Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 5856 57 58 > Следующая >>>

F (x ) = {C i,	если х	^	О,
\х + Сг,	если х	^	О,

откуда из непрерывности функции F (x ) в нуле следует, что С 1 = С2. Далее

показать, что функция

если х ^ О,

|С' если ж ^ О, \х + С,

не имеет производной в нуле и, значит, не может быть первообразной для функции у. 8.1.63. Например, функция

если х ^ О, если х > 0.

Указание. Учесть, что

если х ^ 0, если ж > 0.

Далее показать, что указанная функция F (x )

имеет производную в точке

х = 0. 8.1.64. -5—h х 4* 771п

ж - I I

+ С. Указание. Представить числитель

’

1 2

|х + 1

подынтегральной дроби в виде ж4 = (х4— 1) + 1 = (х2 — 1)(х 2 + 1) + 1.

8.1 .65 .

tgx — c’tgx + С. Указание. Воспользоваться цепочкой равенств

_ sin

X “f* COS

1 1

01 de

1 „„„ r»_

о ■л

• •>------- 2— —

:—2-------- 2

— ------2

1 Г"2— •0 .1 .0 0 .

-r COS 2x — TF cos ox + G.

sin xcos

xcos

cos x

sm x

Указание. Использовать тождество sin3x ■cosôx = ^(sin8x — sin2x).

8 .1 .67 . tg ^ + С. Указание. Учесть, чтр 1 + cosx = 2 cos2

8.1 .68. Зх -

|х-у/х + С. Указание. Учесть, что 9 — x =

(3 — v^)(3 + >/ж)-

8.1 .69 . ^x v^x2 — 2 x •tyx + x + C. Указание. Учесть, что 1 + ж = l 3 -f ( ^ x ) 3,

далее применить формулу суммы кубов. 8 .1 .70 . С -				■arctg х.
Указание. Учесть, что	. _ 1	х2 +1	. 8.1.71 .	Iln \| ^ -â \| + C .
ж2(ж2 + 1)	?			о \|х +	2 \|
Указание. Воспользоваться равенством			_ _1_______1_
		(ж-3)(ж + 2)		х — 3	ж + 2‘

8 .1 .72. arctg(x + 2) + С. Указание. Выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби. 8 .1 .73 . |х — j sin 2х + ^ sin4x + С.

Указание. Дважды применить формулу понижения степени.

8 .1 .74 . sin ж — cos х + С. Указание. Воспользоваться формулой суммы кубов. 8.1.75* Нет. Указание. Например, рассмотреть функции /(х ) = д(х) = х.

8.2.2 .	+		+
8 .2 .4 .	1 sin4х + С . 8 .2 .5 .	\ ех3 + С. 8.2.6.	1 In6х + С.
	4	о	О

8 .2 .7 .	— In \|cosx + 1\|+ <7. 8.2.8. 1 In \|х3+ 1\|+ С . 8 .2 .9 .				Aarctg2x + C.
8.2.1 1 . 4\/x2 - 5 + 3 ln \|х+ л/х2 -			5\| + C. 8.2.12 . e sm' x + C . 8 .2 .13 . ^			-^ ~ 2 + С .
8 .2 .14 . ln \x ~ 2\+ 51n lx + 2l + c . 8 .2 .16 . \| x / 9 - x 2 + \| arcsin \| + C.
Указание. Сделать замену x = 3sin£. Преобразовывая ответ, учесть,
что sin 21 = sin ^2 arcsin		= 2 sin ^arcsin ^		•cos ^arcsin ^	= 2 •^ ^ 1 —
В последнем равенстве использовано тождество cos(arcsinx) = л/ 1 — х 2.
8.2.17.	1^ £ ± 1 — ^ I + С. 8 .2 .18 . \| v/(2 -			х )5- \| »/(2 -	х )3 + С.
	I V X +1 + 11		0	43
8.2.19.	2у'х — 8arctg	+ С. 8.2.2 1. sinx — x-cosx + C. 8.2.22.				3 •е3г + С .
8.2.23.	С - Ü i î ü .	8 .2 .24 .	I” 2‘ ~ *) +	с . 8 .2 .25 . x(ln2 x - 21nx + 2) + С.
8.2 .2 6 . (x2 + l l ^ c t g x - ^ + с 8 2 28 e ^ s in x -c o s x ) + с
8.2.29. ^ (sin Inx —cos lnx) + C. 8.2.31. x arcsin x + y/\ —x2 + C.
8.2.32. ln x (ln ln x -1) + C. 8.2.33. A sin(6x + 1) + C. 8.2.34.-----д- 3						\| Ç
			0		5v5x — 2
8.2.35. \|Vtg3x + C. 8.2.36. 1 arctg y + C. 8.2.37.					+ 7 + C.
8.2.38. —lnarccosx + C. 8.2.39. —^				+ C . 8.2.40. —		2ж. £>

8.2.41. - ^		-7'/* + C . 8.2.42. - e i+ C . 8.2.43. Ain2 5x+C . 8.2.44. ln\|sinx\|+C.
8.2.45. \| У(х2 + 8)4 + C. 8.2.46. -					+ C. 8.2.47. - i ln \|cos 2x\| + C.
8.2.48. i arctgx2 + C. 8.2.49. - le - *3 + C. 8.2.50. A ln\|x3 +							\|+ C.
8 .2 .5 1 .	- \| ( 8cos \| -		б) 3 +	C. 8 .2 .52 . 2y/x3 - x2 + 7x - 2 +		C.
8 .2 .5 3 .	1 ( (2Х У )37 -		( 2 r ^	3-6) + Ç .	8 .2 .54 . \| V (x + 4)* -	4 ^ (х	+ 4)з + C.
8 .2 .5 5 .	sin X - - 4 =		+ C. 8 .2 .56 . 7%/x2 + 10 + 2 lnlx + \/x2 + 10 I +				C.
	X	V X3				1
8 .2 .5 7 .	arctg e '+ C . 8 .2 .58 . A ln(x2+ 3)				+ -£= arctg -£=+<7. 8 .2 .59 . \|Varcsin3x -

— v/1 — x 2+<7. 8 .2 .60 . ^ ln|x + 1 J— 31n |x2—1| + (7. 8 .2 .6 1 . g ^7(1 + sin 2x )4+ C.

У казание. Воспользоваться тождеством cos 2x = cos2x — sin2x.

8.2.66. 2arctg v 9 + c				g 2 6?. С -\| (х+ 2)У Г = х . 8.2.68. A (arcsin x -x V l -						z2)+
+ C . 8 .2 .69 . ^ -(2 ln;B - 1) + C. 8.2.70 . (2x + 3)sinx + 2 cosx + C.
8.2 .71 .			i x - c h 5 x - i	sh5x+C . 8 .2 .72 . C - — ^ ---I c tg x . 8.2 .73 . ^ ( 3 I n x - l ) +
			6 0	2 S 1 I 1 X		2	°		9 v	'
+ C. 8 .2 .74 1 e^(1 + 2x _ ,x2) + Ç, 8.2.75. e(x3 -						3x2 + 6x -			6) + C.
8.2	.76	.	2 (v l + xarccosx — 2\/l — x) + C . 8 .2 .77 . 2(^/х — \/l — x arcsiny/x) + C.
8.2	.78	. i(ln \| \| ^ i\| __ _ ^ 2_Л 4. (7. 8.2.79. § (sinlnx + coslnx) + C.
			1	X — 1/	2
8.2	.80		e3x				-	1) + C . 8 .2 .82 . x tg x +
8.2	.80	. -jj(2 sin 2 x + 3cos2x) + C. 8 .2 .81 . 2e'/* (vÆ					-	1) + C . 8 .2 .82 . x tg x +
+ ln\|cosx\| + C. 8 .2 .83 . ^ - ( x 2 - l ) + C. 8 .2 .84 . x •ln(x + y/x*TÏ) - y/x2+										1 + C.
			* 2
8.2 .85		.	S112 X •(2 Insin x —1) + C. 8.2.86. ~		•arccos 3x + ^ 3 >/(l — 9x 2)3 —
—	♦л/1 —9x2 + C. 8 .2 .87 . 2(6 — x)y/x •cos ^/x + 6(x — 2) •sin y/x + C.
8 .2 .88		.	x •arcsin2x + 2y / T ^ x 2 arcsin x —2x + C. Указание. Дважды
применить правило интегрирования по частям. 8 .2 .89 . 2sin у /х + С.
8.2	.90	. (х + 1) arctg у/х — у/х + С. 8 .2 .91 . \ ln\| ™s-					~	\ 1+ С	= in ltg f I + С .
				6	1 COS X		I*	X I	I L I

Указание. Домиожить числитель и знаменатель подынтегрального выражения

на sinx, после чего сделать замену t

= cosx. 8 .2 .92 . —^>/3 — lnx(ln2x -f 41nx +

+ 24) + С. 8 .2.93 . earctg1 + 4 ln(l + x2) + C. 8.2 .94 . 5cos(

Зе-*(х + 1 ) + С.

8.2.95 .

i(arcsin x + xy/l — x 2) + С Решение. J у/1 — x 2dx =

1 -ж

= [

—у—

dx — [

= arcsin х — [ х «

x dx

J y/l —X

y /l — x2

у /1 — х 2

y /l-X 2

( - р / Г ^ )

= arcsin х — (—хл/1 — ж2 + J

у/1 —х 2с/х) = arcsin x -f х >/1 — x 2 — J

у/1 — x 2 dx.

Отсюда 2 J

у/1 - aPdx = arcsin x + хл/1 -

x 2 + С, т. е.

y /l^ x ^ d x =

i(arcsinx + х \/1

- х2) + С.

8 .2.96. i[x

•y/l + x 2 + ln(x + у /Т + х 2)] + С .

8.2.97. In I tgx| + С. Указание. Учесть, что

1 _ -

в !

Д - +

. sin2x

+ . cos2a:

= t g x + ctgx.

sin x •cos x

“

,sin x

•cos x

sin x •cos x

sin X •COS X

8.2 .98 .

i(arcsin s —

— x 2) + С. Указание. Проинтегрировать по частям,

предварительно преобразив подынтегральное выражение к виду

х •—1~х ■

dx. Далее воспользоваться задачей 8.2.95.

V 1 - х2

1 |j

1 I ^

—7= arctg

1 +С. Решение. Так как,

8.2.99.

= -Щ-— - = -———я—

б \/2 -х

1+ х 4

Д-Ч-г2

(я —1) 2+ 2 ’

то, сделав замену t = х —j

и учитывая, что dt = d(x —

= (l + Ду) dx,

получим: ( \ ± 4 d x =

(x - 1 ) 2+ 2

_______dt

+ x4

J r +2

t~+ (\/2)~

( * - £ ) 2+ :

= ^

TCtg^

+ c

= 7 2 axctsX- 7 f

+ c

= 7 2 aictK

, - x

+ C.

8.2.100. 2 1п(я2 —2x + 10) + arctg —

+ С. Указание. Выделим в числителе

производную знаменателя: (я2 — 2я + 10)' = 2я — 2 =4" 4я — 1 = 2(2я — 2) + 3.

Отсюда [

{î X~ l)dX- =

[

2{t X~ 2)\ l dx =

х~

—2х

х“ — 2я +

fГ 2(2хя - 22)dx

/*г

33dx______ 0, ffJ

(2®2^”~2))dx ^.03 [f

J x2 -2 x + 10

J x2 - 2x + 10

J x1 - 2x + 10

J (x -

l )2 + 9'

Далее сделать в первом интеграле подстановку t = х2 — 2я + 10, а во

втором — у = я — 1. 8.2.101. ^ [я3In|х

j — In |я2 — 1|— я2] + С .

з »

х-2ах ,

/ я —

то есть

[ х .ух(^х . Далее сделать подстановку t = я2 — 1. Тогда

я" — 1

/* х2 •xdx _		/*Г [(х		я2 - 1
J	x2 - 1	J
8.2.102. С —^c?s.f— +			-	я
				In tg - .
		2sin я	^	2 \|
				I * I

~ 1) _ 1 /* t + 1

Указание. Воспользуемся методом стрелок:

/ + § - = / ^ Ь ' a f e = - < ^ - [ ç ^ dx = - s s ^ - [ i-s in 2x dx =

Sin Я

sin

я У

sin я

sin

'Kl;

cos я

cos x—

---------Д—) dx = —

—

f —Щ— h [

sinя

Отсюда

sin

J ' sin3 я

smx j

sin2 я

У sin3 я

—f x

= —

[ J 1—"-Далее воспользоваться указанием к

sin" я У

sin я ^

задаче 8.2.91.

§ 3. Интегрирование рациональных дробей

8.3.2. 41n |х —3| + (7.8.3.3. - г —

г + С. 8.3.4. — , 11

>а + С.

(х ~

' 2(х + 2}

8.3.5.

\ arctg

+ (7. 8.3.6. А1п(х2 -

2х + 17) + | arctg 2-=Д. + (7.

8 .3 .7 .

2 ln(x2 + x +

1) - 2\/3 arctg 2 ï + i + ç

V o

8 -3 -9 -

f ( ? Г н + a r e tg x )+ C .

8.3.10. ^

+ arctg ^ 2 ]

+ C.

8 - 8 - 1 1 -

'2(xV + c+x3+

i0)

arcts(* + 3). 8 .3.13. In |(x -

5)(a: + 2)| + C.

8.3.14 .

lp \x-

5| -

à In |x -

1| + C. 8.3.15. C - ± - arctg x.

8.3 .16.

+ 4x + 2 In |x| + 5 In |x -

2|- 31n |x + 2|+ C.

8.3 .17 .

In |x -

2|-

ln(x2 + 2x + 4) - &

arctg

+ C.

8 .3.18.

iln (x 2 + 9 )-ln | x -l| + 7 1 n | x + 2| -

| arctg | + C.

8 .3.19.

5 In |x +

л/2| +

8 .3 .20 . -

Ч + С.

( - 0

8-3-2 1' - 5 Ï Ï W + C. 8 .3 .22 . -

+ C. 8 .3 .23 .

+ C.

8 .3.24.

arctg 2 ^ + 1

+ C. 8 .3 .25 . 31n(x2 -

8x + 25) + ^

arctg Z-fX+ c.

8.3 .26 .

I ln(x2 + 2x +

10) -

arctg

+ C.

8 .3 .27 . i

ln(x2 + 3x + 5) +

arctg

2 + 2x + 1) - ^

arctg

5x 4-1

C. 8 .3 .28 . | ln(5x

3SL±J, + C

8.3 .29. C -

-, - i X + 2

■

arctg ^ X . 8.3.30 . C -

д* 4-9----- -

2{x1 + 2x + 3)

y/2

8{x2 + 2x + 5)

- i arctg

+ C.

8.3 .31 . -15z° + 4Рж3 +ü33a: + JL arctgx + C.

48(x 4- 1У

8 -3 '32- 3

, ^

)

+ Й

^ +

C .

8.3 .33 . Z m |«2| - 1

LaI , - l| + a

8 .3.34.

2In |x - 2|— In |x — 3| + C. 8 .3 .35 . | In |x - 5| +

| In |x + 1| + C.

8 .3 .36 .

2x — I In |x — 2|— I In |x + 3| + C. 8 .3 .37 . In |x + 1|-

| In |x - 4| -

- à In |x -

2| + C. 8 .3 .38 . |.in |x + 1|-

à In |x + 2|+ i

in |® -

2| +

8 -3 -39 - Щ¥+ТУ + 5 1* |x + 1| +

§ In |x -

1| + C. 8.3 .40. C - 2 (i 7

x - 2 *

8.3.41. — — 2x + g In \x — 1|- i In |x 4- 1|+ ^ In \x+ 2|4- C. 8 .3.42 . g In \x - 1|—


- i ln(x2 + x 4- 1) +			arctg 2 3 1		+ C. 8.3.43.		i			lnj^g ^ \|+ C.
б 114*4' т		* Т А ; т 7 5 ши,,в		у/з			*		4 J
8.3.44.	j	arctg x -	g arctg ^ 4- C.		8.3.45.	\| ln(x2 — 2x + 5) —
- ln\|x -	1\|4- ^ arctg		4. c. 8 .3 .46 .			--		+ arctgx 4- ln\|x\| + C.
8.3 .47 .		- 2x 4- g In \|x 4 -1\| -		\| ln(x2 - x 4-1) +				^		arctg 2a^ -* + C .
8 .3 .48 .	5 In \|x\| - \|ln(x2 4-1) +			I arctg x 4-

.51 . | ln(e* + 2) + i ln(e2x + 3ex + 2) -

| ln(e* +

1) + C =

+ C.

.5 2 . In] zr^-тг I -

e-x + C. 8 .3 .53 . i lnl si.n a:~

* I + C.8.3 .54 . i. In! pK S& g I -

— e |

3 | sm x + 2

11 - sm x \

sin x -z

+ C. 8 .3 .55 . ^

ln x

2~ + ^

' x + 1

^ arctg

1 — x

+ C.

—y/2 ■x +

Указание. Разложить знаменатель подынтегральной дроби на множители:

x 4+ 1 =	(x4+ 2х 2+ 1) —2х 2 = (x2+ 1)2 — (\/2х )2 = (x2+ у/2х + 1)(х 2 — у/2х + 1).
8 .3 .56 .	-пта- +	— —2 ом	-	у " , 1—^"137 +	Указание. Сделать
	199(х + 2)199	99(x + 2)1JS		197(х + 2)197

замену t = х + 2. 8 .3.57. — ^ -----h С. Решение. Сделаем замену t = х 5+ х.

	х	+ х
Тогда dt = (5х'* + 1) dx и x 2 •(x8+ 2x ‘‘ +				1) = x 10 + 2x6		+ x 2= (x5 + x )2= t2,
f	(5x4+ l)d x	f dt	1	,	1	,
°ТКуДа l	r V + 2 , 4 l ) = /	?	= ~ ï	+ C = ~	7 ^	+ a
8.3 .58 .	ущ ln \|x200 — 1\|— ln \|x\| -f C. Указание. Поделив числитель и

знаменатель подынтегральной дроби на х 101, сделать замену t = х 100----- пго*.

§ 4. Интегрирование иррациональных функций

8.4.2.	^\/х + i ^х +	+ In\ \ / х	— 1\|) 4- С .
8.4.3. 4^ ^/х — yfx4- ln(tyx4- l)j		4- C.	114- C.
8.4.5. \| ^2x + 1 + 3 ^2x + ï 4- 3 ln \|^2x + 1 -
8.4.6. 2 ty(x +	1)2 _ з ^ + Т + 3 ln \| ^ + T +		1\| + C. 8.4.8. 2 ^ Щ ± + С .

8.4.10.j xyfx 4- ||x • 4- ||x2 •ÿ ï 4- |x2 •y/x 4* Y f X 2 •\/x $ + C .

8.4.11.V £ Ï± I(2Sx£ 1^ L1) + Q g.4.12. 3 ln |tyx + 1| + C.

8.4.13. \| [v^x2 — ln(	+ 1)] + C.
8.4.14. - 1 y/x * - 6 ^ x - 9 1 n \| ^ x -l\| - 3 1 n (^ ? + l) + C.
8.4.15. 2yfx 4- 6\f x + 3 ln		yX + I	4	C. 8.4.16. x — 2y/x 4 2 In(l + y/x) 4 0<
8.4.17. C - 6 ÿ ï - 2 y / i -		\| v^8 -	f	- 3ln
8.4.18. 2ï/x+"2 + v^21n y / 7 + 2 - V 2				+ C.
		7 x 4 2 + V2

8.4.19. | y/(x+l)3- 1 ^ /(x+ l)4+ 1 fy'(x4l)7- x 4 1 ^ /(x+ l)s- § У (х+ 1)2+С7.

8.4 .20 . 2 arctg y/x + 1 + C. 8.4.21. ж + 4y/l + x + 4 1п(>/Г+"ж -

1) + C.

x — 2

----------

2x -

2ln |ty T = 2 Ï - 1|.

.4 .22 . Z -j- ï

•y/2x - 1 + C.

8.4.23. C - ^ 1 -

2x - 2tyl -

.4.24.

^ + C- 8 .4 .25 . 2

\ + C. Указание. Учесть, что

1_______ __

l x - 2

х / (* - 1 )3(гв-2)

V х - 1

l* “

I K * - 2 ) ’

8-1-26'Н £ ^ М "С‘82^1+С’Г“'- # 9-

.4.27. ^ 1 — ж

С-

Указание. Учесть, что

(1 — x )y /l —x2

= ------------------------ / = •

8-4.28. ln |x| - 3 [ln |1 + Щ -

J V *

+ 3

j + С .

2 ( 1 + 3 5 ) 4

8.4 .29 . x /a + ^

z i ) + с .

8-4 -30- с - А \ / № ) ‘ + 5

8-4-31-

+ с -

.4 .32 . i ÿ ( l

+ x3)8- i

$/(1 + x 3)5+ С.

8.4.33 . -

с .

.4.34 . j ху/х 4- ^ х2 4-

4- jjz3 4- С.

Указание. Раскрыть скобки.

.4 .35. ± У (ж3 -

4)4 + С. 8.4 .36. arcsin

+ С.

8.4.37. \/z2 — 10 4- 29 4- 3 1п |z — 5 4* у/х2 —10а: 4- 29| 4* С. Указание. Вычислив

в числителе производную подкоренного выражения, представить данный

интеграл в виде суммы двух интегралов (как при интегрировании
простейших рациональных дробей третьего типа).
8 .4 .38 . Зу/х 2 —4z 4- 5 4- In \х — 2 4- V х2 —4z 4- 5\|4- С.
8 .4 .39 . 2 arcsin(x — 1) — у/2х —х 2 + С . 8 .4 .40 . In 1 -				л/1 - X2 + y /ï^ x * + C .
Указание. Сделать подстановку х = sint. 8.4.41. 2 arcsin £ + ^V4 —x2+ С.
8.4.42. ^ - ^ (x - 2 )11 +		à y /(x —2)e + C. 8.4.43. C -		^ x2 + 1 .
Указание. Сделать подстановку. В ответе учесть, что sin(arctgz) = - у х					.
				у /х 2 4-1
8.4.44. ~[^/(z —I)3 4- у/(х —2)3] 4- С. Указание. Избавится от
иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
8.4.45. С —arcsin i . Указание. Сделать подстановку х = у.
	x			t
8 .4 .46 . -4? arccos ■		Q	у казаниея Сделать подстановку t = х 4-
7 Г	âP + i
8 .4 .47 .	4 -1)3 4- N/ Z 3] -		\| [^ (z 4- 1)54- л/z®] 4- С. Указание. Избавимся
от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби:

f	- ^ g f o + l L			dX = f	+ ! ) ( > / » - >/» + l)		d x	_
J	V Ï + V^+T			J (vÆ+^Æтг)(vг-^/^+T)
_	f xy/x +		1 — y/x(x -f-1) ,		г ,	г	>—	_
~	J	x _	^	+ 2)-------L “x = J	xy/x +	ld x — y v/ï(x +		1) dx. Полученные
интегралы вычисляются без труда.
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
8.5.2.		ln\|tgf \|+ £7. 8.5.3. l i n			J \| ± \|	+ С . 8.5.5.		•a ro tg (y § tgx) + £7.

8.5.6.С — j ctg4 x — ctg2x + In Itg x\. 8.5.8. A cos3 x — cosx + C.

8.5.9.

sm x

— n _Лз-----h C. 8.5.11.

T sin 2x -f-

sin4x 4- C.

3sin x

8.5.12. Ax — ^

sin 4x + C . 8.5.14. C -

^ cos 6x -

A cos 2x.

x — ln|sinx|. 8.5.18. tg x — x + C.

8.5.15. Asinx — isin 2 x + £7. 8.5.17. £7 — ctC

2 “ “ “

8.5.19. In t g f +

1 + C. 8.5.20. -----—

+ C. 8.5.21. | arctg 5tg ; + 4 + C.

t g f - 1

l - t g «

8 .5

.22 .

ln(2 + cos a:) +

= arctg

+ £7. 8 .5 .23 .

arctg

+ £7.

8 .5

.24 .

A(ln|tg|| + I t g 2 | + 2 tg | )

+ £7. 8 .5 .25 . g arctg(3tgx) + C.

8 .5 .26 . la r c tg (| tg x ) +C. 8 .5 .27 . i a r c t g ( ^ ) + £7.

8.5

.28 . — ÇtfLJE _ ctg x + C. Указание. Сделать подстановку t = ctgx.

8 .5

.29 . C — A cos5x + -

cos3x - cos x. 8.5 .30. ^ sin9x -

y sin7x +

g sin5x + C.

8 .5 .31 .

— 2 S

H- C. 8.5 .32 . C - sin x -

+ A Inlf -^

g ^ l.

о cosô x

11 — sin x I

8 .5

.3 3 . ^ x -

1 sin 2x +

^ sin4x + ^

sin32x + C.

8 .5

.3 4 . ^

x - i s i n 4x + ^ s in 32x + C. 8 .5 .35 . ygg(3x - s i n 4 x +

|sin 8x) + C.

8 .5 .3 6 . \ sin2x -

ls in 4x + C. 8 .5 .37 .

2cos f

- f cos || + C.

8.5.38.g sin4x + j sin 2x + C.

8.5.39.i (g sin 3x + j sin 7x + sin x + g sin9x^ + C.

8.5.40.	£7 - i ctg5 x + i ctg3 x - ctgx - x. 8.5.41. \| tg3 \| - 2 tg \| + x + £7.
8.5.42.	i tg® x - 1 tg4 x + 1 tg2 x + ln \| cosx\| + £7.

Глава 9. Определенный интеграл

§ 1. Приемы вычисления

9 .1.3.			к 2. 9.1.4.					9 .1.5. i In7.							9.1.6.	51n2 -			1. 9.1.7.		2 s / ê - 1. 9.1.8.
9	.1	.9 .	i	In 13. 9 .1 .10 .							9 .1.11.			4.	9.1 .13.		0.	9 .1.14.			.
9	.1 .15 .			л/3 -		1 -	9.1.16. - ^ y . 9.1.17.											9.1 .18 .		1. 9.1.19. \|.
9.1.21.				ln\|.		9.1 .22. l n				^ .		9.1.23 . 12 + 91n3. 9.1.24. arctg0,08.											9.1 .25 . l n ^ .
9.1.27.			о	9.1 .28 . In2. 9.1 .29 . ^										-	il n2 .	9.1.30.			1 - c o s l .
												о			l
9	.1 .31 .			-рЦ - -г \ .				9.1 .32 . i				In 3 + 2-^ S . 9.1 .33 .							1 ~0ln2. 9 .1 .34 . - Ц ^ .
			In l			In о					l	l							I				l
9	.1 .35 .					24 . 9 .1 .36 .					2. 9.1.37 . %/3 -					1 +		In		9 .1.38.			9.1 .39 .		1.
9	.1.40.		ж ~ ^ + In y/2. 9.1 .41 . Отпет не вереи,																противоречит свойству 7.
9.1.42.			0. 9.1.43. а)					второй; б)					первый; в)				второй; г) первый. 9 .1.44 . а)							< 0;
б)		> 0.	9.1.45. Нет.				9.1.47. 1п\|.						9.1.48 . i				9.1 .49 . \| ln \| .				9 .1.50.		31n3.
	'											3			6				3	2
9	.1.53.		Ы . 9.1 .54 .				Щ . 9.1.55 . Щ . 9 .1 .56 .										4 + c2v^ . 9 .1.57. 1п2 -						\|.
			4о				о					1о						о					о
9	.1 .58 .			Цтг. 9.1.60. 21п(3\/2 -									3).		9.1 .62 . \|					9.1.63. 21=i2.
9	.1.64.		\| -			i . 9 .1 .65 .			1 ~21п2. 9 .1 .66 . 5.							9.1 .67 . 2ч/3 - \|тг. 9 .1 .68 . 1п2.
9	.1.69.		In \|.		9.1 .70 . —						9.1.71.				— \/3. Указание, х =						4sin2 t. 9.1.72.
9.1 .73 .			3.	9.1 .74 .				-arctg% /7.						9 .1 .75 .				9.1 .76 . i\| \| . 9 .1 .77 . ^
9 .1 .78 .			30In \| - 6 . 9 .1 .79 . 2\|. 9 .1 .80 . х =													2. 9.1 .81.				9.1 .82 . а) нет; б)				нет.
9.1.83.			50.		9.1.84 . Разрыв при t =										0. 9 .1 .87 . —1. 9.1.88. 7г — 4 + 6 1п2.
9 .1 .89 .			3ее~			16. 9 .1 .90 . 24In2 -								16. 9.1 .92 .2				9 .1 .93 . ^ 4Г 8 .
9.1 .94 .					-	ln(l +		s/2).			9.1.96.			35 + 53 ~				9.1.97. ^			- 6.
9.1 .98 . Л					-	А г	+	А		т - 9-1.99. 2тг - 4. 9.1.100. In 2 +											6	9.1.101. 4^-
			m3			lnJ 3		In		3													2о
9 .1 .102 .						+ ^		2t - J r - 2				In 2. 9 .1 .103. 2е2 -							2.
9 .1 .104 . ( 1П^2Г ~ +							2i			-	) .	9 .1 .105. 2v^\|+ 2 . 9.1.106 . \|											9.1.107 .		2.

9.1.108. 4е3 +2. 9.1.109. g 2 2~ 1. 9.1.110. n (\/2 + ln(l + \/2))

9.1.111. 4- + 1. 9.1.112. тгч/2-4. 9.1.113. 0. 9.1.115. 0.

§ 2. Несобственные интегралы

9.2.2.i. 9.2.3. i. 9.2.4. Расходится. 9.2.5. Расходится. 9.2.7. Расходится.

9.2.9.In 2. 9.2.11. Щ Ё . 9.2.13. Расходится. 9.2.14. 1п(2 + \/о). 9.2.15.

9.2.16.Расходится. 9.2.17. -1. 9.2.18. 9.2.19. 4. 9.2.20. Сходится.

9.2.21.Расходится. 9.2.22. Сходится. 9.2.23. Сходится. 9.2.24. Расходится.

9.2.25.Сходится. 9.2.26. Расходится. 9.2.27. Расходится. 9.2.28. Сходится.

9.2.29.Сходится. 9.2.30. Сходится. 9.2.31. Сходится. 9.2.32. Расходится.

9.2.33.Сходится. 9.2.34. ±. 9.2.35. ±. 9.2.36. 27r~.2v^ . 9.2.37. Щ +

9.2.38.^подстановка t = х — 9.2.39. 0. 9.2.41. Указание. Сравнить

е~х' и е "2г+1. 9.2 .42 . Сходится ^		= t j . 9 .2 .43 . Сходится.
Указание. Сравнить /	= е~х (1 - ~	) с ip(x) = е~х“ 9.2.44. Расходится
(In я = t). 9.2.45. Нет	никаких значений а . 9.2.48. Расходится. 9.2.49. — i .

9.2.50.Расходится. 9.2.52. 2\/2. 9.2.53. Расходится. 9.2.54. 6. 9.2.56.

9.2.57.Сходится. 9.2.59. тг. 9.2.60. Сходится. 9.2.61. Расходится.

9.2 .62 . Расходится. 9 .2 .63 . Расходится. 9 .2 .64 . Расходится. 9 .2 .65 . — ^1п2е.

9.2.66.Расходится. 9.2.67. ^ —arctg у/7. 9.2.68. 27г. 9.2.69. Расходится.

9.2.70.Сходится. 9.2.71. Расходится. 9.2.72. Расходится.

9.2.73.Расходится. 9.2.74. Сходится. 9.2.75. Сходится. 9.2.76. Сходится.

9.2.77.при Q < 1; расходится при а ^ 1. 9.2.78. Расходится.

9.2.79.Расходится. 9.2.80. J n = (—1)п •п\ 9.2.81. —^1п2. 9.2.82. Сходится.

9.2.84. Сходится при Q < 1; расходится при а ^ 1.

§ 3. Приложения определенного интеграла

9.3.2.	4г- 9.3.3. тг	—1. 9.3.4. 1 -	9.3.6.	9.3.7. 1. 9.3.8.
9.3.9.	36. 9.3.10.	9.3.11. 8. 9.3.12. \|. 9.3.14. 2 -		9.3.15.

- 24In

tO|Oû

9.3.16.9.3.17. |. 9.3.19. 6п. 9.3.20. nab. 9.3.21. 22^1. 9.3.22. 8*.

9.3.23.22. 9.3.24. |тг + 9.3.27. 6,25тг. 9.3.28. |тг. 9.3.29. Щ* . .

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 5856 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб29Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf