1 .4. Особые линии в нелинейных системах

Во многих случаях реальные САУ можно считать линейными лишь при малых отклонениях перемененных от их заданных значений в установившемся состоянии. При этом их фазовые портреты соответствуют особым точкам линейных систем. При больших отклонениях из-за наличия нелинейностей характер движений и фазовые портреты могут существенно отличаться от портретов линейных систем, при этом возможны следующие случаи:

1. Устойчивый граничный периодический режим с амплитудой колебаний а₁.

а₁

Рис. 1.4.1 а

При малых начальных отклоненияхсистема может оказаться неустойчивой. Поэтому согласно линейной теории колебания начинают расходиться, но из-за наличия нелинейности их амплитуда ограничивается предельной величинойа₁. При больших начальных отклонениях система становится устойчивой и колебания затухают, но не до нуля, а доа₁. Т.е. система генерирует колебания с постоянной амплитудой и частотой, которые называют автоколебаниями.

Картина фазовых траекторий, соответствующая такому случаю имеет вид (рис.1.4.1б).

В

а₁

близи начала координат имеют место спирали как в неустойчивой линейной системе с особой точкой «неустойчивый фокус». Но далее они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров.

К

Рис. 1.4.1 б

нему же приближаются спирали вне контура (устойчивый фокус). Т.е. на фазовом портрете нелинейной системы наблюдаются несколько особых точек линейных систем.

Устойчивым автоколебаниям на фазовой плоскости соответствует замкнутая траектория, к которой стремится изображающая точка, независимо от амплитуды начальных отклонений. Эта замкнутая траектория представляет первый тип особых линий и называется устойчивый предельный цикл. Размеры предельного цикла по осям координат представляют амплитуду колебаний а₁ и скорость её изменения. Для нахождения периода колебаний нужно решить дифференциальные уравнения системы.

2

а₂

Рис. 13

Рис. 1.4.2 а

. Неустойчивый граничный периодический режим с амплитудой а₂. Равновесное состояние (х=0) системы устойчиво в « малом», т.е. и неустойчиво в «большом», т.е.. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический режим собственного движения системы с амплитудой а₂.

а₂

Рис. 1.4.2 б

Система устойчива в «малом» и неустойчива в «большом», неустойчивому периодическому режиму соответствует 2-ой тип особых линий – неустойчивый предельный цикл.

3. Если переходные процессы имеют вид (рис.1.4.3 а), то на фазовой плоскости им соответствуют два предельных цикла (ПЦ): неустойчивый ПЦ с амплитудой а₁ (рис.1.4.3б) и устойчивый ПЦ с амплитудой а₂.

а₂

а₂

а₁

а₁

Рис. 1.4.3 а

а₁

а₂

Рис. 1.4.3 б бю

В соответствии с рис.1.4.3 б система устойчива в «малом» и автоколебательна в «большом».

4. Апериодические процессы.

В случае апериодических процессов также возможны устойчивые и неустойчивые предельные циклы, при этом при различных амплитудах начальных отклонений процессы могут становиться либо колебательными, либо апериодическими.

В нелинейной системе при больших отклонениях переменных колебательные процессы могут переходить в апериодические (рис. 1.4.4 а,). На фазовой плоскости наблюдается неустойчивый ПЦ (рис.1.4.4.б).

а₁

а₁

Рис. 1.4.4 б

Рис. 1.4.4 а

Система устойчивы в «малом» и неустойчива в «большом».

5. Система согласно линейной теории находится на границе устойчивости.

.

В

О

близи начала координат наблюдаем фазовые траектории типа «центр». При удалении от начала координат возникают два седлаС₁, С₂ , что приводит к фактической неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл А₁С₁А₂С₂, который образован двумя сепаратрисами С₂А₁С₁ и С₁А₂С₂.

Линии и , разделяющие фазовые траектории разных типов называют сепаратрисами – третий вид особых линий.

Рис. 1.4.5

6. Для ряда нелинейных систем с зонами нечувствительности (рис.1.4.6.а), люфтом, сухим трением характерно отличие от рассмотренных случаев, состоящее в том, что в них приближение к линейной системе наступает, при достаточно больших отклонениях переменных, т.е. их можно рассматривать как линейные в «большом», а не в «малом».

Рис. 1.4.6 а

Рис. 1.4.6 б

Наличие зоны нечувствительности проявляется в том, что установившемуся состоянию равновесия при данной нагрузке соответствует не одна точка на фазовой плоскости (рис.1.4.6.б), а отрезок состояний равновесия, т.е. изображающая точка попадает не в начало координат, а на отрезок покоя М₁М₂, при этом система не обладает асимптотической устойчивостью. Длина этого участка зависит от ширины зоны нечувствительности.