книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf10 .2 .34 . Используя формулы Эйлера, выразить через косинусы и сину сы кратных дуг функции:
|
а ) |
C O S 4 .T ; |
|
|
|
|
|
|
б) |
sin2 X. |
|
|
|
|
|
10 .2 .35 . |
Решить уравнения: |
|
|
|
|||
|
а) |
г2 —(2г - |
5)2 4- 5 - 5г = 0; |
|
|
||
|
б) |
г4 + 9г2 4- 20 = 0. |
|
|
|
||
Контрольные вопросы и более сложные задачи |
|||||||
10 .2 .36 . |
Доказать, что последовательность чисел { 2П}, где zn = cosnx + |
||||||
|
H- i sin nx |
есть геометрическая прогрессия. Найти ее знамена |
|||||
|
тель. |
|
|
|
|
|
|
10 .2 .37 . |
Доказать, что если \z\= |
1, то z = |
1. |
||||
10 .2 .38 . |
Из всех |
комплексных |
чисел, |
удовлетворяющих условию |
|||
|
\z —ч/З 4- г| |
^ 1 найти число, имеющее наименьшее значение |
|||||
|
главного аргумента. |
|
|
|
|||
10.2.39. |
Найти число с наибольшим модулем среди комплексных чисел |
||||||
|
z, удовлетворяющих условию \z4- 3 — 4г| = 3. |
||||||
10.2.40. |
Найти (1 4- sin<р4- г cost/?)16. |
|
|
||||
10.2 .41 . |
Найти модуль и аргумент комплексного числа 2, если: |
||||||
|
а) 2 = 1 + 4 + 1 ^ 4 ; |
|
|
|
|||
|
' |
1 - |
г |
1 4- г’ |
|
|
|
|
|
|
(ч/2 + й/б)4 |
|
|
|
|
|
|
( s i n f f + ic o s ^ ) 2 ’ ^ |
|
з |
|||
|
в) z = ^1 - |
cos ^ + г sin ^ |
( l - |
г ctg |
|||
10 .2 .42 . |
Пользуясь формулой Муавра (см. (2.6)), выразить sin5y? через |
||||||
|
cos ip и sin ip. |
|
|
|
|||
10 .2 .43 . |
Найти сумму: |
|
|
|
|||
|
а) |
sinrc 4- sin2a; 4-------h sinnx\ |
(n G N); |
||||
|
б) |
cosx 4- cos2x 4------- h cos nx\ |
(n G N). |
||||
|
Указание. Использовать формулы Эйлера (см. (2.8)). |
||||||
10 .2 .44 . |
Решить уравнение на множестве комплексных чисел: |
||||||
|
а) 24 — 23 4- 2г2 - 24-1 = 0; |
|
|
||||
|
б) |
28 - 1724 + 1 6 = 0; |
|
|
|
||
|
в) |
\z\— 22 = |
2г - 1. |
|
|
|
|
1 0 .2 .45 . |
При каких действительных значениях х и у числа z\ = я24- |
||||||
|
4-4у — yi и 2г = 4 4- у — ? — х 2 •г будут сопряженными? |
||||||
1 0 .2 .46 . |
Зная точку 2, на комплексной плоскости построить точку: |
||||||
|
а) |
2Г = 2 — 3; |
|
|
|
||
б) z' = iz\
в) 2; = 2 4- (2 - г).
10.2.47. Сколько и какие значения имеет произведение * л/~4? 10.2.48. При каком условии квадрат комплексного числа x+iy является
10.2.49. |
чисто мнимым числом? |
|||
Указать на плоскости С точки z, для которых: |
||||
|
а) * = 1 ; |
|
|
|
|
6 ) z = - i . |
|
|
|
10.2.50. Вычислить: |
|
|
||
|
а ) |
| е '* ’ |; |
|
|
|
б) |
|cos 2tp+ isin 2</?|. |
|
|
10.2.51. |
Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть от |
|||
|
рицательной? |
|
|
|
10.2.52. |
Как изменится модуль и аргумент комплексного числа z в ре |
|||
|
зультате умножения этого числа на: |
|||
|
а) 2; |
|
|
|
|
б) |
2г; |
|
|
|
в ) |
— 2 г . |
|
|
10.2.53. Вычислить: |
|
|
||
|
а) |
y/î; |
|
|
|
б) г2001. |
|
|
|
10.2.54. |
Нарисовать на плоскости С область, заданную неравенствами: |
|||
|
а ) \z+ г| ^ 2 , R ez > \ / 2 ; |
|||
|
б) |
|Rez\ ^ 2, |
|Im z\ < |
1; |
|
в ) |
\z- 1| < 1, |
argz ^ |
arg(z - 1 ) > | . |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1.Вычислить:
•( - « > + ii
2.Найти модуль и аргумент комплексного числа z:
a) z = ( - 5 + г) •( - 5 - г);
3. Решить уравнение:
а ) z2 —8 iz —1 5 = 0 ;
б) z3 + 8г = 0.
4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек z, удо влетворяющих условию:
а) | * -2 | -| 1 -2 * | = 0;
б) jz - 1 + г| ^ 1, Rez < 1, Imz ^ - 1 .
5.Найти число с наименьшим аргументом среди чисел z, удовлетво ряющих условию: |z - 8| = 4.
Вариант 2
1.Вычислить:
а) |
1 — г5 + г10 — г15 Н------- Ь г50; |
||
б) |
3 + 4г |
, |
4 - г |
|
г |
^ з |
+ г г |
2. Вычислить (zi -zo)10, если z\ = —1 + г\/3, Z2 = ^(sin30° + zcos30°).
3.Решить уравнение: а) z2 - 4z + 20 = 0; б) z •|z| = 4 — Зг.
4.Изобразить на комплексной области множества всех точек z, удо влетворяющих условию:
а) Re(l + z) = |z|;
б) |г —1 - г| < 1, |argz| <
5. Где расположены точки 1 + 2г, для которых |г| = 1?
Вариант 3
1. Найти:
яч (2 + 3 0 ( 5 - 0 .
а) |
2 + г |
б) (2г - I)4 - (2г + I)4.
2. Представить в тригонометрической и показательной формах числа:
а) z = 1 - у /3 ;
б ) z = —2 — 4г;
в) г = 3^sin ^ + г cos ^ j ;
3. Решить уравнение:
а) z 2 - |
z + 5 = 0; |
б) г 6 = |
А. |
7 |
г |
Глава 11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
□
§1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ГРАФИК И ЛИНИИ УРОВНЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение функции нескольких переменных
^Переменная г называется функцией двух переменных х и у,
если каждой упорядоченной паре (х; у) значений двух незави симых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области D Ç IR2 соответствует единственное число z.
Обозначения: 2 = /(.т; J/), z = F(x; y), z = z(x\y) и так далее.
^Переменная величина и называется функцией от п переменных x\y\z\.. . если каждому набору этих переменных соответ ствует единственное значение переменной и: IL = f(x\у; z ;... ; t).
Всякая функция нескольких переменных становится функцией мень шего числа переменных, если часть переменных (аргументов) зафикси ровать.
Например, функции и = f{x\y\z), и = /(.т;т/;а), и = /(.т ;6;а), где а и b — постоянные, являются функциями соответственно трех, двух и одной переменной.
В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух пе ременных z = f(x]y) или z — z(x\y). Под функцией z = f(x\y) будем понимать также функцию точки М (ж; у) с координатами х и у.
^Множество D всех точек (х;у), при которых z = f{x\y) име ет смысл, называется областью определения, а множество зна чений z, принимаемых функцией z = f(x;y) при (х;у) (Е D, называется областью изменения или множеством значений
функции.
График функции двух переменных. Линии уровня
^Множество точек пространства М3 с координатами (х;y;z) = = (xiUi fixiU)) при всех (х;у) € D называется графиком функ ции z = f{x]y).
Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функ ции трех переменных.
^Линией уровня функции z = f(x; у) называется множество всех точек плоскости Оху, в которых функция z принимает посто янное значение, т.е. f{x;y) = с, где с — постоянная.
^Поверхностью уровня функции трех переменных и = /(.т; ?/; z) называется множество всех точек пространства Oxyz, в кото рых функция и принимает постоянное значение, т. е. f(x ; у; z) = = с, где с = const.
11.1.1. Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар радиуса R как функцию двух его измерений х и у. Найти область определения этой функции.
О Исходим из построенного чертежа (рис. 120). Обозначим два измерения, скажем, АВ = х, АС = у. Пусть R — радиус шара, тогда BD = 2R. Объем параллелепипеда (прямоуголь ного) равен V = xyh (h = CD) и нам надо выразить h через Я, х и у. Из ADBC имеем h2 = 4R2 - ВС2, а из А АВС по лучаем ВС2 = х2 + у2. Значит, h2 — 4R? —х2 —у2, а тогда V = xyy/AR2 —х2 —у2 — искомая функция двух переменных. Ее область определения: 4R2—x2—y2 ^ 0, т. е. круг х2+у2 ^ 4R2 радиуса 2R с центром в начале координат. •
D У С
/7 7
i \ о
Сi . ___-\—
/" " - Л 7
Рис. 120 Рис. 121
11.1.2 . Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию трех
величин: длин оснований х и у и боковой стороны z.
О Имеем S = 5 трап = ^{х + y)h (см. рис. 121), а из A FCB
имеем h2 — z2 —В F 2, где В F |
= АЕ — ^(х —у). Искомая |
функция имеет вид S = |
— у)2. Это функция |
трех переменных х\ у\ z с областью определения 0 ^ х —у ^ 2z.
11*1.3. Выразить площадь треугольника как функцию длин двух его сторон х и у при условии, что известен полупериметр треуголь ника р.
1 1 .1 .4 . В шар радиуса R вписана пирамида, основанием которой явля ется прямоугольник, а вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Составить за висимость объема V пирамиды как функцию сторон х и у ее основания. Однозначна или нет эта функция? Найти область определения функции.
1 1 .1 .5 . Выразить объем V конуса как функцию его образующей I и высоты h. Указать область определения этой функции.
11.1.6. Дано J{x\y) = |
•Найти: |
а) Д 2 ;3 );
®)
в) f{x; -x)i
г) /(0 ; у);
О а) Чтобы найти /(2 ; 3), надо в выражении для f{x,y) под ставить х = 2, у = 3 и выполнить указанные в / действия.
Имеем /(2 ;3 ) = |
^ г 2% = Щ- |
|
||
е > / И ) |
= |
= ^ |
= №;»>• |
|
|
|
X |
|
|
\ ч |
\ |
(х + ( - х )) |
|
п |
в) П х’ ~у )= |
2х( -^) |
= 0 - |
||
г) ДО; у) = |
— не существует. |
|||
д) |
= т г п х |
= |
= Н х’у)- |
|
Xу
*Л
1 1 .1 .7 . |
Для функции f(x;y) = х |
найти: |
|
|
б) Д - х ; -у); |
|
|
|
в) |
f(y;x); |
|
|
|
Д х ; у) ' |
|
11.1.8 . |
Для функции f(x; у) = ху+ ^ найти: |
||
|
а) /(1; —1); |
|
|
|
б) / ( 1 ; з ) ; |
|
|
|
в) |
Д у ;х ); |
|