Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

как существует предел ^ lm ^		ffx)	5	1
как существует предел ^ lm ^			2 + x + W = ^ 0 t то
4-оо
исходный интеграл [	--------г также сходится («предель-
J	2 + х	+ ох
1
ный признак сравнения»).				•
		+ о о
9.2.13. Исследовать сходимость интеграла [			.> —+ ^-	dx.
		J	х ! +4- 2х! +	2

Дополнительные задачи

Вычислить следующие несобственные интегралы или установить их расходимость:

	4-oo	dx		4-oo
	f	dx	9.2 .15 .	f	dx
	J	xy/l -f x2	9.2 .15 .	J	(l + x)y/x
	J
	î
	2
	4-oo			0	x ex dx.
	/	2x sinæcta.	9.2 .17 .	/	x ex dx.
	/			J
	0			—oo
	4-oo	dx		4-oo
	f	dx	9.2.19.	J	2e~'/*dx.
	J	x2 -b 6x -f 12 ’	9.2.19.	J	2e~'/*dx.
	J	x2 -b 6x -f 12 ’		0
	—oo			0
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Исследовать на сходимость интегралы:
	+ о о			+ o o	arctgæ dx.
9.2.20.	[	-jBdx ..	9.2.21.	/	arctgæ dx.
	j	у/ х 6 + 2		/	x
				î
	+ о о			+ ° °
9.2.22.	J	e "4xcos2xdx.	9 .2.23.	+ ° °	inî2 + 2 dx.
9.2.22.	J	e "4xcos2xdx.	9 .2.23.	/	inî2 + 2 dx.
	0			î
	+ о о			4-oo	2 + 3.eps J dx
9.2.24.	[ -тг-у^ — .		9 .2.25.	J	2 + 3.eps J dx
	1	V x *+ 8		1
	+ о о			4-00
9.2.26.	[	x f TC4 x dx.	9.2.27.	f	dx
	J	y/2 + x*		J	x: 4- cos x
				î
	+ o °	j ------------—		4-oo	\ n ( l + x ) dx
9.2.28.	f	+ У 9 + x dx	9>2.29.	j	\ n ( l + x ) dx
9.2.28.	f	+ У 9 + x dx	9>2.29.

{ У х 2 +2x + x3

9 .2 .3 0 .

9 .2 .3 2 .

9.2 .3 4 .

9 .2.36.

9.2 .38 .

[	-------- (fx		9.2.31.	[	Щ £дх.
J	х2 4-	у/хл + 2		I	х
~~				л
+ сю		_______		+ о о
[	х + 2/ / С+ 1 dx.		9 .2 .33 .	[	- 7=----- ~ d x ______
/	х" +	У х 2 + 1		J	У (х ~ 2 )(x -3 )(æ -4 ) ‘
+ СО				+ о о

I ]^ dx-

+ о о

/	dx
/	( ï + * T ’
Vs

+ о о

f \ ± ^ d x .

J 1 + X4

9 .2 .35 .	J	e~x sinx dx.
	о
	+ o o
9 .2 .37 .	/	A- arctgædæ.
	î
	+ C O
9 .2 .39 .	f	dx.
	J	1 + 2Г
	0

+ c o

9.2 .40 .	Доказать, что интеграл	J sin(x2) dx сходится.
				+ о о
9.2.41.	Доказать, что интеграл «вероятностен»			J е~х~dx сходится.
				о
Исследовать сходимость следующих интегралов:
	+ о о		4* со
9 .2.42.	J sin ~dx.	9 .2 .43 .	J	ххе~х~dx.
	о
	+ о о
9 .2.44.	dx
9 .2.44.	/ X In X In In X *
	/ X In X In In X *
			+ o o
9 .2 .45 .	При каких значениях а	интеграл	J xQdx сходится?

Интегралы от неограниченных функций (II рода)

Если функция у = f(x) непрерывна в промежутке [а; Ь) и имеет раз рыв П-го рода (см. Главу 6, § 5) при х = &, то несобственный интеграл от неограниченной функции (II рода) определяется следующим образом:

Ь	Ь — Е
J f(x)dx = lim	J f(x )d x .	(2.2)

^Если предел, стоящий в правой части равенства (2.2), суще ствует, то несобственный интеграл II рода называется сходя щимся] в противном случае — расходящимся.

Аналогично, если функция у = 7(ж) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

ь	ь
J f ( x ) d x = lim J	f ( x ) d x .	(2.3)

а+ е

Если функция у = f ( x ) терпит разрыв П-го рода во внутренней точке

с € [а; 6], то несобственный интеграл второго рода определяется форму-

Л0Й	Ь	с	Ь
J	f ( x ) d x = J	f ( x ) d x + J	f ( x ) d x .	(2.4)

В этом случае интеграл называется сходящ и лься , если оба несобственных

интеграла, стоящих справа, сходятся.

Приведем некоторые п р и з н а к и с х о д и м о с т и	и р а с х о д и м о с т и для не
собственных интегралов второго рода.
1. Если на промежутке [а; Ь) функции f ( x )	и <р(х) непрерывны, при

х = b терпят разрыв П-го рода и удовлетворяют условию 0 ^ f ( x ) ^ <^(х),

то из	сходимости			интеграла / i p ( x ) d x	следует	сходимость интеграла
ь				J	ь
J f ( x )	d x ,	а из расходимости интеграла J f ( x ) d x				следует расходимость
О		/•			CL
интеграла		/ i p ( x ) d x («признак сравнения»).
		а
2)	Пусть функции f ( x ) и ip ( x ) непрерывны на промежутке [а; 6) и
в точке х		=	b	терпят разрыв П-го	рода. Если существует предел
Ш " ^		= k ,0 < k < o o ,x o интегралы / Д х) dx и / Д х ) dx сходятся
					а	а
или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).
3) Если функция /(х ), знакопеременная на отрезке [а; 6], имеет раз-
						ь
рыв в точке х			=	6, и несобственный интеграл J		\ f ( x ) \ d x сходится, то

сходится и интеграл J f ( x ) d x .

Замечание. В качестве эталона для сравнения функций часто берут функцию ip(x) = ф •Можно показать, что несобственный интеграл

r àd x	^ п\ сходится при а < 1 и	(2.5)
6 — х ) а '	расходится при а ^ 1.	(2.5)
J (Ь-

Это же относится и к интегралам J ^

•

9 .2 .46 .	Вычислить несобственный интеграл J						. ^х - - или установить
	его расходимость.					о	*	х
	О	Подынтегральная		функция		терпит		разрыв	при х = 3
	( Иш ■у *		= +оо ). Согласно формуле (2.2) имеем
	\х—*з у 9 — х 2		'
			3 -е		dx
					dx
	о	y /9 - x	о		;
					х	^		3 - е
			= lim arcsin —			= lim arcsin			° ~ 2 ’
			е-Ю		з lo	<r-+0		3	° ~ 2 ’
	интеграл сходится и его величина составляет								<
						1
9 .2 .47 .	Вычислить значение интеграла Jln x d x .

ОПри х 0 функция 1пх -> —оо. По формуле (2.3) имеем

1	lim	/	1			1	=
/ Inх dx =	lim	/	Inxdx =		lim(x Inx — x)\		=
J	e->0	J			е-ИГ	\e
		0+e
				= - 1 -	lim (elne — e) =		— 1 — 0 = - 1 ,
					e—►O4	'
T.K.				In e	—
lim sine		=		In e	—	= lim (-e) = 0.
lim sine		=	lim —j— =		lim —	= lim (-e) = 0.
£■ -► 0			e->0	-	e—►O— V	e->0
				e	e2
Интеграл сходится и равен —1.							•

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи мость:

		4	dx	1
9 .2 .48 .			dx	[ xlnxdx.
9 .2 .48 .	f r =		----- 9 .2 .49 .	[ xlnxdx.
	f r =		cos 2х	J
9 .2 .50 .	J[ x l n x
	о			1
				1
9 .2 .51 .	Исследовать сходимость интеграла [				Щ.
				J	х
				-1
	О	Внутри отрезка интегрирования [—1; 1] функция х				при
	х	->	0, неограниченно	возрастает. Согласно формуле		(2.4)

имеем
	f dx		r	dx	1
		=			r dx
J	x2		f	T	+ I	lim
			J x			? = £->0
- î			- î		0
=	lim (■- i ' l l			€ 4- lim		( - ! ' l\|l =
	£-40 \		X/ 1-1		(5—>0	\ x>

интеграл расходится.

0—Г£ dx		,	i-	f1	dx
/	x2	+	lim	/	X2 —
/	x2		<5—>0	J	X2 —
-1				0+6
lim	1	- 1	+ lim i		- 1 =
tuTO£			<5-40 ô

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи мость:

9'2-и -

/ v

f e -

9 -2 '5 3 -

9.2.54. /

9.2.55.

Исследовать на сходимость интеграл J

~3 "/?°S

Х0\о ^х •

Функция /(х ) = ■ ■со?—% - терпит бесконечный разрыв в

v ( i - z 2h

точке х = 1. Перепишем ее в виде /(х ) =

-^-f QS

ж- -

•-— * з

у ( 1 + х ) 2 (1 — х ) 3

сравним

ее с

функцией

(р(х) =

----- -— т-

Как

известно

( 1 - х ) 3

----- -— rd x

сходится (а =

(см. (2.5)), интеграл /

< l ) . Так

как

( i - x

) 3

nm|im —Mт-г

= nlim

( l - i )

“—■’■* . ■ ------------ T ------ —

x-mp(x)

*-+i

^ /(l + a;)2

(1 — a;)î

lim

„

cos2 x

cos2 1

, „ . .

■

—

(Ф 0 , Ф oo),

«-»1

V (1 + a;)2

V ï

то, согласно предельному признаку сравнения, исходный инте

грал также сходится.

•

Исследовать сходимость несобственных интегралов:

9.2.56.

у/4 —

9 .2 .57 .

■dx.

v 4 — x

9.2.58. Исследовать на сходимость интеграл						[	- -у—		.
						У Зх“ +		уж
	О	Подынтегральная функция f(x)				0	.> ^ ■>^
	О	Подынтегральная функция f(x)				=	.> ^ ■>^		разрывна в
	точке х =						ЗдГ +	v*^
	точке х =			0. Сравним ее с функцией <р(а;)				=	Так как
								1
	■.> ^		ч	< -А=. Но несобственный интеграл [ -Фт= сходится
	Заг	+	ух	ух				J	ух
						1		о
						1		у — по признаку
	(см. (2.5)). Следовательно, интеграл J						- -^	у — по признаку
	сравнения также сходится.				о			v	•
	сравнения также сходится.								•
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
	1		dx		/		dx
9 .2.59.	f		dx	9.2.60.	/		dx
9 .2.59.	1 \ Л - х 2			9.2.60.	/ V l - * 4'
	1 \ Л - х 2				/ V l - * 4'

Дополнительные задачи

Вычислить несобственные интегралы или установить их мость:

	7Г			1Г
	[	dx		2
9.2 .61 .	[	dx	9.2 .62 .	J	tgxdx.
9.2 .61 .	J	1 4- c o s х *	9.2 .62 .	J	tgxdx.
Зтг				T
	4			6
	2,5	dx		2	dx
	f	dx		f	dx
9 .2 .63 .	J x2 —5x + 6 *		9 .2 .64 .	J	X2 — 1’
-î				_ 2
	0	i		In 2 !
9 .2 .65 .	!	e*dx
9 .2 .65 .	У	~ i r -	9.2 .66 .	y
			9.2 .66 .

“ In 2				0
	2	da;		/	2dx
9 .2 .67 .	f	da;	9 .2.68.	/	2dx
J	xy/Zx2 —2a; — 1			/	x/OË- —1)('2 - x)

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Исследовать несобственные интегралы на сходимость:

	/Г—е* 7dx.		1
9 .2 .69 .	/Г—е* 7dx.		9 .2 .70 . [ Щ2Х(1х.
	J	sin f	J 1 7 Ж
	о	2

Vi	Г	dx	9 .2 .7 2 .	f	dx
9.2.71.	J	tg x _ x *	9 .2 .7 2 .	0J	cosx
	0			0J
				7

9.2-73.	/ f c
	1
	} cos(x -		f )
9-2 -75 -	J — v r * -
9.2.T7.	/ ^	, « >	0 .
	о
	-£-	sin Д7 dx
9.2.79.	J	sin Д7 dx
	0

9 .2.74.	_______ dx________
9 .2.74.	/ \/x "f- 2 y/x 4- 3 \fx
9 .2 .76 .	f		dx
9 .2 .76 .	/ T	w		r i '
	/ T	w		r i '
9 .2 .78 .	/	p	r	^ .
	о
				1
9 .2 .80 .	Jn =		J(\nx)ndx,n € N.
			о

7Г

9.2.81.	J = / lnsinxdx.	9 .2 .82 .
9.2.81.	J = / lnsinxdx.	----------
	о
		b
9.2.83.	Доказать, что интеграл J	^
	a
9.2.84.	При каких значениях a интеграл J

5	sin ж
f	sin ж			2	* dx.
#	/м	_		2	* dx.
J	J U	-	ж2
è	v		*

^j , где a < b, расходится.

7Г

^ сходится?

+ o o

9.2.85. Доказать, что интеграл Эйлера Г(а) = J e“ xx a_1 dx, где

а > 0, сходится.

§3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур

Все подынтегральные функции, встречающиеся в этом параграфе, предполагаются непрерывными.

Вычисление площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции,

ограниченной сверху графиком функции у =		Д х) (Д х)	^ 0), слева и
справа соответственно прямыми х =	а и х =	Ь, снизу —	отрезком [а; 6]
оси Ох (см. рис. 89), вычисляется по формуле
6
5 = J	Д х) dx.		(3.1)

ÿ = /(z )

Рис. 89

Если f(x ) ^ 0 при х € [а; 6], то

s = - J Д я) dx.							(3.2)
	а
Формулы (3.1) и (3.2) можно объединить в одну:
	ъ
S	= J\ f(x )\ d x .						(3.3)
	а
Площадь фигуры, ограниченной кривыми у			= f i ( x )	и у		=	причем
f i ( x ) ^ Д (я), прямыми X = Û H I = 6 вычисляется по формуле
ь
5 = J (Д (я )		- f i ( x ) ) d x .					(3.4)
а
Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х					=	</?(2/), прямыми
ÎI 5 с, у = d и отрезком [c;d]	оси	Оу. Тогда площадь этой трапеции
вычисляется по формуле
	d
S	= f<p(y)dy.						(3.5)
	С
Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной
	Си»	x(t),	у (0	^	0,	t €	пря-
параметрическими уравнениями <		, ’	у (0	^	0,	t €	пря-

[У = у(*)>

мыми х = а, х = b и отрезком [а; Ь] оси Ох, то ее площадь вычисляется

по формуле
*2
S = f y(t)x'(t)dt,	(3.6)
*1
где t\ и *2 определяются из равенств а = x(£i)» Ь = х (^)-

Рис. 90

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = г(ц>) и двумя лучами ф = а, ip= fi (а < /?), вычисляется по формуле (см. рис. 90):

S = 1- j?r 2{v)àp.	(3.7)
а

Отметим, что площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямо угольной (полярной) системе координат может быть составлена из пло щадей криволинейных трапеций (секторов).

9.3.1.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = sin ж, пря
	мыми X = — g7T, х =	у = 0.

Рис. 91

О Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 91. Площадь фигуры находим по формуле (3.3):

т			-тг	о	sinxdx+ J	ï
S = J	\|sin aj\| c/ж =		J	sin xd x — J	sinxdx+ J	sin xdx =
			-i*
= —cosxl	7	+ cos x\|	— COS XI = 1 —		V S	V2
= —cosxl	7	+ cos x\|	— COS XI = 1 —		— + 1 + 1 — — + 1 =
l-^TT		I —7Г		lo	2	2
	O

= ^ (8 - % /3 - л /2 ) . •

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

9 .3 .2 .	у —- я 3, у = -9я .
9 .3 .3 .	у =	arccosx, х =	—1, х = 0, у = 0.
9 .3 .4 .	у =	tg2 х, х =	у = 0.
9 .3 .5 .	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — Gи
	у =	- я 2 + 5я — 6.

О Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

(у = х2 - 6 ,

\у = —х2 + 5х — 6.

Отсюда находим х\ = 0, Х2 = 2,5. Искомую площадь (см. рис. 92) находим по формуле (3.4):

		5 = J2,5	(—я2+ 5 я —6 —x2+6)dx= J2,5		(—2я2+5я) dx=b— . ®
		о		о
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
9 .3 .6 .	у — sinx, у = 2sinx, я = 0, х =			*7
9 .3 .6 .	у — sinx, у = 2sinx, я = 0, х =			^7Г.
9 .3 .7 .	у =	я2, у =	4 г, у = 0, я = 0, я = 3.
			я**
9 .3 .8 .	у2 =	2я + 1, у = я — 1.
9 .3 .9 .	у =	-А я 2 + Зя + 6, у = 7}Х2 - я		+ 1.

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб29Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf