книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

z = r(cos ip + i sin ф)

(1.2)

называется тригонометрической формой.

Аргумент ip определяется из формул cos</? =

sin<^ =

где г =

= \Дт2 + у'2. Аргумент z можно найти, используя формулу tgip =

так

как —7г < argz ^ тг, то из формулы tgip =

^ находим

ai'ctg %,

при х > 0;

<р = arg z = < arctg JL +

7г,

при х < 0,

у > 0;

(1.3)

arctg ^4 —7г,

при х < 0,

у < 0.

^

Запись числа z в виде

2

= т1{р

или

z = |z|eiarg~

(1.4)

называют показательной формой (или экспоненциальной)

комплексного числа.

10.1.1.

Следующие комплексные числа изобразить векторами и запи­

сать в тригонометрической и показательной формах:

a)

z = 2 + 2г;

б) z =

— 1 + г%/3;

в)

z =

—5г;

r) z = —3 —2г;

д)

z =

- 3 ^cos 5 -

г sin ^ .

б) Для

z =

- 1

+ гУ3 имеем г

=

+ (у/$р

_

У> = arctg^-^j-^

+ тт = |я. Значит,

—I + i\J3 = 2^cos ^7г + гsin

= 2е*'$п

в) Имеем: г = V0 + 25 = 5, у? =

Значит,

—5г = 5 (c°s( - ^ )

+ zsin^—

= 5е~г^.

г ) Имеем:

г

=

> / 9 + 4

= л / 1 3 ,

(р

= a r c t ê ( - 5 ^ ) -

7г = :

о

7г. Значит,

= arctg ^ -

Рис. ИЗ

д)

Запись z = - 3 ^cos ~ г

sin ^ не является тригонометри­

Перепишем z в виде z = 3

cos ^ + i sin ^ . Надо найти

углом

к действительной оси.

в) Неравенство 0 ^ lm z < 1,5 можно переписать так 0 ^

^ У <

1,5.

Рис. 114

Множества точек а)-д) изображены на рис. 114.

#

а)

\z\ > 2;

б)

|Imz| < 2 ;

в)

< arg.z < 0.

10.1.11.

Найти все значения аргумента комплексного числа:

а )

- 6

;

б) cos ^ + г sin

10.1.12. Найти

главное значение аргумента комплексного числа

г(cos tp + i sin <р), если:

а)

sin у? =

-0 ,5 ;

б) sin у? =

0,5, cos (р =

10.1.13.

Представить в тригонометрической и алгебраической формах

числа:

а)

5е~%г;

б)

-2(cos30° + г sin 30°).

10.1.14.

Представить в тригонометрической и показательной формах

числа:

а) - 3 + 4г;

б)

3(cosl0° - г sin 10°);

в)

1 + г •tg l.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

10.1.15.

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

а)

1 + cos 22° + гsin 22°;

б)

sin ip + г cos р\

в)

1 - г tg a, если а е ^ ;7 г );

• • 4

7Г — t Sin g 7T

10.1.16.

Найти наибольшее и наименьшее значения |z|, если z = 2 sin а +

+ i cos а.

10.1.17.

При каких значениях х и у комплексные числа z = х + 2г и

z =

4 +

л/Зт/г.

а) равны?

б) сопряжены?

10.1.18.

Могут ли быть сопряженными: два действительных числа? два

чисто мнимых? действительное и мнимое число?

1 0 .1 .19 .

Пусть argz = ^7г. Чему равен argz?

1 0 .1 .20 .

Какое из чисел больше: z = 2 —г или z = —2 4- г?

1 0 .1 .21 .

Каковы условия равенства комплексных чисел, заданных в

тригонометрической форме?

zn = (г(cos ip 4- г sin у?))n = rn •(cos mp 4- isinnt/?).

(2.6)

Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме,

осуществляется по формуле

*1

п

<р2) + isin(<pi - ip2)).

— =

— •(cos(<£i -

z2

т2

,лг-

„

------------- —-----г

п Г -(

Ф + 2к7г

. .

(р +

2ктг\

y z — y/r(cos<p 4- гsin у?) =

y r f c o s --------------h гsin------------),

\

п

п

/

где fc = 0,

1,

2, 3

,

( 2 . 7 )

10.2.1. Найти z\ + 22, Z\ —22, Z\ - 22,

если z\ = 1 4- 2г, 22 = 2 — г.

z\+ 22 = (1 + 2г) + (2 — г) = 3 + г;

Z\ —22 =

(1 + 2г) —(2 —г) =

—1 + Зг;

21

22

= (1 + 2г) •(2 —г) = 2 — г + 4г — 2г2 = 4 + Зг;

£i __ (1 + 2г)(2 + г) _

5г

_ .

^

22

(2 - г )(2 + г)

5

10.2.2. Найти ( - 1

-

г>/3)15.

к| = г = >/1 + 3 = 2, arg2 = = tg

-7Г = -|7г, т.е.

( - 1 — гл/З)15 = [^ (cos( “ | 7r) + îsin (" " § 7r) ) ]

=

= 215 •(cos(—Ю7Г) + isin(—Югт)) =

215(1 + 0г) = 215 = 327G8.

10.2.3.

Вычислить:

10.2.4.

Вычислить:

1 — Зг.

а)

(1 —г) •(—3 + 2г);

a) i £ f +

2г 7

6) l ± ^

+ (1 _ i)2 .

б)

г2 + г3 + г4 + г5.

10.2.5.

Найти:

10.2.6.

Найти:

'

1 + г______ .

б)

(1 + г)10.

(y /3 + i ) ( l + i y / 3 ) '

б) ( - 1 + г')5.

10.2.7.

Доказать, что:

10.2.8.

Доказать, что:

а)

2i + 22 = zi + 22;

а)

Rez = ^ ± I ;

б )

2 i * 2 2

— 2 i •22*

б)

ki •22| =

k iI •kal-

10.2.9.

Вычислить: г •г2 •г3 • ... г100.

10.2.10.

10.2.11.

О Перепишем уравнение в виде 2 =

32. Число (—32) пред­

ставим в тригонометрической форме:

-3 2

= 32(cos7r + zsin7r).

г =

ъГ^й---------------\

o f

тг +

2тгА :

. тг +

2тгА :

v32(cos7r

4- г sin тт) =

21 cos-----3------- h г sin-----

).

где к =

О,1,2,3,4 .

Полагая & = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 , получим

zo =

2 ^cos ^ 4- гsin

«

1,6180 4- 1,1756 •г,

гх =

2^cos ^

4- гsin

« -0,6180 4- 1,9021

г,

г? =

2(cos я + г sin тг) = —2,

г3 =

2 fcos ^

+ г sin ^ -)

и -0,6180 -

1,9021 •г,

\

О

D /

Z4 =

2^cos ^

4- г sin

« 1,6180 - 1,1756 •г.

Найденным корням уравнения соответствуют вершины

правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса

R = 2 с центром в начале координат (рис. 115).

®

10 .2 .12 .

Найти действительные решения уравнения:

а)

(1 + г)х 4- (1 -

г)у = 3 - г;

б)

х 4- у 4* гху =

г.

10 .2 .13 .

Найти:

а) действительные решения;

б) комплексные решения

/ (2 4- г)х 4- (2 -

г)у =

6,

системы уравнений | (3 + 2г> + (3 _

2i)y

= g

Рис. 118

в)

Изобразим на отдельных рисунках множества точек, удо­

Рис. 119

Находим пересечение трех полученных областей — это и

будет искомое множество (выделено на рис. 119).

#

10 .2 .19 .

Изобразить на рисунке множество точек z, удовлетворяющих

условию \z —3| = 2 •\z\.

10 .2 .20 .

Изобразить на комплексной плоскости множество точек г, для

которых выполняется условие |3 + iz\ ^ \z\.

Дополнительные задачи

10 .2 .21 .

Найти Re z и Imz, если

а) г = (2 — г)2 •(3 + 4г);

б ) 2 = j « + i ± j , .

10 .2 .22 .

Решить уравнения:

а)

z2 + z = 0;

б)

\z\ - 3z = -12г.