Глава1. Виды и особенности нелинейных систем

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Основные причины нелинейности уравнений:

1. Переменные и их производные входят в уравнение нелинейно, т.е. не в первой степени .

2. Коэффициенты в уравнениях являются функциями переменных или производных.

Нелинейные уравнения, которые линеаризуются путем разложения в ряд Тейлора, называют несущественно нелинейными и, обычно, они исследуются методами линейных САУ как приближенно-линейные или линеаризованные.

Существенно нелинейные системы исследуются нелинейными методами. Процессы в нелинейных системах многообразнее, чем в линейных.

В нелинейных системах кроме областей устойчивости и неустойчивости, есть области граничных режимов, в которых возникают колебания с постоянными амплитудой и частотой (автоколебания).

Нелинейность свободного члена уравнения вида называют статической

. (1.1)

Нелинейность коэффициентов при производных и самих производных называют динамической

. (1.2)

1.1. Типовые нелинейные характеристики

Наиболее распространенные нелинейности представляют с помощью кусочно-линейной аппроксимации в упрощенном виде и называют типовыми.

x y

Н.Э.

Н.Э. – нелинейный элемент.

Насыщение или ограничение- нелинейность любого усилителя мощности
y x b -b c -c
Зона нечувствительности 1-го рода
y x kc -kc c -c Пример: устройство передачи колебаний входной оси на маятник
Зона нечувствительности 1-го рода и ограничение
y x kc -kc c -c b -b Пример: пневмо- или гидроусилитель с управляющим элементом типа « сопло-заслонка»
Реверс
b -b y x
Идеальная релейная характеристика, зона нечувствительности 2-го рода, трёхпозиционное реле
y x b -b c -c
Рассмотренные характеристики являются однозначными, т.е. каждому значению входной величины соответствует единственное значение выходной. Характерным признаком неоднозначных нелинейных характеристиках является наличие петли на графике. К неоднозначным НЭ относятся, например, люфт и характеристика реального трехпозиционного реле, у которого ток срабатывания не равен току отпускания.
Люфт, зазор, сухое трение
y x kc -kc c -c
Характеристика реального 3х-позиционного реле
y x b -b mc c -c -mc

К нелинейным также относятся звенья с переменной структурой (рис.1.1.1). При изменении знака входного напряжения ключевой элемент (диод) изменяет величину сопротивления резистора, т.е. величину постоянной времени.

Рис. 1.1.1

Динамически нелинейным является, например, звено с изменяющейся постоянной времени

.

Особенность такой динамической нелинейности по сравнению с линейным звеном с переменным параметром вида

состоит в том, что в системе с переменным параметром фигурирует зависимость коэффициентов от времени, в то время как в нелинейности коэффициенты зависят от переменных или производных.

Нелинейности могут быть естественно присутствующими, они зачастую вредны, и искусственно вводимыми для придания системе желаемых динамических свойств.