книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdfВычислить приближенные значения данных функций в точке (жсь2/о), используя формулу Тейлора с п = 2.
11.7.5. |
/(ж; у) = V *2 " |
1/2>*о = 5,8, у0 = |
3,2. |
|
|
||||
11.7.6. |
f(x\y) = tgx •sin2/, ж0 = 47°, уо = |
28°. |
|
|
|||||
11.7.7. |
Исследовать на экстремум функцию /(ж; ?/) = 4ж2?/+24ж?/+?/2 + |
||||||||
|
+ 3 2 ? /-6 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
Область определения D (f) — вся плоскость Оху, f{x\y) — |
|||||||
|
дифференцируема в каждой точке М{х\у) € D(f). |
|
|||||||
|
|
1. Определим стационарные точки (применим теорему |
|||||||
|
11.18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< U |
= 8ху + 24у = °> |
|
0 [у{х + 3) = 0, |
|
||||
|
< |
|
= 4х2 + 24х + 2у + 32 = 0 |
|
\ 2а:2 + 12х + у + 16 = 0. |
||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
у = 0 : ж2 + 6.т + 8 = 0 => xi = - 4 , ж2 = - 2 , |
||||||
|
|
|
гг = |
—3, |
у = 2. |
|
|
|
|
|
Получили |
три |
стационарные |
точки: |
M i(—4;0), |
М2(—2; 0), |
|||
|
М3( - 3 ;2 ) . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2. |
Эти точки исследуем согласно теореме 11.19 на достаточ |
||||||
|
ность условий экстремума. Сначала определим отдельно |
||||||||
|
|
|
|
|
а 2/ |
8х + 24, |
9 V |
|
|
|
|
|
|
|
9x9?/ |
2. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а?,2 |
|
|
|
А теперь для каждой точки вычислим соответствующие (см. |
||||||||
|
теорему 11.19) А, В , С, определим знаки величин Д = АС —В 2 |
||||||||
|
и А. |
M i(—4;0): А1= 0, £ i = - 3 2 + 2 4 = - 8 , Ci = 2, |
A iC i - B 2= |
||||||
|
|
а) |
|||||||
|
= |
—64 < 0, т.е. М\{—4;0) не является точкой экстремума. |
|||||||
|
|
б) М2( - 2 ;0 ): А2= 0, £ 2= -1 6 + 2 4 = 8 , С2= 2, Л2С72- Б | < 0 , |
|||||||
|
т.е. М2(—2; 0) не является точкой экстремума. |
|
|||||||
|
|
в) М3( - 3 ; 2): Л3 = 16, В3 = |
0, С3 = |
2, А3С3 - |
= 32 > 0. |
||||
|
При этом А > 0. Вывод: М3(—3; 2) — точка локального мини |
||||||||
|
мума функции f{x\y) с / mi„ = / ( —3; 2) = - 10. |
|
|||||||
|
Ответ. min/(ж;?/) = / ( —3 ;2) = |
- |
10. |
|
Ф |
||||
Исследовать на экстремум следующие функции: |
|
|
|||||||
11.7 .8 . |
/(ж; 7/) |
= ж2 + ж?/ + т/2 - 2ж —Зт/ + б|. |
|
|
|||||
1 1 .7 |
.9 . |
/(x ; y) = - x 2 + xy —y2 - 9x + 3y - 20. |
f{x\y) = sin а; + sin y + |
1 1 .7 |
.1 0 . |
Исследовать на экстремум функцию |
|
|
|
+ cos(x + у) внутри квадрата {(x; у) |
0 < x < 7r, 0 < у < 7г}. |
Рис. 129
О Область D определения функции есть вся плоскость К2, но нас интересует только открытый квадрат ОАВС (см.рис. 129).
1. Стационарные точки определим из системы
/ ' = |
cos х - |
sin(x + у) = |
0, |
{fy = |
cos у - |
sin(x + у) = |
0. |
После вычитания друг из друга этих уравнений получаем
х — у х + у |
= 0 |
x — у = 27гп, |
n e 2 |
cos x -co s у = 2 sin —-— sin ——- |
=> |
т е ! |
|
|
|
x + у = 27гт, |
В нашем квадрате может иметь место только условие х — у = 0 (гг = 0), а тогда, присоединив к этому уравнению первое урав нение системы, получаем равносильную систему
|
\У = |
х, |
I У = |
|
|
cosx — sin2x = 0 |
Iт» —• 2L •о» •—2L •о* |
||
|
X — Л,Х — |
0 ,Х — д . |
||
Тем |
самым, |
получили три |
стационарные |
точки |
2. |
Достаточные условия. |
|
||
|
а 2/ |
- s i n * - с о ф |
а2/ |
-cos(æ + у), |
|
£ 5 = |
+ „), gtSs = |
||
а2/
т ~2 = — sin у - cos(x + 2/).
отсюда х = ^ ^ , ж, = — не принадлежит отрезку
[0;7],ж2 = | = 1,4.
Нам необязательно знать, что это за точка — максимума
или минимума. Вычислим |
Поскольку при х = 1,4 полу |
чаем у = 2 — ^ = 1,6, то достаточно вычислить |
|
г (х ;у) = 2(1,4; 1,6) = - 1 0 |
•1,4 •1,62 + 1,42 + 10 •1,4 + 1 = |
= -35,84 + 1,96 + 14 + 1 = -18,88.
Отдельно считаем z(A) и z(B), т. е. z(7;0) = 120, z(0;2) = 1.
б) На ВС займемся условным экстремумом. Поскольку уравнение прямой ВС — это - j ^ = 1, то составим функцию
Лагранжа:
F(x-,y]\) = - 1 0 ху2 + х2 + 10x4- 1 + А ^ -у + | — l) -
Ищем стационарные точки этой функции: |
|
||
'F'x = |
-10i/2 + 2 x + 1 0 - I = 0 , |
х7 |
|
< F'y = |
- 20x2/+ |
^ = 0 , |
х2 |
/ а = |
" | + | |
- 1 = 0 - |
|
Первое уравнение умножим на 7, второе — на 2 и сложим ре зультаты. Этим исключим параметр Л из системы:
- 7 0 у2 — 40 / 4- 14х + 70 = 0, {х = | - 7 .XÎ
Непосредственной подстановкой приходим к уравнению, кото рое после сокращений имеет вид 30т/2-47?/+ 4 = 0. Отсюда нахо дим у = — ♦Сразу получим точки (т/i = 1,5, хх = -1 ,7 5 ),
(2/2 = од, X! = -6,65), т.е. Ml(-1,75; 1,5), М2(-6,65; 0,1).
Результаты вычислений значений функции в М1? Mo и С таковы: z(M\) « -25,935, z(M2) « -22,9, z(C) = 20.
Сравнивая все полученные величины, приходим к выводу:
наибольшее значение функции в £>, т. е. max f{x\y) =
(x-,v)eD
= |
/(7 ;0 ) = |
120, а наименьшее значение, т.е. |
min f(x\y) = |
|
|
|
{x\y)eD |
= |
/ ( —5;0) = |
- 2 4 . |
• |
11 .7 .17 . |
z = æ2 + î/2, D: ромб 3|х| + 4\у\ ^ |
12. |
|
|
|
11 .7 .18 . |
z = ху + х 4- у, |
D:_квадрат 1 ^ х ^ 2, |
2 ^ |
^ 3. |
|
11 .7 .19 . |
z = 1 —а;2 — ?/2, |
D: круг (æ — I)2 + ('1/ — I )2 ^ 1. |
|||
11 .7 .20 . |
Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, |
||||
|
число точек п = 6. |
|
|
|
|
|
|
X - 1 0 1 |
2 |
3 |
4 |
У0 2 3 3,5 3 4,5
Требуется построить прямую с уравнением у = ах + b так, что бы она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле наименьших квадратов.
О Очевидно, что точки с данными координатами не могут быть расположены на одной прямой, а построить прямую как бы «сглаживающую» эти точки, можно. Для этого достаточ но решить систему уравнений, приведенную в соответствующей теоретической части. Для удобства расчетов строим рабочую таблицу.
№ |
Xi |
Vi |
0 |
XiVi |
axi+b |
аху+ b-yi |
(axi+b-y i f |
xï |
|||||||
1 |
- 1 |
0 |
1 |
0 |
0,81 |
0,81 |
0,6561 |
2 |
0 |
2 |
0 |
0 |
1,55 |
-0 ,4 5 |
0,2025 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
2,29 |
-0 ,7 1 |
0,5041 |
4 |
2 |
3,5 |
4 |
7 |
3,03 |
-0 ,4 7 |
0,2209 |
5 |
3 |
3 |
9 |
9 |
3,77 |
0,77 |
0,5929 |
6 |
4 |
4,5 |
16 |
18 |
4,51 |
0,01 |
0,001 |
Е |
9 |
16 |
31 |
37 |
|
|
2,1766 |
|
J42, By |
C'2 |
Ai |
Ci |
|
|
|
Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек (ко ординат). Из сумм столбцов при xi, l/г, х2, xiyi составляются коэффициенты системы (7.1) для определения параметров а и b прямой у = ах + Ь. Система имеет вид:
|
|
|
|
|
31а + 96 = 37, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9а + 66 = |
16. |
|
|
|
|
Решим ее методом определителей: |
|
|
|
|
|
|||||
А = |
31 |
9 |
= 105, |
Ai = 37 |
= 78, |
А 2 = |
31 |
37 |
= 163, |
|
|
9 |
б |
|
|
16 |
|
|
9 |
16 |
|
|
|
а = |
= |
5 L = |
0,74, |
Д 2 _ 163 _ |
|
|
|
|
|
|
|
~ ÏÔ5 " |
|
,55‘ |
|
||||
|
|
|
Д |
105 |
Ь ~ T |
|
|
|||
Искомое уравнение у = 0,74а: + 1,55.
11 .7 .32 . z = х2 —ху + 2у2 4* Зж 4- 2у 4- 1, D — замкнутый треугольник, ограниченный осями координат и прямой х 4- у = —5.
11 .7 .33 . 2 = х2+у2—6.T + 4Î/+ 2, D — прямоугольник ABCD с вершинами Л(4; - 3 ) ,Б ( 4 ;2 ) ,С ( 1 ;2 ) ,^ ( 1 ;- 3 ) .
Исследовать на экстремгум функции z(x;y)t заданные неявно уравнени ями:
11.7.34. |
х2 4- xyz —ху2 - х3 = 0. |
11.7.35. |
х2 4- у2 4- z2 — 2х 4- 2т/ - 4z - 10 = 0. |
11.7 .36 . |
х*3 - у2 - Sx 4- 4у + z2 4- z —8 = 0. |
Исследовать на условный экстремум функции: |
|
11 .7 .37 . |
г = еху при условии .г* 4- у = 1. |
11.7 .38 . |
z — \ + у ПРИ х + у = 2а (а > 0). |
11 .7 .39 . |
z = ху при X 2 4- у2 = 1. |
11 .7 .40 . |
z = 6 — 4.г* — 3у при условии х2 4- у2 = 1. |
11.7 .41 . |
Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный |
|
объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая. |
11 .7 .42 . |
При каких размерах открытая прямоугольная ванна объема V |
|
имеет наименьшую поверхность? |
11 .7 .43 . |
Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью по |
|
верхности 5 , имеющий наибольший объем. |
11 .7 .44 . |
Через точку Л /(а;6;с) провести плоскость, образующую с ко |
|
ординатными плоскостями тетраэдр наименьшего объема. |
11 .7 .45 . |
В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наиболь |
|
шего объема. |
11 .7 .46 . |
Найти наибольшее значение функции f(x;y;z) = x2y2z2 на |
|
сфере х2 4- у2 4- z2 — И2. |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. |
Найти полный дифференциал функции z = cos2 -ъ—У- . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
- У |
2. |
Для функции z = usmv, где и = arccos Л/ху, v = arcsin(x — у), найти |
||||||||||
|
|
|
|
|
dz |
и |
c)z |
|
|
|
|
|
частные производные ^ |
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Показать, что функция 2 |
= |
arcsin(ху) удовлетворяет уравнению |
||||||||
|
х . d2z |
, |
2/ . |
d2z _ о |
d2z |
у |
, 2 |
dz |
_ |
n |
|
|
у far |
х |
’ |
ду2 |
дхду |
дх |
|
|
|
||