книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

9.3.258. Найти давление воды (плотность 7) на вертикальную пластин­ ку, имеющую вид равнобедренной трапеции. Высота ее равна /i, большее основание — Ь, меньшее, лежащее на поверхности воды, равно а.

Рис. 111

О Введем систему координат так как указано на рисунке 111. Давление жидкости на различные слои пластинки разное: за­ висит от глубины погружения х. Для решения задачи приме­ ним «метод дифференциала».

Дополнительные задачи

Более сложные задачи

9 .3 .287 . Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении медного конуса из морской воды? Конус с вертикальной осью погружен в воду так, что его вершина находится на поверхности воды. Высота конуса Н = 1 м, радиус основания R = 1м, плот­ ность меди 7i = 8900кг/м3,а морской воды 70 = 1020кг/м3.

9 .3 .288 . Тело, температура которого 30°, погружено в термостат (в ко­ тором поддерживается температура 0°). За какое время тело охладится до 10°, если за 20 минут оно охлаждается до 20°?

Указание, скорость охлаждения тела пропорциональна разно­ сти между температурой тела и температурой окружающей среды.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1. Вычислить интегралы:

ч/З

а) J х2 (/(3 - х3)2 dx\

1

б) /

О

ГР

в) [ — V " dx. J cos х

о

2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи­

мость:

+ ° °

*> / А 4 * '

3

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х3, у = х2, х = - 2 , х = 1;

б) г = 3 — 2 cos </?, г =

4.Вычислить длину дуги кривой:

5. а) Найти объем тела, ограниченного поверхностями г = х2 + 5?/2,

2 = 5 .

б) Найти объем шарового сегмента высотой 3, отсеченного а шара радиуса 6.

Вариант 2

1. Вычислить интегралы:

7Г

а) J у/sin х - sin3 х dx;

£

1

б) J X- ■(2х - I)8 dx-

h

3

в) J (х - 3)е~х dx.

о

2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи­ мость:

+о о

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = (х - 5) •(1 - х), у = 4, х = 1;

4.Вычислить длину дуги кривой:

а) х = In cos ?/, 0 ^ 2/ ^ f î

фигуры, ограниченной линиями 2х — у — 2 = 0, у = 0, х = 3.

в) / я -cos 4х •с/х.

л

2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи­

мость:

2

а)

— ОО

5

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х4, нормалью к ней проведенной в точке с абсциссой х = 1,

прямой х = 0;

б) г = cosy? г = sin ip (0 ^ у? ^ ^).

4.Вычислить длину дуги кривой а) г = З -e -f, 0 ^

б) у = 4 —х2, х = —2, х = 2.

5.а) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х2+т/2 = 9,

Z = 2/, г = 0 (у ^ 0 ) .

б) найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи­ гуры, ограниченной линиями у = х2, х = 2, у = 1.

□

Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

□

§1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

ФОРМЫ ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

^Комплексным числом z называется упорядоченная пара дей­ ствительных чисел (я;?/), первое из которых х называется его

действительной частью, а второе число у — мнимой частью. Обозначение: z = х + iy.Символ i называется мнимой единицей.

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым, если у = 0, то число х -h i •0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество Е действительных чисел является под­ множеством множества С всех комплексных чисел, т. е. Е С С.

Число х называется действительной частью комплексного числа 2 и обозначается х = Re 2, а у — мнимой частью, у —lm z.

Два комплексных числа z\ = х\ +iy\ и 2о = гг-2И-гг/*> называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е.

Г Х\ — Х'2,

Z\ = 22 4 = >

12/1 = 2/2-

Два комплексных числа z = х + iy и z —х —iy, отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными.

Всякое комплексное число z = х + iy мож­ но изобразить точкой М(х;у) плоскости Оху

такой, что х = Re 2, у = lm z. И наоборот. Плоскость, на которой изображаются ком­

плексные числа называется комплексной плос­ костью (ее также обозначают С). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось орди­ нат — мнимой.

Комплексное число 2 = х + iy можно изобра­ жать и с помощью радиус-вектора f = ОМ = (х; у).

Длина вектора г, изображающего комплексное число 2 (см. рис. 112), называется модулем этого числа и обозначается \z\или г. Модуль г = \А однозначно определяется по формуле