книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Найти и изобразить области определения следующих функций:

11 .1 .20 . Найти области определения функции и(х] У\z) = arccos ^ + arcsin ^ + arctg z.

ООбласть определения этой функции

ОПоверхности уровня этой функции — это эллипсоиды

б) g{f(x-,y)).

Найти (описать, изобразить) область определения данных функций:

§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ

Предел функции в точке

Под d-окрестностью точки Мо(жо;?/о) будем понимать круг (откры­ тый) радиуса d с центром в точке Мо(жо;уо)> т.е. {х —хо)2 + {у—уо)2 < dr.

Если из этого круга удалить его центр, то получим проколотую d- окрестность точки М0(жо; Уо), т. е. О< (ж - ж0)2 + {у - Уо)2 < d2.

Предположим, что функция двух переменных г = /(ж; у) определена в некоторой проколотой d-окрестиости точки Mo.

Число А называется пределом функции г = /(ж; у) в точке Мо(ж0; 2/о), если для любого е > 0 (сколь угодно малого) най­ дется число 6 = ô(e) > 0 такое, что для всех М(ж; у), отличных от Мо(жо; уо) и отстоящих от Mo меньше, чем на Æ, выполняется неравенство |/(ж, у) — А\ < е.

Очевидно, что процесс поиска предела функции двух переменных, а тогда и доказательство равенства

л = М /{а:;2/)

У->Уо

существенно сложнее случая одной переменной хотя бы потому, что усло­

сложнее и разнообразнее: в них заложено произвольное приближение точки М(х]у) к точке Мо(хо;уо).

Наряду с определением предела, приведенным выше, который также называется двойным пределом, имеет смысл рассматривать и так назы­

определенных условиях эти пределы могут оказаться равными и совпа­ дающими с двойным. Но этот вопрос мы обсуждать не будем, отсылая к более полным руководствам (например, Г.М. Фихтенгольц, том 1).

Замечание. Данное определение двойного предела будем сохранять и в том случае, когда функция f(x\y) определена только на некотором множестве Æ, имеющем предельную точку MQ. Точка Mo называется предельной точкой (или точкой сгущения) множества J5, если каждая окрестность MQ содержит хотя бы одну точку множества Е . В таком случае ж ж0, у yQили (ж;т/) -> (хо;уо) означает, что точка М(х\у) принадлежит только множеству Е.

При вычислении двойных пределов можно и нужно использовать из­ вестные теоремы о пределах для функции одной переменной. Для крат­ кости, будем писать Д М ) вместо f(x\y).

Теорема 11.1 (о пределах). Пусть /(Л/) и д(М) — две функции,

Непрерывность функции в точке

^ Функция z —f(M ) называется непрерывной в точке Mo, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) f(M ) определена в некоторой окрестности точки Mo,

2) имеет предел в этой точке: lim /(М ) = Л,

АГ-у-Мо

3) этот предел равен значению функции в этой точке: Л=/(М о).

Замечание. Данное определение непрерывности функции в точке Mo будем сохранять и в том случае, когда f(x;y) определена только на не­ котором множестве Е , содержащем точку Mo- В этом случае условие 2)

lim f(x;y) ф f(xo;yo), то Мо(хо;уо) называется точкой разрыва.

у-ууо

Имеют место свойства, аналогичные свойствам непрерывных функ­ ций одной переменной.

Теорема 11.2 (о переходе к пределу). Если /(А/) непрерывна в точ­

Теорема 11.3 (о сохранении знака). Если /(М ) непрерывна в точке Mo и /(Mo) > 0 (/(Mo) < 0), то найдется d-окрестность точки Mo, в которой /(М ) > 0 (Д М ) < 0).

Теорема 11.4 (о непрерывных функциях). Пусть /(М ) и д (М ) —

две функции, определенные в некоторой окрестности точки М 0 и не­ прерывных в этой точке. Тогда в этой точке непрерывны также функ-

ции (/ ± д )(М ). (/ д ){М ), £ {М ) при д(М 0) ф О, (/(М))»(Л/) при /(Mo) > 0.

Теорема 11.5 (о непрерывности сложной функции). Пусть /(М )

позиция) g[f(M)] = ip{M) непрерывна в точке М 0.

Функции непрерывные на множестве

^Функция, непрерывная в каждой точке некоторого множества точек Е называется непреры вной на эт ом м н о ж ест в е.

Для функций непрерывных на множестве имеют место аналоги тео­ рем для функций одной переменной.

^Множество Е называется свя зн ы м , если две любые его точки

можно соединить некоторой непрерывной кривой, полностью принадлежащей этому множеству.

Теорема 11.6 (Коши об обращении в ноль). Если 2 = /(М ) непре­ рывна на связном множестве Е и в двух различных его точках при­ нимает значения разных знаков, то на Е найдется точка Р такая, что

ПР ) = о.

^Множество Е называется ограниченны м , если оно целиком

принадлежит некоторому кругу х 2 + у 2 ^ R 2.

^Множество Е называется от крыт ы м , если каждая точка при­

надлежит ему вместе с некоторой окрестностью.

^Открытое связное множество называется област ью . Если к точкам области D присоединить точки ее границы, то такая область называется зам кн ут ой и обозначается D .

Под граничной т очкой области D имеется в виду такая точка Р , в

каждой окрестности которой имеются как точки области D , так и точки