книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

11.5.67. Доказать, что функция z = xf(x + y) + уу>(х+ у) удовлетворяет уравнению

11.5.68. Найти d3z, если z = cos(x + 2у2).

§6. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ . ГРАДИЕНТ

Определение производной по направлению

Частные производные ^ и ^ представляют собой производные от

функции z = f{x\y) по двум частным направлениям осей Ох и Оу. Пусть z = /(х ; у) — дифференцируемая функция в некоторой обла­

сти D, М (хо;2/о) £ Л. Пусть / — некоторое направление (вектор с на­

^Предел отношения

называется производной функции / по направлению /.

Теорема 11.14 . Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z = f(x\y), равна нулю.

Случай нескольких переменных

По аналогии со случаем функции двух переменных можно опреде­ лить производную по направлению для функции трех переменных и = = f{x ; у; z). Окончательная формула такова:

где ё = (cos a; cos (3; cos 7) — орт направления Ï или cos a, cos >3, cos 7 — направляющие косинусы направления I.

Теорема 11.15. Производная по направлению, касательному к поверх­ ности уровня функции и = f{x;y]z), равна нулю.

Градиент

Градиентом функции 2 = f(x;y) (скалярного поля) называется век­

тор с координатами IjA Обозначение grad 2 =

Теорема 11.16. Имеет место равенство ^ = grad2 ♦е, т. е. производ­

ная по направлению Ï равна скалярному произведению векторов гради­

ента и орта направления Z.

Следствие. Вектор grad 2 в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции. При этом --------------------------

Теорема 11.17. Скорость изменения функции / по некоторому напра­

влению / равна проекции вектора градиента на это направление, т. е.

= пр,- grad / .

11 .6 .1 . Найти производную функции 2 = 2,5аг — Ъху 4 3у2 4- Ъу в точ­ ке А(1; 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол 30°. Определить направление максимального роста данной функ­ ции в данной точке.

Рис. 127

О Имеем zx = 5я - 5т/, zy = -ох + 6у + 5, 2^.(1; 2) = - 5 , zy(1; 2) = 12. Следовательно, если через I обозначим данное на­

правление, то ^ = —5 cos 30° + 12 sin 30° = —^ ^ + 6. Градиент

функции поля в данной точке имеет вид grad 2(1; 2) = (—5; 12) = = —5г -f- 12j. Этот вектор указывает направление, в котором функция растет быстрее, чем по другим направлениям. На рис. 127 схематически изображены точка Л(1; 2), направление Ï

с а = 30° и направление grad 2. Максимальное значение производной в точке Л (1; 2) равно модулю градиента: у/Ь2 + 122 = 13.

Градиент функции z в данной точке — это вектор grad z(2; 1) = = (13; - 2). Этот вектор (его направление) указывает на напра-

осями Ox, Оу, Oz углы соответственно а, /?, 7 , a также градиент этой функции, его величину и направляющие косинусы.

ОИмеем

g - W + A + A g = 2*(„2 + * ’ ).

Следовательно,

“ 7 = 2х(у2 4- г2) cos а 4- 2у(т2 4- z2) cos/? 4- 2z(y2 4- х2) cos 7. ol

С другой стороны,

grad / = 2х(у2 4- z2)ï 4- 2у(х2 4- z2)j 4- 2z(x2 4- у2)&,

градиента ^ достигает наибольшего значения.

11.6.10. Найти градиент функции и = х2 4- у2 + z2 и ее производную в

точке Л(1; 1; 1) в направлении I = (cos45°, cos60°,cos60°). По­ строить поверхность уровня через А.

11.6.11. Построить поверхности уровня функции и = х2+у2— 2z, а так­

же найти и построить grad и в точках пересечения поверхности и = 4 с осью Ох.

§7. Э К С ТР ЕМ У М Ф УНКЦИИ Д В У Х П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х

Формула Тейлора для функций двух переменных

^Пусть х = f(x\y) — функция, непрерывная вместе со всеми частными производными до (п 4- 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки Мо(хо;2/о)- Тогда для любой точ­ ки М (хо 4- Ах*; 7/о 4-Ау) этой окрестности имеет место равенство

f(x 0+ Ах; Уо + Ау) = f(x0; у0) + df(x0;y0) + ^jd?f(x0;yo) + ■■■

которая называется формулой Тейлора, а первые (п4-1) слага­ емых в правой части — многочленом Тейлора степени п. При

(ÆOÎ2/O) = (0; 0) имеем формулу и многочлен Маклорена.

Определение экстремума функции двух переменных в точке

Рассмотрим функцию z = f{x;y) двух переменных, определенную в некоторой области D.

^Функция z = /(х ; у) имеет локальный максимум (минимум)

в точке М0(хо;2/о), если неравенство /(х о ;2/о) > / ( я ; 2/) {/(хо)Уо) < / 0 е; у)) имеет место во всех точках М(х\у) из не­ которой достаточно малой окрестности точки М о(хо;2/о).

Вопрос определения экстремумов (максимумов или минимумов) в не­ которых случаях решается просто, если /(х ; у) дифференцируемая функ­ ция в окрестности точек экстремума.

Теорема 11.18 (необходимые условия экстремума). Если f(x;y) дифференцируема в точке (хо;г/о) и имеет экстремум в этой точке, то ее дифференциал равен нулю:

/£(®oïî/o) = О,

df(x0)yo) = 0

1уЫ',Уо) = 0.

^Точка (хо;уо) называется стационарной точкой функции f(x;y), если df(x0;y0) = 0.

Пусть (хо;уо) — стационарная точка функции f(x;y). Обозначим

точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

Экстремум функции в области

Речь идет о нахождении наибольшего и (или) наименьшего значения данной функции г = f(x ; у) в замкнутой области D. Для этого следует найти сначала все локальные экстремумы внутри области D, а затем так­ же наибольшее и наименьшее значения на ее границе dD. В результате сравниваем полученные величины, и задача завершена.

Добавим, что как правило, граница dD состоит из совокупности от­ дельных участков, на каждом из которых задача сводится к исследова­ нию на экстремум функции одной переменной 2 = ГДе г — номер участка, a t — независимая переменная на этом участке, которая может совпасть с х или у или быть отдельным параметром.

Условный экстремум

Под условным экстремумом имеется в виду поиск экстремума неко­ торой функции z = f(x\y) при условии, что (х;у) удовлетворяют еще некоторым условиям, например, уравнению (р(х] у) = 0.

Такая задача сводится к задаче на обычный экстремум для новой

функции

F(x) у; Л) = f(x; у) + \tp{x\ у),

которая называется функцией Лагранжа, а А — множитель Лагран­ жа. Заметим, что F(x\y\ А) — функция трех переменных, а для таких функций или функций большего числа переменных достаточные условия формулируются в терминах знакоопределенности квадратичной формы, совпадающей со вторым дифференциалом рассматриваемой функции в испытуемой точке. Теорема 11.19 является частным случаем, выража­ ющем знакоопределенность квадратичной формы с двумя переменными dx и dy.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является непосредственным результа­ том применения исследования на экстремум функции нескольких пере­ менных и заключается в следующем. На плоскости Оху имеется система из тг точек (a?i;7/i), (.Т2; 2/2^ •••, (^nî2/п)- Требуется подобрать некоторую функцию у = /(ж), которая «сглаживала» бы все точки этой системы, т. е. величина

i 2( /) = Ê ( / W - ! / i )2

1 = 1

была бы минимальной; (/(ж*) — yt)2 — квадрат отклонения ординаты функции / в точке Xi от ординаты данной точки.

Рис. 128

В случае, если f(x) = ах + 6, речь идет о поиске прямой, квадрати­ ческое отклонение которой (рис. 128)

п

62(а, Ь) = axi + Ь - yi)2 i=\

от данной системы точек было бы минимальным.

Существование минимума такой функции очевидно, поэтому соответ­ ствующие коэффициенты о и b прямой можно найти, используя только

Данные функции представить в виде много'тена Тейлора по степеням х - х 0, у - уо-