ТЭЦ

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО И СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Расчетно-графические задания по курсу «Основы теории цепей» для студентов направления 210400 «Телекоммуникации» и 210300 «Радиотехника» очной формы обучения

Красноярск 2011

УДК 621.3.029.6

Рецензент кандидат технических наук А. М. СЕРЖАНТОВ

(Сибирский федеральный университет)

Печатается по решению методической комиссии ИИТК

Расчет линейных электрических цепей постоянного и синусоидального то- ка: расчетно-графические задания по курсу «Основы теории цепей» для студентов направления 210400 «Телекоммуникации» и 210300 «Радиотех- ника» очной формы обучения/ сост. : Я.Ф. Бальва, А.С. Волошин; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. – Красноярск, 2011. – 37 с.

© Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2011

3

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Выполнение расчетно-графических заданий (РГЗ) является одной из форм учебной работы студентов в третьем семестре при изучении дисци- плины «Основы теории цепей».

Главное назначение расчетно-графических заданий – научить сту- дентов анализировать процессы, происходящие на участках цепей с сосре- доточенными элементами и источниками тока и напряжения; ознакомить с методами исследования различных физических величин при анализе ста- ционарных и переменных физических процессов, протекающих в электри- ческих цепях.

Данные методические указания имеют следующую структуру. Задание 1. Линейные цепи постоянного тока.

Задание 2. Линейные цепи синусоидального тока.

Каждое из двух расчетно-графических заданий снабжено соответ- ствующим теоретическим материалом, в краткой форме освещающим ос-

новные физические законы токов и напряжений на участках электрических цепей и представляющим методы анализа и расчета этих величин и специ- фику использования. Теоретический материал содержит примеры выпол- нения заданий.

Варианты заданий назначаются преподавателем во время семинар- ских занятий. Стоит отдельно отметить, что в обоих РГЗ каждому варианту заданий соответствует своя расчетная схема.

После выполнения расчетно-графического задания оформляется от- чет. К представленным на проверку РГЗ предъявляются следующие требо- вания:

а) Основные положения решения должны быть достаточно подробно пояснены;

б) Рисунки, графики, схемы, в том числе и заданные условием задачи

должны быть выполнены аккуратно и в удобном масштабе с указанием обозначений;

в) Расчётно-графические задания выполняются на листах формата А4 с обязательной нумерацией страниц;

г) Вычисления должны быть сделаны с точностью до третьего знака после запятой. Погрешность вычислений не должна превышать 5%;

д) Расчётно-графические задания должны быть датированы и подпи- саны студентом.

Образец оформления титульного листа отчета приводится в прило- жении.

Работа над расчётно-графическими заданиями помогает студентам проверить степень усвоения им курса, вырабатывает у них навык четко и

4

кратко излагать свои мысли. Для успешного достижения этой цели необ- ходимо руководствоваться следующими правилами:

1)Начиная решение задачи, указать, какие физические законы или расчетные методы предполагается использовать при решении, привести математическую запись этих законов и методов.

2)Тщательно продумать, какие буквенные символы предполагается использовать в решении. Пояснить значение каждого буквенного символа словами или же соответствующим обозначением на схеме.

3)В ходе решения задачи не следует изменять принятые направле- ния токов и наименование узлов, сопротивлений и т.д. Не следует изме- нять обозначения, заданные условием. При решении одной и той же задачи

различными методами одну и ту же величину надлежит обозначать одним

итем же буквенным символом.

4)Расчет каждой исходной величины следует выполнить сначала в общем виде, а затем в полученную формулу подставить числовые значения

ипривести окончательный результат с указанием единицы измерения. При решении системы уравнений целесообразно воспользоваться компьюте- ром, в частности пакетом MathCad, предназначенным для выполнения ма- тематических вычислений любой сложности, или известными методами упрощения расчета определителей (например, вынесение за знак опреде- лителя общего множителя и др., а еще проще методом подстановки).

5)Промежуточный и конечный результаты расчетов должны быть ясно выделены из общего текста.

6)Решение задач не следует перегружать приведением всех алгебра- ических преобразований и арифметических расчетов.

7)Для элементов электрических схем следует пользоваться обозна- чениями, применяемыми в учебниках по ОТЦ.

8)Каждому этапу решения задачи нужно давать пояснения.

9)В конце каждого РГЗ должны быть написаны выводы, обобщаю- щие результаты расчетов.

На выполнение каждого расчетно-графического задания отводится две недели с момента получения варианта задания. После проверки работы ее необходимо защитить. Защита производится во время семинарских за- нятий либо консультаций.

Для детальной проработки пройденного материала и приобретения дополнительных знаний студент может воспользоваться литературой биб- лиографического списка.

Методические указания предназначены для студентов направлений 210400 «Телекоммуникации» и 210300 «Радиотехника» очной формы обу- чения.

5

Расчетно-графическое задание 1

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Приступая к выполнению задания, студенты должны, прежде всего, ознакомиться с теоретическим материалом, который в краткой форме из- ложен в теоретических сведениях. Также следует обратить внимание на примеры решения заданий, которые сопровождают каждый из методов преобразования и расчета сложных цепей постоянного тока.

В основе всех предложенных методов лежат законы Ома и Кирхго- фа, а также принцип наложения (суперпозиции), поэтому отдельное вни- мание нужно уделить тому, как эти законы работают в том или ином мето- де расчета.

Краткие теоретические сведения и примеры решения задач

Методы расчета цепей постоянного тока используют системы урав- нений, записанные непосредственно на основании закона Ома и законов Кирхгофа.

1. Метод эквивалентных преобразований заключается в том, что участок схемы заменяется другим участком, таким образом, что напряже- ния и токи в остальной части схемы остаются неизменными.

Последовательное соединение. Участок цепи, содержащий несколько сопротивлений, соединенных между собой последовательно, может быть заменен эквивалентным сопротивлением, равным их сумме (рис. 1.1). В ре- зультате эквивалентное сопротивление можно найти как сумму последова- тельно расположенных сопротивлений:

Рис. 1.1

Параллельное соединение. Эквивалентная проводимость участка це- пи, все элементы которого соединены между собой параллельно, равна сумме проводимостей элементов (рис. 1.2):

6

n независимых контуров не должно остаться ветвей не входящих ни в один контур.

Пример. Найти токи во всех ветвях схемы, изображенной на рис. 1.4.

Решение. Выберем направления токов в ветвях, как показано на схе- ме (рис. 1.4). Схема содержит три ветви и два узла. Следовательно, для нее

можно сформулировать одно выражение для первого закона Кирхгофа и два выражения для второго закона Кирхгофа. Независимые контуры и направления их обхода выбираем в соответствии с рисунком. Получим си- стему из трех уравнений для трех неизвестных токов. Знак «–» в послед- нем уравнении поставлен потому, что направления токов и ЭДС не совпа- дают с направлением обхода контура.

3.Метод контурных токов. Метод контурных токов заключается

вследующем. Для цепи выбирается система независимых контуров. Каж- дому контуру приписывается контурный ток, циркулирующий в данном контуре. Выбирается направление контурных токов (произвольно). Если ветвь входит только в один контур, то ток в этой ветви равен контурному току. Если ветвь входит в несколько контуров, то ток этой ветви равен сумме контурных токов, проходящих через данную ветвь с учетом знаков и выбранных направлений. Контурные токи вычисляются из системы уравнений, составленной по определенным правилам. Система для вычис- ления контурных токов имеет вид:

8

Здесь R11, R22 и т.д. – собственные сопротивления контуров. Они равны сумме сопротивлений входящих в данный контур. Rij = Rji – взаим- ные сопротивления первого и второго контуров. Это сопротивления, кото- рые принадлежат как первому, так и второму контуру. Если направления контурных токов Iii и Ijj, протекающих через эти сопротивления совпадают, то взаимное сопротивление входит в систему со знаком «+», а если они противоположны то со знаком «-». Контурные ЭДС Е11, Е22 и т.д. равны сумме ЭДС, входящих в соответствующий контур. Если направление ис- точника ЭДС и контурного тока не совпадают, то вклад, соответствующей ЭДС, будет отрицательным. В случае, когда в схеме есть источники тока, контурный ток в контуре, содержащем источник тока, будет равен току источника.

Пример. Методом контурных токов определить токи во всех ветвях цепи, изображенной на рис. 1.5.

Решение. Данная цепь содержит шесть ветвей и четыре узла. Следо- вательно, мы можем выбрать три независимых контура. Обозначим токи в

ветвях I1, I2, I3, I4, I5, I6. Контурные токи обозначим I11, I22, I33. Выберем их направления, как показано на соседнем рисунке.

Составим систему уравнений для нахождения контурных токов.

ìR11I11 + R12 I22 + R13I33 = E11,

ïíR21I11 + R22I22 + R23I33 = E22 ,

ïîR31I11 + R32 I22 + R33I33 = E33.

Запишем систему уравнений в матричном виде.

9

Ее решение методом Крамера можно записать в следующем виде:

Теперь, когда найдены контурные токи, найдем токи в ветвях. Пер- вая, вторая и третья ветвь принадлежат только первому, второму и третье- му контуру, соответственно. Поэтому токи в них будут равны контурным, с точностью до знака. С учетом выбранных направлений получим I1 = I11 ,

I2 = −I22 , I3 = −I33 . Токи в остальных ветвях являются суперпозицией кон- турных токов протекающих через ветви: I4 = I33 − I11 , I5 = I33 − I22 ,

I6 = I11 − I22 .

4. Метод узловых потенциалов. При расчете цепей методом узло- вых потенциалов вычисляются потенциалы всех узловых точек цепи отно- сительно одного, произвольно выбранного (базового), узла. Затем при по-

мощи закона Ома и второго закона Кирхгофа могут быть вычислены токи во всех ветвях. Узловые потенциалы вычисляются из системы уравнений порядка m=q-1, где q – количество узлов в цепи. Неизвестными в этой си- стеме являются φ1, φ1,..., φm. Потенциал базового узла φ0 принимается рав- ным нулю. Система уравнений для вычисления узловых потенциалов име- ет вид:

Здесь Y11 Y22 и т.д. – собственные проводимости узлов 1, 2 и т.д. соот- ветственно. Они равны сумме проводимостей ветвей соединенных с соот- ветствующими узлами. Взаимные проводимости Y12 , Y21 узлов 1 и 2 равны сумме проводимостей ветвей непосредственно соединяющих узлы 1 и 2, взятой со знаком «-». То есть, все недиагональные элементы матрицы Y будут отрицательными. Величины J1, J2 и т.д. называются узловыми тока- ми. В их формирование вносят вклад ветви, соединенные с узлами 1, 2 и т.д. И содержащие источники ЭДС или источники тока. Вклад ветви, со- держащей источник тока, будет равен току этого источника, если источник направлен к узлу и току источника, взятого с обратным знаком, если ис-

10