- •Теория автоматического управления теория нелинейных автоматических систем
- •Глава1. Виды и особенности нелинейных систем
- •1.1. Типовые нелинейные характеристики
- •1.2. Фазовое пространство и фазовая плоскость
- •1 .3. Типы особых точек и фазовые траектории линейных систем
- •1 .4. Особые линии в нелинейных системах
- •Глава 2. Фазовая плоскость систем, описываемых уравнениями с неаналитической правой частью
- •2 .1. Исследование системы со скользящим режимом
- •2 .2. Исследование релейной системы
- •2 .3. Многолистное фазовое пространство
- •4 .3. Алгебраический метод определения симметричных автоколебаний и их устойчивости
- •4 .4. Частотный метод определения автоколебательных режимов и их устойчивости (метод Гольдфарба л.С.)
- •4 .5. Учет временного запаздывания в нелинейной системе
- •Автоколебательных режимов.
- •2 -Ой метод:
- •4 .7 Несимметричные автоколебания в нелинейных системах.
- •4 .7.1 Гармоническая линеаризация нелинейностей
- •4.7.2 Определение периодических режимов при несимметричных колебаниях
- •6.1. Выбор корректирующих устройств, препятствующих возникновению автоколебаний в нелинейных системах
- •6 .1.1. Выбор линейных последовательных корректирующих устройств
- •(Местных обратных связей)
- •6 .2. Системы с переменной структурой (спс)
- •6.3. Исследование системы с переменной структурой методом фазовой плоскости
- •6 .4. Псевдолинейная коррекция
- •Глава 7. Исследование устойчивости нелинейных систем.
- •7.1. Устойчивость нелинейных систем. Функции Ляпунова а.М.
- •7.2. Теоремы Ляпунова (прямого метода Ляпунова)
- •7.3. Выбор функций Ляпунова
- •7.4. Частотный критерий абсолютной устойчивости
- •7.5. Сравнение методов анализа устойчивости нелинейных систем
- •Глава 8. Исследование устойчивости переходных процессов в нелинейных системах.
- •8.1. Абсолютная устойчивость процессов в нелинейной системе
7.5. Сравнение методов анализа устойчивости нелинейных систем
Рассмотрим область устойчивости (рис.7.5.1) на плоскости обобщённых параметров α, β нелинейной системы. Из рассмотренных методов анализа устойчивости нелинейных систем только с помощью метода фазового пространства можно найти точную границу устойчивости. Этот метод позволяет найти как необходимое, так и достаточное условие устойчивости.
Прямой метод Ляпунова и частотный критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова позволяют найти только достаточное, но не необходимое условие устойчивости. При этом области устойчивости (1 и 2) получаются меньше, чем действительная граница, но эти методы гарантируют устойчивость этих в областях (1 и 2). В общем случае метод Ляпунова дает более узкую область достаточных условий, чем метод В.М. Попова. Метод гармонической линеаризации в зависимости от степени выполнения условия фильтра дает приближенное значение области устойчивости, однако, он не гарантирует устойчивость в данной области. Т.е. построенная с помощью метода гармонической линеаризации область устойчивости (3) может быть шире, чем в действительности.
Нанести параметры α, β
1 – граница по методу В.М. Попова
2 – граница по методу Ляпунова
3
Д.Г.У.
Д.Г.У. – действительная граница
устойчивости
Рис. 7.5.1
Глава 8. Исследование устойчивости переходных процессов в нелинейных системах.
8.1. Абсолютная устойчивость процессов в нелинейной системе
f(x)
W(S) g
- - -
r
r
Рис. 8.1.1
Выполнение в нелинейной системе (рис.8.1.1) только условий абсолютной устойчивости положений равновесия может не обеспечивать абсолютной устойчивости процессов, вызванных каким-либо ограниченным по модулю воздействием g(t).
Б.Н. Наумовым и Я.З. Цыпкиным был предложен критерий абсолютной устойчивости процесса в системе с однозначной нелинейностью.
Основные положения:
1. Для абсолютной устойчивости процессов в системе с одной однозначной нелинейностью достаточно, чтобы при заданном преобразованная передаточная функция линейной части была устойчива, частотная характеристика W(jω) при всех удовлетворяла бы условию . (8.1.1)
2. Нелинейная однозначная характеристика должна отвечать условию :
(8.1.2)
Т.е. производная нелинейной характеристики (крутизна ) должна лежать в секторе (r, k).
В
Из условия (8.1.4) следует, что процессы будут абсолютно устойчивы, если АФХ расположена правее прямой
П
Рис. 8.1.2
(8.1.5)
(8.1.6)
Найдем на комплексной плоскости и геометрическое место точек, соответствующее постоянным значениям A=const. Для этого заменим в выражении (8.1.5) знак неравенства на знак равенства. Затем, подставляя выражение (8.1.6) в выражение (8.1.5), прибавив и отняв , выделив действительную часть и приравняв ее к нулю, получим:
(8.1.7)
Выражение (8.1.7) описывает семейство окружностей с радиусом , проходящих через точку с координатами и лежащих левее прямой (семейство А-окружностей).
Нанести точки А1 А2 А3
jkV
С истема обладает абсолютной устойчивостью.
Д
kU - А1 - А2 - А3
П
Рис. 8.1.3
Исследование абсолютной устойчивости процессов по ЛЧХ
(логарифмический критерий абсолютной устойчивости)
Рассмотрим систему с устойчивой линейной частью и нелинейностью, отвечающей условию . (8.2.1)
Условие абсолютной устойчивости имеет вид:
(8.2.2)
Частотные характеристики линейной части представим в виде:
(8.3.3)
Условие (8.2.2) с учетом (8.3.3) можно заменить равноценным условием
(8.2.4)
Условие (8.2.4) автоматически выполняется в диапазоне частот, где , поэтому необходимо исследовать систему лишь при значениях
(8.2.5)
Следовательно вместо условия (8.2.4) можно потребовать выполнения равносильного ему условия:
(8.2.6)
Если перейти к логарифмическим характеристикам, получим:
(8.2.7)
(8.2.8)
–логарифмическая характеристика критического коэффициента передачи H*(ω).
Формулировка критерия: При ограниченном возмущении g(t) и нелинейной характеристике, удовлетворяющей условию (8.2.1), для абсолютной устойчивости процессов в системе достаточно, если в диапазоне частот, где выполняется условие (8.2.5), нормированная ЛАХ не пересекает ЛАХ критического коэффициента передачи , т.е. условие устойчивости кратко можно представить:
При практическом использовании ЛАХ обычно строят (рис. 8.2.1) в диапазоне углов: по формуле (8.2.8).
При углах меньших и больших условие (8.2.4) выполняется автоматически и проверки не требует..
Рис. 8.2.1
Рис. 8.2.2
По характеристикам и можно определить величину смещения , обеспечивающую абсолютную устойчивость процесса.
Если обозначить через K коэффициент передачи линейной части в точке касания и , то .
Пример
(8.2.11)
20 1 10 0.1 L=20
lg э 40 10 100 Lкр() L() -1 -2 -1
() -3 Рис. 8.2.3
Условие устойчивости выполняется. K можно еще увеличить на , чтобы увеличить быстродействие и точность.