книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf9 .3 .2 0 7 . |
у = >Jx — 1, у = |
0, у = 1, х = 0,5 вокруг оси Ох. |
||
9 .3 .2 0 8 . |
(х — 4)у2 = х(х — 3) вокруг оси Ох. |
|||
9 .3 .2 0 9 . |
у = х2е“ х2 вокруг своей асимптоты |
|||
9 .3 .2 1 0 . |
т/ = |
|
2/ = 0 вокруг оси Ох |
|
9 .3 .2 1 1 . |
г = cos2 |
вокруг полярной оси. |
||
9 .3 .2 1 2 . |
х2 + |
(У “ |
2)2 = |
1 вокруг оси 02/. |
9 .3 .2 1 3 . |
т/ = |
1 , 1 |
^ х |
^ а , т/ = 0. Что происходит с объемом при |
|
а —> + 00? |
|
|
|
9 .3 .2 1 4 . |
|x = 2cos£, |
^ |
||
< |
|
вокруг оси Ох. |
||
|
I ?/ = |
2 sin t |
|
|
9 .3 .215 . |
Может ли фигура, образованная при вращении вокруг оси Ох |
|||
|
графика некоторой функции, ограниченной плоскостями х = а |
|||
|
и х = b (о < 6), иметь объем, меньший 1, при любом значении 6? |
|||
Вычисление площади поверхности вращения
Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией у = /(ж), а ^ х ^ 6, вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения
вычисляется по формуле
ь
|
S* = 2тг J |
у\/1 + (/'0 е))2 , |
|
(3.16) |
|
|
а |
|
|
|
|
где a и Ь— абсциссы начала и конца дуги. |
|
= <р(у), |
|||
Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией х |
|||||
с ^ у |
вращается вокруг оси Оу, то площадь поверхности вращения |
||||
вычисляется по формуле |
d |
|
|
||
|
Sy = 2тг J |
|
|
||
|
a V l + (<P'(y))2 dy, |
|
(3.17) |
||
|
С |
|
|
|
|
где с и d — ординаты начала и конца дуги. |
(x |
= x(t), |
|||
Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями |
|||||
\î/ = 2/W) |
|||||
t\ |
причем y(t) ^ 0, то |
|
|||
|
*2 |
|
|
|
|
|
Sx = 2тг J |
y(tW(x't)* + (y't)*dt. |
|
(3.18) |
|
il
Если дуга задана в полярных координатах г = r(<p), а ^ ip ^ /?, т°
Sx = 2к J г |sin<^| + (r'^Ydip. (3.19)
9.3.216. Найти площадь поверхности шара радиуса R, рассматривая его как тело вращения.
О Поверхность шара (сферы) может быть образована враще нием дуги кривой y=y/R2—x2 (полуокружности), —R ^ x ^ R во круг оси Ох (или дуги х = \/R2 —у2 вокруг оси Оу). Применим формулу (3.16):
~ г |
= = |
= i \Л + { у ' ) 2 = \/1 + -Z T -— 2 = |
/ Д |
■ |
||
у/R2 — х2 |
у |
R —х |
у/R2 — х2 |
|
||
|
Я |
|
|
|
|
|
Sx = 27Г |
[ |
у/К2 —х2 • , |
|
— dx = |
|
|
J y/R2 - 0-2
-я
|
|
= |
2тг [ Rdx = 2irRx\ |
= 47гД2; |
||
|
|
|
У |
|
1-я |
|
|
|
|
-я |
|
|
|
fили: |
а; = |
- У2 , |
я' = |
^ |
- , |
|
V |
|
V |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
= 2я |
/ |
х>/1 + (ж')2 dy = |
|
|
|
|
|
- я |
|
|
|
|
|
|
|
= 2тг / -\/Л2 — y2 |
J * |
2<*У = 4*Д2) - |
||
Если окружность задана параметрическими уравнениями |
||||||
|
|
J а; = |
Л cos £, |
|
|
|
|
|
12/ = ÆsinÊ |
|
|
|
|
то, применив формулу (3.18), находим |
|
|
|
|||
1 |
? |
_________________________ |
|
|||
-S x = 27Г J Rsinty/((Rcostyt)2 + ((#sin£)'t)2dt = |
|
|||||
|
о |
7Г |
|
|
д. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
27Г J Rsint •Rdt = 27rR2(—cost)^ |
= 27rR2 |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
Следовательно, Sx = 47гЯ2.
Если окружность задана в полярных координатах уравне нием г = Я, то, применяя формулу (3.19), находим
1 |
? |
__________ |
,5 |
- S x = |
27Г J |
R sin ipy/R2 + (R')2d<p = |
2nR2( - cos y?)|J = 27гД2 , |
|
о |
|
|
т.е. Sx = 47TR2. |
• |
||
1 |
2ТГ |
, |
|
3 |
-f |
t , |
|
|
|
Г |
_ 0 c |
|
|
|
|
||||
- 5 , |
= 2тг / |
ftsin3 - |
|
-Ytsin - |
cos -a t = |
|
|
|
|
o x |
У |
4 |
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
4c |
4t |
*± |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 5 |
27Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
- |
бтгR2 |
|
|
= ^TI\R2 |
~[ 4 sin4 |
7 tZГsin 7 ) |
= бтгFl2 |
4 |
|
|||
|
|
5 1 |
|||||||
|
2 |
J |
4 |
V |
4 / |
5 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, Sx = о |
-R2. |
|
|
|
|
• |
|||
9.3.219. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением ду ги кривой г = cos2 кр вокруг полярной оси, 0 ^ tp ^
ОИспользуя формулу (3.19), находим
Sp = |
2тг J |
cos2 ipsin ipyj(cos2 ip)2 4- ((cos2 </?)'^)2 dip = |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
= 2ir J |
cos2 tpsin ip\Jcos'1 (p + 4 cos2 <psin2 ipdtp = |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
= |
27Г j cos3 ips\xup\Jcos2 <p + 4 sin2 <p clip = |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
= 2тг J |
cos3 <^\/4 — 3 cos2 (p cl(cos </?) = [cos<^ = £] = |
||||
|
|
о |
l |
______ |
|
l |
|
|
|
|
|||
|
= 2тг J |
t3\/4 — 3£2 dt = 27Г J |
t2 •£\/4 —3£2 dt = |
|||
|
|
|
|
и = t2 |
du = 2£ dt |
|
|
|
dv = £\/4 — 3£2 dt |
« = - ^ У ( 4 - 3 i2)3 |
|||
= |
2 ^ |
( - ^ |
2\ /( 4 - 3 t 2)3[ |
+ |
М 4 - 3 * » ) » л ) = |
|
4 |
о |
|
|
|
|
|
|
\ 18 |
54 |
5 |
|
0/ |
|
( 1 |
1 / |
1 \\ |
„ / |
1 |
31 \ |
47 |
— 2,r( — |
_ 135 ( X ~ 32) ) |
~ 2,Г( |
18 + |
135/ _ |
135 ^ |
|
Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности враще• ния:
9 .3 .2 2 0 . |
Одна арка циклоиды х = |
a(t — sini), у |
= а(1 — cosf) вокруг |
||||||
|
осп Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 .3 .2 2 1 . |
Одной арка циклоиды вокруг оси Оу. |
|
|
||||||
9 .3 .2 2 2 . |
Дуга параболы у2 = 2.т, х £ [0; 4] вокруг оси Ох. |
||||||||
9 .3 .2 2 3 . |
Дуга синусоиды у = sin гг, 0 ^ х ^ тг вокруг оси Ох. |
||||||||
9 .3 .2 2 4 . |
2 |
?.2 |
= |
1 вокруг оси Ох. |
|
|
|||
Эллипс ^ - + ^ |
|
|
|||||||
|
а“ |
сг |
|
|
|
|
|
|
|
9 .3 .2 2 5 . |
2 |
2 |
|
1 вокруг оси Оу. |
|
|
|||
Эллипс |
= |
|
|
||||||
|
а" |
6“ |
|
|
|
|
|
|
|
9 .3 .2 2 6 . |
Окружность г = 4 sin |
вокруг полярной оси. |
|
||||||
9 .3 .2 2 7 . |
Окружность г = 2 cos у? вокруг полярной оси. |
|
|||||||
9 .3 .2 2 8 . |
Дуга кривой у = i.x3 от х = — 1 до х = 1 вокруг оси Ох. |
||||||||
9.3 .2 2 9 . |
Отрезок с началом в точке 0(0; 0) и концом в точке A(R;H) |
||||||||
|
вокруг оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3.2 3 0 . |
Дуга цепной линии у = 2 c h ^ ,0 ^ a :^ l |
вокруг оси Ох. |
|||||||
9.3.231. |
Дуга кривой у = sin Зя, 0 ^ х ^ |
^ вокруг оси Ох. |
|||||||
9.3.2 3 2 . |
Астроида яз + ?/§ = ai |
вокруг оси Оу. |
|
|
|||||
9.3.233. |
Дуга кривой у = е~х, х ^ 0 вокруг оси Ох. |
|
|||||||
9.3.234. |
Кривая j 2/2 — ^ In т/, 1 ^ 2/ ^ е вокруг оси От/. |
|
|||||||
9 .3.235. |
_ |
|
I х = |
2Я cos t - |
R cos 2i, |
Л ^ |
^ _ |
||
Дуга кардиоиды < |
|
|
|
|
0 ^ |
27г вокруг ее |
|||
|
оси. |
|
[у = 2Rsïnt —Rsin2t, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 .3 .2 3 6 . |
j g — |
sin i |
от |
= 0 до ^ |
? |
вокруг оси Ох. |
|||
Дуга линии < |
-1 — |
|
* |
||||||
|
1 |
г*пс f |
|
|
Z |
|
|||
|
|
2/ = |
el cos t |
|
|
|
|
||
|
|
- |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
з > |
|
0 ^ t £ 2 y / 2 вокруг оси Ох. |
||||
9 .3 .2 3 7 . |
Дуга кривой < |
|
|
Л |
|||||
|
|
У = 4 ~ Т ’ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
9 .3 .2 3 8 . |
Дуга кривой < X = k ' |
/2 |
0 ^ i ^ 4%/2 вокруг оси Ох. |
||||||
|
|
у ~ 4 ~ Тб’ |
|
|
|
|
|||
9 .3 .2 3 9 . |
Кардиоида г = 10(1 + cosy?) вокруг полярной оси. |
||||||||
9 .3 .2 4 0 . |
Лемниската г = 2^/cos 2у? вокруг полярной оси. |
||||||||
9 .3 .2 4 1 . |
Дуга кривой г = |
- |
^ ^ , 0 ^ у ? ^ |
| вокруг полярной оси. |
|||||
Более сложные задачи
Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности враще ния:
9.3.242. |
Окружность х2 + (у — 2)2 = |
1 вокруг оси Ох. |
||
9.3.243. |
Тангенсоида у —tgrc от х = 0до х = |
^ |
вокруг оси Ох. |
|
9.3.244. |
Дуга х2 + у2 = 1, х ^ 0, у ^ |
0 вокруг стягивающей ее хорды. |
||
9.3.245. |
Петля кривой 9я2 = у(3 - у)2вокруг оси Оу. |
|||
9.3.246. |
\х = t — sin t. |
t ^ 2тг, вращающейся во- |
||
Арка циклоиды < |
0 ^ |
|||
|
I у = 1 - cos£, |
|
|
|
|
круг касательной, проходящей через вершину циклоиды, па |
|||
|
раллельно оси Ох. |
|
|
|
9.3.247. |
(х = |
2(t - s i n i), |
вокруг ее оси симме- |
|
Одна арка циклоиды < |
. |
ч |
||
|
I у = |
2(1 - cos£) |
|
|
|
трии. |
|
|
|
9.3.248. |
Кардиоида г = 1 + cos<£ вокруг касательной в ее вершине (2; 0). |
|||
Физические (механические) приложения определенного интеграла
а) Путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью v = v(t), за промежуток времени [£i ;£•>], выражается интегралом
*2 |
|
S - J v(t) dt. |
(3.20) |
U |
|
б) Работа переменной силы, заданной функцией F = F(x) и напра вленной вдоль оси Ох на отрезке [а; Ь], равна интегралу
6 |
|
А = J F (x )d x . |
(3.21) |
а
в) Давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу стол ба этой жидкости («закон Паскаля»), т. е. Р = <77S Л, где g — ускорение свободного падения, 7 — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения.
Давление жидкости на вертикальную пластину, ограниченную ли
ниями х = а, х = 6, т/l = fi(x) |
и ?/2 = |
/ 2(я) (см. рис. 109), вычисляется |
|
по формуле |
^ |
|
|
P = 9 1 J |
(/г(аг) - |
}\{x))xdx. |
(3.22) |
Рис. 109
г) Статические моменты, относительно координатных осей, мо менты инерции и координаты центра тяжести плоской дуги у = /(я),
а^ х ^ 6, находятся соответственно по формулам
ъь
Sx = J v j d l , |
Sy = J |
j x dl, |
(3.23) |
Mx = J Ж dl, |
My = J |
jx 2 dl, |
(3.24) |
a |
a |
|
|
где dl = y/1 + (y'x)-dx (ф х 'у)2 + (y'x)2 dt, ф -2 + {r'v)2 dip) — дифференциал дуги;
= |jf>m Ус = 7П m = J1 1 ^ 1 + |
dx |
(3.25) |
(здесь xc, yc — координаты центра тяжести, a m — масса кривой).
9 .3 .249 . |
Автобус начинает двигаться с ускорением 1м /с2. Какой путь |
||
|
пройдет автобус за 12 секунд от начала движения? |
|
|
|
О Скорость движения автобуса выражается формулой v = |
||
|
= t м/с. Согласно формуле (3.20) находим путь, пройденный ав- |
||
|
12 |
t2 I12 |
|
|
Г |
= 72 м. |
|
|
тобусом за время от t\ = 0 до ^ = 12 сек.: / tdt = |
у |
|
|
о |
° |
• |
9 .3 .2 5 0 . |
Скорость тела меняется по закону v = 0,03£2 м/с. Какой путь |
||
|
пройдет тело за 10 с? Чему равна средняя скорость движения? |
||
9 .3 .2 5 1 . |
Скорость автобуса при торможении изменяется |
по |
закону |
|
15 — 3£м/с. Какой путь пройдет автобус от начала торможения |
||
|
до полной остановки? |
|
|
9 .3 .2 5 2 . |
Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на |
||
|
10 см, если сила в 20 Н растягивает пружину на 5 см. |
|
|
|
Q Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пру |
||
|
жину, пропорциональна этому растяжению я, т. е. F(x) |
= kx, |
|
|
где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию |
||
задачи сила F = 20 Н растягивает пружину на х = 0,05 м. Сле довательно, 20 = к •0,05, откуда к = 400, F = 400ж. Искомая
работа на основании формулы (3.21) равна
0,1 |
(0,1 |
|
|
А = J 400.Т clx = 200аг |
• |
||
2 Дж. |
|||
о |
!о |
|
|
|
|
9.3.253. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жид кость плотности 7 из цистерны, имеющей форму параболиче ского цилиндра, размеры которого указаны на рисунке 110.
Рис. 110
О Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту Л, равна ph. Но различные слои жидкости в цистерне находятся на различных глубинах и высота поднятия до края цистерны различных слоев не одинакова. Для решения задачи применим так называемый «метод дифференциала». Введем систему ко ординат так как указано на рисунке.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание слоя жидкости толщиной х (х 6 [0;#]), есть функция от я, т. е. А = А(х) (А(0) = 0, А(Н) = Ао).
2. Находим главную часть приращения АА при изменении х на величину Ах = dx, т. е. находим дифференциал dA функции 71(1).
Ввиду малости dx считаем, что «элементарный слой» жид кости находится на одной глубине х от края цистерны (см. рис. 110). Тогда dA = dp- х, где dp — вес этого слоя; он равен g'ydv, где g — ускорение свободного падения, 7 — плотность жидкости, dv — объем «элементарного слоя» жидкости (на ри сунке он выделен), т. е. dp = gjdv. Но dv = b - MN - dx. Найдем
MN: 7}M N — ордината точки M(H — ж; у), лежащей на пара боле АОВ, уравнение которой в выбранной системе координат