книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdfДа; |
-0 ,5 |
- 0,1 |
- 0,01 |
0,5 |
0,1 |
0,01 |
Д у |
1,25 |
0,21 |
0,0201 |
1,25 |
0,21 |
0,0201 |
На основании этой таблицы можно сделать предположение о непрерывности функции f( x ) в точке .т0= —1.
Да; |
- 0,6 |
-0 ,3 |
- 0,1 |
- 0,01 |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
0,01 |
Ау |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
0,01 |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
0,01 |
На основании таблицы можно сделать предположение о непрерывности
функции f( x ) в точке .то = |
1,5. |
|
|
|
|
|
|||
Дх |
- 0,6 |
-0 ,3 |
- |
0,1 |
- 0,01 |
0,6 |
0,3 |
0,1 |
0,01 |
Ау |
— 1,67 |
-3,33 |
-10 |
-100 |
1,2 |
0,6 |
0,2 |
0,02 |
|
Исходя из таблицы можно сделать вывод о разрывности данной функции в точке то = 1,5; при этом функция непрерывна справа в этой точке.
6.5.5. в) Придав аргументу в точке то приращение Да;, получим Ау = (а,*о + Д т)3 - То = то + Зх%Ах + Зто(Дт)2 + (Да;)3 - х% =
= Дт(Зт*о + ЗтоДт + (Д т)2), откуда lira Ay = 0, т.е. функция у = т 3
непрерывна в точке то. 6.5 .12 . а) Функция терпит разрыв 1-го рода в точке х = —2 (скачок функции равен —2) и имеет устранимый разрыв в точке
т = 2. В остальных точках функция непрерывна. График функции изображен на рисунке 131 а); б) Функция имеет устранимый разрыв в точке т = 1 и терпит разрыв 1-го рода в точке т = 2 (скачок функции равен 4). В остальных точках функция непрерывна. График функций изображен на рисунке 131 б). 6.5 .13 . а) т = —2 — точка разрыва 2-го рода, т = 1 — точка
устранимого разрыва; т = 4 — точка разрыва 1-го рода (скачка); в остальных точках функция непрерывна, б) т = 0 и т = 3 — точки разрыва 2-го рода, т = 5 — точка разрыва 1-го рода (скачка); в остальных точках функция непрерывна. 6.5 .15. а) хо = —4 — точка устранимого разрыва; б) хо = 0 —
точка устранимого разрыва. 6 .5 .16 . а) Функция имеет разрыв 1-го рода в
точке яо; б) хо — точка разрыва 2-го рода. 6 .5 .20 . а) 1; б) в) 2; г) In2.
6.5.22. 1) Функция непрерывна на отрезке [4; 5], имеет одну точку разрыва второго рода х = 1 на отрезке [0; 2] и две точки разрыва второго рода х = ±1
на отрезке [—3; 1]; 2) На отрезке [4; 5] функция непрерывна, на отрезке [0; 2] имеет одну точку разрыва второго рода х = 1, а на отрезке [—3; 1] — две точки разрыва второго рода rui = —3, Я2 = 1-В остальных точках последних
двух отрезков функция непрерывна. 3) Не определена ни на одном отрезке.
4) Функция не определена на отрезках [0; 2] и [—3; 1]. В случае отрезка [—4; 5] функция определена лишь в его концевой точке х = 5 и поэтому не является непрерывной ни в одной его точке. 6.5.24. Функция непрерывна при всех х ф 0; в точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода.
6 .5 .25 . а) |
Указание. Ay = /(х + Ах) — f(x) = sin(.x + Ах) — sin х = |
||
= 2 sin |
•cos^r + 4 ^ )* Далее учесть, что функция sin |
— бесконечно |
|
малая при Д.т -* 0, а функция cos^x + |
— ограниченная. |
||
6 .5 .26 . Указание. Пусть, например, хо — произвольное рациональное число.
Тогда последовательность {х п} = {хо + — | сходится к точке хо. Однако |
||
lim / ( x n) = |
lim 0 = 0 / /(хо) = |
1, т. е. в точке хо не выполнены условия |
п—юо |
п-+оо |
|
непрерывности. Аналогично рассматривается случай, когда х*о — |
||
иррациональное. 6.5.27. а) /(х ) |
= sign гг, д(х) = - sign гг, .т0 = 0; |
|
б) f(x) = D(x) (функция Дирихле, см. задачу 6.1.125), д(х) = 1 - D(x). Тогда
/(х ) •д{х) = 0, Vx G R. 6.5.28. а) /(х ) |
= D(x) (см. задачу 6.1.125), |
|
|
д(х) = —D(x)\ б) /(х ) = JD(x), д(х) = |
1 —D(x). 6 .5 .29 . Указание. Рассмотреть |
||
последовательности |
сходящиеся к |
|
|
~ {тгп} “ |
- { | +27гп} ’ Сх< |
|
|
точке 0. 6.5 .30 . Указание. Учесть, что функция х — бесконечно малая в |
|
||
окрестности точки 0, а функция sin А — ограниченная. 6 .5.32 . Например, |
|
||
f(x) = - на интервале (0; 1). 6 .5 .33 . Например, f(x) = < ^’ |
ПГШХ |
1. |
|
х |
J j , |
при 0 < х ^ |
|
6.5 .34 . Например, функция /(х ) определенная на объединении интервалов
(1; 2) и (3; 5), причем /(я ) = |®’ |
Пр“ Х € |
6 .5 .35 . Например, |
||
|
[ 2, |
|
при х G (3; 5). |
к |
tf . J 1, |
при 0 ^ х < 1, |
.36 . а) Например, f(x) = х на интервале |
||
/ ( х ) — < |
6 .5 |
|||
I Z, |
При J. s; X ^ 2,. |
|
|
|
(0;1). 6) Например, /(х ) = sinx па интервале (0;27г). в) Например, /(х ) = {х }
({х } = 1 — [х] — дробная часть числа х) на интервале (0; 2). |
|
|
! 1, |
при х = |
О, |
х, |
при 0 < х < 1, |
|
0, |
при х = |
1. |
6 .5 .39 . Указание. Учесть, что lim |
/(х ) = +оо, lim |
fix) = -оо (если |
|
х—>+оо |
х—►4-00 |
1 |
4 |
°о > 0) или J r n ^ / t x ) = -о о , ^Игп^/(х) = +оо (если а 0 < 0). Поэтому
найдется отрезок [а; Ь], на концах которого /(х ) принимает значения разных знаков. Далее применить теорему Больцано-Коши.
6 .5 .40 . Указание. Представить |/(х)| в виде произведения функций /(х ) и sign /(x). 6 .5 .41 . Например, функция /(х ) = £>(х) - i , где D(x) — функция
Дирихле (см. задачу 6.1.125).
Глава 7. Производная и ее применение
§ 1. Производная функции
7.1.4. |
-r |
Ay |
|
Vx + Ах —у/х |
= |
|
|
Указание. Учесть, что д £ = |
-----^ — |
|
|
||||
|
|
_ |
|
As |
_ |
1 |
. |
|
Ах -(у/ х+ А х+\/я) |
|
Ax-(Vx+Ax+y/x) |
Ax-(y/x+Ax+v%) |
|
||
7.1.7.Зх2 - 0,4х + 2. 7.1.8. 2ах + 6. 7.1.9. 42х6 + 12х2 - i . 7.1.10.
7.1.11. |
- U |
+ Л |
- |
4 - 7.1.12. |
Зх V i2 |
+ А |
+ >/7- 7.1.13. 1,25 */£ |
|
|
2^я |
х |
х |
|
х |
|
|
|
7.1.14. 5 •2* •1п2 —j -Аз—•7.1.15. - г - к - . 7.1.16. - = ™ |
+ 7е*. |
|||||||
|
|
|
4 |
sin х |
sin |
2a: |
1 + х |
|
7.1.17. |
x2(31og2x+ -j^ 2). 7.1.18. 4х3 + 2х. 7.1.19. |
■ |
||||||
|
^ |
+ |
|
71-21- < г т т ^ |
71И - ‘Ш |
2 - |
||
+ 21п6 •logfix -_± 7>1>2 3 . о. 7.1.24. 7. 7.1.25. 0. 7.1.26. JL. 7.1.28. -5sin5x.
х^пб
7.1.29.3In7 73l_1. 7.1.30. -3cos2xsinx. 7.1.31. 100(x + l)99.
7.1.32. |
— r—1--5— 7.1.33. |
— уЛ-------7.1.34.----- Л —. 7.1.35. ctgx. |
|
|
||||||
|
2\/tgxcos |
x |
2y/x —x2 |
sln~s |
|
MCHI |
||||
7.1.36. |
—^ |
1 . |
- |
e2x |
|
1 + x2 |
2 |
cos |
||
7.1.37. |
— . 7.1.38. - |
2-arC- / . 7.1.39. 4,5sin8 f |
|
|||||||
7.1.40. |
/За; - |
|
=. 7.1.41. - |
|
|
. 7.1.42. sec2x. |
|
|
||
|
|
1 |
y/2(x - x2)(l -f x) |
|
|
|
|
|||
y«u«»«e. Учесть, что lu |
|
“ 5 ln( f r | | f ) |
= |
|
|
|||||
- J M l + <8*) - |
M » - *8*)] ■ |
|
|
|
|
|
||||
7.1.44. |
- y ^ |
|
l-ч. 7.1.45. — 1 |
. 7.1.46. x2(3sin(cosx) —xsinx cos(cosx)). |
||||||
|
у/ х2 - 1 |
|
cos |
4x |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.47.— ---- (4x4 ln3 + x2(3 —20 ln3) —5). 7.1.48. 4с.^ 4ж.
2y/x3 —5x v |
' |
Ь 6 |
7Л '49' v^(l + л/î)^ |
SinT T ^ - 7Л ,5° ’ li-P"i)(x + 2)6(* + 3)(x + 4)- |
|
Указание. Воспользоваться формулами для логарифма произведения,
частного и степени. 7.1.51. . 5 |
~~ ^—г*. 7.1.52. —isin2x. |
|
(х2 - |
4х + 5)2 |
2 |
Указание. Применить тождество sin4 ^ + cos4 ^ = 1 —i sin2 a:.
7.1.53. 5esh2 5я sh 10a:. Указание. Учесть, что sh2s = 2shxchx.
7.1.54. - f j V p Y 1- 7.1.55. |
7.1.56. |
7.1.57. -cos2x. |
7.1.59. x*(l +lnx). 7.1.60. 2xln l_ 1 lnж. 7.1.61. |
^ |
|
^ * |
|||||||||
х Зж2 + 5x 4- 3_ 7 |
I fi2 |
(х |
~ |
^ х. |
(-&Ç---- и |
* |
v------ i - Y |
|||||
(ж2 + 1)(ж2 - |
9)* |
|
|
(а: + 5)‘ |
'х - |
2 |
3(х - |
1) |
х + 5/ |
|||
7.1.63. |
(tgx)cosx |
( i E i |
-sin x ln tg x ). 7.1.64. (х |
~7^ |
° S |
* * |
|
|||||
, |
+ 6l gI + А) . |
|
|
|
|
|
7ЛЯ7- ~ % |
|||||
|
|
7Л-69- |
|
|
|
7Л-7°- < - § § § ^ : |
|
|||||
»' = - г ? 7 . »(») = 4 |
' |
7 1 -73- # |
^ Т |
7Л -74- Г ^ 5 П ’ “л" м 4 |
||||||||
7.1.75. |
cost -м Ц |
7.1.76. - 1 . 7.1.77. 0,8ctht. 7.1.79. у = х + 1 и у = - х + 1. |
||||||||||
|
cos t + |
sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.80. у = |х+ |
~ иу = -2x + 47r +g3~ |
■7.1.81. a) x0 = 0,5; 6 ) x0 = 1. |
||||||||||
7.1.82. arctg3. 7.1.84. 18si3no3z. 7.1.85. 2sinx + xcosx. 7.1.86. 2(1 ~ lng) . |
||||||||||||
|
0 |
|
COS |
3x |
|
|
|
|
|
|
X |
|
7.1.87. |
-Д -. 7 .1 .88 . 32e21. 7.1.89. |
|
7.1.90. - A . |
|
||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
(i + ®; |
|
|
91 |
|
||
7-1-81- - |
i - |
7-1-“ - m |
= |
5- 7 Л 0 7 - /,(0) * |
° - 7Л М - ù |
- ÿ |
+ s f e - |
|||||
7.1.99. 60ж5 + *4f + |
ц/ «•7.1.100.----г-Д*-----3cosx. 7.1.101. —-—j |
+ 7ex. |
||||||||||
|
|
x |
5 vx4 |
|
|
sin x |
|
|
|
1 + x |
|
|
7.1.102. 19x •In 19-----7=§----- 7.1.103. 5x4 - 1. 7.1.104. |
|
|
''Æ® |
|||||||||
|
|
|
y /l- x |
|
|
|
|
y/l —a 2 |
||||
7.1.105. |
—l-i-Ti-sr. 7.1.106.--Указание. Воспользоваться тождеством |
|||||||||||
|
__ |
|
|
жIn 1U |
|
|
|
|
|
|
||
3sin2 re + 3cos2 x = 3. 7.1.107. |
|
|
+ 4X•In4. Указание. Учесть, что |
|||||||||
( « ’=Ш |
- (è)'-l - -* ■«•7ЛЛ°8- Ш |
5 ? 1- |
|
|||||||||
7.1.109. |
Зх2 + 12х + 11. 7.1.110. 2х(3х4 - |
18х2 + 23). |
|
|
|
|||||||
7.1.111. |
-®4 + 2®3 ~ 6^ + 8® - 4 . 7.1.112. - |
+2) |
а. 7.1.113. 11f |
-Г-^ +1. |
||||||||
|
|
(ж |
+4) |
|
|
|
(ж |
|
|
2у/х |
||
7.1.114. |
tfx- Г - ~ ~| у 5- Указание. Учесть, что |
|
= |
( ( f) |
) = |
|||||||
|
|
|
|
|
32*-21п | |
|
|
|
|
|
|
|
= ( ! Г * 4 = М |
Г |
= |
|
-. 7.1.115. 0,25. 7.1.116. 4,5. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.1.117. |
0. 7.1.118. 2е(41п2 —1). 7.1.119. 2х •10l2+1 •In 10. 7.1.120. — \-r~- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COS 4ГГ |
7.1.121. |
2ch3 § s h f . 7.1.122. |
5ж |
~ 1. 7.1.123. -2sin2x. |
|
|
|
||||||
|
* |
^ |
|
|
—x |
|
|
|
|
|
|
|
7.1.124. |
|
-7а? |
= . 7.1.125. |
|
|
|
- 2 |
|
|
•7.1.126. —6 cos 6a;. |
|||||||||||||
|
\/4 - |
7а;2 |
|
|
|
|
sin2 10а; •у/(1 + ctglOx)4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Указание. Воспользоваться тождеством (sin За; — cos За;)2 = |
1 — sin 6а;. |
||||||||||||||||||||||
7.1 .127 . |
12 In3 sin 31 •ctg 31. 7.1.128. |
2y/h(l + h ) |
7.1.129. - |
|
|
|
1_____ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'l —x2arcsin2 x |
|||||||
7 .1 .130 . |
cos3 x |
- sin3 x |
7.1.131. д ~ |пж.Ц1. 7.1.132. —^ !п^ |
2ж) |
|||||||||||||||||||
|
(cos x + sin x) |
|
|
|
|
(x — 1) |
|
|
|
|
|
sm 4a; |
|
||||||||||
7:1 .133 . arcsin x. 7 .1 .134 . 21n33si,,32l+4sin21 -cos2x- (3sin2 2x + 4). |
|||||||||||||||||||||||
7.1.135 . 0. Указание. Воспользоваться равенством e-1" 1 -® — |
X |
3 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
7.1.136. |
|
—x |
|
|
|
|
|
|
î — |
j. |
7.1.137. |
2 ^ ( 1 + |
^ l n 2 ) . |
|
|||||||||
|
y / x 2 ( l |
— X2 ) ’ |
|
|
|Æ |\/Ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.1.138. |
r(i/iog5i) |
|
|
|
|
-j |
|
|
|
|
|
2exfex — 1) |
|
|
|
|
|||||||
- |
5 |
■ |
-j |
|
■. 7.1.139. - Л - г . |
7.1.140. — -%§— |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x •logs x |
|
|
|
|
|
x" — 9 |
|
|
|
e |
+ 1 |
|
|
|
|
|
||||||
7.1.141 . |
, |
x |
|
- 7 . 7.1.142 . (1 - t g 3 x ) 2. 7.1.143. cosecx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
V (1 —x 4)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.1.144 . |
( |
.,x |
|
Y |
|
7.1.145 . |
- 5- J ------------ 7^ |
- . |
7 .1 .146 . |
|
3x2 - |
5x |
|||||||||||
|
'X |
+ 1/ |
|
|
|
|
x 2\/x2— 1 |
^ |
“Ь 1 |
|
|
|
v 3 —2x —x3 |
||||||||||
7.1.147 . Д3 + * |
-,,1 . 7 .1 .148 . x orctsI |
V l + x 2 |
|
|
x |
J |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x |
+ |
2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.1.149 . |
(x2 + |
l ) ^ |
\ |
( M |
ÿ + |
1), + |
2x ^ . y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2y/x |
|
x |
+ |
1 |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 1 1 5 0 |
eX(a: + |
4) V |
l |
I |
|
4 |
|
|
5 |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V1 |
+ |
x + 4 |
2(5x — 1 )/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т , |
|
x3 •%/x - 1 0 |
^ |
(Z |
, |
|
1 |
10) |
|
1 |
6) |
|
? |
61 |
^ |
|
|||||||
7.1.151. ^ |
+ 4)V |
|
^ |
|
^ |
+ |
2(x - |
7(x - |
|
+ 4/* |
|
||||||||||||
7.1.152 . 3* •x 5•^ ^ Ч ^ А п З + |
^ + |
4д.|+ 1чV |
7 .1 .153 . 0. 7.1.154 . - . f t . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
x |
|
2(x |
|
+ x ) / |
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
7.1.155 . |
2x — 3y |
7.1.156 . |
x (у In x •yjy2 — x 2 + x) |
7 .1 .157 . |
|
|
+ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — x |
—x y |
|||||||||||||
7.1.158. ~ |
+ у In g) * |
Указание•Предварительно прологарифмировать обе |
|||||||||||||||||||||
части равенства. |
7.1.159; т/ = |
— |
?/'(—л/2) = |
1. 7 .1 .160 . Л-. 7.1.161. — tg£. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
7 .1.162 . - 1 . |
7 .1 .163 . t2 + |
1. 7 .1 .164. у = |
12х + 16 и у = |
- ^ х |
- |
8^. |
|||||||||||||||||
7.1.165 . у = |
— ^ - х |
|
+ |
|
и у = л/Зх. 7.1.166 . у = |
2х и у = |
— j x |
в точке |
|||||||||||||||
Mi(0; 0); у = |
—2х + 4 и у = |
^х — 1 в точке М г(2;0). 7 .1 .167 . у = Зх — 4 и |
|||||||||||||||||||||
у = - | + g l . 7 .1 .168 . а) хо = |
2; б) |
хо = |
1,5. 7.1.169 . arctg |. |
|
|
|
|||||||||||||||||
7.1.170 . arctg2у/2. |
7 .1 .1 7 1 .------ Ц - . 7.1.172 . 2cos2x. |
7 .1 .173 . |
5* |
In25. |
|||||||||||||||||||
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 .1.174 . |
|
■j. |
7.1 .175 . ех(х + 3). 7.1.176 . cos <р. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(4х - 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 .1 .177 . I 1)П 1 ]Sn— ^ . 7 |
.1. 178. |
1 |
t |
7 .1 .179 . |
10 |
|
|
|
|
3 sin t cos |
|
9e |
|
||
7 .1 .1 8 2 . У казание. Показать, что |
àlL |
7^ |
lim |
A?; |
0 |
||
lim -т-^ |
т 2- в точке хо = |
||||||
|
Дх-Ю +О Дх |
|
Д х -fO -O Дх |
и |
|
||
7 .1 .1 8 3 . Например, у = |х - |
1|+ |х —2|или у = |
|х2 - |
Зх + 2|. 7 .1 .184 . Судя по |
||||
графику, в точках xi, х -2, . . . , |
xs функция не имеет производной, хотя и |
|
|||||
определена. В остальных точках функция имеет производную. Функция |
|
||||||
непрерывна во всех точках, кроме точек хл и Хб- 7 .1 .188 . Нет; например, если
/(х ) = х, д(х ) = |
|х|, х 0= 0. |
|
|
§ 2. Дифференциал |
|
||
7-2-2- * |
- тл |
;! + -, ) ' <'*•7-2-3' *> - [<3* - |
» •131+ £ ? î ]*• |
7 .2 .4 . |
dy = x(21nx + l)dx. 7 .2 .5 . dy = |
dx. |
|
|
|
(x- + |
1) |
7 .2 .7 . Ay = (Зх2 + 2)Дх -f (Зх + Д х)(Д х)2, Ay = 0,050301 в точке xo = 1 и при
A x = |
0,01; dy = |
(Зх2 4- 2) dx, dy = 0,05 в точке xo = 1 и при Дх = |
0,01. |
||||||||||
7 .2 .8 . A y = |
(2х + 1)Дх + (А х)2, Ау = 0,75 в точке хо = 0 и при Дх = 0,5; |
||||||||||||
dy = |
(2х + 1) dx, dy = 0,5 в точке хо = 0 и при Дх = 0,5. 7 .2 .10 . 2,96. |
||||||||||||
7 .2 .11 . |
0,965. 7.2 .12 . |
1,1. 7 .2 .14 . dy = 6х(х 2 + |
l)2dx, |
|
|
||||||||
d2y = 6(5х2 + 1)(х2 + 1)dx2. 7 .2 .15 . dy = sin2xdx, dry = 2 cos2xdx2. |
|||||||||||||
7.2 .16 . dy = |
-2 sin x •In 2 •2cosxdx. 7 .2 .17 . dy = |
31n2sinx •ctgxdx. |
|||||||||||
7-2-18- J,M = |
|
|
7-2-19- |
|
|
|
|
||||||
7 .2 .20 . |
Ay = 8хД х 4- 4(Д х)2, A y = 0,1616 в точке xo = 1 и при Ах = 0,02; |
||||||||||||
dy = 8xdx, dy = 0,16 в точке хо = |
1 и при Дх = 0,02. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
при х ^ 0, |
А у = |
—0,1 в точке хо = |
10 и при |
|||||
7 .2 .21 . Д у - { Л:Е’ |
при х < 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
\ - А х , |
|
|
|
|
|
||||
А х = —0,1; dy = |
<^Х’ |
П*>Иж > |
dy = А у |
= —0,1 в точке io = Ю и при |
|||||||||
|
|
|
|
|
dx, |
при х < 0, |
|
|
|
Оfix |
|||
А х = |
-0 ,1 . 7.2.22. 0,485. 7 .2 .23 . 0,811. 7 .2 .24 . |
0,96. 7 .2 .25 . dy = |
|||||||||||
|
|||||||||||||
2. |
_ |
— |
Adx |
7.2 .26 . dy = lnxdx, d2y = ^ |
. 7 .2 .27 . dy = n x ^ d x , |
||||||||
dry |
= |
(х + |
1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d2y = |
n(n - |
l)x n -2dx2, d3y = |
n(n - |
l)(n - |
2)xn~3dx3. 7 .2 .30 . 1) |
1,99. |
|||||||
Указание. Положить /(x ) = |
\ j^ Ê ^1 ®o = |
1, Ax = 0,04; 2) |
0,996. |
|
|||||||||
Указание. Положить /(x ) = |
|
^ , xo = 0, Ax = 0,02. |
|
|
|||||||||
7 .2 .3 1 . |
Указание. Показать, что d2y = y"du2 + y'ud2u. |
|
|
||||||||||
7.3.2. Теорема Ролля в данном слуна неприменима, так как функция недифференцируема в точке х = 0, принадлежащей интервалу (—2; 2).
7.3.3. Теорема в данном случае справедлива, с = 2. 7.3.4. Условия теоремы выполнены, с = 7Г. 7.3 .5. Условия теоремы не выполнены, так как
f'(x ) = |
5/ |
не определена в точке х = 0 интервала (—1; 1). |
|
|
5 |
vrr3 |
|
7.3.6. |
с = |
1п(е — 1). 7 .3 .7 . с = |
7.3.8. Теорема Лагранжа здесь не |
применима, так как у функции f( x ) нет производной в точке х = 1 из данного отрезка. 7.3 .9 . М(3; - 3 ) , см. рис. 132. 7.3 .10 . М {е - l;ln(e - 1)). 7 .3 .12 . l| .
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 132 |
|
|
|
|
Рис. 133 |
|
7 |
.3 |
.13. |
1. 7 |
.3 .14 . |
1. 7.3 |
.15 . |
0. |
7.3.16. +оо. 7 .3 .17 . 0. |
7 .3 .19 . 0. 7 .3 .20 . 0. |
||||
7 |
.3 |
.21. |
1. |
7 .3 .22 . оо. 7 .3 .24 . |
1. |
7 .3 .25 . е~ 2. 7 .3 .26 . |
1. 7 .3 .27 . е. |
||||||
7 |
.3 |
.29. |
(х + |
I )3 + |
(х + I )2 - |
11(х + |
1) + 1. |
|
|||||
7 |
.3 |
.30. |
(х - |
|
2)5 + |
7(х - |
2)4+ 16(х - |
2)3 + 8(х - 2)2 - |
9(х - 2). |
||||
7 |
.3 |
.32. |
3 + 31п2 •(х - |
log23) + |
З1.д2 2( ^ - logz 3)2 + ... |
||||||||
|
|
, |
3 In" 2(х — log, 3)n |
, |
„ |
), |
, |
o4nN |
|
||||
•••+ |
--------- |
' |
+ o((x - log23) |
x ->• x 0. |
|
||||||||
- + |
Ч*). « |
7 .3.34. e2 - егх + |
+ o(x 4). 7 .3 .35 . x + ^ + o(x3). |
7.3.36. Условия теоремы не выполнены, так как /(1 ) ф /(3 ). 7 .3 .37 . Условия
теоремы выполнены, с = |
7.3.38 . Условия теоремы не выполнены. |
7.3.39. Условия теоремы не выполнены, так как f ( x ) не существует в точке
я = —2. 7 .3 .4 0 . с = —л/3. 7 .3.41. Теорема Лагранжа неприменима, поскольку f f (x) не определено п точке х = 0, принадлежащей отрезку [—2; 1].
7 .3 .4 2 . |
с = |
е2 - |
е. |
7.3. |
43 . М(2,25; 1,5), см. рис. 133. |
7 .3 .44 . М |
( 1; 0). |
|
|||
7 .3 .4 5 . |
0,5. |
7 .3 |
.46 . |
10. |
7.3.47. |
1. 7 .3.48. -А . 7 .3 .49 . |
1. 7 .3 .50 |
. оо. |
7 .3 .51 . |
0. |
|
7 .3 .5 2 . |
0,2. |
7 .3 .53 . |
1. 7.3.54. - |
1. 7.3.55. 0. 7 .3 .56 . |
1. |
7 .3 .57 . |
- § . |
7 .3 .58 . |
0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
7 .3 .5 9 . |
1. 7 .3 |
.60 . e ~ i . 7.3.61. |
2. 7.3.62. |
1. |
7.3.63. |
1. 7 .3 .64 . |
1. |
|
|
|
7 .3 .6 5 . (х + 2)4 - 8(х + 2)3+ 21(х + 2)2 - |
19(х + 2) + 1. |
|
|
|
||||||
7.3.66. ( * - § ) ’ + Ÿ ( * - |
è) ’ + ¥ ( * - |
î ) +6- |
|
|
|
|
||||
7.3.67. - 1 + |
|
|
|
|
+ ... + |
|
+ |
+ |
, |
|
7 .3 .6 8 . |
2 ( х - 1 ) - - 2- ^ ~ |
+ |
^ |
4 - . . . 4 - { |
2 ) п + ^ • ( Х |
- 1 Г - + о ( ( х - 1)п). |
||||
7 .3 .69 . |
х 2 — |
+ о(х4). 7.3 .70 . |
1 + |
^ |
+ о(х5). 7 .3 .72 . Нет, не следует. |
|
||||
Указание. Рассмотреть, например, функцию /(х ) = \х2 — 2х\ на отрезке [—1; 3]. 7.3.73. Указание. Пусть х\ н х->, где х\ < х -2— произвольные точки из отрезка [а;6]. Показать, что f(x\ ) < / ( Х2), применив теорему Лагранжа к отрезку [х1 ,Х2]ш7.3.74. Указание. Обозначим f( x ) = ех — х — 1. Тогда
/'(* ) = е* - 1 и /(0 ) = 0. Поэтому Vx > 0, /(х ) = f( x ) - / ( 0) = /'(с ) •x, (где
О< с < x) по теореме Лагранжа, примененной к отрезку [0; х]. Так как
/'(с) > 0 |
при с > 0, то /(х ) = f f{c)x > 0, т. е. ех - х - 1 > 0 при х > 0. Далее |
|
рассмотреть случай х < 0, используя предыдущую задачу. |
||
7 |
.3 .76 . |
Указание. Применить теорему Ролля к функции Р (х) на отрезке |
[х1;хг]. 7 |
.3 .77 . Указание. Использовать теорему Лагранжа. |
|
7 |
.3 .78 . Представим /(х ) в виде /(х ) = (х + 2)(х -f-1) •х •(х — 1)(х — 2). Отсюда |
|
видно, что / ( —2) = / ( —1) = /(0 ) = / ( 1) = /(2 ) = 0. Применяя теорему Ролля к функции f( x ) на отрезке [—2; —1], получим, что f'(c i) = 0 для некоторой точки ci G (“ 2; —1). Аналогично показывается, что f f{x) имеет корни сг, сз и С4 соответственно на интервалах (—1; 0), (0; 1), (1; 2). Других корней у /'(х )
нет, так как это многочлен четвертой степени. 7 .3 .79 . Поскольку
(arcsinx + arccosx)' = |
—Л — |
|
----- J |
----- --- |
о для всех х € [0; 1], то |
||||
|
V 1 — X 2 |
V 1 — X 2 |
|
|
|
|
|||
arcsinx + arccosx = с в силу задачи 7.3.77. Учитывая, что, например, |
|||||||||
arcsinO + arccosO = |
получим: с = |
что и требовалось. 7 .3 .82 . 1. |
|||||||
Указание. Показать, что lim |
|
cosx) |
не существует. Для вычисления |
||||||
|
х-+оо (x + cosx) |
|
J |
j |
|
|
|||
исходного предела поделить числитель и знаменатель дроби на х. |
|
||||||||
7 .3 .8 5 . 0,0175. 7 .3 .86 . 0,262. |
7.3 .87 . |
0,5. Решение. Разложим tg x |
и sinx по |
||||||
формулам Маклорена до о(х4): tg x = х + у |
+ о(х4), sinx = х - |
^ |
+ о(х4). |
||||||
Отсюда tg x - sinx = |
(х + ^ |
+ о(х4)) |
- |
(х - |
^ |
+ 0(х4)) = ^ |
+ о(х4), т. е. |
||
tg x -s in x = , |
i + o ^ ) |
= |
a |
+ °Лф.) = I |
+ lim 0(I) = |
1. |
|||
x —*0 |
x |
x —>o |
x3 |
x —►оч^ |
x° / |
2 |
x-+0 |
2 |
|
7.3 .88 . |
i . |
7 .3 .89 . 0,5. 7.3.90 . A. |
|
|
|
|
|
||
§ 4. Исследование функций и построение графиков |
|
|
|
||||||
7.4.2. Строго возрастает на |
оо; — |
и на (2;+оо), строго убывает на |
|||||||
^;2^. 7.4.3. Строго возрастает на (1;+оо), строго убывает на (—оо;1). |
|||||||||
7.4.5. |
/max = /( е) = |
g* 7.4.6. /min — /( —1) — —0,5, /max = /(1) ~ 0,5. |
|||||||
7.4.8. |
Выпукла вверх на (—2; 0) и на (2; +оо), выпукла вниз на (—оо; —2) и на |
||||||||
(0; 2); х = 0 — точка перегиба. 7.4.9. Выпукла вверх на (—2; 4), выпукла вниз на (—оо; —2) и на (4; +оо); х\ = —2 и хъ = 4 — точки перегиба.
7.4.11. Прямые х = —3 и х = 3 — вертикальные асимптоты, прямая у = 1 — горизонтальная асимптота 7.4.12. Прямая у = 0 — горизонтальная асимптота при х -> —оо. 7.4.16. Строго возрастает при х < 0, строго убывает
при х > 0. 7.4.17. Строго возрастает на |
строго убывает на ^0; |
||||
7.4.18. |
Строго возрастает на (0; 1) и (1; +оо), строго убывает на (—оо; —1) и |
||||
(—1; 0). 7.4.19. Возрастает на (—оо;+оо) 7.4.20. /т а х = / ( - ! ) = 3, |
|||||
/min = /(1) = |
—1. 7.4.21. т/min = 7/(2) = е. 7.4.22. Экстремумов нет. |
||||
7.4.23. |
тmax = г(2) = 3. 7.4.24. Выпукла вверх на |
выпукла вниз |
|||
на оо; — |
н иа |
X l *2 = ^ ^ 2 — точки перегиба. |
|||
7.4.25. |
Выпукла вверх на (—оо; 1), выпукла вниз на (1; Н-оо); x = 1 — точка |
||||
перегиба. 7.4.26. Выпукла вверх на |
+ 27гп; ^ 4- 27rnj, п G Z, выпукла |
||||
вниз на ^ + |
27гп; ^ |
+ 27mJ , n G Z ; i = |
± | , ± y , . . . |
— точки перегиба. |
|
7.4.27. |
Выпуклость вниз на (—оо;+оо); точек перегиба нет. 7.4.28. а = 12. |
||||
7.4.29. Прямая х = —2 — вертикальная асимптота, прямая у = 3 —
горизонтальная асимптота. 7.4.30. Прямая х = 0 — вертикальная асимптота,* прямая у = 1 — горизонтальная асимптота. 7.4.31. Прямые x = 1 и х = —6 — вертикальные асимптоты, прямая у = 0 — горизонтальная асимптота.
7.4.32. Прямая у = х —^ — наклонная асимптота при х —> +оо, прямая
У= х + ^ — наклонная асимптота при х —> —оо. 7.4.43. Например,
f(x) = cos7ra;. 7.4.47. Указание. Рассмотреть функцию у = х3 и ;гочку яо = 0.