Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5847 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

3) Предел в точке равен значению функции в этой точке /(0 ; 0) = 0. Функция непрерывна в точке 0(0; 0).

Добавим, что эта функция непрерывна в каждой точке (ж; у) € R2 как комбинация непрерывных элементарных функ ций.

Замечание. Если бы функция /(ж; у) была бы неопределена в точке 0 (0 ; 0), то, доопределив ее в этой точке нулем, мы бы получили непрерывную функцию. •

Исследовать на непрерывность данные функции в указанных точках:

	(х + у) arccos				., ,		при х ф 0,		2/ ^ 0,		в точке
	{ v	•"		x r +у*'			н	^			в точке
	0,						при х = 0,		у —0
	0 (0; 0).			J х 4- у - 1
11.2.23.	_ \|(® - У -		3) cos -		+ 3 » ПРИ х Ф4> У Ф 1						в точ-
11.2.23.	/(ж;т/) = I '	°	1	х —у + 3*			при х = 4, у =				в точ-
	I 0,						при х = 4, у =			1
	ке Л/0(4; 1).
11.2.24.	/(х ;у ) = <	Зят/	^	ПРИ 1 ^		°>	У ^	°> в точке 0(0 ; 0).
	i			при х = 0,			т/ = О
11.2.25.	Функция /(я ; т/) =		(я2 + у)*‘2+у-1, а; /					0, т/ ^	1 не определена
	в точке Мо(0; 1). Можно ли ее доопределить в этой точке так,
	чтобы она стала непрерывной?
	О Данная функция не определена в точках параболы т/=1—ж2,
	а значит не определена в проколотой окрестности точки 0(0 ; 1).
	Тогда находимся в условиях замечания на с. 458, где в каче
	стве множества Е принимаем произвольную окрестность точки
	0 (0 ; 1), из которой исключены точки параболы. Остается найти
	соответствующий предел.
	Имеем
	Иш (ж2 + у) *2+v_1		Г* = ж2 + т /-1 ,ж 2 + у = 1 + Л =
	Иш (ж2 + у) *2+v_1		\		(х\у)	(0; 1)		t -> о		J
	х—»>0		\		(х\у)	(0; 1)		t -> о		J
	У-+1										1
											1
								= Иш(1 + 1)t = е.

Значит, если положить /(0 ; 1) = е, то соответствующая функ ция непрерывна в точке (0; 1). Добавим, что рассматриваемую функцию можно доопределить как непрерывную в каждой точ ке (жо; т/о) параболы у = 1 — я2, если положить /(яо; 2/о) = б. •

Доопределить до непрерывной данную функцию в указанной точке (см. примечание к задаче 11.2.21):

1 1 .2 .2 6 .
1 1 .2 .2 7 .	Я *;у) =	т------,w		, л	I)5*	M )(l;l).
		(* -	1)(» - 1) -К * -	I)5* + (у -	I)5*
1 1 .2 .2 8 .	/(ж; у) =		х(у —I)2	,М о(0;1).
1 1 .2 .2 8 .	/(ж; у) =	6 -	yjx(y - I)2 + 36	,М о(0;1).
		6 -	yjx(y - I)2 + 36
1 1 .2 .2 9 .	/( * ; У) =	1п(1 + у 7 \ м о(0;4).
		Зху
1 1 .2 .3 0 .	f{x\y) =	(х -	у) arcsin	, Л/о(0;0).
11 .2 .3 1 .							I 2^ —	2
11 .2 .3 1 .	Исследовать точки разрыва функции f{x\y) = :---- х^+у2------ '
	О Данная		функция имеет	единственную			точку разрыва
	Л/о(0; 0). В этой точке функция не определена, lim f(x; у) = +оо.
							х —►О
							г/—>0
	По аналогии с функцией одной переменной имеем дело с точ
	кой бесконечного разрыва (разрыв второго рода). В остальных
	точках функция непрерывна.							•
	Исследовать точки разрыва функции f(x; у)						За?2 + у2
11.2.32.	Исследовать точки разрыва функции f(x; у)						= X2 + у2 -	Г

ОЭта функция не определена в каждой точке окружности

	X 2 + у 2 =	1 .	Если (х;у)	->	(яг0; I/o),	где	(.T 0 ; Î/O) —	произволь
	ная точка	окружности,		то	f(x,y)	-* со. Точнее: если {х;у)
	лежит внутри единичного круга и приближается к (я?о ; 2/о)>то
	f(x,y) -> —оо, а если (х] у)				расположена вне единичного кру
	га и приближается к (хо;2/о)> то f{x\y)						-Ьоо. В остальных
	точках плоскости функция f{x;y) непрерывна.							•
11 .2 .33 .	Найти и исследовать точки разрыва						функции	f(x;y]z) =
	х2 + у2 -	z1’
	О Д ля этой		функции	трех переменных все точки конуса
	X2 + у2 — z2		= 0 являются точками разрыва. В окрестности
	каждой точки поверхности конуса (разрыва) функция f(x ; ?/; z)
	бесконечно велика.							•
Найти и исследовать точки разрыва данных функций:
11 .2 .34 .	f(x;y) = e ~ ' ^			11 .2 .35 . f(x]y) = e^+^

11 .2 .3 6 . f(x-,y) = x\ + ? yy l -

n -2 -3 7 - /( * ;» ) = j r j -

Дополнительные задачи

Вычислить пределы

11.2.38.	Uni	5 sm3х - s i n у2	-----
	у^о у 25 + sin?;2 - 5 s in 3 x - 5
11.2.39.	lim	COS \/x2 + y2	11 .2 .40 . lim	+	2\|2+ 1
	1 -	COS \/x2 + y2	x->0	r + \| /“-	4T/+ 4

11.2.41.	lim (l+ & ) *+v
	x—>+oo \	X J
	Т/—>5
П .2 .4 3 .	lim arcsinx+
		xy-
11.2.45.	gSinxy _ 2
11.2.45.	limmil ——;—T-----уг.
	ух--*к)^ 2x(x- + 2Г)
11.2.47.	lim (1 + Зх2 + 2y2)
	x—>0
	y-»0

11.2 .42 .	lim (x + y2) (sin i + cos			.
	2/—>0			y>
	2/—>0
11.2.44.	lim	x2 + .y2 + 3(J '* + ?/)
	x—>oo		7(x4 +2/'1)	‘
	2/-ЮО	2 .	2
11 .2 .46 .		1* +*	~ 1
11 .2 .46 .	lim 2 -^
	y-+0	Х‘ + У

§3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Определение частных производных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x;y), определенную и непрерывную в некоторой области D. Считаем, что точки с координатами (я; у)Л х + Дя; 2/)> (я; У+ А*/), (я + Ах; 2/+ Ау), где Аж, А?/ — приращения

аргументов, также принадлежат области D.

^Частными приращениями функции z = f(x; у) по независимым

переменным х и у называются разности Axz = /( х + Ах; у) —

- /(x ; у), Ayz = /(x ; y + Ay) - /(x ; y).

^Полным приращением функции 2 = /(x ;y ), соответствующим

приращениям аргументов Ах и А?/, называется разность Az = /( х + Ах; у + Ау) - /(х ; у).

Заметим, что в общем случае Az ф Axz + Д уг.

Частной производной функции z = f(x;y) по переменным х и у называется предел отношения соответствующего частного приращения Axz или Ayz к приращению данной переменной, при условии, что приращение переменной стремится к нулю:

z' = lim	Axz	Zy — lim
	Ах			Ау
Дх—>о		J	Ду—>о

Приняты также обозначения: z'x,

| £(х;?/), -i^z, J^ f,

^“ /(•т;!/) (аналогично по другой переменной).

Геометрический смысл частной производной

Исходим из рис. 126, на котором изображен график Г функции г = /(х ;р ); Р0(х0; у0\z0) — точка на графике, Мо(х0)уо) — проекция Р0 на плоскость Оху, ZQ = MQPQ. Через прямую MQPQ проведены две плос кости pi и Р2: pi параллельна плоскости Oxz, Р2 параллельна плоскости

Oyz.

Сечение	Г с первой плоскостью представляет собой кривую z =
= f(x\yo) =	<р(х) — функцию переменной х, а сечение Г с рг предста

вляет кривую z = f(xo;y) = g{у) — функцию переменной у. На чертеже изображены также касательные t\ к <р(х) в точке Р0 и to — к д(у) в точ ке Р0. Тогда 4 (хо;2/о) = P;(®o) = fci = tg ai — угловой коэффициент tu ai — угол наклона t\ к Ох, г'у(хо\уо) = р'(т/о) = ко = tg a 2 — угловой коэффициент t2 , & 2 — угол наклона £2 к От/.

Дифференциал функции. Линеаризация функций

Если функция /(х;т/) обладает частными производными fx и не прерывными в точке Mo(xo;?/o)j то теорема Лагранжа (конечных прира щений) для функции одной переменной позволяет получить следующее

приближенное равенство (при Ах ~ 0, Ау ~ 0):

Az = f{x 0 + Да;; i/o + Д?/) - /(.т0; уо) =

=	Л * 0 +	2/0 + Дх/) ~ /(^о; 2/о + Д2/) + /(®о; Уо + Ау) - /( х 0; i/o) =
	=	/£(®о + 01 Дт;2/о + Ау)Ах + /'(а;0;2/о + 02Ау)Ау «
			» /£(о;уо)Д + / '( х 0;2/о)Ду
(О <	< 1, 0 < 01		< 1 — некоторые числа, фигурирующие в теореме
Лагранжа).
Таким образом,			полное приращение функции приближенно равно

fx(XQ\yo)Ax + fy(Xo\yo)Ay.

^Это выражение представляет собой главную, линейную часть приращения функции и называется дифференциалом этой функции в данной точке.

Обозначение: dz = z'xdx + z'ydy (здесь dx = Ах, dy = Ay — произволь ные приращения аргументов). Приняты также обозначения: dxz = z'xdx, dyz=Zydy — частные дифференциалы функции 2. Тогда dz=dxz+dyz — полный дифференциал функции z.

Как правило, под дифференциалом функции будем понимать полный дифференциал.

^Если полное приращение Az функции z = f(x,y) в точке

ЭД)(яо;2/о) можно представить в виде Az =	А	Ах + В	Ау +
+ £i - Ах + е2 Дзл где А и В не зависят	от	Ах и	Ау, а

(ei]£2) -> (0,0) при (Да:; Д у) -> (0;0), то функция f(x\y) назы вается дифференцируемой в точке MQ.

Теорема 11.8. Для того, чтобы функция г — f(x\y) была дифферен цируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Сравнивая Az и dz, заключаем, что они являются величинами оди накового порядка малости при Да; -4 0 и Ау -* 0, т. е. Az « dz (Ах ~ 0, Ау 0). Это приближенное равенство (тем точнее, чем меньше Ах и Дт/), записанное в виде

f{x 0 + Ах\ Уо + Ay) « f(x0;y0) + f'x(xQ\у0)Ах + f'y{х0; уо)&У

называется линеаризацией функции z = f(x\y) в окрестности точки

М0(х0;уо).

Это соотношение применяется в приближенных вычислениях: диф ференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрест ности рассматриваемой точки.

11 .3 .1 . Найти частные и полное приращения функции z = ху2 — ^

в точке Мо(3; —2) при приращениях аргументов Ах = 0,1								и
Ау = -0,05 .
О	Принимаем хо = 3, уо = —2, а,*о+Дя=ж=3,1, Уо~^ Ау—у—
=	—2,05, Mi (3,1; —2,05). Сначала определим z(Mo) = z(3; - 2 )							=
= 3(—2)2 + \| = 13,50. Далее,
	z(xо + Ах;у0) = г(3,1; - 2 ) =	3,1 •( - 2 ) 2 +				М =	13,95;
	z(x0;yo + Ay) = z(3; -2,05) =	3 •(-2 ,0 5 )2 +				^	= 14,07;
	z(Mi) = z(x0 + Дат; уо + Ау) =			г(3,1; -2,05)			=
	= 3,1 •(—2,05)2 +		щ	=	Н,54.
Таким образом,
	Axz = Z (XQ + Да:;i/o) -		z(x0;yo) = 0,45;
	Ayz = z(x0-,yo + Ay) -		z(x0;yo) = 0,57;
	Az = z(x0 + Ax; yo + Ay) - z(xo; yo) =				14,54 - 13,50 = 1,04.
Очевидно, что Az = 1,04 ф 0,45 + 0,57 =					1,02 =	Axz + Ayz.		•

Найти частные и полное приращения данной функции в данной точке и при данных приращениях аргументов:

1 1 .3 .2 . 2 = х2у, М0(1; 2); Д х = 0,1; Ду = -0 ,2 .

1 1 .3 .3 .	2 =	- ir-a-	У	'	.-у, М0(2; 2); Д х = -0 ,2 ; Д у = 0,1.
		X у	— {X — У)
1 1 .3 .4 .	2 =	( ^	^	)	2; Мо(1; 1); Д х = -0 ,1 ; Ау = -0 ,1 .

Найти полные приращения данных функций в данных точках (ш и при переходе от точки Mo к точке Mi):

1 1 .3 .5 .	2 =	Зх2 +ху - у2 + 1; Мо(2; 1); Д х =	0,1; Ау =	0,2.
1 1 .3 .6 .	2 =	Зх2 + ху - у2 + 1; М0(2; 1); Д х =	0,01; Ау =	0,02.
1 1 .3 .7 .	2 =	х2 - ху + у2; М0(2; 1); M i(2,1; 1,2).
1 1 .3 .8 .	2 =	lg(x2 + у2); М„(2; 1); М, (2,1; 0,9).

4С8

11.3.9.	Найти частные производные функции z = -5г + Лт-----L .
	у	х° ох у

Q Частные производные функции двух и более переменных определяются по тем же формулам и правилам, что и функ ции одной переменной. Следует помнить только одно правило: если по одной переменной дифференцируем, то остальные счи таются постоянными.

Имеем ^напомним, что					п
Имеем ^напомним, что				X*** >
				X*** >
,	1 , w	( 1 V	1 / 1 у		1	Зу	1
* * -	у3(х)	+ 2/ ( ^ 3)	е Д ^ з )	-	2,3	ха + За.зу ;
,	/ 1 \'	1 ,	1 /1 \ '		Зх	1		1
ZV - X ( ÿ 3 ) + ^ У ) - Q j { ÿ ) -				"	7 +	^	+ i ^	V -
11.3.10. Найти частные производные функции z =								, .
					у- + 2ху +			1

ОЗдесь используем правило дифференцирования дроби.

, _	(2х - 2у)(у2 +	2ху + 1) - (ж2 - 2ху)2у
1	(у2 + 2ху + I)2
_	- 2 х(у2 + 2ху +	1) - (2у + 2х)(х2 - 2ху)

'(у2 + 2ху + I)2

Найти частные производные данных функций:

11.3.11.	z = е*2+у2				11 .3 .12 .	u = t5sin3 z.
11.3.13.	v =	хл cos2 у -		y4sin3x5.	11 .3 .14 .	z = x2 cos2xy-y2sin(x+y).
11.3.15.	и = xy + (xy)z + zxy.
11.3.16.	Найти частные производные, частные дифференциалы и пол-
						Х^ 4* 1/^
	ный дифференциал функции z = cos - а - / у .
						х + у
	О	Здесь имеем дело с производными сложной функции и дро
	би.
	dz _		. х2 + у 2 /х 2 + у 2у _
	d x ~ ~ Smx3 + y 3 ' W + y * ) x -
				.	х2 + у2 2х(х3 + у3) - Зх2(х2 + у2)
				- ~ smx3 + y 3 '		(х3 + у3)2
	Ввиду симметрии выражения X2 + у2 относительно х н у мож*
	но писать сразу				х3 + у3
	но писать сразу				2у(х3+ у3) - Зу2(х2+ у2)
			dz	. х2 + у2	2у(х3+ у3) - Зу2(х2+ у2)
			д у ~	Sm х3 + у3		(х3+у3)2

I получаем

х 2 +

у2

- х 4 - З х 2?/2 +

2ху3

д х

sin

(х3 + у3)2

X3 + у3

d z

X2 +

у2

—у4 - 3 х 2у2 +

2 х 3у

ду

к>1П

(х3 + У 3)2

х 3 + у 3

’

Й у

—

х 4 +

З х 2 у2 —2ху3

•sinиШ * о' + y о2 dx-

oxz

—

{х3 + у3)2

X3 + у3

И у

—

у4 + Ъх2у2 -

2ух3

•sin х 2 + у 2 du-

ClyZ

—

(х3 +

у3)2

.т3 + 2,3 d

dz ■

X2 +

у2

(x3 + у3)2

•Sin

------- « X

х 3 +

у3

X ^x(x3 + 3xyj —4 у

у(£»</ -Г y\ y

11 .3 .17 .

Найти полный дифференциал функциии =

Так как

•

и' =

~ХУ

и.

\/(у2 +

Z2)3 ’

\Л/2y/?~++z*'22

’

V>/(?/r + 2з2)d3

полный дифференциал[ имеет вид

ху dy + xz dz

Vy2 + z 2 ~ ~ 7 W + W

11 .3 .18 .

Вычислить приближенно 1,073,97

Число 1,073,97 есть частное значение функции f(x\y) = ху

при х =

1,07, у =

3,97. Известно, что /(1 ;4 ) =

1. Поэтому при

нимаем хо =

1, 2/0 = 4. Тогда Ах = х — хо = 0,07, Ау = у — i/o =

—0,03. Значение /( х + Ах\у + Ау) вычислим при помощи

формулы линеаризации: f(xo;y0) + d/(x0;?/o)- Имеем:

/'х = уху-\

f'y = xylnæ,

f'x{1;4) =

/'( 1 ;4 )

= 0,

4Г(1; 4) =

4 •0,07 + 0 •(-0,03)

= 0,28.

Таким образом, 1,073,97 « 1 + 0,28 =

1,28.

•

Вычислить приближенно:

1 1 .3 .1 9 .

1,042*03.

11.3 .20 .

y/(lfi4)2 + (3,01)2.

1 1 .3 .2 1 .

sin 28° * cos 61°.

1 1 .3 .2 2 . Вычислить приближенно J (sin2 1,55 + 8е0»015)5.

о 1)	Принимаем f(x;y)		= (sin2 а; + 8еу)§, х0 = 1,571				=
Уо — 0, х		1,55, Ах = х	XQ =	1,55	1,571 — —0,021, у =	0,015
Д у = 0,015.
2)	/(яо; Уо) = (sin \| + 8е°)=			= 243.
3)	/ ' =	5 (sin2 ж + 8ем) § •sin 2ж, / '			= \|(sin2 ж + 8еу)§		. 8еу,

	/х(хо;уо)=0, так	как	sin2a;o=sin7r=0, /у(я0; I/O)= 20(1+ 8)5 =
	= 540, df[xa\уо) =	540 •0,015 = 8,1.
	Окончательно,
	\J(sin2 1,55 + 8е0'015)5 «			243 + 8,1 = 251,1.		•
Вычислить приближенно:
11.3.23.	a r c tg b g .		11 .3 .24 .	У5е°.°2 + 2,032.
11.3.25.	1п(0,093 + 0,993).
11.3.26.	Вычислить приближенно cos2,36 •arctg0,97 •З2,05.
	О Имеем дело	с функцией трех			переменных /(х ; у; z) =
	= cos х* arctg i/*3~. хо =		^ = 2,356, х =		2,36, Ах = 0,004, у0 =
	у = 0,97, Ау = -0,03, ZQ = 2, z = 2,05, A z = 0,05. Наконец,
	f(x 0; уо] zo) =	cos у	•arctg 1 •З2 =		■j « -4,9957.
	Найдем сначала дифференциал в общем виде
	df = — sin х -arctg ?/35А х+ cosx •ЗгЛ у+ cos х arctg у3* 1пЗ* Az.
			1 + 2/2
	А теперь составим числовое выражение дифференциала в точ
	ке.
	df(x0]yo]Zo) = -9^Ф ^ *0 ,0 0 4 -			- 0 ,0 3 - 9 In3 - ^ 7		*0,05 «
		о		4	2	4
		и -0,0199 -		0,0954 - 0,2744 = -0,3718.

Окончательно,

cos 2,36 •arctg0,97 •З2’05 и -4,9957 - 0,3718 = -5,3675. •

Вычислить приближенно:

11.3.27. 1,002 •2,0032 •З,0043. 11 .3 .28 . — 1’032 ------

У 0,98- V l,0 5 3

Дополнительные задачи

Найти частные производные, частные дифференциалы данных функций по каждой из независимых переменных (х,у, z ,t,...) и полный диффе ренциал:

11 .3 .29 .	* =	(5ж2?/ - у3 + 7)3.				11 .3 .30 .	v =	a rc tg j.
11 .3 .31 .	z = Xy/ÿ+-^=.					11 .3 .32 .	z =	ln tg £ .
								У
11 .3 .33 .	2 =	у /и	+ \ /и 2 + V2 .			11 .3 .34 .	- - и . \Д 2 + т/2 - х
							2 =	In
								у/х2 + т/2 + Я
11 .3 .35 .	z =	arccos			х/а-2 - ?/2	11 .3 .36 .	z — sin —•cos У-.
					у/х1 + у1			7/	Ж

11 .3 .37 .	* = (* 2+ r ) 7 T ^ S -					11 .3 .38 .	гг=ж3+г/г2+3?/ж—ж+z.

		и			1+ \ /х 2+2/-			ху’
11 .3 .39 .						11 .3 .40 .	гг =
	и = х =.
11 .3 .41 .	Найти гг^+гг^+гг', при х					= у = z =	1, если и = 1п(1+ж + г/2+ г3).
11 .3 .42 .	Найти		2'		+	1 и т/= 2, если г = х 3у - х у 3 .
			х ,- г у- при ж =
			zxzy					_____________________
11 .3 .43 .	Найти ^				при ж=0, у = 0, 2= ^ , если u=\/siп2 ж+sin2 у+ sin2 z.
11 .3 .44 .	Найти значение полного дифференциала функции z = х + т/ —
	— >/ж2 + г/2 при ж = 3, г/ = 4, Аж =						0,1, Ау —0,2.
11 .3 .45 .	Найти значение полного дифференциала функции z = еху при
	х =	1, у =			1, Аж = 0,15, Ау —0,1.
11 .3 .46 .	Вычислить приближенно изменение функции z =								^ при
	переходе ж от жх = 2 до Ж2 = 2,5 и у от у\ = 4 до уо = 3,5.
Вычислить приближенно:
1 1 .3 .4 7 .	х/1,023 +			1,973.		11 .3 .48 .	sin 29° sin 46°.
1 1 .3 .4 9 .	a r c t g ( b g - l ) .					11 .3 .50 .	2,0032 •З,9983		1.0022.
1 1 .3 .5 1 .	Высота конуса Я = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как из
	менится объем конуса при увеличении высоты на 2 мм и умень
	шении радиуса на 2 мм?
1 1 .3 .5 2 .	Одна сторона прямоугольника а = 6 дм, другая b = 8 дм. Как
	изменится диагональ прямоугольника, если а уменьшить на
	4 см, а Ьукоротить на 1 см?
1 1 .3 .5 3 .	Радиус основания конуса равен 10,2 ± 0,1 см, образующая рав
	на 44,6 ± 0,1 см. Найти объем конуса и указать погрешность,
	вызванную неточностью данных.

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5847 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб29Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf