Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

9.3 .1 0 . у=х2,у =2х, у= х.

9.3.11. у= х3- Зх, у= х.

9.3.12. у= х22х+ 3, у= За; - 1.

9.3.13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = х3, у= 8,

х= 0.

О Для вычисления искомой площади воспользуемся форму лой (3.5):

S = / V ?d U = / » * * = ! » ! £ = * .

оО

Заметим, что искомую площадь можно найти, используя фор мулу (3.1) как разность площадей прямоугольника ОАВС и трапеции ОВС (см. рис. 93):

5 = 4 - 8 - [	\Л?(/х = 32 ~ \|:r214 = 32 -	^	^ .	•
J	5 1о	а	5

Рис. 93 Рис. 94

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

9.3.14.	у =	arcsinx, 7гх =	2у.	9 .3 .15 .	ху =	8, у = 8х3, у =	27.
9.3.16.	у2 = ( 4 - я ) 3, х =		0.	9 .3 .17 .	(у -	х)2 = х3, х = 1.
9.3.18.	Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х =						a cos3 £,
	2/ =	о sin3 £.
	О	Воспользуемся симметрией фигуры (она изображена на ри

сунке 94) и найдем сначала четвертую часть искомой площади.

Воспользуемся формулой (3.6). Находим, что t\ =

^ (из равен

ства 0 = о cos3 t) и <2 = 0 (из равенства а = о cos3 t). Имеем

asin3 t(o cos3 t)' dt =

- о 2 J

—S — J

sin3t •3 cos21sin tdt —

—

1Г

= 3a2 J

sin41cos21 dt = 3a2 J (sin t cos t)2sin2 tdt =

= 3a2 j

- sin2 2tsin2 tdt = ^a2 J

^ (l-co s4 < )-| (l-co s2 t)d t =

о } /

= jgO

[ 1 - cos21— cos4t + - cos6* + - cos2iJ dt =

Г Л

Yg°

~ 2 cos2* ~ cos4i +

cos6*J (ft =

= â°, (t“ î sin2‘- î

si,,4‘ +è

si" e,) [ ’

è “! ï

= Ч г -

Значит, S =

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

9 .3 .19 .

9 .3 .21 .

9 .3 .23 .

9 .3 .2 4 .

9 .3 .2 5 .

1 х =	2 + 3 cos £,	9 .3 .20 .
\|т/ =	3 + 2sin£.	9 .3 .20 .
\|т/ =	3 + 2sin£.
„	Л Гх = 3*2,	9 .3 .22 .
" * ” ■ * { » = а - Л		9 .3 .22 .
" * ” ■ * { » = а - Л
Астровдой ( Х = C0S,		£ € [0; 27г].
	1 у = sm3 1,

\х = t — sm t,

Первой аркой циклоиды <

12/ = 1 — cos£,

(О < х < 27т).

\х — a costу

1 у = 6sin£.

и прямой у =

Ю|Н-*

Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой ро зой» г = a sin S(p.

ОНа рисунке 95 изображен график функции. Найдем сна

чала шестую часть искомой площади (выделена на рисунке).

Используем формулу (3.7):

Значит, S = 2 -J-.	•
9 .3 .2 6 . Найти площадь, ограниченную кардиоидой г =	а( 1 — cos ip) и
окружностью г = а.

О На рисунке 96 показана фигура, площадь которой требу ется найти. Найдем точки пересечения кардиоиды с окруж-

ностыо. Решив систему уравнений
J r =	а(1 — cosy?),
\г =	а,
находим, что таких точек — две: А\(a;		и Л2 ^а; —~ J . Поло

вина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов 0тпА\0 и ОА\пО. В первом секторе полярный угол

изменяется от 0 до	а во втором — от ^ до тг. Итак,
i s = S ,+ S 2 = i \|	( a (l - c o s ip))3 * p + ± j a2d<p =

2 ? J ^1 — 2 cosy? + - + - cos2y?^ dip + ^a2

1 9 / 3	Л .	1 .	\ \| f	1 о Г
2 г \2^ ~~ ^smy? + -sm 2y?J \|o +				~

= §°2(T - 2) +b 2(*“ I)= M i* - 2)’

	следовательно, S		I * - 1)-
			I * - 1)-
Найтпи площадь фигур, ограниченных линиями:
9 .3 .27 .	г =	5 cos у?.	9 .3 .28 .	r=\/3siny?.
9 .3 .2 9 .	г =	3(1 + sin у?).	9 .3 .3 0 .	г = 2v^sin 2у?.
9 .3 .3 1 .	Одним лепестком «розы» г = acos2y?, a > 0.
9 .3 .3 2 .	-Кардиоидой г = 2a(l — cosy?), о > 0.
9 .3 .3 3 .	Улиткой Паскаля г = 2 + cos у?.

Дополнительные задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

9 .3 .3 4 .	у = 2 —\|х\|, у = х2.
9.3.35.	у =	я = ™4» ж = 0,2/ = 1.
9 .3 .3 6 .	у = sin М> У = М “ тг.
9 .3 .3 7 .	х2 + у2 = 16, у = 2, у = 2\/2.
9 .3 .3 8 .	у = х2 4- 8х -	12, у = 18я - х2.

396

9.3.39.

9.3.40.

9.3.41.

9.3.42.

9.3.43.

9.3.44.

9.3.45.

9.3.46.

9.3.47.

9.3.48.

9.3.49.

9.3.50.

9.3.51.

9.3.52.

9.3.53.

9.3.54.

9.3.55.

9.3.56.

9.3.57.

9.3.58.

9.3.59.

9.3.60.

9.3.61.

9.3.62.

_	„	I x = a(t -	suit),	_
Одной аркой циклоиды <			. и	осью Ох.
		1у = а(1 -	cos t)
x = 2 cos £,		3).
у = б sin t, у = 3 ( у >		3).
x =	^ cos t,
у = 2sin£.
x =	3,5 cos £,
y = 3,5 sin t.

r = l ,r = 3,<p = Z ,tp = Z .

г —2sin<£>, г = 2\/3cos ip.

Лемнискатой Бернулли г2 = а2cos 2ip.

у = cos2 x, у - sin2 X, ^ х ^

у - 1п(х + 2), у = 2]пх, у = 0.

Параболой у = х2 —4х + 5, касательной к ней в точке А(3; 2), прямой х = 1.

Параболой у2 = х, касательными к ней в точках с абциссой 16.

У = Т ^ - « = °-

8— ж"

у= liF + 4 'y== Т *

Цепной линией у = ^ (е« + е” * ), прямыми х = 0, х = а.

у = smx, у = 2т

х2 + у2 = 13, ху = 6.

у = cos х, у = х + 1, у = 0.

Петлей у2 = х(х — I)2. Замкнутой линией х2 + ул = у2.

х2 -by2 = 9, х2 -			4у2 = 4.
у = arcsinx, у = arccosx, у —0.
у =	36х(х -	I)2, у = 0.
	fx = t2 + 1,
Петлей			St.
	у = t3 -
\х	^	s^n ^ ’	прямой у = 4 (у ^ 4), (0 < х < 8тг).
2/ = 4(1 — cost),

9 .3 .6 3 .	Г X = 6 cost,				п Г -	,	^	л
9 .3 .6 3 .	<			7/ =	2л/3	(т/ ^		2л/3).
	[у = 4sm£,
9 .3 .6 4 .	г —2 sin 5у?.
9 .3 .6 5 .	г	=	5 - ^ € [ i H		-
	г	=	5 - ^ € [ i H		-
9 .3 .6 6 .	г =		cos3 у?.
9 .3 .6 7 .	г =		4(1 — cosу?), г = 4 cosy? (общая область),
9.3 .6 8 .	г = a(cosу? + sinу?), a > 0.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
9 .3 .69 .	у =		sin я, у = ^ X, у = 0			(х ^		0).
9 .3 .70 .	у = l+cos7rx, у = 2 х 2 — 2 (абсциссы точек пересечения — целые
	числа).
9 .3 .71 .	Петлей декартова листа х3 +у3 —Заху = 0 (перейти к полярным
	координатам).
9 .3 .72 .	За;2 4- у2 = 3, х2 + Зт/2 =					3 (общая часть).
9 .3 .73 .	у = х2е-аГ, ее асимптотой.
9 .3 .74 .								х = t —Sint,		(t^ 0), пря-
9 .3 .74 .	Двумя первыми арками циклоиды								= 1 —cost,	(t^ 0), пря-
	мой у = 2.							у	= 1 —cost,
	мой у = 2.
9 .3 .75 .		х =		asin2£,			0).
9 .3 .75 .				(a > 0, b >			0).
		у —bsin t
9 .3 .76 .	x =		acos£, y = bsint cos2 1 (a > 0, b >						0).
9 .3 .77 .	r	=	a ( l + sin2 y?), r		= a.
9 .3 .78 .	r =		2 cos 3y>, r = 1 (r ^ 1).
9 .3 .7 9 .	Используя геометрический смысл
	интеграла, вычислить:
			1	у/ l - x2 dx\
	а)	J		у/ l - x2 dx\
		о	7Г
			7Г
	6>	I		x2 sin x dx\
		— 7Г
			6
	в)	J		\х —2\ dx.
9 .3 .8 0 .		о
9 .3 .8 0 .	По данным, указанным на рисун

ке 97, найти площадь заштрихо

ванной фигуры.

Рис. 97

9.3.81При каком значении а прямая х = а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у —\х\, х = 1, х = \/3 пополам?

9.3.82. Записать площадь заштрихованных фигур (см. рис. 98) как сумму или разность площадей криволинейных трапеций.

Рис. 98

9.3.83. При каких значениях Л, В и С площадь S = J (Ах2+Вх+С) dx

-1 равна нулю? Сколько таких значений А, Б , С?

9.3.84. Сравнить, не вычисляя, какая из площадей J ( i/x —y/x) dx или

1	о
J (х2 —xA)dx больше.

Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая на плоскости задана уравнением у = f(x) или х = ч>(у)* На кривой выбраны точки А и В с координатами: Л(а;с), B(b\àI). Длина

I дуги кривой от точки А до точки В вычисляется по формуле
6
I = J y/l+W ÿdx-,	(3.8)

1 = J у/ l + {x>Ydy.

(3.9)

Если кривая задана параметрическими уравнениями

j х = x(t),

\y = y(t)>

причем £i ^ t ^	то длина дуги вычисляется по формуле
	I= /t2 V(x’T- +(y')-dt.	(3.10)

Если кривая задана уравнением в полярных координатах г = г(у?),

а^ P* то длина дуги кривой вычисляется по формуле

1=IИх/г2 + (г')2^ .	(3.11)
а
9.3 .85 . Вычислить длину дуги кривой у —In sin х от Х\ =	^ до х*ь = \|тг.

Рис. 99

О Изобразим часть графика функции ?/=Insin а; при х £(0;7г) (см. рис. 99). Воспользуемся формулой (3.8), предварительно найдя выражение у/1 4- (у1)2:

у = In sin х,		cos а;	лЛ + (y'ï2		cos2 X		1
у = In sin х,			лЛ + (y'ï2		sin2 x	sinx*
		sin x’		F		sinx*
		sin x’		F
т. к. x G		Находим длину / дуги АВ:
b
- Г	^х	- In	=	l n '/3 - ln - 4 =	= 21n\/3.		•
J	sinx	t g 2	1	уД

Найти длины дуг кривых:

9.3.86.	у = - хз2 + 2х от вершины до точки с абциссой х = 2.
9.3.87.	у2 =	до точки с абциссой х = 6.
9.3.88.	т/ =	In .г* от .г* = у/8 до æ = \/Ï5.
9.3.89.	у = ire2 - 4.т -f		отсеченной осью Ох.
9.3.90.	= ?/2 от точки 0(0; 0) до точки Л(2\/3;3).
9.3.91.	у =	\|(е« + е “ «)	между точками, абсциссы которых равны О
	и а.

I х — Clcos2 t
9.3.92. Найти длину астроиды: <	~ ’ (см. рис. 94).
\у = a sin	t,

О Найдем сначала 1/4, т.е. длину дуги кривой, лежащей в

первой четверти. Воспользуемся формулой (3.10):

	I	j	\J(acos3 t)'2 + (а sin3		1)'2 dt =
	4	j	\J(acos3 t)'2 + (а sin3		1)'2 dt =
	4	о
		о
			= J \j(За cos2 1(—sin t))2 + (За sin2 1cos t)2 dt =
			J	\J9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t dt =
			о
				9a2 cos21sin2 £(cos2 t + sin2 t) dt =
			2			3
	=	3a / cos t sin t dt				3
	=	3a / cos t sin t dt				2 a .
	Следовательно, l = 6a.
		Отметим, что уравнение астроиды в прямоугольных коор
	динатах имеет вид х% + у% =				а^. Для нахождения ее длины
	можно было бы воспользоваться формулой (3.8).					•
Найти длины дуг кривых:
9.3.93.	у2 = 16я, отсеченной прямой х = 4.
9.3.94.	у2 = 9 — х, у = - 3 , у = 0.
9.3.95.	5у3 = х2, заключенной внутри окружности х2 4- у2 = 6.
9.3.96.	^	— *	s*n ^’	(одной арки).
	1у = 1 -		cos t,

9 .3 .9 7 .	х = a cost,
	у = a smt.

9 .3 .98 .	\Х	^	’	(петля).
	\у = 3 * - * 3
9 .3 .99 .	\Х	c o s i>		от£ = О до£=т^ .
	1 у =	sin3 1,		2
9 .3 .100 .	I х =	е* cos		от* = 0 д о * = 1.
	^	.	’
	\у =	е 1sin£
9 .3 .101 .	Найти длину кардиоиды: г = а(1 4- cos ip) (см. рис. 100).

Рис. 100

О Воспользуемся формулой (3.11). Сначала найдем половину длины кривой, т. е. I/2.

5 = /	\ / R ï 4- cos у?))2 +				(а(1 4- cos </?))'2 dip —
о
=	J	\ja2{\ +		2 cos ip + cos2 <p) 4- а2 sin2 </? cfy? =
	о						I--------------------
			7Г		7Г		I--------------------
= a J			\/2 4- 2 cos ip dip = a J			w 4 cos2 ^ dip =
		о			о	V
			7Г
	=	а	[ 2 sin ^ dip =		- 4 a cos ^		= -4 a (0 - 1) = 4a,
			J	2		2	о
			о
значит / = 8a.							®

Найти длины дуг кривых:

9 .3 .1 0 2 . r = V^siny?.

9 .3 .103 . г = 3,5(1 - cosy?).

9.3.104. г = i от кр = | до у? = j .

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб29Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf