7.2. Теоремы Ляпунова (прямого метода Ляпунова)

1. Об устойчивости нелинейных систем: если при заданной форме (7.1.9) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова , чтобы производная от нее по времени была знакоопределенной или знакопостоянной, но противоположного знака, чем , то такая система устойчива.

Если W – знакоопределенная функция, то имеет место асимптотическая устойчивость.

Пример:

порядок системы n=3

(7.2.1)

где a,b,c произвольно заданные вещественные числа.

Будем придавать V возрастающие положительные значения

(7.2.2)

Первая точка соответствует началу координат

В остальных точках получаем уравнения, которые определяют поверхности эллипсоидов в фазовом пространстве, причём каждый последующий эллипсоид полностью содержит в себе предыдущий. Эллипсоиды между собой не пересекаются.

V=d₃

d₂

d₁

Рис. 7.2.1

Найдем производную от функции Ляпунова по времени

(7.2.3)

Допустим, что при положительно определенной функции Ляпунова, полученная таким образом производная окажется знакоопределённой отрицательной, т.е.

(7.2.4) во всех точках исследуемой области фазового пространства, кроме одного только начала координат, где

При любых начальных отклонениях изображающая точка М в силу условия (7.2.4) в дальнейшем будет двигаться по траектории от большего значения V к меньшему. При этом она будет пересекать поверхности эллипсоидов извне внутрь, и при знакоопределенной функции W через некоторое время попадет в начало координат, а это означает затухание всех отклонений .

Если W – знакопостоянная функция, то траектория точки М не везде будет пересекать поверхности , а может касаться их в точках, где W=0, при этом необходимо проверить, не “застрянет” ли точка М в точках, где W=0.

Замечания к теореме Ляпунова:

а) Данная теорема дает достаточное условие устойчивости, но не необходимое. Т.е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчива, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам.

б) Понятие устойчивости по Ляпунову допускает, чтобы при знакоопределенной функции V, ее производная W была не только знакоопределенной или знакопостоянной, но и тождественно равной нулю W0, в этом случае изображающая точка М будет оставаться на поверхности того эллипсоида V=const, куда ее забросили начальные условия.

2. Теорема Ляпунова по неустойчивости нелинейных систем: если при заданной форме (7.1.9) уравнений системы n-го порядка можно выбрать такую знакоопределенную производную от функции Ляпунова V по времени , что в некоторой области вокруг начала координат функция Ляпунова будет иметь знак, совпадающий со знаком функцииW, то такая система неустойчива.

Пример:

Р

x₂

V=0

V<0

ассмотрим систему второго порядка.

V>0

V>0

x₁

Д

V=0

V<0

M

Рис. 7.2.2

°

опустим, что – знакоопределенная положительная, а а а – знакопеременная функция . Пусть при этом линии на фазовой плоскости располагаются как указано на рис.7.2.2. т.е. имеются области где V>0 и V<0.

В силу положительности W, изображающая точка М будет пересекать параболы равных значений V=const от меньших значений к большим, удаляясь от начала координат, что соответствует о неустойчивости системы.