Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5841 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

9.3.105. г = 5ip, находящейся внутри окружности г = 107г. 9.3.106. г = 6(1 + sin<^), ip е [ -| ;0 ] .

9.3.107. г = V2e*, 0 ^ <р<

Дополнительные задачи

Вычислить длины дуг кривых:

9.3.108.		6 ’	между точками пересечения с осями Ох и Оу.
	у = 2 - VТ
9.3.109.	х = cos t + t sin			от t = 0 до t = 7г/4.
9.3.109.	у = sin t —t cos t			от t = 0 до t = 7г/4.
	у = sin t —t cos t
9.3.110.	x = 4(* -sin *),			K < f < 2n
9.3.110.	y = 4(1 - cost),			i ^	^ 3
	y = 4(1 - cost),			i ^	^ 3
9.3.111.	2/ = ln —-— от x = 0 до x =					б
	u	cos x				б
9.3.112.	у = V * — 1 от точки Л(1; 0) до точки В (2; 1).
9.3.113.	у = 1п(1 — х2) от х = 0 до х =
9.3.114.	2у — х2 + 3 = 0 между точками пересечения с осью Ох.
9.3.115.	x2 = (у — I)3, отсеченной прямой у = 2.
9.3.116.	Гх = t2,
9.3.116.	[y = t - I * 3		<петля)-
	[y = t - I * 3		<петля)-
9.3.117.	I х = 3 sin 1 4- 4 cos £,
9.3.117.	I y = 4 sin t — 3cos t.
	I y = 4 sin t — 3cos t.
9.3.118.	(x = 2 cos3
9.3.118.		„ . 3 t	(астроида).
	J^ = 2smJ \|
9.3.119.	J x = 2 cos t -		cos 2£,			7Г
9.3.119.	I у = 2sin£ — sin2£,					2
	I у = 2sin£ — sin2£,					2
9.3.120.		= 3(1-cosi),
		= 3(1-cosi),
9.3.121.	г =	2(1 - COSI/J), —я ^			^
9.3.122.	r =	5eft*.	< p ^
9.3.123.	r =	2cosy>, 0 ^ v ? ^

9 .3 .124 .	г = 3<р, 0 ^ tp ^ \|.
9 .3 .125 .	г = 2е^, находящейся внутри круга радиуса г = 2.
Более сложные задачи
9 .3 .126 .	Найти длину замкнутой кривой 9у2 — х(х — З)2 = 0.
9 .3 .127 .	Найти периметр лунки, образованной окружностями х2 + у2 =
	= Ах и х 2 + у2 = 2у.
9 .3 .128 .	Вычислить длину замкнутой кривой, состоящей из участков
	кривых у2 = х 3 и х2 + у2 = 12.
9 .3 .129 .	Вычислить длину кривой у= \/х—х2+ arcsin у/х+3,
9 .3 .130 .	Вычислить периметр одного из криволинейных треугольников,
	ограниченных линиями у = In sin т, у = In COST, у = 0.
9 .3 .131 .	Вычислить длину	дуги кривой		( х —= (t2 —2) sin t +.2£ cos i,
9 .3 .131 .	Вычислить длину	дуги кривой		=	(2 — t2)cccos t + 2t sin £,
				=	(2 — t2)cccos t + 2t sin £,
9 .3 .132 .	J x =	£ — sin £,	найти точку M, которая делит
9 .3 .132 .	На циклоиде <	1 - cos t	найти точку M, которая делит
	1у =	1 - cos t
	первую ее арку по длине в отношении 1 : 3.
9 .3 .133 .			[ х = e*(cos£ 4- sin£),
9 .3 .133 .	Вычислить длину дуги кривой
			у = el(cost - sin £),
9 .3 .134 .	Вычислить длину дуги кривой
		X = J	^	dZ,
		1	z
		y = f É R z dz
		1	*
	от начала координат до ближайшей точки с вертикальной ка
	сательной.
9 .3 .135 .			х = cos5 1,
9 .3 .135 .	Вычислить длину дуги кривой { ~			~~ =	0 ^ t ^
			у = sin0 £,
9 .3 .136 .	Найти длину кривой г = a sin3
9 .3 .137 .	Найти длину дуги спирали Архимеда г =				2ip, находящейся вну
	три окружности г = 27Г.
9 .3 .138 .	Вычислить длину дуги кривой г =			п- - ^------от ip = 0 до tp = ?■.
9 .3 .139 .	Найти длину кривой г = 3cos4
9 .3 .140 .	Найти длину дуги кривой г = ae6v? (a > 0, b > 0), находящейся
	внутри окружности г — а.

Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сече ний. Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными осп Ох и проходящими через точки х € [а; 6] на ней (см. рис. 101). Площадь фигуры, образующейся в се чении, зависит от точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на [а; Ь] функцией S(x). То

гда объем части тела, находящейся между плоскостями х =	а и х = b
вычисляется по формуле
ь
V = J s { x ) d x .	(3.12)

Рис. 101

Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оу) криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = /(х ) (/(х) ^ 0) и прямыми у = 0, х = а, х = Ь, вычисляются соответственно по формулам:

	ь
Vx =	я J у2 d xy	(3.13)
	а
	b
Vv = 2ж J	ху dx , а ^ 0.	(3.14)

Заметим, что если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криво линейной трапеции, ограниченной кривой х = <р(у) (<р(у) ^ 0) и прямыми х = 0, у = с, у = d, то объем тела вращения равен

d
V = K J x 2 dy.	(3.15)

9.3.141. Найти объем V пирамиды с площадью основания Q и высо той Я .

О Направим ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды, а начало координат совместим с вершиной О данной пирамиды (см. рис. 102). На расстоянии х от точки О проведем попереч ное сечение пирамиды. Его площадь обозначим через 5, она является функцией от х: S = S(x). Как известно, площади се чения (параллельного основанию) и основания относятся как

квадраты их расстояний от вершины, т.е. ~Q ~ =			Отсюда
S(x) = -â-x2. По формуле (3.12) находим
Н
		- 3 H 1
V- J н 2	H 2	= ôQH
V- J н 2	H 2	3

9 .3 .142 . Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2 + 4у2 = 1, г = х (х ^ 0), z = 0.

О В результате пересечения эллиптического цилиндра х2 + 4у2 = 1 плоскостями z = 0 и z = х получим тело, изобра женное на рисунке 103. Сечение тела, перпендикулярное оси Ох, проведенное на расстоянии х от начала координат пред ставляет собой прямоугольник ABCD. Найдем его площадь S = 5(х). Высота (ширина) M N прямоугольника равна х, т.е.

\MN\ = х (в прямоугольном треугольнике NMO угол NOM равен 45°). Точка D{x\y) лежит на эллипсе х2 + 4у2 = 1. Зна-

чит, MD = у =	т.е. \|MD\| =				Следователь
но, S{x) = AD	M N = 2MD		=	о	>ZLZ J
но, S{x) = AD	M N = 2MD		M N =	2	v 1 ” x я, т.е.
S(x) = хл/ l — x2. По формуле (3.12) находим
1	1	1	X 2)5 d(l -		x2) =
V = J x y / l -	x2 dx = - i	J (1 -	X 2)5 d(l -		x2) =
о		о

= - i V Ô ^ ¥ [ = i . •

9.3.143. Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами х2 + у2 = = К2 и х2 + z2 = R2.

Рис. 104

О Изобразим на рисунке восьмую часть тела, расположенную в I октанте (см. рис. 104). В поперечном сечении (перпендику лярном оси Ох) тела получится квадрат. Его сторона о равна ординате точки М (х;у), лежащей на окружности х2 + у2 = Л2, т.е. а — у = л/R2 — х2. Следовательно, площадь сечения равна S(x) = (y/R2 — х2)2 = Л2 — х2, 0 ^ х < Л. Используя форму лу (3.12) находим

l v = /(*’ -* ’ )* = ( Л - у )

т.е. V = 1&R3.

9 .3 .1 4 4 .	Найти объем шара радиуса R .
9 .3 .1 4 5 .	Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой Я .
9 .3 .1 4 6 .	Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром
	2 =	;Г2, ПЛОСКОСТЯМИ ?/ = О, 7/ = 6, 2 = 1.
9 .3 .1 4 7 .	Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром
	z = 1 —2/2, плоскостями у = 0, z = 0. х = 0, х = 12.
9 .3 .1 4 8 .	Найти объем тела, ограниченного параболоидом z =					х 2 + у2 и
	плоскостью z = 4.
9 .3 .1 4 9 .	Найти объем эллипсоида х 2 + у2 + 4 z2 ^ 4.
9 .3 .1 5 0 .	Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара х 2+ у 2 +
	+ z 2 = 25 плоскостями у = 1 и у = 4.
9 .3 .1 5 1 .	Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболои-
	ДОМ X2 +		2		II ПЛОСКОСТЯМИ Z = 0, Z = 3.
	ДОМ X2 +			— Z2 = 1,	II ПЛОСКОСТЯМИ Z = 0, Z = 3.
9 .3 .1 5 2 .	Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболои-
	ДОМ	2	2	= 2 И ПЛОСКОСТЬЮ 2 = 4.
	ДОМ	+	з	= 2 И ПЛОСКОСТЬЮ 2 = 4.
9 .3 .1 5 3 .	Найти объем обелиска, параллельные основания которого ква
	драты со сторонами а и b (а > Ь), высота равна h.
9 .3 .1 5 4 .	Найти объем тела, ограниченного канонической поверхностью
	(у “ З)2 =		2	2
	(у “ З)2 =			и плоскостью у = 1.
9 .3 .1 5 5 .					V2	z 2	=
9 .3 .1 5 5 .	Найти объем тела, ограниченного поверхностями g					+ fg	=
	х =	2.			2	2
9 .3 .1 5 6 .					2	2	= 2г
9 .3 .1 5 6 .	Найти объем тела, ограниченного поверхностями					^	= 2г
				2	2
	(параболоид) и				= z 2 (конус).
9 .3 .1 5 7 .	Цилиндр, основанием которого служит эллипс 4х2 + 2 5 у 2 = 400
	пересечен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось
	эллипса. Высота полученного «цилиндрического клина» равна
	5. Найти его объем.
9 .3 .1 5 8 .	Найти объем шарового сегмента высотой 2, отсеченного от ша
	ра радиуса 4.
9 .3 .1 5 9 .	Найти объем тела, ограниченного плоскостями z =					1, z	= 4,
	если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональ
	на квадрату расстояния сечения от начала координат, а при
	2 = 3 площадь сечения S (z ) = 20.
В ы ч и сли т ь объем ы			т ел, огран и чен н ы х п оверхн ост ям и :
9 .3 .1 6 0 .	2 = 9 — х 2 — ?/2, 2 = 0.
9 .3 .1 6 1 . х 2 -1- у 2 = 9, у + 2 = 3, 2 = 0.
9 .3 .1 6 2 .	у = гс2, 2 =		0,	2 + у =	6.

9.3.163.	_2	„2	2
	Т	+ ‘£Г + Т44 - 1 ,		г = 0’ г = 3'
9.3.164.	ё	+ fe = !» * = ^		» (» ^ °). * = °-
9.3.165.	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограни
	ченной линиями ху = б, х = 1, х = 4, 2/ = 0, вокруг оси Ож и
	вокруг оси Оу (см. рис. 105).

ОПо формуле (3.13) находим

v* = * / © 2‘te= 3fa( - ï ) [ = 2T' '

По формуле (3.14) находим

Vy = 27Г уг а; •-6 cte = 2тг •6я = 36тг.

9.3.166. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу области, ограниченной линиями у = е“*, æ = 0, у = 0 (х ^ 0).

ОИспользуя формулу (3.15), находим

Vy = 7Г J (-\пу)2 dy = 7Г J \n2ydy =

оо

u = In2 2/ du = 21n2/* irfy

dv = dy v = 2/

/			1	—2	Г	\	=	11 = 1Inу du = —dy
= 7г( limi/lny			о+е	—2	\ \nydy)		=		У У
V - *0			о+е		/	/		\dv =■dy V = у
=	Д о	-	2^1im ylnj/J			-	у\|	) ) = -27г(0 - 1) = 2ж.
Заметим, что можно использовать формулу (3.14):
	+00				s
Vy = 2n	J	хе~х dx = 2л*				Иш (-ж е“х - е“х)			:)=
	о				\	00			:)=

= 2тг(0 + 1) = 2тг.

•

9 .3 .167 .

Найти объем тела,

образованного вращением вокруг оси Ох

\х =

a(t -

sint),

0 ^ t ^ 27г.

арки циклоиды <

а(1 -

I у =

cost),

Для нахождения объема тела вращения используем фор

мулу (3.13):

2ТГ

2п

Vx = тг J

(а(1 - cost))2 •а(1 - cost) dt = тта3 J

(1 - cost)zdt =

27Г

= 7га3 J

(1 -

3 cos t + 3 cos2 t - cos3 t) dt =

*^7T

3 /4

cos3t-f 3cost\

/• /,

= 7га3

\1 + -(1 + cos2t) — 3 c o s t----------------------- J dt =

2тг

7 г а 3

cos2t - — cost - - cosStj dt =

о/5

1\2it

тта

[ - t +

sin 2 t ------

sin t — — sin 3t )

12/

= 7га3 •5л* = 57г2а3

•

9 .3 .168 .

Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой

х =

—2 области, ограниченной линиями у = х3, х = —1, я = О,

2/ =

Перенесем начало координат в точку ОД—2;0), сохранив

направление осей (см. рис. 106). В новой системе координат

уравнение кубической параболы примет вид у = (х\ — 2)3, от

сюда х\ = 2 + yÿ. Объем К, нижней части тела (под осью Ох)

найдем как разность двух объемов: VH= Vi —

где

V2 = 7Г J

1 dy = тг

(2 +

yÿ)2dy = -тг,

Vi = 7Г J

-1

(или как объем цилиндра с высотой 1 и радиусом основания 1).

О	О
Имеем Ун = Н7Г — 7Г =	дтг. Объем VDверхней части тела (над
о	о
осью Ох), очевидно, равен VD =		12тт (как разность объемов
прямых круговых цилиндров: У		= 7Г •4 •4 — 7г 1 - 4 = 12тг).

Таким образом, V = VH+ Vn = |тг + 12п = ^тг.

Замечание. Искомый объем тела можно найти, используя

формулу V = J S(y)dy. Любое сечение тела вращения плос-

костью, перпендикулярной оси вращения, есть кольцо, огра ниченное концентрическими окружностями. Найдем S(y) для верхней и нижней части тела вращения:

SB(y) = тгR2 -	7гг2 = 7Г •22 — 7г •I2 = Зтг;
S„(y) = 7riî2 -7rr2 = 7r(2+	yÿ)2 - тг • I2 = 7г(3 + 4 У у + W -)-
Следовательно,
4	о
V = V„ + V„ = I З7Г dy + J 7г(3 + 4 УЦ+ \/ÿ2)dy =
О	-1

Рис. 106

Рис. 107

9.3.169. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи гуры, ограниченной графиками функций у = 2х—х2, у = —х+2.

О Построим чертеж (см. рис. 107). Графики функций пере секаются в точках (1; 1) и (2;0). Используя формулу (3.13),

2	2
V = J (2х - х2)2 dx -	J { - x + 2)2 dx =
1	1
4x2 -	4x3 + x4 - x2 + 4x - 4) dx =
l
2
= J (x4 —4x3 + 3x2 + 4x —4) dx =
l
	= ( ^ — x4 4- x3 + 2x2 -	4a:) I	= \ . %
	\ 5	/\|i	5

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной ли ниями:

9.3 .170 .	у = х3, х = 0, у = 8 вокруг оси Ох.
9.3.171.	у =		"3	чу, у = 0, а; = 0, х = 1 вокруг оси Ох.
			1 +	х
9.3.172.	у2 =		(х + I)3, х = 0 вокруг оси Оу.
9.3.173.	у2 =		16 — х, х = 0 вокруг оси Оу.
9 .3.174.	у = у/хех, х = 0, х = In 2 вокруг оси Ох.
9.3.175.	у — 2 sinх, 0 ^ х ^ тг вокруг оси Ох.
9.3.176 .	у2 = 4а;, у2 =					а;3 вокруг оси Ох.
9 .3.177.	у2 = 6х, у = \/баг вокруг оси Ох.
9.3 .178 .	2	-	2	=	1, у = -Ь, у = b вокруг оси Оу.
	а"		С
			и
9 .3 .179 .	2		2		1 вокруг оси Оу.
	а“	-f ïÇ =
			и
9 .3 .180 .	х2 + у2 = 1 вокруг прямой х = 2.
9 .3 .181 .	у = cos х, г/ = —1 вокруг прямой у = —1 при x £
9 .3 .182 .	у2 =		6a;, a; =			3, a; = 5 вокруг оси Ох.
9 .3 .183 .	Зх — î/ =			0, Зх — 4?/ = 0, ?/ = 3 вокруг оси Ох.
9 .3 .184 .	2у =		16 — х2, у — 4 = 0, у = 0 вокруг оси Оу.
9 .3 .185 .	у/х + y/у =				1, х = 0, у = 0 вокруг оси Оу.
9 .3 .186 .	I X =		cos3 1			вокруг оси Ох.
	<			«	’
	12/ — sm'51
9 .3 .187 .	у = а ch				х = —а, х = а вокруг оси Ох.
9 .3 .1 8 8 .	х = (2/ — 2)2, х = 0, у = 0 вокруг оси Оу.

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 5841 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб59Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб27Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf