ТЭЦ

Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

Среднее и действующее значение синусоидального тока и ЭДС.

Принято среднее значение функции времени определять за период

Для синусоидальной функции среднее значение за период равно ну- лю, поэтому используется понятие среднего значения синусоидальной функции за полпериода:

Аналогично, среднее значение ЭДС за полпериода Eср ≈ 0.638Em.

Действующим значением синусоидальной функции называется ее среднеквадратичное значение за период

Большинство измерительных приборов амперметров и вольтметров показывают действующее значение измеряемой величины.

Метод комплексных амплитуд. При использовании метода ком- плексных амплитуд действия с синусоидальными (косинусоидальными)

функциями токов и напряжений в ветвях электрической цепи заменяются действиями с комплексными числами, изображающими эти функции.

Чтобы пояснить сказанное выше, рассмотрим произвольный вектор

A& , изображённый на комплексной плоскости, независимо от его физиче- ского значения, можно разложить на составляющие a1 и a2, направленные по двум осям прямоугольной системы координат (рис. 2.2).

φ

a1 Re

Рис. 2.2

Ось абсцисс при символическом изображении векторов называют осью действительных величин, а ось ординат – осью мнимых величин, причем, составляющую вектора по мнимой оси выделяют посредством

21

Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической. Вообще, различают три формы записи комплексного числа: алгебраиче- ская, когда вектор, изображающий комплексное число описывают через

когда комплексное число описывается в полярной системе координат через длину вектора A& и угол его отклонения от вещественной оси φ. На осно-

вании формулы Эйлера: cos(j) + jsin(j) = e jϕ , - получают показательную

форму записи комплексного числа

но повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±β. Поэтому мно- житель e± jβ называется поворотным. В частном случае, когда β = π/ 2, т.е.

когда поворот вектора осуществляется на угол ±π/ 2, из формулы Эйлера следует:

Таким образом, умножение комплексного числа на множитель ±j означает поворот соответствующего вектора на угол ±π/ 2. Если аргумент поворотного множителя сделать функцией времени, например, β = ωt , то

вектор, будучи умноженным, на множитель вращения e jωt , превратится во вращающийся с угловой скоростью ω радиус-вектор, а выражение

22

называется комплексной функцией времени или комплексным мгновен-

ным значением и свидетельствует о том, что вектор A& вращается вокруг начала координат, начиная от исходного положения, соответствующего углу φ (см. рис. 2.3).

Производная от комплексной функции времени

где C – некоторая постоянная интегрирования.

Следовательно, дифференцирование и интегрирование функцией

времени в символической форме заменяют умножением или делением на jω исходных комплексных функций. Это обстоятельство позволяет алгеб- раизировать интегро-дифференциальные уравнения и существенно упро- стить расчеты.

a (t)

a2 (t) = A& sin (ωt + ϕ)

A&

ϕ

a (t)

Рис. 2.3

Если теперь изложенные математические основы символического метода перевести на «электротехнический язык», то применительно к напряжению получим:

– комплексное напряжение

23

где U&m = Ume jj – комплексная амплитуда напряжения, учитывающая ре-

альную амплитуду сигнала и начальный фазовый сдвиг.

– мгновенное значение синусоидального напряжения

u(t ) = Re(U&me jwt ) = Um cos(ωt + ϕ) .

Гармонический ток в сопротивлении. Если пассивный двухполюс-

ник представляет собой активное сопротивление R (рис. 2.4), то на основа-

нии закона Ома

ность фаз между током и напряжением φ = φu – φi = 0. На векторной диа- грамме (рис. 2.4) напряжение и ток совпадают по фазе.

Отсюда следует, что амплитуда напряжения

24

где X L = ωL - индуктивное сопротивление, обратная величина bL = 1/ ωL называется индуктивной проводимостью.

Гармонический ток в емкости. При подключении к источнику гар-

( )= du(t)

монического напряжения емкости в цепи потечет ток i t C dt .

Используя метод комплексных амплитуд, получаем:

где XC = 1/ ωC - емкостное сопротивление, а обратная величина bC = ωC называется проводимостью емкости.

25

Мощность в цепи гармонического тока. Активная мощность.

Среднее значение мощности за период, равное активной мощности

В отличие от цепи, содержащей только активное сопротивление, где PA = UI = RI 2 , теперь PA < UI .

Таким образом, активная мощность равна произведению действую- щих значений напряжения и тока, умноженному на cos φ, который носит название коэффициента мощности. Чем ближе угол φ к нулю, ближе cos φ к единице, тем большая активная мощность будет передаваться от источ- ника к нагрузке при заданном напряжении.

Реактивная мощность. Мгновенная скорость запасания энергии - реактивная мощность - имеет абсолютное значение

(ВАР).

Полная мощность. Величина, равная произведению действующих значений напряжения и тока на зажимах цепи S = UI, называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА).

Поскольку PA = UI cosϕ = S cosϕ , Q =UI sin ϕ = S sin ϕ, то очевидно,

что S2 = PA2 + Q2 , а tgϕ = Q / PA .

Энергетический расчет цепи гармонического тока может быть про- веден и методом комплексных амплитуд, если воспользоваться следую- щим приемом.

Пусть через некоторое комплексное сопротивление Z& под действием комплексной амплитуды напряжения U&m = Ume jψu протекает ток с ком- плексной амплитудой I&m = Ime jψi .

28

Найдем произведение из комплексной амплитуды напряжения и комплексного числа, сопряженного с комплексной амплитудой тока

Im = Ime− jψi .

Разделив полученное произведение на два, имеем

S& = Um2Im e j(ψu −ψi ) = Um2Im e jϕ = Um2Im cosϕ + j Um2Im sin ϕ = PA + jQ. (2.31)

Таким образом, вещественная часть полученного произведения равна активной мощности PA, а мнимая часть реактивной мощности Q.

На комплексной плоскости соотношение между мощностями может быть представлено в виде треугольника мощностей (рис. 2.8).

Если комплексно-сопряженное напряжение умножить на комплекс- ный ток и поделить полученное произведение на два, то получим:

Баланс мощностей. Теорема о балансе мощностей утверждает, что

сумма активных мощностей источников равна сумме активных мощностей нагрузки и сумма реактивных мощностей источников равна сумме реак- тивных мощностей нагрузки.

29

В левой части от знака равенства суммирование ведется по источни-

кам, в правой – по элементам цепи. E& и I& - комплексы действующих зна- чений напряжения и тока.

Пример. Методом комплексных амплитуд рассчитать цепь синусои- дального тока, изображенную на рис. 2.9.

Решение. Эквивалентное сопротивление разветвленного участка це-

пи: