книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

-f-Csinx)00^

In sin x (sin у •In sin x — cos y)dy2. 11.5.21. dz — dx — 3 cosу

d2z = 3sinydy2. 11.5.22. dz = ~2(x*+y) ’

d2z = & -■

2a;2)dx\ r

11.5.25. y' = 0, y" = xj" = - 2

2(æ + у)2

3-

y"(2) = —5. Указание. Из 2x + 2xjy' +

®

+

=г/

0 с учетом x2 •+.yZ

получить у' =

или x + уу' = 0. 11.5.29. xj' = - ÏP + U -

xj" =

../// _

162.x

У

2

J

(* + 2

-

^ n

_ ?y“ 1— In x

-

m

г

v

"

( 11-5^-30-

^ Г

' ?

/1i

„ _

y2[y(l - lnx)2- 2(x -

y )(l -

ln x)(l -

Iny) -

x (l -

ln?/)2l

V ~

x4(l — Iny)2

11.5.32.

y' = - U , у" = Щ. 11.5.33. xj' = -1 , xj" = 0. 11.5.34. y' = -2£

x

X

x '

y" =

11.5.37. dz = - ^

{ ^

+ 'J$ L)>

11.5.40. dz = dx - ,

(-T r 2)f ?/

^ = 2(х7,*Ху % Щ - * ? Р &

du2

(x -

zY + y(y + 1)

[(x - г)2+ 2/(y + 1)]3

dy ■

11,5*48,

(x - y)m+n+1

■

11.5.51. -~9!/d x+ ajf)10. 11.5.52. 2 ^4 + ^ 4 + ^ 4 -

(x + y)

x

y

z

___ 2jy(2xsin

2/cos dx2+4x(2ycos

xsin

dxdy~4x2cos ^

dt/2

1 1 . 5 . 5 7 » ■

— 1 . ■ .

■

“ *■

'•* ,

11.5.58.

ету [(1 + xi/)dx2 + г( J

+ ж -

-k ) d x d y + (х2 -

^

| dy2] .

1 1 .5 .59 .

zi

=

4х3 4- 9х2у - 8ху2 - 5у3, zj, =

Зх3 - 8а;*2?/ 4- 15х?/2 -

4т/3,

=

1 2

х 2

4- 1 S ху — 8Î/2, zij, =

9:с2 — 1 6 х т /

+

1 5 т / 2 , z^o =

—8х2 4- ЗОху — 1 2 t / 2 ,

2 " ' у =

1 8 а :

-

1 6 у , z i " 2 = 1 8 х -

1

6

y f

*

i "

2

=

- 1

6 a : + 3 0 y . 1

1 . 5 . 6 0 . z''2 = y 2 e * * ,

z”y = cxy{xy + 1), z"2 = x2exy.

1

1

. 5

. 6

1

.

(1 -

x2y2z2) cosxt/z —3xyzsmxyz.

d 2z _

d “ z ( du\~

,

о

d~z

du dv

,

d~z ( dy\~

.dz d u

,

dzd

v

dy?

d û r \ d y )

dudv dy dy

d ïr

\dy J

+ du fyj1 ^

dv dÿ2 '

d 2z

_ d 2z du du

,

d 2z

f du dv

, dv d u \ .

d 2z dv dv

,

dz d

2u

dz

d 2

dxdy

dit2 dx dy ^

dudv \ dx dy

dxdvdy2Jdx лdy

du dxdy ”t’ dv dxdy *

1 1 .5 .6 5 . 0

= I * ’ 0

+ * » ^ f c + »2 d’~£Z , o #Z

3 2z =

+ x2^ 4 + 2 ^

dy

+

в 7

+ ^0и’

ôxôy "

4x2/0

+ 2(x" + y 2 ) dudv

+~г

z

| dz

?

+ du*

*■ “ * "

11.5 .66 .

4 -4 = 4 4

+ 4 4

+ 2 _0 2z

_!lz_ _ 0‘z

d 2z

0X“

dv2

dudv’ dxdy

d x 2

dv2 ’

^-| =

+

|jj| -

11.5.68. sin(x + 2i/3) dx3 + 12j/sin(x + 2y2) dx2 dy+

+[4Sy2 sin(x 4- 2y2) — 12 cos(x 4- 2y2)] dx dy2+

+[64?/3 sin(x 4- 2y2) -

487/ cos(x 4- 2?/2)] c/y3.

§ 6. Производная по направлению. Градиент

11.6 .5 .

Линия уровня, проходящая через Л, — это окружность х 2 4- у2 = 2,

координат £

= tgc (х ф 0), gradz = ( —

т

Ь ) ’

g r â d z (l;l)=

( - ! ; ! ) , g - ^ z ( l ; - l ) =

( j l j ) -

11 .6 .7 . grâdz(4;2) = (2; 4).

1 1 .6 .8 .

11 .6 .10 . ^ d z

= (2;2;2),

%

= 2

+ x/2.

11 .6 .11 . grâcltt = (±4j0;0).

§ 7. Экстремум функции двух переменных

11 .7 .2 . 2(х -

I)3 4- (х -

1)2(у 4- 2) - 4(х -

1)(у 4- 2)2.

1 1 .7 .3 .

1 4- (х 4-1) 4- 2(у + 1) 4- (х 4-1)2 - 3(х 4-1 )(у 4-1)4- 2(у 4-1)2. 11 .7 .5 . 2,86.

1 1 .7 .6 .

0,503. 11.7 .8 .

^

— стационарная точка, удовлетворяющая

условию минимума, f mm(x]y) = / Q ;

11 .7 .9 . Функция имеет

(уравнение определяет две однозначные функции). 11 .7 .36 . 2( —1; 2) =

—2 или

2(—1; 2) = 2. 11.7.37.

— точка максимума. 11 .7 .38 . (а;а) — точка

минимума. 11.7.39 . ( ^

; ^ ) ,

-

- точки максимума,

~ ^ ) > ( —

— точки минимума.

11.7 .40 .

г тлх = z ( - | ;

= п ,

*min =

| )

=

1. 11 .7 .41 . Куб.

11 .7 .42 .

V2V х V2V х zi y W

11 .7 .43

. Куб. 11

.7 .44 . а- + оïf + с- =

1.

11.7.45.

Размеры параллелепипеда:

где а, Ь, с —

соответственные полуоси эллипсоида. 11

рб

.7 .46 . / тах = ijft-