книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

11.4.43.

z =

x 4 + y4 — 4a;2j/2,

x =

e2<,

2/ =

e2t.

11.4.44.

z = x y + ^ ,

x =

tgt,

j/ =

Int.

11.4.45.

г =

■%?, x =

arctg2f, y = arcsint.

У

11.4.46.

г =

. 1

,

x = 5'2

2/ =

arccos2f.

V a:2 + 2Г

11.4.47.

z =

xsin(x + 2/),

x = Jj-,

y =

(t -

l)2.

11.4.48.

г =

22^2-,

a; =

ln(t + 2),

y = tgt.

11.4.49.

z =

/2

y = sin2£.

tg ^ -, x = cos2t,

П .4.50.

£

+ +

£

-

1, (О:

+ £ » +

= 1.

11.4.51. ÿ + ^ - ^ - l , ( « ) = ^ + > - ^

= l.

11.4.52.

4

+

4

-

4

=

“ I. (<):

a

b

-

%

= - 1 .

a

b

c

c

11.4.53.

4

+

Й

-

4

= 0, (t): % x +

Щу -

Щг = 0.

a

b

c~

6Г

b~

c“

11.4.54.

Z =

4

+

4 .

(*): 2 + *0 =

^ а : + Щ-у.

P

9

P“

9'

11.4.55.

z —

9“

(t);

2 + ZQ =

^тР-x — —^2/•

P'

P“

9

11.4.56.

F (x ; у) =

х

2г/3 + х 3»/2 -

Зхг/ + Р3>М<>(1; 1).

11.4.57.

F (x ; 2/) =

а:(х2 + у2) -

а(х2 - 2/)2, Мо(0; 0).

11.4.58.

F(x; у) =

х

3 - у3 + 7х22/ + Ъху2 -

12, Л/о(1; 1).

11.4.59.

F{x\ у) = x

3 + у3 - Zaxy, М0{а Щ; a V2).

11.4.60.

F (x ; у) =

3

у2 + 2х3у + х4 -

4у -

Зх2 - 5, М0( - 1 ; 1).

11.4.61.

F (x ; у) = у3 + Зх22/ + 2ху2 -

4х -

62/, М0( - 1 ; 1).

11.4.62.

уЛ—6х2у2 + arctg2x = 0.

11.4.63.

е~х+у3 - 20х - 18х3 - 1 = 0.

11.4.64.

tg(x2 + 2/4) -

Зх2 — 17 = 0.

11.4.65.

x V - З2/3 -

62Г + 32/ + х 2 = 0.

11.4.66.

Уравнение х 2+ 2ху2 + Ъу2 —5х — 12ху + 2х + 6 = 0 имеет решение

аго = 1» I/o =

2. Найти сколько однозначных неявных функций

точки 2/о = 2.

1 1 .4 .6 7 .

Найти

щ , если z = и2In г;, где и =

v = х2 + У2 -

1 1 .4 .68 .

Найти dz, если 2 = f(u;v), где и =

X ~г у

v = х2 —Зу.

11 .4 .6 9 .

Найтиесли 2 = /(гг; v), где и = 1п(х2 — т/2), г; = ху2.

1 1 .4 .7 0 .

Найти

dz, если 2 = u2v —uv2, где и = xsiny, v = ycosx.

1 1 .4 .71 .

Найти

dz, если 2 = /(гг; г;), где и =

cos(ху), v = хъ — 7у.

11 .4 .7 2 .

Найти

dz, если 2 = /(гг; г;), где гг =

sin

v =

Выразить dz через х, у, 2, rfx гг ф ,

еслгг:

11.4.73.

д ?= -ц2-+-Ц2-,

г/ =

^

2 ^

,

* = ш;.

11 .4 .74 .

.т =

^/«(зтгг + cos г;),

у =

^/а(созгг — sin г;),

2 =

1 + вт(гг -

v).

11 .4 .75 .

х =

гг-Ьг;,

у = и —v,

z =

u2v2.

11 .4 .76 .

х =

ггсозг;,

у = usmv,

z = u2.

11 .4 .77 .

x=vcosu—гг cos гг+ sin гг,

2/= ^ зт гг —ггзтгг—совгг,

2=(гг—г/)2.

11 .4 .78 .

Показать, что касательные плоскости к поверхности ^/x+

+

+ \fz — y/а отсекают на осях координат отрезки, сумма кото­

рых постоянна.

Более сложные задачи

Пусть F(x;y) =

х+у

(f(t) — непрерывна). Найти FX1 FyJ

1 1 .4 .7 9 .

/

f(t) dt

dF.

a

y

1 1 .4 .8 0 .

(f(t) — непрерывна). Найти F'x) Fy-

Пусть F(x,y) = / f(t)dt

X

xy

1 1 .4 .8 1 .

Пусть F(x,y) =

f

f(t) dt

(f(t) — непрерывна). Найти dF-

Найти полные дифференциалы функций:

1 1 .4 .8 2 .

гг =

f{x 2y2z4),

где х =

arcsin

у =

\/г;2 -

гг2, 2 = In г;.

1 1 .4 .8 3 .

2 =

/( х , 2/),

где а; =

гг sin г;,

у = и2.

1 1 .4 .8 4 .

z = f(x 2 - у 2,ех*).

= гг + г;, у = и —

1 1 .4 .8 5 .

Показать, что функция 2 =

arctg

где х

удовлетворяет соотношению

^

^ ^ .

Ц .4 .8 6 .

Показать, что функция г = f(x 2 4- у2), где /

— дифференци­

руемая функция, удовлетворяет соотношению

— х щ = 0.

Ц.4.8Т.

Пусть и =

sinx + F(siny — sinx). Показать, что какова бы ни

была дифференцируемая функция F , выполняется равенство

Phi

Fin

=

COSXCOS7/.

щ COSX +

^ COS у

11.4.88.

Пусть z =

.уД—

у2)

Показать, что - 5 ^

4-

=

-4- незави-

Д х 2 -

х ат

у ôy

Р

симо от того, какова дифференцируемая функция / .

11.4.89.

Показать, что функция z = у/\ху\ непрерывна в точке (0; 0),

имеет в этой точке частные производные /х (0; 0),

/Д 0; 0), но

сама функция не дифференцируема в точке (0;0). Выяснить

поведение z'x и z'y в окрестности точки (0; 0).

11.4.90.

Показать, что функция /(х ;у ) = —

, если х = 0, у = 0 и

V X 2 + У 2

/ ( 0; 0) = 0 в окрестности (0; 0) непрерывна и имеет ограничен­

ные частные производные / ' (х; у), /'( х ; у), однако эта функция

недифференцируема в точке (0; 0).

11.4.91. Показать, что функция /(х ; у) = (х2 4* у2) sin —

если

х" 4- у-

д ( dz\

— вторая частная производная по х;

дх \дх)

_ Ô2z

я /л ~ч

д2-

щ { ш ) = & S j и ш { % ) =

смешанные частные ПР °ИЗ-

d_(dz>

— вторая частная производная по у.

ду \дуj

J2

и л \

=

Q2 * Л 2 , 0

d 2 z I Л ,

92;г I 2

drz -

d{dz)

-T-ô-dar + 2-^-^-dx dy +

-z-^dV

ox~

dxoy

oy-

d3z

d3z

d3z

d3z

âx3'

дх2ду'

дхду2'

ду3

ременных равно п + 1:

dnz

d1lz

dnz

dnz

dnz

dnz

dxn1 dxn~ldy’

dxn~2dy2’

* dx2dyn~2’

dxdyn” 1’

dyn '

л

,/ ,*> ч

d3z . о

_ d3z

, о

,

Л d3z

, , о

d3z , о

d3z = d(drz) =

— 3dx3 +

3 - - ., -

dar

dy +

3 -

0dxdy- +

~r~ôdy3,

âx*

ox“oy

dxoy-

dy*

1) 4 =

Т

.

_

х* .

у

W + W '

2х2

2) < 2 =

___ z"

=

2хУ

■

TP + VF ' Iÿ

J ï + W ' 4

(х + у)TÎ

3) cSrz = -

2у2

гdx2

+ 4-

2х2

ху d x d y - — — ^dy2 =

(х + у)3”"

' "*(х + у)3

(х + УГ

2(у2 dx2 — 2ху dx dy + ж2dy2) =

-2 (ydx —х dy)2

(х + у)3

~ (х + у)3

4) d3z = zl”3dx3 + 3z”nydx2dy + Zz\"y3dxdy2 + zyZdy3.

d3z = -—

f [y2dx3 -

(2xy - y2)dx2dy-

{x+ y)

Л = 2

+ у~ /

+ 2

=

дх \ х -

3?/Зу V\ х 2 + ?/у2

'

= 2 (х2 + y2)dx -

2х(х dx 4- у dy) dx+

(*2 + Г2)\ 2

(х2 + у2) dy -

2у(х dx + y dy)

+

2---------------; о

1— ÔTÔ-------------- dy =

2 (y2 -

(*2 + r )2

=

x 2)dx2 - 4x7/ dx dy +

(x2 - y2)dy

(x2+y2)2

11 .5 .7 .

z =

sin х sin ?/, d2z.

11.5.8.

z =

4x3 + Зх2у + Зху2 - y3, ^ § .

ox

11.5.9.

z =

fs2 y

xy + sin(x + y), § -§ .

ox

11 .5 .1 7 .

2 =

x2y - xy2 4- 7.

11.5..18 .

z =

xy —

11 .5 .1 9 .

z =

(x2 4- T/2)3.

11 .5 .20 .

2 =

(sinx)C0S2/.

1 1 .5 .21 .

z = x — 3 sin y.

11 .5 .22 .

z =

ln \Д 2 4- y.

3х2у2 4- 2х3у у1у5 - 5хт/4у’ 4- 5 - у' = 0,

(5.1)

бхт/2 4- 6х2т/т/' 4- 6х 2т/т/' 4- 2х3(т/')2 4- 2х3уу” -

5т/ 1т/'-

- 5т/4т/' - 20хт/3(т/')2 - 5хт/4у" - у" = О,

бхт/2 4- 12х2ууг4- 2х3(у')2 4- 2х3уу” - Ют/4т/'-

- 20ху3(у')2 - 5XT/V '

-

у" =

0,

(5.2)

6т/2 4- 12x7/7/' 4- 24x7/7/' 4- 12х2(т/')2 4- 12х2т/т/"4-

4- 6х 2(у')2 4- 4х3у'уп 4- 6х2т/т/" 4- 2х3т/'т/" 4- 2х 37/т/'"-

- 402/3(т/')2 - Ю т/У -

20т/3(т/')2 -

60х7/2(т/')3 -

40х7/У т/"-

- 5Î/V ' -

20 хт/37/'т/"

- 5x 7/V "

-

7/'" =

0.

(5.3)

Подставим в данное уравнение х =

0 и получаем у =

0. Под­

ставляем в (5.1) х = 0, у = 0 и находим 7/'(0) =

5. Подставляем

в (5.2) х =

0, у = 0, т/'(0) = 5 и находим т/"(0) =

0. Подставляем

в (5.3) х =

0, у = 0, т/'(0) =

5, т/"(0) =

0 и находим 7/'"(0) = 0 . •

11.5.24.

Для функции у(х), определенной неявно уравнением уех+еу=0

найти у”.

О

После последовательных двух дифференцирований данно­

го уравнения с учетом у = у(х) получаем

у'ех 4- еху 4- еуу‘ = 0,

(5.4)

у"ех 4- еху' + еху 4- еху' 4- еу(у1)2 4- еуу" = 0.

(5.5)

Из (5.5) находим

УII

2еху' + еху + еу(у')2

(5.6)

ех + еу

Из (5.4) находим у' = —

и это подставляем в (5.6):

- ^ j j ^ + e t y + ev^

) 2 _

ех 4- еу

J

-2 е1ху(ех + еу) 4- еху{ех 4- еу)2 4- у2еуе2х

(ех + е у)3

11.5.25.

Найти у\ у” и уш для

неявной функции у = 2/(ж), заданной

неявно уравнением х2 — ху 4- 2у2 4- х — у = 1 при х =

0, если

2/(0) = 1.

11.5.26.

Найти d2z в точке (1;0) для неявной функции z(x;y), опреде­

ленной уравнением xzb 4- y3z — х3 = 0, если г(1; 0) = 1.

11.5.27.

Найти d2z в точке (1;2) для неявной функции z(x\y), опреде­

ленной уравнением х — yz 4- ez = 2, если z ( l;2) = 0.

11.5.28

Найти у,(2), j/"(2), если у(2) = 1 и х24- у24-In(х24-у2) =

54-1п5.

11.5.29

Найти т/', т/", уш, если х2 4- ух 4- у2 = 3.

11.5.30

Найти у' и у", если ух = ху.

11.5.31

Найти у1и уп) если у2 — З.т2 4- 2х 4- Зт/ — 9 = 0.

О

Краткое решение. Заметим, что уравнение имеет решение

(ffoî2/o) = (1; 2). После

первого дифференцирования

сравни­

тельно просто получим у' = 2 %,а?-7 -? « Теперь продифференци-

Zy

4" о

руем эту функцию, как частное, опять с учетом у = у(х).

3(2у 4- 3) — 2у'(3х — 1)

у" = 2-

(22/ + 3)2

а здесь заменим у' = 2 2^ " з •Получаем

_ п3{2у + З)2 — 4(3ж — I )2

J

(2у + З)3