Найти интегралы:
8.5 |
.8. |
[ sin3 ada. |
8 .5 .9 . |
f |
xdx |
|
|
J |
|
J |
sin4 x |
8.5 |
.10. |
Найти интеграл J |
sin4 x •cos2 xdx. |
|
|
Q В данном примере имеет место случай 4, поэтому сначала упростим подынтегральное выражение.
J sin4 х •cos2 xdx = J |
sin2 x •(sin x cos x)2dx = |
|
|
= J -— |
— |
sin 2x^j |
dx = |
^ у (1 — cos 2x) sin2 2x dx = |
|
= |
1 |
- |
|
|
i . |
sin2 2a •cos 2a dx = |
|
|
- |
/ |
sin2 2xdx —- / |
|
|
|
8 У |
|
|
8 У |
|
|
|
|
|
|
= |
[t = sin 2x => dt = 2 cos 2a da] = |
|
|
= l _ j l - c o S4x d x _ l _ j t2 * |
= |
j _ ÿ d x _ J coa4xdxy |
|
|
|
|
1 |
£3 |
I f |
|
sin 4a sin3 2a \ |
_ |
_ |
|
|
|
- T o |
|
|
|
— ------------H |
+ c ' |
* |
Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.5.11. J c o s 4xdx. |
|
|
|
8 .5 .12 . |
J |
sin2 x •cos2 x dx. |
|
|
8.5.13. Найти интеграл J cos 5a •cos 3a dx.
ОЗдесь удобно воспользоваться формулами (5.2). Учитывая,
что cos 5а •cos Зге = ^ (cos 2а + cos 8а*), получим
|
J |
cos 5а •cos За = |
i J |
(cos 2а + cos 8а) da = |
|
|
|
= |
1 ( |
r |
Л |
, |
г |
Л , \ |
l/s in 2 a |
sin8a\ |
„ |
|
- I у |
cos 2а аа + J |
cos 8а аа I = |
- |
^— ----- 1----- -— J + С = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
i |
sin 2а + |
sin 8а + С. • |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
16 |
|
Найти интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.5.14. |
J cos 2а •sin 4а da. |
|
8 .5 .15 . |
у |
sin ^ sin ^ da. |
|
8.5.16. |
Найти интеграл J t g 5xdx. |
|
|
|
|
|
О Имеет место случай 6. Поэтому используем формулу для |
|
tg2 a: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
tg5 xdx = J |
tg3x-tg3xdx = J t g 3x- |
|
= |
|
= |
f tg3x ■ — ----f tg3xdx = ft = tgx =►<ft = - ^ |
I = |
|
|
J |
6 |
cos2 ж |
J |
L |
|
|
COS2 x\ |
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
□
§1. ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Основные понятия и свойства
Пусть функция у — f(x) определена на отрезке [a; b] и на этом отрез ке произвольно выбраны точки гссь-^ь ••• так что а = яо < х\ <
.. .< х п=Ь — выбрано разбиение этого отрезка па п частей. В каждом ин
тервале (xi-i ; xi] произвольным образом выбрана точка с*, г = |
1, 2, . .. , п. |
^ |
Сумма вида |
п |
|
|
|
Sn = i t f ( a ) Axh |
(l.i) |
|
|
l'=l |
|
|
|
где AXi = Xi—Xi-1, называется интегральной суммой функции |
|
f(x) на отрезке [а; 6]. |
|
|
|
^ |
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а; 6] |
|
называется предел интегральных сумм Sn при условии, что |
|
длина наибольшего частичного отрезка AXi стремится к нулю: |
|
ь |
|
п |
|
|
J f(x )d x = |
^ |
^ / ( с {)Да:{. |
(1.2) |
|
о |
max Aii—*0 f= i |
|
|
|
I |
|
|
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; 6], то предел (1.2) су ществует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] и от выбора точек Ci (теорема существования определенного интеграла). Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [а; 6]. Более того, если функция f(x) ограничена на отрезке [а; Ь] и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла:
|
6 |
а |
|
1. |
J |
f(x ) dx = —J f(x) dx. |
|
|
a |
b |
|
|
a |
|
|
2. |
J |
f(x ) dx = 0. |
|
|
a |
b |
|
|
b |
|
3. J |
f(x)d x = J f(t)d t, т.е. переменную интегрирования можно обо- |
|
а |
а |
|
значить любой буквой. |
ь |
|
b |
ь |
4. |
J ( f i ( x ) ± f 2 (x))dx = J fi(x )d x ± |
J f 2(x)dx. |
|
5- J cf(x) dx = c J |
f(x) dx. |
|
|
\ |
|
|
|
|
6- Jf f{x)dx = |
J cf(x) dx + J bf(x) dx, |
a < c< b . |
|
a |
a |
c |
b |
|
7. Если f( x )^ 0 на отрезке [a; Ь], то J |
|
f(x) dx ^ 0; если /(я ) ^ Q для |
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
всех точек x € [a; 6], то J /(x ) dx sC 0.
ь |
ь |
8. Если /(x ) ^ 5 (x ) на отрезке [о; 6], то J |
/(x ) dx ^ f д(х) dx. |
а |
а |
9. Если М — наибольшее, т — наименьшее значение f(x) на [а; 6],
то m(b - a) |
J Дх) dx < М(Ь - а). |
|
6 |
а |
|
|
|
|
10. J |
/(х ) dx = |
/( с ) (6 - а), с 6 [о; 6] (теорема о среднем). |
a |
|
. |
b |
, 6 |
И- |
У /(x )d x |
^ J |/(x)|dx. |
|
О |
|
° |
12. ( / /(t)d tj = Д х).
Формула Ньютона-Лейбница
Если для непрерывной на отрезке [а; 6] функции f(x) может быть
найдена ее первообразная F (x) (см. Гл. 8, § 1), то простым и удобным
ь
методом вычисления определенного интеграла J f(x) dx является фор-
а
мула Ньютона-Лейбница:
/ Д х) dx = F ( x ) [ = F(b) - F (а). |
(1.3) |
a
При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования полезно использовать формулу
|
/ f(x) dx = |
если f(x) |
— четная функция, |
|
если f(x) |
— нечетная функция. |
|
—о |
9 .1 .1 . |
Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интеграл: |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J х2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Подынтегральная функция f(x) = х2 на отрезке [1;4] имеет |
|
О |
|
первообразную F (x) = |
Тогда по формуле (1.3) имеем |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9 .1 .2 . |
Вычислить интеграл |
[ |
^х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л/5 - 4х - х2 |
|
|
|
|
|
О Подынтегральная функция имеет «почти табличный» вид. |
|
Для нахождения первообразной проведем преобразования так |
|
же, как это делалось ранее (см. задачу 9.1.10). |
|
|
—2 |
dx |
__ |
—2 |
dx |
__ |
—2 |
d(x + 2) |
|
г~ |
r~ |
г“ |
|
( |
\ / 5 - 4 x - x 2 ~ J 4 |
x/9 - (x + 2)2 |
“ |
l x |
\/32 - |
{x + 2)2 |
|
|
|
. x + 2 1-2 |
|
|
. / 2\ |
. 2 |
|
|
= arcsin —-— |
|
= arcsm 0 — arcsin — - I = arcsin |
|
|
|
3 |
1 - 4 |
|
|
V |
3 / |
3 |
Используя формулу Ньютона-Лейбница, найти интегралы:
|
7Г |
|
|
|
lg2 |
9.1.3. |
J (2х + sin2x) dx. |
9.1.4. |
J |
2x -5*dx. |
|
0 |
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
2 |
9.1.5. |
f |
dx |
9.1.6. |
[ |
1 -±-2dx. |
|
J |
2x — 3 ’ |
|
J |
3 - х |
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
9.1.7. |
h + f d x . |
|
J |
X y /X |
|
1 |
|
|
5 |
|
9 .1 .9 . |
f |
T 'X'~ ‘ï &х' |
|
J |
\ + x z |
|
1 |
|
9.1.8. |
f |
х ~ 40 dx. |
|
J |
у / х - 2 |
|
О |
|
|
1 |
у/4х —2dx. |
9 .1.10 . |
[ |
2 .-----------
9 .1 .1 1 . J x J 9 — |x2 dx.
о*
9 .1 .12 . Найти значение интеграла у cos2^jr — xj dx.
О
О Это также «почти табличный» интеграл. Для нахождения первообразной (и использования формулы Ньютона-Лейбни
ца) применим формулу понижения степени (как это сделано в задаче 8.1.22):
/ cos2G - Х) dx= / |
2 i 1+ cos( I “ 2x) ) d x = |
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JL |
|
|
JL |
|
|
|
|
|
|
= f l dx+\ J cos{ l - 2x)dx = |
|
1 |
|
1 |
( |
i\ . |
/7Г |
|
> |
|
|
|
^It |
|
— — |
|
|
, |
- —2х |
|
2 |
ж + - •( - |
- |
'Sin |
1 |
' 1о = |
|
1о |
2 |
V |
2/ |
|
|
|
|
1 |
7Г . |
1/ |
' . |
( 2 |
|
\ |
|
7Г\ |
|
= — |
2 |
о - |
- |
sml —- |
7Г ) —sin |
|
2 |
|
4 ' |
< V 3 |
|
) |
|
3 / ~ |
|
|
_ |
я- |
1 / |
y/l |
1 \ _ |
1 / |
\/3 + l\ |
|
" 4 |
4 V 2 |
2 / — 4 V "* |
2 / ' |
Найти интегралы тригонометрических функций:
9.1.13. J (cos3 х —2 cosx)dx.
0
■3
9.1.15.J tg2 xdx.
IT
4
T
9.1.14. |
f |
dx |
J |
sin2 x —sin4 x |
|
G |
|
|
Ü |
|
9.1.16. |
J |
sin 2a; •cos 8a; б/а; |
|
0 |
|
2
9.1.18. Jf^Xd x .
9.1.19. J cos3 ipdip.
9 .1 .2 0 . Вычислить f |
—Л - . ^ , dx. |
J |
a;3(ar -f 1) |
О Под знаком интеграла стоит рациональная дробь. Для на хождения первообразной используются правила, приведенные в § 3 главы 8. Применим их. Для этого разложим подынте
гральную функцию на сумму простейших дробей:
х4 + 1 |
_ А_ I? |
С* |
Dx + Е |
х3(х2 + 1) |
х3 + х2 |
х |
х2 + 1 |
Тогда ж4 + 1 |
= А(х2 + 1) + Вх(х2+ 1) + Сх2(ж2 + 1) + (Dx + £ )я 3, |
т. е. ж4 + 1 = |
(С + D)ж4 + (В + £)ж34- (Л + С)ж2 4- 5ж + А. Отсюда |
'(7 4-5 = 1,
В+ Е = О,
<Л 4- (7 = О,
5 = 0,
Л= 1.
Находим, что А = 1, В = 0, С = —1, D = 2, Е = 0. Итак,
ж4 4-1 |
1 |
1 |
2ж |
ж3(ж2 4-1) |
ж3 |
Ж+ Х2 + 1 |
Первое и второе слагаемые имеют табличные интегралы, тре тье — «почти табличные», легко вычисляются после внесения 2ж под знак дифференциала (см. задачу 9.2.1).
Поэтому
Г |
х4 + 1 |
|
1 |
|
I |
х3(х2 + 1) dX~ J |
- 4- |
|
L 3 ж |
|
|
|
|
2 |
|
|
-с |
|
“ In® + ln(l2 + 1)) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= “ |
4- - |
- 1п2 + lnl 4- In5 - In2 = In \ 4- ^ . • |
|
8 |
2 |
4 |
8 |
Найти интегралы от рациональных дробей:
|
3 |
dx |
|
|
9.1.21. |
Г |
|
9.1.22. |
J х1 + ж |
|
1 |
|
|
|
9 .1 .23 . |
[ |
ж2 4- 5 |
dx. |
9 .1.24. |
J |
ж —2 |
|
3 |
|
|
|
|
/ж 2 + 1 |
|
|
9 .1 .25 . |
J х^ — жdx. |
|
|
2 |
|
|
|
3
f dx
J ж3 4- ж ■ 1
3
f dx
J ж2 4- 6ж 4* 10 1
2 |
|
|
9 .1 .26 . Найти значение интеграла |
dx, если |
о |
|
|
ех, |
0 ^ х < |
1; |
f(x) = |
1 < х |
2. |
2, |
|
î |
|
|
î |
|
|
9 .1 .4 1 . |
/ |
£ |
= |
J x~2dx = - j| _ t= - 1 - 1 = -2 . 0']гвет неверен. |
|
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
Почему? |
|
|
|
9 .1 .42 . |
Вычислить устно интеграл J |
9 .1 .43 . |
Выяснить, не вычисляя, какой из интегралов меньше: |
|
|
т |
|
|
т |
|
а) |
J |
cosxdx или J |
cos2xdx; |
|
|
7Г |
|
2L |
|
|
|
б |
|
б |
|
|
|
|
15 |
|
15 |
|
|
б) |
J |
х5 dx или J |
|
х6 dx; |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
в) J 4~х dx пли J |
Ъ~х dx; |
|
|
о |
|
о |
о |
|
|
о |
|
|
|
г) |
J |
4~х dx или |
J |
Ь~х dx. |
9.1.44. |
|
- 1 |
|
- 1 |
|
Определить, не вычисляя, знак интеграла: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
а) J (х2 —4х + 3) dx; |
|
|
7 Ï |
|
|
|
|
|
б) |
/ |
х sin .г* dx. |
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
9.1.45. |
Известно, что J f(x)dx = 0. Следует ли отсюда, что f(x) = О |
на [а; Ь}1
Интегрирование подстановкой
При вычислении определенных интегралов часто используется метод
подстановки или метод замены переменной интегрирования. Пусть для
ь
вычисления интеграла J f(x)dx от непрерывной функции сделана под-
а
становка.т = p(t). Если функция ip(t) и ее производная ip'(t) непрерывны на отрезке [а;/?], причем
а = <р(а) и b = ip{0), |
(1.4) |
то справедлива формула:
ь |
(3 |
|
I f(x)dx |
=Jf{ip{t)W{t)dt. |
(1.5) |
