книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

5.2.49. 2х - у -

г -

6 = 0. 5.2.50. (0;1;0);

(0; -15; 0). 5.2.51. 4.

5.2.52.

За; - бу -

2 z - 20 = 0; Зх - 6у -

2 z + 36 = 0. 5.2.54. 8.

5.2.55. х —Зу + 4г —21 = 0; х —4 = 0; у + 2 z — X= 0.

5.2.56. х + 2 у + 5 z

+ 1 = 0. 5.2.57. x -

z

= 0. 5.2.58. х - 4у + Ъг + 8 = 0;

За: — z 4*2 = 0.

5.2.59. 4х — Зу + z

+ 3 = 0. 5.2.60. ±у/Е -х + 2 у

+ z

— 2 = 0.

5.2.61. {A1 D2 —A2D1 )х + (B1 D2— B2Di)y + (C1 D2 —C2D\)Z = 0.

5.2.62.

X

Z

= 0. 5.2.63. 1)

а = 3, /3 = -4 ; 2)

а =

15

a i

Cl

2 *

(12

Cl

5.2.64. 1) 13; 2) 1. 5.2.65. Да.

§ 3. Прямая в пространстве

5.3.2.

(0;1;0).

5.3.3.

g'5 . 5.3.4. cost* =

cos/3 = 0;

( s = l + 2i,

|\x = 2+ 4t,

у = 3i,

2)

< y — 2,

z = - 1.

[z = 2 - t .

5.3.8.

1) ^-=-2 =

2L+1 = 2 ^ 5

(те

x = 3, y = -2 ); 2)

5.3.9.

Да.

5.3.10. Нет. 5.3.11. - f y

=

=

|. 5.3.12. (4; —4; 0); (2;0;10);

(0;4;20).

5.3.13. (2;2;0); ( J; 0;

j ) ;

(0; 14; -10).

5.3.14. - f j

= f

=

5.3.15. ^

= “^ т = T 3 1 - 5-3-16-

^

5.3.17. D = -20. 5.3.18. x =

- 3 + f, y = 2, г = 8 -

4<.

5.3.19.

5.3.20.

= ÎL zl = 2 : t l .

5.3.21.

1) Di. = 0, Di = 0; 2)

Bi = 0, B2 = 0; 3)

= g l ;

4)

A,

= Di = 0,

5.3.23.

[b = 0,

5.3.24.

y = -t,

5.3.26. 1)

2) arccos -£ = .

\z = 0.

z = —2t.

5.3.28.

1) Совпадают; 2) Перпендикулярны (скрещиваются).

5.3.30.

f = f

= §• 5.3

.31.

=

1L±1 =

5,3,32. 2VÎÜ. 5.3.33. 3.

5.3.34.

Нет. 5.3.35. n = -26;

- | ). 5.3

.37.

1) x =

- 3 , 7y - 2z = 0;

2) y =

2, г = 7. 5.3.38. a = 120°, fi = 45°, 7 =

60°. 5.3.39. 135°

5.3.40.

(§ !-Ÿ l§ ). 5.3

.41.

2. 5.3.42. f = lLzA = 2 ^ 1

5.3.43. Л .

6)

Ш = ± = 2LZ_1 = *= -1. 5.3.47.

/ * “ п

'

1

1

о

(у = о.

§ 4. Прямая и плоскость в пространстве

5.4.2.

(-6 ; -12; 4). 5.4.4. Зх + 5у + 2г - 9 = 0.

5.4.5. 2х + у -

2г + 7 = 0.

5.4.7.

21. 5.4.9.

1) 11|Q\ 2) Пересекаются в точке (2;4;6).

5.4.10.

17х + у + 11г + 22 = 0. 5.4.11. 2х + у -

z -

1 =

0. 5.4.12. (-3 ; -4 ; 0)

5.4.13.

(5; 1; -1 ). 5.4.14. (4;2;3).

5.4.15. 6. 5.4.16. С =

-1 , D = -3 .

5.4.17.

5.4.18. 6х + 5у -

2z + 1 =

0. 5.4.19. \/33.

5.4.20.

arcsin

5.4.21. у —z = 0. 5.4.22. 5х + 2у —8г —6 = 0,

2æ — J/ + Z —3 = 0. 5.4.23. 1)

2) |л/42. 5.4.24. (1; -2 ; 2). 5.4.25. 7.

-

Зу + z - 4 = 0,

X — .То

2/

2/оZ — 2о

= 0.

5.4.26. \ 2Х

''

5.4.27.

?7li

ni

P i

[х + у + 2 + 2 = 0.

т-2

По

Р2

5.4.28.

-Ifi; М ). 5.4.29. х - 2 + 4 = 0 и х + 20у + 7г -

12 = 0.

5.4.31.

Нет. 5.4.32. х = у —z. 5.4.33. Да; нет. 5.4.34. р =

—1,5; В = —8.

5.4.35.

А =

2.

§ 5. Поверхности второго порядка

5.5.2.

х2+ (у -

4)2+ г3 =

9. 5.5.5. 1)

(х - 4)2 + у2 + (г -

2)2 = 21

2)

(х -

5)2+ у2 + (z - З)2 =

18 3)

(х - 2)2 + (у -

I)2+ (г - З)2 = 9

4) (х — 5)2+ (у —2)2+ (г + I)2 = 56 5)

(х + 5)2+ (у - I)2 + г2 = 46

6) (х + 5)2+ (у -

З)2+ z2 = 121. 5.5.8. а) 1 < |m <

s/2 6) |т| < 1.

5.5.9.

а) т 6

JiO) U (0;+оо) б) т = 0. 5.5.11. 1) Эллипсоид: а = 2, 6 = 4,

х + 2S =

3(2

направленный в положительном направлении

5.5.28.

6х -

3у - 2г - 49 = 0. 5.5.29.

(2; - 6; 3). 5.5.30. х + 2у - 2z ± 9 = 0.

5.5.31.

1) (9; 5; -2),

2) (3; 0; -10), 3)

(-2; 2; 6). 5.5.32. J У+ 2г = °>

ух —5 = 0;

Г2х —5^ = 0,

5 5 зз

Г2æ —12г/—^ -h 16 = 0,

Г2х - 12у - z + 16 = 0,

|т/ + 4 = 0.

^а;-2?/ + 4 = 0;

ух + 2у - 8 = 0.

6.1.9. (0; %/2) U (\/2; +оо). 6.1 .10. [—2; 1). 6.1 .1 1 .

6.1 .12. (2; 3].

6.1.18.

( - 1 ; i ) . 6.1.19.

[2; +оо). 6.1 .21. 1 ) 2; 2)

3) -- | = ; 4)

5)

27

-8*; 6)X4 ; 7)х •I

8) (Ь - 2)3 2Ь~2. 6.1.22. 1)

2; 2) 0; 3) 1,6;

4)

^

6.1.24. 1) четная; 2) нечетная; 3) общего вида;

6.2.2.

xi

= 4, х2 = 8,

хз

= 16, хл = 32. 6.2.3. xi = 6, х2 = 11, хз =

18, ха

6.2.4.

xi

= 0, х2 = 2,

х3

= 0, хл = 2. 6.2.5. х\ = 2,

х2 = хл =

6.2.6.

xi

=

1, Х2 = 0,

хз

= —1, хл = 0. 6.2.7. xi =

—1, х2 = 2, хз =

—6, х

6.2.8.

х„ =

у 1-

6.2.9. х„ = Цг. 6.2.10. хп =

71

6.2.11. х„ = ( - 1 )п •п.

271 —1

п

6.2.13. Ограниченная последовательность. 6.2.14. Ограниченная снизу

последовательность. 6.2.15. Ограниченная сверху последовательность.

6.2.16.

Ограниченная последовательность. 6.2.17. Неограниченная

последовательность. 6.2.18. Ограниченная снизу последовательность.

6.2.20. Строго возрастающая, неограниченная последовательность.

6.2.21. Немонотонная, ограниченная последовательность. 6.2.22. Строго

возрастающая, ограниченная последовательность. 6.2.23. Строго убывающая,

ограниченная сверху последовательность. 6.2.24. Монотонная,- ограниченная

последовательность. 6.2.26. {хп + уп} = {( —1)п + (—2) п} =

{ —3, 5, —9 ,. . .},

{жп - î/n}

= {1, -з,

7 ,...},

{х„ ■У п }

= {2"} = {2, 4, 8 ,...},

6.2.30. xi

= 5, х2 = 6j , хз = 130, ж.1 = 39

6.2.31. xi = 1, х2 = .1, ж3 = 1,

ха — 1.

6

.2

.32

. xi = 1, х2 =

1, хз — 1, ха —2.

6.2.33. х\ = 2, х2 = 0, хз — 2,

Ха = 0.

6

.2

.34

. xi = 1, х2 =

2, хз = б, ха —24. 6.2

.35. х\ = 0, х2 = 2, хз = 8,

ха = 5.

6.2.36

. хп = тг2 + 1.

6.2.37. xn = cos7rn. 6

.2.38. хп = «—-—=-.

on —l

6.2.39.

хп =

6.2.41.

снизу

последовательность. 6.2.43. Неограниченная последовательность.

6.2.44

. Немонотонная, ограниченная последовательность. 6.2.45. Строго

У!

1

о

2 п _ 2

= ------2"> а последовательность 3 —^ строго возрастает.

последовательность. 6.2.48. {х 2} = {п2}, {

+ 2 } = {

* } '

6.2.49. {х 2} = {п4},

= { f e l f } -

6.2.50. х, =

1, ж2 = 1, ж, = 2,

тг; 2) Хп = 5 + 2 n . 6.2.54. xn = —

6.2.56. Например, xn = —, 2/n = ^

n

♦

71 " Г 1

n

/ о '

1

(\/п2 + 1 —п) (>/n2 + 1 + п)

п2 + 1 —п2

.

1

V n- +

1 -

п = ^-------------7 = = = ----------------- = , —

—------=

■=------.

V Tl2 + 1 + 71

у 7l2 + 1 + 71

у 7l2 + 1 + 71

6.2.58. Указание. Учесть, что ln(n+ 1) —1птг = In 71^ * = ln^l + ^

< In2.

6.2.59. Указание. Учесть, что

~ * = 3 -----— , а — — < 1 при п ^ 2.

П2 + 1

7 1 + 1

7Г + 1

6.2.60. Указание. Среднее арифметическое двух чисел х п - 2 и хп-\

{*п} =

{!/„} = { n - 2 } = {-1 , 0,

1 ,...}.

§ 3. Предел последовательности

6.3.4.

1) 2; 2) 6; 3)

34. 6.3.9. 1) 17; 2) 101; 3)

205. 6.3.11.

2. 6.3

.12. 1.

6.3.13.

оо. 6.3.14.

0.

6.3.15.

6.3.16. 6. 6.3.17. 1. 6.3.18

. оо. 6

.3.19. i .

6.3.20.

2.

6.3.24.

1)

3; 2) 5; 3)

10. 6.3.28. а =

1; 1) 2; 2) 11; 3) 168. 6.3.29.О

6.3.30.

0.

6.3.31.о

Указание. Привести дроби к общему знаменателю.

6 .3 .46 .

1 )

1. Указание. Воспользоваться равенством

^ — п

2) \. Указание. Учесть, что

-

2^

2) '

6 '3 '4 7 - 1} Нет-

например, х п =

т/п = п. 2) Нет, например, х п =

— , Уп =

тг2. 3) Нет,

тг

71

(—1)п

, т/п = п. 4) Да. 5) Нет, например, уп = n, zn = 3 — 7г.

например, х п = - -

6 .3 .48 . 1 ) Например, хп = 1 +

2/n = 1. 2) Например, х п =

1—

уп =

6 .3 .49 .

1) е. Указание,

(l +

£ )

+ = (* +

£ ) " ( х + ^

2)

k

Указание,

=

( j ^

j )

=

( T

T

Ï f

§ 4. Предел функции

6.4.2.

—1. 6.4.3. 4^ 6 .4 .4 .

6.4.5.

4.

6 .4 .8 . Указание. Поскольку

|f(x ) — А\ =

\х — 3| •\х 4- 3| и можно считать, что |х + 3| < 4 + 3 =

7 для

значений х, близких к 3, то при ô =

j (где е — произвольное положительное

число) имеем \х — хо| =

\х — 3| < 5 =

^

=> |/(х) —А\ < е. 6 .4.13.

1 ) 5 =

^

^вообще подходит любое положительное число, меньшее или равное

;

2) Ô= 0,005.

6.4.15.

15.

6.4.16.

3. 6.4.17. - 1 .

6 .4 .18 . 0.

6 .4 .19 . 0,4.

6 .4.20.

0,5.

6.4.21. |.

6.4.22.

6.4.23. |.

6 .4 .24 . - ^ .

6 .4 .25 . 0,05.

6.4.26.

1,6. 6 .4 .27 . |. 6.4.28. 2. 6 .4 .29 .

Указание. Домножить

6.4 .35 .

0. 6

.4 .36 . 0. 6.4.38.

2,25. 6 .4 .39 . 0,4. Указание. Учесть, что

tg2x =

cos

2x

и lim cos2x =

1. 6.4 .40 . 0,5.

Указание. Воспользоваться

ь

х-ю

’

•

дроби на 1 + cosx. 6 .4 .41 .

1. 6.4.42.

2. 6.4.43. —8. Указание. Использовать

тождество cos5x — cos3x =

—2sin4xsinx. 6.4 .44 . —6. 6 .4 .45 . —0,5.

6 .4 .48 .

е1’5. 6 .4 .49 . е "9. 6.4.50. е.

6 .4 .51 . е2. 6 .4 .52 . е.

Пт ( х

Пт f^— 4 )

6.4.53

. е~ 1. 6.4 .54 . е " 1. Указание. Сделать

/(2

+ 0) =

2. 6 .4 .58 .

а) /(1

- 0) =

- 2 , /(1 + 0) = ±

б)

/(И

-

0) = /(11

+ 0) =

Ц :. 6.4.60. |. 6.4.61. |. 6.4.62. - 1 . 6 .4 .63 . log37.

6 .4.64.

3,5. 6.4 .65. 0,5. Указание. Представить данный предел в виде

произведения lim —•lim ——s(x’

2) g 4 ggf 5 6.4.67. — Ü. 6.4.68. 3.

*

r —>2 .T

x-+2

x - 2

2

L 7Г71 J

{х'п} =

< ——

— 1. 6.4.75 . Указание. Рассмотреть две последовательности,

L 2

+

27Г71 J

сходящиеся к

{x'n} =

+

+ ^ г } ’ 6*4.76. §♦ 6 .4 .77 . 3. 6 .4 .78 . 1.

6.4.79. —0,75.

6.4.80 . 2^. 6.4 .81.

0. 6.4 .82 .

0,25. Указание. Привести дроби к

общему знаменателю. 6.4 .83 . 0,5.

6.4 .84 . g.

6.4.85. Зх2. 6.4 .86 . 48.

6.4.87.

1,5. 6.4.88 .

6.4 .89 .

1,5. 6 .4 .90 . i . 6.4.91. 4. Указание. Сделать

замену х =

fyy, т. е. у = х 4, после чего исходный предел примет вид

4

<|

^

6.4 .93 . оо. 6.4.94. 0. Указание. Поделить каждый из

lim1

1

6 .4 .92 . —

1 £

О

множителей в числителе и знаменателе на х2. 6.4.95. +оо. 6 .4 .96 . 0.

6.4 .97 . -^ jr. 6 .4 .98 . 3.

6 .4 .99 . -1 ,5 . 6 .4 .100 . 0,5. 6.4.101 . 0.

х\ > М

и Х2 > М , и |/(xi) — /(^ 2)1 = 2. 6.4.126. Например, функции у = [х] и

У = {я }-

6 .4 .127 . 1 ) Решение. Пусть у(х) = а(ж) + /3(х), где а (х ) и 0(х) — две

данные бесконечно малые при х —> хо функции. Тогда для любой^

последовательности {жп}, сходящейся к .то, имеем

lim

а(жп) =

lim /3(хп) = 0. Но отсюда получим, что

п —>оо

гг—>оо

lim

7 (xn) =

lim [а(ж„) + /?(жп)] =

lim а (х п) +

lim j3(xu) = 0. По первому

П-+ОС

п->оо

П ОО

п—>со

определению предела функции это и означает, что lim у(х) = 0, т. е. 7(ж) —

X-ÏX0

бесконечно малая при х —ï X Q . 6.4.128. 1 ) Например, частное бесконечно

Тогда lim

Ж/**

= lim _\Al ±

? )2 - ^ £L t ? ) .3. -

x —>0

x —--+0*0

ж

= lim (L+ g 2 -

(1 + * ) 3 =

lim

^ 0 x . z w

+ w

~g 3; 2f ~ д = - k w * 2 + 2* + « — *•*§

~ °

i= 1 0

§ 5. Непрерывность функции

6 .5 .2 . a)

Дж

-0 ,5

- 0,1

- 0,01

0,5

0,1

0,01

А у

-3 ,5

- 2,1

- 2,01

-1 ,5

-1 ,9

-1 ,9 9