промислових підприємств регіону за чисельністю зайнятих:

Групи підприємств за чисельністю зайнятих, осіб	До 20	20-30	30-50	50-100	100-200	200 і більше	Разом
Кількість підприємств, одиниць	168	102	82	64	46	38	500

Визначити модальне, медіанне і квартильні значення чисельності зайнятих на промислових підприємствах регіону.

Розв’язання

1. Найбільш поширеною групою підприємств у досліджуваній сукупності є підприємства з чисельністю зайнятих до 20 осіб, так як частота цієї групи є найбільшою (168). Тому інтервал «до 20» і є модальним. Підставимо його характеристики у формулу моди:

тобто найчастіше в досліджуваній сукупності зустрічаються підприємства з чисельністю зайнятих 17 осіб.

Звертаємо увагу на деякі особливості підстановки в формулу в даному прикладі: 1) нижня межа модального інтервалу () взята нами умовно, так як інтервал відкритий (роз’яснення методики наводиться при розв’язанні типової задачі 5 в темі 4); 2) частота передмодального інтервалу () прийнята рівною нулю, так як в нашому прикладі модальний інтервал співпадає з першим.

2. Так як сукупність складається із 500 підприємств, то медіанною буде вважатись чисельність працівників на 250-му по порядку підприємстві за умови упорядкування підприємств у порядку зростання чисельності працівників (). Для визначення групи, в яку потрапить підприємство №250, знаходимо акумульовані частоти для кожної групи:

«До 20» – 168, тобто до першої групи потрапляють

підприємства №№ 1-168;

«20-30» – 270 (168+102), тобто до другої групи потрапляють

підприємства №№ 169-270;

«30-50» – 352 (270+82), тобто до третьої групи потрапляють

підприємства №№ 271-352 ;

«50-100» – 416 (352+64), тобто до четвертої групи потрапляють

підприємства №№ 353-416;

«100-200» – 462 (416+46), тобто до п’ятої групи потрапляють

підприємства №№ 417-462 ;

«200 і більше» – 500 (462+38), тобто до шостої групи потрапляє

решта підприємств, №№ 463-500.

Таким чином, підприємство № 250 входить до другого інтервалу, тому цей інтервал і будемо вважати медіанним. Підставимо його характеристики до формули медіани:

Так як медіана ділить упорядкований ряд на дві рівні частини, то робимо висновок, що половина підприємств має чисельність до 28 працівників, а половина – більше 28.

3. Квартилі ділять ряд на чотири рівних частини. Перший квартиль (нижній) відповідає значенню , тобто в нашому прикладі – чисельності працівників у підприємства №125 (), другий квартиль співпадає з медіаною (), третій (верхній) - відповідає значенню чисельності працівників у підприємства № 375 (). Відповідно до розрахованих вище показників акумульованих частот перший квартиль знаходиться у першому інтервалі (до 20), а третій – у четвертому (50-100). Обрахуємо значення верхнього квартилю:

Отже 75% підприємств мають чисельність працівників до 68 осіб, а 25% - більше 68 осіб.

Задача 2. За даними попереднього прикладу визначити показники варіації чисельності працівників. Зробити висновок про однорідність сукупності і типовість середнього значення чисельності працівників для досліджуваних підприємств.