книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf§4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖ НЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Случай одной независимой переменной
Предположим, что 2 = /(я ; у) — дифференцируемая функция двух переменных я и у в некоторой области £>, а аргументы я н у являются
дифференцируемыми функциями некоторой переменной £, т. е. я = я(£),
у = y (t). Тогда z = f[x (t);y (t)\ |
= ip(t) — функция одной переменной t. |
|||
Теорема 11.9. Имеет место равенство |
|
|||
, |
dz _ |
dip _ |
d z dx |
d z dy |
Z |
dt |
dt |
d x dt |
dy dt ’ |
Если t совпадает с одним из аргументов, скажем, t = я, то |
||||
|
dz |
_ d z |
d z dy |
|
|
dx |
d x |
dy dx |
|
и ^ называется полной производной функции z по я.
Случай нескольких независимых переменных
Если аргументы я и у функции 2 = f(x \ y ) являются функциями
двух переменных, скажем, я = x (u ;v ), у = y(u\v), то z = f[x (u ; v)\y(u\ v)] также является функцией двух переменных и и v.
Теорема 11.10. Пусть z = f( x ;y ) , |
я = x (u ;v ), у |
= y (u ;v ) — диффе |
||||
ренцируемые функции своих агрументов. Имеют место формулы |
||||||
d z _ d z d x |
d z dy |
|
d z __ d z d x |
d z dy |
||
du |
d x du ^ |
dy du |
И |
dv |
d x dv |
+ dy dv |
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.
Дифференциал сложной функции
Дифференциал |
сложной |
функции |
z = z(x\y), где я = я(и;и), у = |
= у (и; v), можно получить, если в формуле дифференциала |
|||
|
, |
d z . |
d z . |
|
dz = — dx + -z-dy |
||
|
|
d x |
dy |
заменить dx = |
+ |
|
|
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть PQ(XO; T/оî ZQ) фиксированная точка на поверхности Г, заданной функцией z = f{x\y) или уравнением F(x\y\z) = 0.
^Касательной плоскостью к Г в точке Ро называется плос кость t, проходящая через точку Ро и такая, что угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через Ро и любую точ ку Р поверхности Г, стремится к нулю, когда Р стремится к Ро вдоль Г. Нормалью называется прямая п, проходящая через Ро перпендикулярно t.
Из определения t и п следует, что нормальный вектор касательной плоскости t и направляющий вектор прямой п совпадают.
Уравнения t и п имеют вид:
а) если Г задана явно функцией z = f{x;y), то:
(0 |
z - z 0 = z'x(xo\yo)(x - |
х0) + |
4 (яо; 2/о)(з/ - 2/о), |
||
(п) |
-Р- s o - |
У ~ Уо |
- |
z ~ ZQ- |
|
W |
гвх(х0\уо) " |
*Й*о;Уо) " |
" |
1 ’ |
|
б) если Г задана уравнением Р (х; у; z) = 0, то:
(t)F!c(xQ]yoizo){x-xo)+F{J(xo;yo)Zo)(y-yo)+F,z{x0]yo;zo)(z-zo)=0,
(п) |
х - х п |
_ |
У -Уо |
_ |
Z - ZQ |
|
|
|
v ' |
F^(x0]y0;z0) Fy(xoiyo;z0) P<(^o;2/oi^o)' |
|
||||||
11.4.1. |
Найти производную |
|
функции z = |
ех~+у~, если х = a cost, |
||||
|
у = asin£. |
|
|
|
|
|
|
|
|
О В этом примере подстановка х п у в z приводит к z(t) |
= |
||||||
|
_ ga(cos2t+sm21) _ ea |
Следовательно, ^ |
= 0. |
• |
||||
11.4.2. |
Найти |
если z = |
x5 + 2x?/ - |
y3, и x = cos2£, 7/ = arctg£. |
|
|||
ОНепосредственная подстановка очевидно не упрощает
функцию Действуем согласно теореме 11.9.
Рх = Ь ^ + 2у, |
dz |
о |
с/х |
= -2 s in 2 1, |
dy_ = |
1 |
- = 2 x - Z y - , |
— |
dt |
1 + r |
|||
|
ay |
|
ai |
|
||
В результате можно как сохранить переменные х ит / , так и заменить их через £ (в зависимости от того, что проще). Ответ оставим в таком виде:
|
= -2 (5 х 4 + 2у) sin2£ + (2х - Зу2) |
• |
• |
11.4.3. Найти |
если z = ху + xyv + yuv, а x = sin t, y = |
ln t, и = |
ê , |
v —arctgt. |
|
|
|
|
|
|
О Имеем || = y+yv, || = x+xv+uv, || = yv, || = xy+uy. |
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
dy |
1 |
|
du |
t |
dv |
1 |
|
|
|
|
|
l t =C0St’ |
d t ~ l ' |
dt ~ G' |
dt ~ l + t2' |
|||||
|
|
|
Составим соответствующую сумму произведений |
|
|||||||||
|
|
|
|
dz |
= 2/(1 + |
v) cos t + (x |
|
|
1 |
+ yve1 + |
ip |
||
|
|
|
|
— |
+ xv + uv)- |
-— д y. • |
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
t |
|
14“ t |
Найтиесли z = z(x;y), x = |
x(£), 2/ = y(t): |
|
|
|
|
||||||||
11 .4 |
.4 . |
z = |
x2 + y2 + xy, x = |
a sin £, 7/ = |
a co st |
|
|
||||||
11 .4 |
.5 . |
г = |
cos(2£ + 4x2 - |
?/), x = |
j , |
2/ = |
|
|
|
||||
11 |
.4 |
.6 . |
z = x2y3u ,x = t, |
у = t2, |
u = sint. |
|
|
|
|||||
11 .4 |
.7 . |
2 = |
exy ln(x + 2/), x = |
£3, |
г/ = |
1 — t3. |
|
|
|
||||
11 |
.4 |
.8 . |
2 = x7/arctg(xî/), x = |
£2 + |
1, |
y = t3. |
|
|
|
||||
11 .4 |
.9 . |
2 = |
e2x_3y, x = tgt, |
y = |
t2 - |
t. |
|
|
|
|
|||
11 |
.4 |
.10 . |
2 = |
x y, x |
= ln£, ?/ = |
sin£. |
|
|
|
|
|
||
11 |
.4 |
.11 . |
Найти ^ |
и |
если 2 = З*2 arctgу, |
x = |
у = uv. |
||||||
ОПрименим формулы из теоремы 11.10:
92 |
_2 |
|
f)z |
з*2 |
d i = 3 |
ln3 arctgî/, — = |
1 + y2 ’ |
||
9x __ 1 9x |
u |
dy |
dy |
|
9u |
г>’ |
v2 ’ |
d u ~ v' |
d v ~ u’ |
Составляем суммы соответствующих произведений:
dz __ 2 2х In 3 arctg у |
3х- |
ÔU ---------- ; ---------+ T T ? V’
dz |
__ |
2 2xu In 3 arctg ?/ |
З*2 |
a ; |
- ' 3 |
-----------? --------- |
+ Г Г ? “ - |
Ответ можно оставить в такой форме, или выразить через и uv (т. е. основные переменные):
/ |
<-»U _ |
^ |
|
|
|
|
= ^^2 |
’ 3 ^ In 3 arctg(tw) + |
2 |
|
|
/ |
о^2 |
u** |
JJ |
ц2 |
^ |
гг; = |
_ 2 “ з * 3 ^ In 3 arctg(iw) H---------- |
|
ô-s- •3^ . |
• |
|
|
v |
|
1 + U V |
|
|
1 1 .4 .1 2 . Найти дифференциал функции 2= — , если x = u —2v, y=2u+v.
Для данных z = f(x;y), х = x(u;v), у = у{гци) найти |
^ |
и dz: |
|||||
11.4 .14 . |
z = х3 + у3, где х = |
ш;, ?/ = |
|
|
|
||
11.4 .15 . |
г = |
у/х2 — у2, где х = г/и, т/ = ulnv. |
|
|
|||
11.4 .16 . |
2 = |
cosxy, где х = гле1’, у = vin и. |
|
|
|||
11.4 .17 . |
2 = arctgxj/, где х = |
\/м2 + и2, у = и —v. |
|
|
|||
11.4 .18 . |
2 = |
у/х + 2/, где х = и tgv, ?/ = uctgv. |
|
|
|||
11.4 .19 . |
2 = |
In \/х2 + 3у5, где х = и cosv, у = usinv, |
|
|
|||
11.4 .20 . |
Уравнение с двумя переменными 2х2— Зт/24*Ъху — у3х + хъ = 37 |
||||||
|
имеет решение (х0; 2/о) = (2; - 3 ) . Определяет ли это уравнение |
||||||
|
неявную функцию у = у(х) в окрестности точки х = 2 и если |
||||||
|
да, то найти у'(х) и у'(2). |
|
|
|
|||
|
О |
Обозначим F (x ; у) = 2х 2 - 3у2 4- Ъху —у3х 4- х5 - |
37. Имеем |
||||
|
F (2; - 3 ) = 0, |
F ’y = |
-6у 4- 5х - |
Зт/2х, F'x = 4х 4- by - |
у3 4- 5х4, |
||
|
Fx(2; —3) = 100, Fy(2 ;- 3 ) = -2 6 . Условие Fy(x0;y0) ф 0 обес |
||||||
|
печивает существование неявной функции у = у(х), дифферен |
||||||
|
цируемой в некоторой окрестности точки хо = 2 и |
|
|||||
|
|
// |
ч _ |
К (х>у) _ |
4.Х + 5у - у3 + 5х4 |
|
|
|
|
У |
Х |
F y ( x >!/) |
6Î/ - 5 X + 3J/2X |
|
|
В частности, у'(2) =
Замечание. Производную т/'(х) можно найти также следую щим образом. Перепишем данное уравнение с учетом того, что у = у(х) есть функция от х:
2х2 - 3у2{х) 4- Ъху(х) - ху3(х) + х 5 - 37 = 0.
Тогда полная производная левой части этого равенства (тожде ства) также равна нулю, т. е.
4х — 6т/(х) •у'(х) 4* by(х) 4-5х •?/'(х) — у3(х) —Зху2(х)у1(х) 4- 5х4 = 0. Отсюда (аргумент х в записи у(х) опускаем)
__ 4х 4- Ъу - у3 4- 5х4
6у - 5х 4- Зху2
1 1 .4 .21 . Дано уравнение —8х 2 + ху2 4- 2х3у - 7 = 0. Соответствующая линия пересекает прямую х = 1 в нескольких точках. Най ти, сколько однозначных функций у = у(х) определяет данное уравнение в окрестности х = 1, и составить уравнения каса тельных к этим кривым.
О |
1) Обозначим F(x] у) = —8х2+ху24-2х3у—7. Тогда F ( 1; T/) = |
= |
у2 + 2у - 15 и у2 + 2у - 15 = 0 при у = 3 и у = - 5 . Надо, |
полагать, что уравнение F (x ; т/) = 0 определяет в окрестности
|
XQp ^ две однозначные функции (ветви). Проверим это. Имеем |
|||||||||
|
~ду = 2ху + 2х3 и ^ “ (1;3) = 8, | ^ ( 1; “ 5) = - 8. Следователь |
|||||||||
|
но, F(x;y) |
определяет две однозначные функции у = 2/1(х) |
и |
|||||||
|
У = У'Лх): У1(1) = 3 ,2/2(1) = - 5 . |
|
|
|
|
|||||
|
2) Имеем J E = -1 6 * + ÿ3+ 6* a» и Ц ( 1 ;3 ) = 11, g ( l ; - 5 ) = |
|||||||||
|
= ~ 21. Следовательно, 2/1(1) = - |
Ai, у'2(1) = - 2 1 . |
|
|||||||
|
3) Касательные ti к yY(х) в (1; 3) и t2 к т/2(х) в (1; - 5) имеют |
|||||||||
|
вид: 2/ — 2/о = fc(x — хо), где к = 2/1(1) или 2/о(1). Получаем |
|
||||||||
|
(^i) |
2/ “ 3 = |
— ^ ( х |
— 1) |
или |
И х + 8т/ — 35 = 0, |
|
|||
|
(*2) |
2/ + 3 = |
—^ ( х |
— 1) |
или |
21х + 8у + 19 = 0. |
ф |
|||
Найти производные у'(х) неявных функций, |
заданных уравнениялш: |
|
||||||||
11.4.22. |
хе2у — 2/1пх = |
8. |
|
11 .4 .23 . |
еу + 9х2е~у - 26х = 0. |
|
||||
11.4.24. |
h ^ + Z |
= |
M d e I . |
11 .4 .25 . |
a:2lnj/ — у2 lnx = 0. |
|
||||
|
I |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
11.4.26. |
1 + XÎ/ — ln(ea:y + e“ xy) = |
0. |
|
|
|
|
|
|||
11.4.27. |
Составить уравнения касательной и нормали в точке Мо(1; 1) к |
|||||||||
|
кривой у = 2/(х), заданной неявно уравнением х3+ 2ху3 —ухл — |
|||||||||
|
- 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПоложим F(x\y) = х3 + 2ху3 - ухА- 2. Тогда F{ 1; 1) = 0.
Далее имеем Fy = 6x2/2 - х4, i^ (l; 1) = 5, = Зх2+ 22/3- 4х32/, i ^ (l ;l ) = 1- Условие Fy(1; 1) ^ 0 обеспечивает существование однозначной неявной функции у(х) в окрестности точки хо = 1. Уравнение касательной к у = у(х) имеет вид у - уо = fc(x — х 0),
где к = у*(хо) = |
—g, т.е. |
(t): у - 1 = |
- А(х - 1). |
Уравнение |
нормали имеет вид у-уо = |
- ^ ( х - х о ) , т.е. (п): у - 1 |
= 5 ( х - 1 ) . |
||
Ответ. (^) : х + |
5?/ — 6 = 0, |
(п): 5х - у - |
4 = 0. |
• |
Составить уравнение касательной прямой и нормали к кривой у = у(х), заданной уравнением F(x;y) = 0 в точке Мо(хо\уо):
11.4.28. |
х 32/ — у3х = 6, М0(2;1). |
|
11.4.29. |
x V - x 4 —2/4 + 13 = 0, |
М0(2;1). |
11.4.30. |
Дано уравнение x22/ - x 2/2- x 2/2+ 6+X2/z3 = 0. Оно имеет решение |
|
|
(soîî/oîzo) = ( - 2 ; 1; 2). Показать, что в окрестности этой точки |
|
|
данное уравнение определяет однозначную неявную функцию |
|
|
г = z{x;y) и найти |
щ , dz в точке (х0;уо) = ( - 2; 1) и в ее |
|
окрестности. |
|
О Положим F(x; у; z) |
= х~у - |
ху2 —xyz + xyz3 + 6. Имеем |
F ( —2; 1; 2) = 4 + 2 + 4 - |
16 + 6 = 0. Кроме этого, |
|
dF |
|
dF_ |
дх = 2ху - у 2 -y z + yz3, |
ду х2 - 2ху - x z + xz3, |
|
ÔF
—ху + 3xyz2.
dz
Вычислим эти частные производные в данной точке:
d F (—2; 1; 2 ) _ |
d F ( - 2 ;l ;2 ) _ |
d F ( - 2;1;2) |
||||
дх |
— 1) |
Л |
|
dz |
- 22. |
|
|
ду |
|
|
|||
Условие |
|
^ ^ |
Ф 0 обеспечивает существование един |
|||
ственной неявной функции z = |
z(x\y) такой, что г(—2; 1) = 2. |
|||||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
~t — |
§ £ —2ху - у2 —yz + yz3 |
|
||
|
|
— |
d F |
ху — 3xyz~ |
|
|
|
|
|
dz |
|
||
|
|
, _ |
DF _ Хг — 2х?/ — XZ + .TZ3 |
|
||
|
|
Zy ” |
ÔF “* |
ху - |
Зхт/z2 |
|
|
|
|
ж |
|
||
d2(x;î/) |
= |
(2x7/ — 7/2 — 7/Z + т/z3) rfx + |
(x2 — 2x7/ — xz + xz3) dj/ |
|||
|
Х7/ —3X7/Z2 |
|
||||
|
|
|
|
|||
в частности, z'x( - 2;l ) = i , |
2^ ( - 2;l ) = |
d z (- 2; 1) = |
||||
= è * " |
|
f t dî/- |
|
|
|
• |
11 .4 .31 . Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = Z (X ; T/), определенной неявно уравнением
х 2 + Зт/2 — 4z2 = 15 в точке Ро(2; - 3 ; 2).
ООбозначим
F (x ; т/; z) = х 2 4- Зх/2 - 4z2 - 15.
Имеем F ( 2; - 3 ; 2) = 0,
F ' = 2х, |
Fy = 6т/, |
Fi = - 8z, |
F '( 2 ;- 3 ;2 ) = 4, |
FJ(2; - 3 ; 2) = -1 8 , |
F '( 2 ;- 3 ; 2) = - 1 6 . |
Вкачестве нормального вектора плоскости t можно брать N =
=(2; - 9 ; - 8). Тогда
W |
2(х - |
2) - |
9(2/ + 3) - 8(z - |
2) = 0, |
|
|
т. е. 2х — 9у —8z —15 = 0. |
|
|||
(п) |
х — 2 |
_у + 3 _ z — 2 |
• |
||
2 |
“ |
- 9 “ - 8 - |
|||
|
|||||
11.4.32. На сфере х2 4- у2 4- z2 = 676 найти точки, где касательные плоскости параллельны плоскости Зх 4- 4у + 12z = 15.
О Предполагая, что искомая точка имеет координаты
Po(xoiy0;zo)yимеем
Яо + Уо + zo = 676- |
(4-1) |
Обозначим F(x;y;z) = х2 + У2 + z2 — 676 = 0. Тогда координаты нормального вектора N к плоскости t должны быть (2XOÏ2Î/O; 2Z0) = N, а сама касательная плоскость имеет урав нение
(t) |
2х0(х - х0) 4- 2у0(у - уо) 4- 2z0(z - |
z0) = О, |
|
или х0(х - |
хо) 4- 2/о(2/ - Уо) 4- z0(z - zo) = 0. |
Поскольку эта |
|
плоскость параллельна данной плоскости, то их нормальные |
|||
векторы коллииеарны: |
|
|
|
(х0; 2/оî *о) II (3; 4; 12) 4=Ф х 0 = За, у0 = 4а, z0 = 12а. |
|||
Подставим эти равенства в (4.1): 9а2 4- 16а2 4- 144а2 |
= 676. |
||
Отсюда а |
= ±2. Если а = 2, то PQ(6;8;24), a если а = |
—2, то |
|
Ро(—6; - 8; -2 4 ). Это и есть искомые точки. |
|
• |
|
11.4.33. Найти |
щ и dz для неявной функций z = z(x;y), опреде |
||
ленной уравнением z3 4- Зх2$/ 4- xz 4- y2z2 4- y —2x = 0.
ООбозначим F(x; у; z) = z3 + 3x2y 4- xz 4- y2z2 4- y — 2x.
Способ 1, основанный на формулах теоремы 11.12. Найдем
частные производные функции F :
F^=6xy + z - 2 , |
F'y = Зх2 4- 2т/22 + |
1, |
F'Z = 3z2 4- x 4- 2y2z, |
||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
*FX' |
|
6x7/ + z —2 |
dz |
S |
|
_ 3x2 4- 2T/Z2 4-1 |
||
dx |
'Fl |
|
3z2 4- x 4- 2y2z ’ |
dy |
|
|
3z2 4- x 4- 2î/2^rJ |
||
, |
dz |
, |
dz . |
2 — z — 6X7/ |
dx — |
3x" 4" 2yz2 4* 1 |
, |
||
dz — |
. |
dx 4~ |
о dy — ~ |
" 9 |
Зг2 + x + 2y2z |
J ‘ |
|||
|
dx |
|
dy |
3z2 4- x |
4- 2т/"z |
|
|
||
Способ 2 заключается в том, что если уравнение определяет неявную функцию z = z(x\ у), то имеем следующее тождество
23(х ;у) 4- Зх2т/ 4- xz{x\y) + y 2z2(x]y) + у - 2х = 0.
Дифференцируем это тождество сначала по х, затем по у (для краткости в z(x;y) аргументы опускаем):
3z2z'x 4- бхт/ 4- г 4- xz'x 4- 2zy2z,x - 2 = 0,
3z2Zy 4- Зх2 4- xz'y 4- 2yz2 4- 2y2zz'y 4-1 = 0.
|
Из первого тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
6 |
ху + z —2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3z2 + х + 2y2z' |
|
|
|||
|
из второго |
. |
|
За;2 + 2yz2 + 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Z„ = |
------- |
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
32г -fa;-}- 2Î/“Z |
|
|
|||
|
Дифференциал составим по определению. |
|
• |
||||||||
11 .4 .34 . |
Найти z'x и z'y, если а; + 2/4- z = e~^x+y+z^. |
|
|
||||||||
|
О |
Действуем способом 2 (задача 11.4.33), дифференцируя это |
|||||||||
|
равенство сначала по х, затем по ?/, считая, что г = z(x;y). |
||||||||||
|
|
1 + 4 = |
е-<*+*+г>(-1 - |
4)> |
1 + 4 |
= е-<-+*+‘>(-1 - 4 ). |
|||||
|
Исходя из данного уравнения, в полученных равенствах заме |
||||||||||
|
ним е” (1+!/+г) на х + ?/ + 2. Получаем |
|
|
|
|
||||||
|
1 + 4 = (яг + у + г)(—1 - |
4 ), |
1 + 4 |
= (х |
+ 2/ + 4 ( - 1 - 4)* |
||||||
|
Отсюда 4 |
= ~ ^ + y + zZ+~l 1 = |
- 1 >4 |
= |
- 1 ’ dz = ~ с1х~ аУ■ • |
||||||
Найти Or-, тг и dz для неявных функций z |
= |
z(x\y), определяемых |
|||||||||
ох’ |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующими уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 .4 .35 . |
z3 -3xyz = R2. |
|
|
11 .4 .36 . .г* + у + г = |
е~. |
||||||
11 .4 .37 . ^ + С + ^ . = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а2 |
6- |
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 .4 .38 . |
К поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 21 провести касательные плос |
||||||||||
|
кости, параллельные плоскости х + 4у + 6z = 0. |
||||||||||
11 .4 .39 . |
|
|
2 |
у2 |
г2 |
|
|
|
|
|
|
К эллипсоиду |
U |
С |
= 1 провести касательные плоско- |
||||||||
|
|
|
CL |
|
|
|
|
|
|
||
|
сти, отсекающие на координатных плоскостях равные по вели |
||||||||||
|
чине отрезки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 .4 .40 . |
На поверхности х2 + у2 — z2 = 2х найти точки, в которых каса |
||||||||||
|
тельные плоскости параллельны координатным плоскостям. |
||||||||||
11 .4 .4 1 . |
Показать, что сфера æ2 + у2 + |
\z — ^ ^ с |
J |
= ^ j(62 + с2) и |
|||||||
|
конус ^7 + |
— % |
= 0 касаются друг друга в точках (0; ±Ь; с). |
||||||||
Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти ^ |
(или dz) для данных функций z = |
z(x;y) |
или z = z(x;y\u) |
||||||||
если х = x(t), у = y(t), и = u(t): |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 1 .4 .4 2 . |
z —arctg |
x = e2* -f 1, y = e2t — 1. |
|
|
|
|
|||||