Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 5857 58 > Следующая >>>

9.3.30.	2. 9.3.31. Z f - . 9.3.32. бтга2 9.3.33. \|тг. 9.3.34. % . 9.3.35.
	о	2	3		4
9.3.36.	4 + тг2. 9.3.37. \|( 6 + тг -	Зх/З). 9.3.38.	9.3.39. Зтга2.
9.3.40.	4тг —3 \/3 . 9.3.41. \|тг. 9.3.42. ^>тг. 9.3.43. 9.3.44. \|тг -				\/3.
9.3.45.	о2. 9.3.46. 1. 9.3.47. 4 In 2 - 1. 9.3.48. \|. 9.3.49.			9.3.50. тг.
9.3.51.	2л — 9.3.52. а^ е'е~	9.3.53. 1 -	9.3.54. 13arcsin ^		- 12In

9.3.55.9.3.56. 9.3.57. |. 9.3.58. 18arcsin i - 41п(1 + л/2).

9.3.59.у / 2 - 1 . 9.3.60. 3. 9.3.61. Щ Д . 9.3.62. 8(тг + 4). 9.3.63. 4тг - 6л/3.

9.3.64.			л. 9.3.65.			9.3.66. ^ л . 9.3.67. 1б(^\| - \/з).								9.3.68. Z S 1,
9.3.69.			+ 1 + ^ -			9.3.70. Н .		9.3 .7 1 . \|а2. 9.3.72. ^						9.3 .7 3 . lÆ .
9.3.74. тг. 9.3.75. \|аЬ. 9.3.76.									9.3.77. утга2. 9.3.78. \|
9.3.79. a) Z. б) 0; в) 10. 9.3.80.								Щ . 9.3.81. а =					9.3.83. .4 = —3; В —
любое число; С =				1; (оо). 9.3.84.				Равны. 9.3.86,					^ - i l n ( % / 5 - 2 ) .
9.3		.87.	(13ч/13 -	8)4		9.3.88.	1+ 2 ln t,				9.3 .89 . \/2 + i In Д Л 1 . 9.3.90					И
			9										2	V2 — 1
9	.3	.91 . \| ( е - е -1 ).			9 .3.93. 8(\/2 + ln(\/2 + 1)). 9.3.94. \| (6N/ 37 -										1п(%/37 -	6)).
9.3 .95 .			Щ -. 9.3 .96 . 8. 9 .3 .97 . 2тго. 9 .3 .98 .									12-Уз. 9 .3 .99 .
9.3		.100 .	\/2(е -	1). 9.3.102 . \/2л.					9 .3 .103 .			28. 9.3.104 . ^		+ In
9	.3	.105 .	5 (яУ 1 + 4тг2 + i 1п(2тг +						у/1 + 4тг2) ) . 9 .3 .106. 12(2 -						V2).
9	.3	.107 .	2(е? - 1).		9.3.108 .			9 .3 .109 .				9 .3 .110 . 8 \ /2 - 1 .			9 .3 .111 . Iln 3 .
9.3		.112 .	i (л/5 +		iln (2 + v/5)).			9 .3 .113 . In7 -					9 .3 .114 . 2уД		+ 1п(\/3 + 2).
9	.3	.115 .	^ (1 3 \ /Ï 3 - 8 ) . 9.3.116 . 4\/3. 9 .3 .117. Ютг. 9.3.118 . 12. 9 .3 .119 .													16.
9.3		.120 .	12. 9 .3.121.			4у/2 . 9 .3 .122 .			2 6 s h 5 î.			9.3.123 . £ .
											24		О
9.3		.124 . \| (i\| +1п2). 9 .3 .125 . 2у/2.								9 .3 .126 . 2-у/3. 9.3.127 . 2Tr-2arctg2.
9.3		.128 .	4\/3 arctg \/2 + Щ (						-	l ) . 9 .3 .129 .			9.3.130. \|		+ 2 1п(л/2 + 1).
9.3		.131 .	9 .3 .132 . М						\| ). 9 .3 .133 . 2е* - 2. 9.3.134 . In \| .
9.3		.135 .	J (б + 5 ^			1п(2 + х/3)). 9 .3 .136. 2\|й.

3 -

9 .3 .1 3 7 .

2 ж Д

+ 4тг2 + 1п(2тг + Д

+ 4ж2). 9 .3 .138 . ± ( Д

+ 1п(1 + Д ) ) .

9 .3 .139 .

16.

9 .3.140. fix /T T F . 9.3.144. |тгД3

9 .3 .145 . |тгR2H. 9 .3 .146 . 8.

9 .3

.1 4 7 .

9 .3 .148. 8тг. 9.3.149.

9.3.150 . 54тг. 9 .3 .151 . 24тг.

9 .3

.152 . 24х/3тг. 9 .3 .153. |/»(о2 + аЬ + Ъ2). 9 .3 .154 .

9 .3 .155 . 24тг.

9 .3

.156 .

9 .3 .157 .

9 .3 .158 . Щж. 9 .3 .159. 135. 9 .3 .160 .

9 .3 .1 6 1 . 27тг.

9.3.162 .

9 ^ .

9.3.163.

9 .3 .164 . 50.

9 .3 .170 . Щ ж .

9 .3

.171 .

^ +

27Г. 9.3.172. ^

ж. 9.3-.173.

9 .3 .174 . 4тг2.

9 .3

.175 . 7г(3тг + 4).

9.3.176. 4тг. 9 .3 .177. |тг. 9 .3 .178 . |тга26. 9 .3 .179 . |тга2Ъ.

9 .3

.180 . T r(ln 4-

9 .3 .181 . 2тг2

9 .3 .182 . 48тг. 9 .3 .183 . 18тг. 9 .3 .184 . 48тг.

9 .3

.185 . ^г. 9.3.186. ^ т г .

9 .3 .187 . тга3 ( § ^ +

i j . 9.3.188 . ^тг.

9 .3

.189 . | (е2 - 1).

9 .3 .190 . Щ ж . 9 .3 .191. |тг. 9 .3 .192 . утгЛ 3

9 .3 .193 . |тга3

9.3.194 . Щ‘

. 9 .3 .195 . |тг. 9 .3 .196 . |тга3

9 .3 .197 . ^тг.

9 .3 .198 . 216тг. 9 .3 .199 . | R3 9 .3 .200 . 8. 9 .3 .201 . ^тг. 9 .3 .202 . 8тг.

9 .3 .203 . i|^7r. 9 .3.204. |тг.

9 .3 .205 . 4тг2. 9 .3 .206 .

“ 2). 9 .3 .207 . тг.

9 .3 .208 . | (1 5 - 1 6 1 п 2 ) .

9 .3 .209 .

9 .3 .210 . тг2. 9 .3 .211 . ± ж .

9 .3 .212 . ж. 9.3.213. 7r(l -

1 )

-► ж. 9.3.214 .

Щж. 9 .3 .215 . Да.

9 .3 .220 . у

mi2. 9 .3 .221 . 16тг2а2. 9 .3 .222 . ^тг. 9 .3 .223 .

2 ж { Д + 1п(1 + Д ) ) .

9 .3 .224 . 2жЪ(ь + у

arcsin

9 .3 .225 . 2тга(а+ |^ln|a-±-S|). 9 .3 .226 . 16тг2.

9 .3 .2 2 7 . 4тг. 9.3.228 . |тг(2л/2 - 1). 9 .3 .229 . жRy/R2 + Я 2.

9 .3 .2 3 0 . ж(е -

е-1 + 2). 9 .3 .231 . Щ (\/Ш -

11п(х/Ш - 3 )). 9 .3 .232 . у г а 2.

9 .3 .2 3 3 . тг(л/2 -Ь 1п(1 + Д ) ) .

9 .3 .234 . ^ (2 е 4 - 5е2 - 1).

9 .3 .235 . i|âjrЯ2.

9 .3 .2 3 6 . Щ Д . ( е * -2).

9 .3.237 . Ц^-ж. 9 .3 .238 . ^(Э Тх/ЗЗ* - 97 - вОх/ЗЗ3).

9 .3 .2 3 9 . 640тг. 9 .3 .240 . 8тг(2 -

Д ) .

9 .3 .241 .

|тг(2\/2 - 1).

9 .3 .242 . 8тг2.

9 .3 .2 4 3 . ж

( Д

- Д

+ In 2 y g

* ^

) •9-3.244. ж

Д { 2 -

9 .3 .245 . Зтг.

9 .3 .2 4 6 . Щ ж. 9.3 .247 . |тг(Зтг-4).

9 .3 .248 . ^£тг. 9 .3 .250 .

10 м; 1 м/с.

9.3	.251. 37,5 м. 9.3.254. ± g y K R 2H 2. 9.3.255. 10 см. 9.3.256. 60<7 и 588 Дж.
9.3	.259. -^ g y D 3. 9 .3.260 . j^ g y ab2. 9.3.261. а) и					1226 Н; б) и 613 Н.
9.3	.265.		9.3.266.		. 9.3.267.	( - \| ;о ) . 9.3.268. v0t -
2д	9.3.269 . 400 м. 9.3.270 . \ gyxR 2H 2 Дж. 9.3.271. Ig y H R 3
			г		о
9.3	.272	. 1083,3 j кН. 9 .3.273. ± у g ah 2. 9.3.274. Збяду а 9,2 •105 Н.
9.3	.275	. Sx = Sy = ^	7; Мх = Му = Зу. 9.3.276. тгД3. 9.3.277.
9.3	.278	. (^ j« s in \| , 0) . 9.3.279 . m =			\|а2; Sx =	Sy =	9.3.280. 8тг.
9.3	.281	. x(t) = ^ sin w t;		9.3.282 .	11 м.; 8 м/с; 0 м. 9.3.283.		5 сек.; 75 м.
9.3	.284	. ± v 2yd h a3 9 .3.285 .		± у 2с2аЬ = 6,28 •106 Дж. 9 .3.286. ^ n y R W .
9.3	.287	. ±-KR 2H 2 (yi -	\|72)	» 8519тг Дж. 9.3.288. a 54 мин.

Глава 10. Комплексные числа

§ 1. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел

10.1.2.

а) 5; 7г; б) 2,3;

в)

>/2; —

г) \/Ï0;

arctg i .

10.1.4. а)

—2 -h г'л/3;

б)

+ г ^ . 10.1.5. а)

5; - 5 ; 5ч/2;

б) 2;

2; 0.

10.1 .6.

a) 2\/5(cos(arctg2) + isin(arctg2)); б) 2^ c o s ^ -^

-Ь г sin ^

в)

2001(cos0 + г sin 0); r)

2 ^ c o s ^ -^

10.1.7. a) 12e®* ;

б)

(ч/З -

1)ег7Г; в)

5el(arctg * ” 7Г) ; г) ег'%. 10.1.11. а) 7г +

2тгЛ:; б) £

+ 2тгк.

10.1.12.

а) — jr

или - | 7г; б) |тг. 10.1.13. a) 5^ cos^ --^

+ z s in ^ -£ ^ и - 5 ;

б)

2(cos(—150°) + isin(—150°)) и - ч / 3 - г .

10.1.14. а) 5 ( c o s a r c t g

+ isin^— arctg

5e“iarctg3;

б)

3(co s(-10°) + zsin (-10°)) = 3е“г'^ ;

в)

-^ y (c o s 1 + г sin 1) =

10.1.15. а) 2 cos 11° (cos 11° Ч- гsin 11° ); б)

c o s ^

—

+ isin^— -

кр

в )

----(cos(7r - а) + zsin(7r — а)); r) 5 (cos |тг + г sin § 7тУ

10.1.16.

2 и

COS Ot

10.1.17.

a) х = 4; у = 2^S; б) х = 4; у =

10.1.21. п = г2;

= ф2 + 2/С7Г.

1 0 .2 .3 .

а) - 1 + 5г; 6) ^

lâi.

10.2.4.

а)

+ ^ г ;

0. 10 .2 .5 .

а)

32;

6) 32г. 10 .2 .6 . а)

4 - 4г.

10.2.9.

- 1 .

10 .2 .10 .

1. 10 .2 .12 . а)

х =

у = 2; 6)

0 . 10 .2 .13 . а) х =

у =

б)

х =

2 + г; у = 2 — г. 10 .2 .14 . - 2

- 2г.

10 .2 .15 .

512(1 -

гЧ/3). 10.2.16. ± ^ ( 1

+ г Д ) .

10.2 .17. - 1 ; \ ± i & .

10 .2 .19 .

Окружность (х + I)2 + у2 = 4. 10 .2.20. Полуплоскость у >

â .

10.2.21. а) 25; 0; б) |; |.

10.2.22. а)

г, = 0; г2 = -1 ;

z3,.i = \ ±

б) г = Д

+ 4г.

10.2.23. а)

-32 -

3 2 Д г; б) - 1 .

10 .2 .25 . a) zi = ^

if;

гг = г; г3 = —^

- £г;

б) 2 •е (-^ +*т1)’', к = 0,1,2,3; в) 2 •е( * +1* ) ',

к = 0, 1, 2,3; г )

\/2 (cos 77+ ^

г sin

, & = 0, 1, 2,3,4.

10.2 .26. а)

л/65; б) 2уД 0 .

10 .2.27 . zi

= 0;

г2 =

1; z3,.t = -А ± ^ г .

10.2 .28 . а)

2 ±

2г; б)

. 10 .2.29 . а)

б) 4 (cos ( 2^ +

+ гsin ( 2</7+ 12))* 10-2 -30 - а ) -\/2 + г\/б; б) —12 + Ог.

10.2.32.

и —у/2г.

10.2.34. a)

cos4а; =

^ cos 2а; +

g cos 4а;;

б) sin2х =

cos 2а;. 10.2 .35 . a)

—2 + г; —3 + г; б)

±2г;

±>/бг.

10 .2 .36 . cos а; + гsin a;. iu.2.38. 2 =

V3. lu.z.au. 2 =

—4 , 0

-+- 0 ,4 г.

10 .2 .40 .

216-cos16( 7r ~ 2^ )(cos8y) -

isinSip).

10 .2.41. a)

0; аргумент не

Ал

Оо

определен; б) 64;

- у ^ 7г; в)

„ ■; - |

7Г.

з ,

+ sin5ip.

10 .2 .42 .

sin 5ур =

5 sin ip cos4(р —10 cos2ip sin3ip

mлo A Q	o\.
1 0 .2 .4 3 .	а)

sin ~	•sin		.^ \	sin — •cos		2	1 П О Л	.
_____ 2_______ 2		2—	.^ \	------ 2		2	1 П О Л		= ±г
------?	. ■	2—	; б)	------ 2	. я 2—		. 10.2 .44 . a) z i,2		= ±г
	sin f				sin f
	2

23,4 = -	21,2 =	23,4 =	25>6 =	2?’8 = ± 2 г; в)	г = I - г.
1 0 .2 .4 5 .	(1; 1) и (—1; 1). 10.2.46. а)		Конец радиус-вектора 2 перенести на
вектор ô(—3; 0); б) повернуть радиус-вектор точки z на угол ^					против
часовой стрелки; в) перенести конец радиуса-вектора точки z					на вектор
ô(2; —1). 10 .2 .48 . При х = у или х =			—у. 10.2 .49 . а) Окружность \z\ = 1;
б) нет таких точек. 10 .2 .50 . а) 1; б)			1. 10 .2 .51 . Да.

Глава 11. Функции нескольких переменных

§ 1. Понятие функции нескольких переменных. График и линии уровня

функции двух переменных

11.1.3. S = у/р(р ~ х)(р -

у)(х + у -

р), 0 < х < р, 0 < у < р, х + у > р.

у/К2 —х 2 —ту2), если центр

11.1.4. Функция неоднозначная; V = 4хт/(2Я +

шара расположен внутри пирамиды; V = g хт/(2Я —у/К2

■ж2 —т/2), если

центр шара расположен вне пирамиды; D = {(гс, 7/)

0 < х ^ 2Я,

О< у ^ у/ Ш 2 - х 2}.

11.1.5. V = f Л(12 - /г), 0 < h < L

11.1.7. а)

^ ;

б)

— 7/~

2x7/ Т.

11.1.8. а)

- 2 . 6 )

в)

XI/ +

£ .

2ху

■>S ïf

г/

д)

7 ’ е)

** - г/2+

t + J -

/(*)

= V T + ^ .

1 1 .1 .1 1 . f(x\ у) = х

1+7/

Указание. Обозначив и = х + у, v = У-, определим

2 ?;2

_ Ц2(1 —у)

Ъ ’ У =

T T ÏÏ - тогда/(” ;”) = ( Г 7 ^

т =

-— + . Остается

(1 + V)

+ т;)

заменить и на хит; на у. 11.1.12. /(х) = х2 —х, a z =

2у —(х —у)2.

11.1.15.

Полосы 27Г71 ^ х ^ (2тг + 1)7Г, у ^ 0; (271 + 1)тг ^ х ^ (2тг + 2)7Г, у ^ 0,

где п — произвольное целое число. 11.1.16. Биссектриса II и IV

координатных углов, у = —х. 11.1.17. Полоса: 1 ^ у ^ 1, х 6 R.

11.1.18.

Часть плоскости первой четверти, расположенная выше параболы

{

х > 2

Гх < 2

’

и <

’

^т/<2

2 ^т/^2.

1 1 .1 .22.

Часть пространства над (или вне) эллиптического параболоида.

11.1 .23.

Часть пространства, расположенная над гиперболическим

параболоидом. 11.1.24. I, III, VI, VIII октанты системы координат O xyz, не

включая границу. 11.1.25. Полупространство, ограниченное плоскостью

х + т/ + z = 1, и содержащее начало координат. 11 .1 .27 . Линии уровня — прямые х + т/ = с, а график функции — это плоскость. 11 .1 .28 . Линии уровня — равносторонние гиперболы ху = с, с > 0 (они расположены в первой

и третьей четверти плоскости). График функции — конус. 11 .1 .29 . Линии уровня — равносторонние гиперболы. 11.1 .30 . Линин уровня — прямые линии, параллельные прямой х + у + 1 = 0. 11 .1 .32 . Плоскости, параллельные плоскости х + у + z = 0. 11 .1 .33 . Концентричесне сферы

радиуса д/гГ, и > 0, с центром в начале координат; начало координат 0 (0; 0; 0)

при и = 0. 11.1.34. Однополостные гиперболоиды с осью Oz, если и > 0 или двухполостиые гиперболоиды при и < 0, если же и = 0, то х2 + у2 - г 2 = 0 —

конус. 11 .1 .35. а)	4 ^	" 2L ± £ i б)	( ,/ +	+ 4
'	Уj + X2	у - х ’ ’	( ,/ +	х *)ху у - х ’

в)	_ 4 ± i 4 + £ ± if . r)					» 3Н-я3 _ g + -V				R 1
		x“ H- 7/		y —x'		(x24* y2)x		x - y '	11.1.36. 10 - R1 при R 2 Ф 10.
11.1 .37 . a)				.2..2				2y2. 11.1 .39. a) cos2x; 6) cos(x2 - y2).
				ж4— 2x 2y2 4- 2y4; 6) 4x
11.1.40. Дпе полуполосы D = {(a;;?/) 6 IR2									\y\ ^	1, \x\ ^ 1}. 11 .1 .41 . Кольцо
22 ^ x 2 + y2 ^ 32. 11 .1 .42 . Полузамкнутое кольцо 1 < x 2 4- y2 ^ 16.
11.1.43. Внешность двух окружностей с уравнениями
(х -		^)	4- (у - ^		=	i и (я'4-		4- (у 4-		^ с исключенной точкой
0(0; 0). 11 .1 .44 . Область, заключенная между параболами у = 1 — х 2 и
у = х 2 -			1. Формально, D =				{(x; у) 6 lR2 у ^ 1 -			x 2, у ^ х 2 - 1}.
11.1.45. D = {(х;у)						\|^	1} — два вертикальных угла, ограниченных
прямыми у = х и у = —х и содержащих ось Оу. 11.1 .46 . D — область
Г (х 4 -1)2 4- у2 ^ 1,					11 .1 .47 . cos(x2 4- у2) ^ 0 = > 0 ^ х 2 4- у2 ^
\(х —I)2 4- у2 > 1.

2ктг - \|			^	х 2 4- у2 ^	2ттк 4-		А; =	1, 2,3 , . . . (рис.		134). 11 .1 .48 . Первый

Рис. 134

октант х ^ 0, у ^ 0, z ^ 0. 11.1.49. Часть пространства между двумя концентрическими сферами радиусов г и R с центрами в начале координат.

11 .1 .50 . 11 .1 .51. ( 1 . 2)^ (> + 3), =

б)	(I -	Ü! /.. . „ч2 + 71—			ЗГ +
		2Г + (у + 3)" т (х -
д)	-т -2	1	-2	Т “2	i ж )
		-------;— 24 е)
	sm	7ГХ 4- У	X	4- Sin	7Гу

. nv i : в)	Т 1		----------	-
(у + 2)* ’ а>	х '+ у г - 4 ; г) (х* —2у)(х + 2)
	.. 3\		а / 4 —а2	—у2.
	---- , о»		---------т =	»
	>3/		./z z	»
Sin27ГХ 4- sin27Гу		2	\/—2/

и)	У ^ /	■ ч	1_________„Ч	V ^ S -ÿ 2 .
	л/4 —ж2 —У2 ’		ч/х2 + (г/ —З)2 - 9 ’	л/î/ —а: -Ь 4 ’

. 11 .1 .52 . а) /(x ) = sinx,

д(х ) = cosx; б) у(х) = cosx, у(х) = sinx; в) /(x) = tgx; г) /(х ) = еж 1 1 .1 .5 4 . z = u8lnu, - 2 < у < 2 11 .1.55. - 1 ^ З.с — 2i/ < 1.

§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на

множестве


11	.2	.6.	0. 11.2.7. Не существует. 11.2.8.	11.2.9. - i .	1 1 .2.10. 0.
11	.2	.12.	0. 11.2.13 . 0. 11.2 .14 . In 2. 11.2 .17. 0. 11.2 .18 .		0. 11.2 .19 . 0.
1 1	.2.20.		—4. 1 1 .2.22. Функция непрерывна в данной точке.
11.2		.23.	Непрерывна. 11.2.24* Непрерывна. 11.2.26. /(1;2)			= 0.
11	.2	.27.	/(1; 1) = 0. 11.2.28. /(0 ; 1) = -1 2 .	11.2 .29 . /(0 ; 4) =		А.
11	.2	.30.	/(0; 0) = 0. 11.2.34. х = 0, у = 0	— точка разрыва. В окрестности

этой точки f[x\ y) бесконечно малая. 11.2.35. А/о(0;0) — точка разрыва. В окрестности этой точки f{x\y) бесконечно большая. 11.2 .36. Функция разрывна во всех точках прямой х — у = 0. В окрестности каждой точки прямой /(х ; у) — положительная бесконечно большая функция.

11.2.37. Функция разрывна в каждой точке параболы у = х 2. В окрестности ее точек /(х ; у) — бесконечно большая разных знаков с разных сторон

параболы.	11.2	.38. -1 0 . 11.2.39.	0. 11.2 .40 .	А.	11.2.41.	е3 11 .2 .42 . 0.
11.2.43.	0. 11	.2.44. 11.2.45. -	А . 11.2.46 .	1.	11.2 .47 .	е2.

§ 3. Частные производные. Полный дифференциал. Линеаризация функций

11.3.2. Д*г = 0,42, Дуг = - 0,2, Дг = 0,178. 11.3.3.						Д хг = 0,0031,
Д уг = 0,0006, Дг =				0,0063.	11.3.4. Д*г = 0,04, Д ,г	= 0,04, Дг = 0.
11.3.5.		1,31. 11.3	.6.	0,2109.	11.3.7. 0,33. 11.3 .8 . 0,0187. 11 .3 .11 . г'х = 2xe*2+v2
Zy =	2уе*2+у2 11		.3.12. u’t = ЪЬАsin3г, u’z = 315 sin2z cos 2.
11.3	.13	. vx = 4x3cos2у —15x xyAsin2x 5 •cosx5, v'y =				—x 4sin 2у — 41/3 sin3x 5.
11.3	.14	. z'x = 2x cos		2xy — 2yx2sin 2xy —y2 cos(x + ?/),
z'y =	- 2 x 3sin 2x 7/ - 2y sin(x + y) + y2 cos(x + y).
11.3.15		. ux = yxv~1 4- yzzxz~l + yzxy In 2, v!y = x v lnx + x zzyz~l + x zxy In2,

u’z = (xy)z ln(x •y) + xyzxy~l . Указание. Следует заметить, что здесь имеем

дело по существу с двумя формулами: для производной степенной и

показательной функций. 11.3.19.							1,08. 11.3.20 . 3,185. 11.3.21. 0,227.
Указание. От градусов следует переходить к радианам (числам). Тогда
х о =	2/о =	7J, Ах = - 2° =					Дт/ = 1° =	Везде принимать п = 3,14 и
производить соответствующие расчеты. 11 .3 .23 . 0,82. 11.3 .24 . 3,037.
11.3	.25. -0,03 .		11.3 .27.		108,972.		11.3.28.	1,054.
11.3	.29. dz = 30х ?/(5х 27/ — 7/3 -Ь 7)2dx + 3(5х 27/ — т/3 + 7)2(5х2 — 3y2)dy.
11.3	.30 . dv =	i	f	,., du -	.) u	:>dt.
		u	-ht		i P T F
11.3.31. d z = ( j - J -					+ ( 2^ + -è fc )d y .
11.3	.32. dz =		2		2x
			!	25Гdx — 9 .		2x dy.
		Уsm —			y “ Sin —

УУ

11 .3 .33 . dz =		\Jи 4- y/ и 2 + v2			du 4-		v dv

		2 y/u~ 4- v2				2yJu2 + v2 4* u y fu 2 4* v2
11 .3 .34 . dz =		- -	=dx 4-			2a:	dy.
		y /x 2 4- y2			?/\/a:2 4- y2
11 .3 .35 . d2 =		(x	+ y~)y/x2 -			y2

11 .3 .36 . dz =		( —cos —cos У 4- -У? sin —sin У\dx —
		\Î/	2/	® x*		У	x J
— (	cos —cos ^ 4- —sin -			sin - } d y .
\ y Z	y	X X	y	X.) J
11 .3 .37 . dz =		2 •1 -	д;~ -	?/ -	у'д2 +.V2. (д; + ydy).

11 .3		.38	. du =	(За:24- Ъу — 1) dx H- (z2 4- 3a:) dy 4- (2yz + 1) dz.
11	.3	.39	. du — y-x*~ 1dx 4- - x = lnx d y — \ x = lna:dz.
				Z	Z	2
11	.3	.40 . dz =		yzx y'~ ldx 4- zyz~1x y~\nxdy 4- ?/га:у’ lna:ln?/dz. 11.3 .41 .

to|co

11 .3 .42 .	- Щ .	11.3 .43 .	11.3	.44 .	0,08. 11	.3 .45 . 0,25e. 11.3 .46 . « 7,5.
11 .3 .47.	2,95.	11.3 .48 .	0,345. 11.3 .49. 0,75.			11.3.50 .	257,408.
11 .3 .51 .	Уменьшится на æ 15,7			см3. Указание. V =			^ 7гЛ2# ,
A V æ dV = TÇ7T(2RHAR-\- R 2A H ) »					—57Г (см3). 11 .3 .52 . Уменьшится на
0,32 см. 11.3 .53 . 4370 ±			100 см3.

§ 4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная и нормаль к поверхности

11 .4 .4 .	=	а(2а; 4- у) cos t — а(2у 4- x) sin£.
U .4 .5 . - ™ ( и + ^ - т й ) (2 —Р - 5 7 Г Й ) -
11 .4 .6 . ^	=	2ху3и 4- 6x2y2ut 4- х 2у3 cost или			= £7(8sin£ 4- t cost).
H .4 .7 . f	=	0.
1 1 .4 .8 . (y arctgxy + - p			r ? ) •	+ (y arctg zt/+	—	•312.
\		14	- x y '	\	14	- x y /

11 .4 .9 . 2e2x_3y— Ц------3e2l - 3y(2£ — 1).			11.4 .10 . yxy~l 7 4- x y lna:cos£.
cos	t			t
11 .4 .1 4 . dz — 3u2 ^n3 4—		du 4" и3 ^3u2 —		dv.
1 1 .4 .15 . dz = ( - j = f -----tm * -1 -			---- - ln v ) du+
\ V х	- у	V х	- y	J

+ (

ухи-

Inи -- г - И ------^)du .

\у/х2 - у2

л/х2 - y 2VJ

11.4.16

. dz —— ^'yev+ х ^

sinxydw —(yev+ xln«)sinxydu.

11.4.17

. dz =

-— Ц -y

[ ( —JO

,------- + x 4) du + ( —jÆ

------- x") dv .

1 + x V [\ V u 2 + v 2

)

V V u 2 + V2

11.4.18

. dz =

T -, 1 L

[ - ? % -

+ ( —

-----------—'jtidu].

2y/x + y L sin

\ cos2 v

sin"!;/

11.4.19. dz =

3- [(2a; cos v + 1Ьул sin v) du + (—2xusm v + lb y 4u cos v) dv] .

7 ( x * + 3 y°)

e2y — —

n -4 -22- y =

n -4 -23- y =

n -4-24- y -

11.4.25

y' =

I .

11.4 .26 . j/' =

11.4.28. (t):

llx

+ 2y -

24 =

0, (n): 2x - lly

+ 7 =

0. 11.4 .29 . (t):

7x -

y - 13 = 0, (n):

x +

7y -

9 =

11.4.35.dz =

+ s*dy

ц . 4.36. |k =

d±. =

----------1------- -

z - x y

X 4-у + 2

— 1

11.4 .37 .

-a4 z? ,

4 =

-b~£z tt. 11.4.38. x + 4y + 62 =

±21.

11.4.39. ±a: ±

?/ ± z =

\/a2 + b2 + c2. 11.4.40. В точках (1; 1; 0)

и (1; - 1 ; 0)

касательные плоскости параллельны плоскости O xz, в точках (0; 0; 0) и

(2; 0; 0) касательные плоскости параллельны O yz, а касательных плоскостей,

параллельных О ху, нет. 11.4 .42. 4т =

— S X ~V^-

х” + î/

11.4.43. dz =

2(4x3 -

8x y 2) +

(4t/3 -

8rr2î/)e2t dt.

11.4.44. d2 =

[(y + I )

+ (x -

4 ) }]Л .

11 .4.45 . d z = ( X

—

2.T

dt.

, .

: ---- )

Vy7 ! + 4Г

y V l

t. J

i2'

11.4.46. dz =

(2ty5‘2 •In2 + - J Ê Ï -----)Id*, .

У (x2 + y2)3 V

V l - 4 t * '

1 1 .4.47. d2 =

[_3 sin(x + y) + xcos(x+j/) + ^ _

1}^

+ x)] ^

11.4.48i. dz =

2a; sin x 2

cos a;2

-)d t.

2/(t + 2)

cos2 1>

11 .4 .49 . dz =

f —— sec2 — sin2t — 2 ^ j sec2 — cos 2*) dt.

11.4.56. Да.

11.4.57. Нет. 11.4 .58.

Да.

11.4.59. Нет.

11.4.60 . Нет.

MQ(—1; 1) не

линии 11.4 .61 . Да. 11.4 .62 . у =

Зх2 ± ДЭх4-

arctg2x.

11.4 .63 . у =

\/х + 1п(20х + 18х3 + 1). 11.4 .64 . у =

± 1/arctg(3x2 + 17) - х 2.

..............

3 +

i/9 +

16Х-1 ±

\И З+ У д + 16х")2 +

1бх4

11.4.65 . у =

-------------------------- ---------------------------------------,

уравнение определяет две однозначные неявные функции, так как при хо = 1

уравнение допускает два корпя у = 2 и у = 0. Касательная через (1; 0):

у = - - у (я - 1), через (1; 2): у - 2 = -у ^ (х - 1)- В окрестности у = 2

уравнение допускает также две однозначные неявные функции, ибо при у = 2

уравнение имеет два корня х = 1 их = 20 .11 .4 .67 . || =

1 1 .4.68. dz =				(2xf'v(u; v ) -		^)) dx+ (	f u(H; г ;)-3 /'(ц ; t;)) dy.
11	.4	.69 .	=	i 2a: т/и(ц;^) + г/2/и ц ; ^)> If: =			2xyf'v(u \ v )- ■
			OX	X — y		oy	x —y
11 .4		.70 . dz =		£(2uv — v2)sinî/ - (и2 — 2m;)î/sin.x'J dx+
+ [^(2ш; —v2)x cos y + (u2 -					2uv) cosxj dy.
11.4		.71. dz =		^5x 4/ ' ( u ; u ) - 7//'(n;t;)sinx?/^ d x -			( x s m x y f,n(u]v) + 7 f,v{u\v)) dy.
11	.4	.72. dz =		J?(co s^ /i(w ;v ) + i		(“ ï v)) (?У rfx “ -г* dv)-
1 1 .4.73. dz =				— VJ^L'	Указание. Из данных условий нужно исключить и


и v: и =	>/х + у, v = >/х -		?/. Тогда z = у/х2 — у2)
=	xdx	_	_ = x d x - y d y n 4 7 4		dz = xdx + 2^
у / х 2 — у 2		у / х 2 — у 2		z	а	а
11 .4.75 .	dz =	y/z{xdx - y d y ) .		11 .4 .76 . dz = 2(xdx + ?;dy).
11 .4 .77 . dz = 2(x dx + y dy).

§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

11.5.7.—sinxsinydx2 + 2cosх cosуdx dy — sinх sinydy2. 11.5.8. 24x + 6y.

11.5.9. —sin(x + y). 11.5.10. _ 4cc\|s2(x + y)			n 5Л1. 0. Ц .5.12. д’(д + 2у1,
	sin	2(x + y)	(x + y)
11.5.13. î/(2 - y 2) cosx y - xy 2sinxy. 11.5.14. sin 2/ cos(x + cosy).
11.5.15 - 2^2-----%rrz(dx2 - dy2) - 4xî/		f	•11.5.16. - cos(x + 2/)(dx + diy)2.
(s + 2/ )		+ 2/	)
11.5.17. dz =	(2xy —y2)dx + (x2- 2xy)dy, d2z = 2ydx2 + 4(x - y)dxdy - 2xdy,2
11.5.18. dz =	( у + j&)dx+ {x ~ x ) dy’ d*z = ~^idx2 + 2{l + -£z)dxdy.

11.5.19. dz = 6(x2 + y2)2(xdx + ydy),

d2z = 6(x2 + J/2)[(5X2 + y2)dx2+ Axydxdy + (x2 + 5y2)dy2].

11.5.20. dz = (sinx)c0‘v(cos yctgxdx -	sinуIn sin xdy),
d2z = cosx(sinx)C03v[(cosу - l)ctg2x -	l]dx2-

- 2sin yctg x(sin x)cos*(1 4- cosуIn sinx)dx dy+

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 5857 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб29Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf