Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5853 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

система совместна и определенна, о. р. = ч. р.

(—1; —1; 2). 2.1.43. Неопределенна; о.р.

. р

. (—1; 1; 0; 1).

2.1.44. Определенна; о.р. = ч.р. (1; —1;0; 1). 2.1.45. Определенна; о.р. = ч.р. (1;2; —4; —3). 2.1.46. Неопределенна; о.р. (£i;£2; 13; 19 —3£i —2£2; —34) ч.р. (1;8; 13;0; —34). 2.1.47. Несовместна. 2.1.48. Неопределенна; о.р.

(1 —2^i —3t2 —... —n£n-i; £iî £2;... ; £n-i). 2.1.49. Несовместна.

2.1.50.	Определенна;	о.р. =	ч.р. ^n(n^	1);... ; —3; —2; —l ) -
2.1.51.	Определенна;	о. р. =	ч. р. (2; 1; 1 ;... ; 1). 2.1.52. Определенна; о. р. =

ч. р. (—1; 1; 1;... ; 1; 2). 2.1.53. При Л ф —2 система совместна и определенна, о.р. = ч.р. (1;2 —Л); при Л = —2 система совместна и неопределенна; о.р. (0,5£ —1;£), ч.р. (—1;0). 2.1.54. При Л = 2 система несовместна; при Л = —2 система совместна и неопределенна; о.р. (—2£ —1; £), ч.р. (—1;0); при Л ф 2,

Л Ф —2 система совместна и определенна, о.р. = ч.р. дТГ?)*

2.1.55. При Л = —2 система несовместна; при Л = 2 совместна и неопределенна, о. р. (2£ + 1; £) ч. р. (1; 0 ; при Л ф ±2 система совместна и

2 .	А +ь). 2.1.56. При любом А система
определенна, о. р. = ч. р■(А + 2’

совместна и неопределенна; о. р. (30 —2А —21£; 9£ + А —12; £), ч. р.

(30 —2А; А —12; 0). 2.1.57. При А = —2 система несовместна; при А = 1 система совместна и неопределенна, о. р. (3 —£1 —£2; £1; £2), ч. р. (2; 0; 1); при А ф —2,

А Ф 1 система совместна и определенна, о.р. = ч.р. ^ ^ ÿ 2~+~Х’ 2 + а ) ‘

2.1.58. При А = —3 система несовместна; при А = 1 система совместна и неопределенна, о. р. (4 —£1 —£2 —£3 ; £1; £2; £з), ч. р. (1; 1; 1; 1); при А ф —3, А ф 1

4 . 4 . 4 . _ 4 \ З + А’ З + А’ З + А’ З + АУ*

2.1.59. Не изменится или сузится. 2.1.60. Может стать совместной или остаться несовместной. 2.1.61. Матрицы не обязательно равны; ранги матриц равны. 2.1.62. Да. 2.1.63. Да; неоднородные. 2.1.64. Множество решений — все возможные наборы значений переменных. 2.1.65. Таких систем не существует. 2.1.66. Да. 2.1.67. а) Да. б) Да. в) Да. г) Нет. 2.1.68. Да; нет; нет. 2.1.71. В любом решении х\ = 0. Если равны нулю коэффициенты при всех неизвестных, кроме х\ и х,- (г Ф 1), то х,- = const в любом решении, все остальные неизвестные Xj (j ф 1,j) могут принимать любые значения. Если не равны нулю коэффициенты при xi, х», Xj (1, г, j — три разных числа), то все неизвестные, кроме х\ могут принимать любые значения. 2.1.72. &-й столбец не является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы системы. 2.1.73. &-й столбец является линейной комбинацией остальных столбцов расширенной матрицы системы. 2.1.75. (1; 4; 0,5).

Указание. Прологарифмировать левые и правые части всех уравнений.

_	Ь2 + с2 - а2		а2 + с2 - Ь2		2 ,	,2	2
_	Ь2 + с2 - а2	У —	а2 + с2 - Ь2	__ Q	-4~	и —	С
2.1.76. х =	2Ьс	У —	2ас	2 “	2аЬ
о , 7Я т _	т	„ _	т	г =	/(<*)		где

2Л -78, Х ~ (d —a )f (а)' У ~ ( d - 6)/'(b )’ (d -c)/ '(c)’ Где

/(х) = (х —а)(х —Ь)(х - с). 2.1.79. Если D = abc —а —b —с Н- 2 ф 0, то система

имеет единственное решение х = jj( D	4- 26 + 2с — 26с —2),
у = J J (D 4- 2а + 2с —2ас —2), z =	+ 2а + 26 —2а6 —2). Если D = 0 и все

числа а, 6, с не равны 1, то система несовместна. Если £> = 0 и а = 6 = с = 1, то общее решение имеет вид .г* = 1 —у —z, где у \\z — свободные неизвестные. Если D = 0 и два из чисел а, 6 и с равны 1, а третье — не равно, например,

а ^ 6 = с = 1, то общее решение имеет вид х = 1,			у = —2, где z — свободное
неизвестное.
§ 2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Формулы Крамера
2.2.4. (—3; 1). 2.2.5. (\/3;4). 2.2.6. ^—6; —		при ab ф 0; невозможно решить
при ab = 0. 2.2.7.	—~Lc^) при а<^ ~~		^ невозможно решить

при ad —6с = 0. 2.2.8. (—2; 2; 1). 2.2.9. (1; 2; —3). 2.2.10. Невозможно решить.


2.2.11.	(—3; 3; 0). 2.2.12.			при Л ф 1, Л #					2;
невозможно решить при Л = 1 или Л = 2. 2.2.13. (—2; 0; 1; —1).
2.2.14.	(2; -3 ; 2; -1). 2.2.15. (0; 0; 0; 0). 2.2.16. а =				-1 ,	6 =	3, с =		2.
2.2.17.	а = -2	, 6 = 3, с =	2. 2.2.18. (2; -3).	2.2.19. (2л/5; 2).
2.2.20.	( fy?	* ; Q>~*~^■V 2.2.21. ( —у-г;		ПРИа 7^			’	невозможно
	\а“ + 2	а* + 2/	\а + 6’ 3(а + 6)У		^	^	’

решить при а = ±6. 2.2.22. (—1; 1; 3). 2.2.23. (2; —3; 2). 2.2.24. Невозможно решить. 2.2.25. (—4; 1; 2).

о О	9	R	\|	_______ Q — 6_______ . аб-			+■ 6 —2	а —6	при 6(а -	1)(а + 2) ф 0;
							__________ . ________ -,
			\(а —1)(а + 2) ’ 6(о -				1)(а + 2) * (а - 1)(а +

невозможно решить при 6(а — 1)(а + 2) = 0. 2.2.27. (0; 0; 0; 0).
2.2.28. (-1 ; 1; 2; -2 ).						2.2.29. (3; -2 ; 0; 1).		2.2.30. а = -1 , 6 = -3 ,		с = 5.
2.2.31.				а =	-1 , 6 =	2, с = 3. 2.2.32. Нет. 2.2.33. Да. 2.2.34. Нет. 2.2.35. Да;
нет. 2.2.36.					Указание. Записать разложение определителей Di по t-му
столбцу, i =					1 ,2 ,..., п. 2.2.37. а = -тт—			. где
							(6 —o,i)f (ai)
f(x) =			(х - ai)(x - 02) ... (х -				an). 2.2.38. СТА"1 В 1 где С, и В			—

вектор-столбцы, составленные соответственно из чисел {с,} и {bi}.

§ 3. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений


2.3	.4	. Общее решение (0; 0); фундаментальной системы решений нет.
2.3	.5	. (-;),		(—1; 1). 2.3.6. (3i;2t), (3;2). 2.3.7. (0;;), (0; 1; 1). 2.3.8		. (y/3t;t),
(у/3;1).			2.3.9	. (*;2«), (1;2). 2.3	.10. (t2 - ti;ti;t2), (—1;1;0), (1; 0; 1).
2.3.11.			(t; —21 ; <), (1; —2; 1). 2		.3.12. Общее решение (0; 0; 0; 0; 0; 0);
фундаментальной системы решений нет. 2.3.13. (2 ti - З ^ ;^ ;^ ) , (2; 1; 0);
(—3; 0; 1). 2.3				.14. (^i;^2;^2 —2^i), (1;0;-2); (0; 1; 1). 2.3.15. Общее решение

(0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет.
2.3.16. (8ti - 7 * 2;-6 ii +52ii;*2), (8; —6; 1;0);	(—7;5;0; 1).
2.3.17. (-2; lt\0; 9), (-2;7;0;9). 2.3.18. (-3ti	- Ы2\ + 3t2; ti;0; ta),
(—3; 2; 1; 0; 0); (—3; 3; 0; 0; 1). 2.3.19. При Л = 6 общее решение (7*; 21\3£),
фундаментальная система решений (7; 2; 3). При Л ф —6 общее решение
(0; 0; 0); фундаментальной системы решений нет. 2.3.20. При Л = 2 общее

решение (t;0; —2t), фундаментальная система решений (1; 0; —2). При Л = —4 общее решение (5£; —24£; —4£), фундаментальная система решений (5; —24; —4). При Л ф 2, Л ф —4 общее решение (0; 0; 0); фундаментальной

системы решений нет. 2.3.22. а) й\ и а2; б) В2; в) о.р. одн.сист. (2£;—£); о.р. неодн. сист. (2t —2; 3 —t) или (21\2 —t). 2.3.23. а) Система несовместна; б) Вз; в) о.р. одн. сист. (13t;2t;7t). 2.3.24. а) й\ и аз; б) В2 и Вз;

в) о.р. одн. сист. (ti; t2; h + t2) или {2t\ —t2\—t\ + 2t2; t\ + t2)\ о.р. неодн. сист.

(1 + ti; 1 •+* t2; 1 •+■i 4" 2) пли (1 + 2t\ —t2\1 —ti ~Ь 212\1 + t\ + t2) или
(tr, 1 + t2\t\ + 2) или (2t\ —t2; 1 —t\ 4-12\t\ + 2)- 2.3.25. a) âi, â2, аз; б) Вз;
в) о.р. одн. сист. (3<; 0; 4£; 0); о.р. неодн. сист. (3t —1; —2; 4£ + 1; 2) или
(3* + 2; -2; 41+ 5; 2) или (3t - 4; -2 ; 4i - 3; 2). 2.3.26. (t; 2t); (1; 2).
2.3.27.	(i\/3; t); (\/3;l). 2.3.28. (0; 0); фундаментальной системы решений нет.
2.3.29.	(-2t;t); (-2; 1). 2.3.30. (ti + t 2;ti;t2)i (1; 1; 0); (1;0; 1).
2.3.31.	(t]7t\—5£); (1;7; —5). 2.3.32. (0;0;0); фундаментальной системы

решений нет. 2.3.33. (t;-t;t); (1;-1; 1). 2.3.34.	(2*! - 3 t 2;ti;t2); (2; 1;0);
(—3; 0; 1). 2.3.35. (t;3t;5t); (1; 3; 5). 2.3.36. (ti -	<2; ti - t3; *r, t2; t3); (1; 1; 1;0; 0);
(-1; 0; 0; 1; 0); (0; —1; 0; 0; 1). 2.3.37. (0; 0; 0; 0); фундаментальной системы
решений нет. 2.3.38. (2£i + 2£2; t\\ —5£2; 7t2); (2; 1; 0; 0); (2; 0; —5; 7).

2.3.39. (0; ti - 212; 3*i; 0; 312); (0; 1; 3; 0; 0); (0; -2 ; 0; 0; 3). 2.3.40. При a = -1 общее решение (—5i;<;3£), фундаментальная система решений (—5;1;3). При a ф —1 общее решение (0; 0; 0) фундаментальной системы решений нет.

2.3.41.При Л = 3 общее решение (2t\ + 5t>; 3£i —3t2; 7t1; 7t>), фундаментальная система решений (2; 3; 7; 0), (5; —3; 0; 7). При Л = 3 общее решение (51; —31; 0; 71), фундаментальная система решений (5; —3; 0; 7).

2.3.42.Нет; да; да. 2.3.43. Да. 2.3.44. Да; нет; нет. 2.3.45. Нет; да.

2.3.46.Нет; да. 2.3.47. Да. 2.3.48. Да; нет. 2.3.49. Нет. 2.3.50. Да — у определенной системы. 2.3.51. а) Да. б) Нет. 2.3.52. Нет. 2.3.53. Нет; да.

2.3.54.При тп > п — ничего; при т ^ п — фундаментальная система решений содержит не менее одного решения (здесь т — число уравнений,

п— число неизвестных системы). 2.3.55. Множество решений первой системы содержит множество решений второй системы.

2.3.56.ai + ot2 + * ••+ an = 1. 2.3.57. е = ad —be.

Глава 3. Векторная алгебра

§ 1. Векторы. Линейные операции над ними. Разложение векторов

3.1.4. Да. 5 = -\/Зс._3.1.5. (-оо; 0_)U (1; оо). 3.1.6. (-ос^ -1) U (0; 2). З.1.Т. 22. 3.1.8. 13; 13. 3.1.9. АВ = За- Ь; ВС = 2Ь —За. 3.1.10. BD = 2b- 22;

3-1.24. = 2; в одну. 3.1.25. d = S + b - c. 3.1.26. (0;1;0). 3.1.27. (7;0) и

(-1 ; 0). 3.1.28. 7. 3.1.29. -48t + 45j - 36Л. 3.1.30. a = 2 ,0 = -A ,

D A = — ^BC. 3

.1.32. q —p; —p; —q; p —q\p + q\ 2q; 2q —p. 3.1.34.

\/Ï2 Q; 7.

3.1.35.

27Ï —2m; 2n

H- 2m; 3m + n; 2fn —n. 3.1.37. 0. 3.1.38. c =

—2Û 4* 26.

3.1.39.

—12г -

21j

12fc. 3.1.40. -5 Î + 10J + 10k. 3.1.41. 1)

(-^ L ;

2) ( 3 ;y ;0 ) 3)

- 2 j

4) 6. 3.1.42. n - Г 2 + Г3.

3.1.44. (—4; 4;4>/2).

3.1.45. 7;

( f ; S ). 3.1.46. 15.

3.1.47. R = {23,173};

« 18e; 0 я 27e. 3.1.48. 54e;

7,7 м/с. ЗЛ.49. |Fj| =_10>/3 (H); |^J = 20y/3 (H).

3.1.50.

OM = ”

OA +

™

OB. 3.1.53. 1; -2. 3.1.54. |m + f n + %p.

771 *t* 71

771 “Г 7î

3.1.55. | c+ i 5. 3.1.56. x= |{+ M j +

3.1.57. 1) ( C b ) - острый;

2) (â, 6) — тупой; 3) одинаково направлены; 4) противоположно направлены. ЗЛ.58. Вектор суммы не изменится по модулю, но будет повернут на тот же угол. 3.1*59. а) возможно, единственное; б) возможно единственное; в) 0, 1 или 2 решения в зависимости от модулей слагаемых. 3.1.60. Ai = Аг = 0, если с = 0; Ai = 0, Аг ф 0, если с |6; Ai ф 0; Аг = 0, если с |а. 3.1.61. Да.

3.1.62. Да. 3.1.63. Нет.

§ 2. Скалярное произведение векторов
3.2.2. N/13.		3.2.3. N/ 73. 3.2.6.				3.2.7. - \| i +		§ J + §£• 3.2.9. -4 .
3.2.10.	а)	- 3 ; б) 26. 3.2.11.			5.	3.2.13. -1,5.		3.2.14. 7. 3.2.15. 2 * - 3 j .
3.2.18. (2; 4 ; - 6). 3.2.19. а)				3; б)		и 77е; в)	« 0,7; г) 1. 3.2.20. 20.
3.2.21.	2 (ед. раб.). 3.2.22.			-5 .		3.2.23. а)	3; 3; %/2; б) и 76е; и 76е; я 27е;
в) и 50е. 3.2.24. я			122°; я	37е; я 74е. 3.2.26. -3 . 3.2.27. - 1.
3.2.28.	\|;arccos2^S; a rc co s^ . 3.2.29. -13. 3.2.30. 60е. 3.2.31.
3.2.32.	с = (1; 0; —1) или с =				( —3 ! ji j ) -		3.2.34. 8t + 83 + 7к. 3.2.35. 5.
3.2.37.	Плоскость, перпендикулярная к оси вектора а. 3.2.38. ip = arccos - .
								6 *
3.2.41.	Нет. 3.2.44		. а \|с, 6 _L 5 и 6 JL с. 3.2.45. Нет. Нет. Да. 3.2.46. Нет.
3.2.47.	Нет. 3.2.48		. а) Да; б) Нет, т.к. из 2-го =£■ 1-ое; в) Да.
§ 3. Векторное произведение векторов
3.3.2. (5;1,7). 3.3.3. (10;10;10);					10\/3. 3.3.4. \/3; 5л/3. 3.3.6. лф й .

3.3.7. 18уД . 3.3.8. 50у/2. 3.3.10. -10Î + 13j + llfc; а я 120°; 0 я 49е; 7 я 56е

в) 34i —7j + 26k. 3.3.13. Удвоенная площадь параллелограмма равна площади параллелограмма, построенного на его диагоналях. 3.3.15. 30\/3.

3.3	.16	. ±30.	3.3.17. ±^-±=(5tT- J ~ 8к). 3.3.18. ± (0 ; \|; - \| ) . Указание, ê ± ».
3.3	.19	. 42\/2. 3.3.20. 4л/2. 3.3.21. (-40; 40; 20);					-ÿ\|=; 60.
3.3	.22	. —46» + 29j - 12fc;			-7г + 7j + 7k. 3.3.23.		(45;24;0). 3.3.24. -/5; л/5; \/б.
3.3	.25	. 5 ^	о о on	К	О О О Т	/ Т . С . Т Ч о о on	58	. 3.3.33. См. 3.3.14
		° - ^ 1	. 3.3.26.	5. 3.3.27.		(7;5;1). 3.3.29.		. 3.3.33. См. 3.3.14

TÎ7

3.3.34. i	2/2 -	2/1	Z2 -	Z1 2	-f	Z2 -	Zi
	2/з -	2/1	Z3 -	Z1		Z3 -	Zi

X2 — Xi

Хз — .Tl

4 СЧ

X2 — xi	2/2 — 2/1I2
тз — Ti	2/3 —2/i 1

3.3

11 . 143У2

.35. тЧ?;

^■3.3.37. |а| = |6|= |с| = 1. Векторы попарно

6ч/з’

108

перпендикулярны. 3.3.40. а |5. 3.3.41. а =

^ ;/3 =

3.3.42. Нет.

3.3

.45.

Нет. Из 2-го =#►1-ое. 3.3.46. Да, если a _L 6; среди них есть вектор æ,

наименьшей длины |т| = Ш; нет, если b = 0, а ф 0 или â JL Ь.

§ 4. Смешанное произведение векторов

3.4

.2. а)

Да; б)

Нет.

3.4.3. А. 3.4.5. 12. 3.4.6. ^

. 3.4 .7.

3.4 .9. 0.

3.4

.10.

ЗаЬс. 3.4.11. а) Левую; б) Правую. 3.4.12. 24. 3.4.13. (3;3;0).

3.4

.14.

-10.

3.4.15. ±27.

3.4.16.

20. 3.4.18.

11. 3.4.19. (0;8;0)

или (0; —Т; 0).

3.4

.20. а) 12; б) 2^/26; в)

-^ L ; г)

arccos 16^

° . 3.4.21. a) VTf; 2\/Ï3; 5^2;

б)

14; в)

c o

г)

30; д) б|. 3.4.24. (8 ;-1 7 ;-1 3 ).

x i

— Х\

2/1 -

2/4

Zi - Z4

3.4

.25. ^

det

Хо — Х\

2/2 -2/4

Z2 — Z\

при V = 0. 3.4.27. (c x Û) •Ь = 0.

Хз — Х4

2/з -

2/4

Z3 - Z4

3.4.28.

Когда а, Ь, с взаимно перпендикулярны. 3.4.29. абс.

Глава 4. Аналитическая геометрия на плоскости

4	.1	.2.	(3; 2);	( - 3	;- 2 ) ; (-3 ;2 ). 4		.1.3	. 1)	( - 4 ;- 2 ) ; 2) (4; 2). 4.1	.6. (—1; 3).
4	.1	.7.	6. 4.1	.10.	(§ ;§ )•	4.1.11	. (0; —4)		и (0; —12). 4.1.12. \/8; \|тг.
4	.1.13. ( 2 ; - J ) и ( 3 ;1 ) .					4.1.14. ( * 1-+ »3 + »3; 1Й+ 1ft + У») .				4.1.15. (5;2)
или (2; 2). 4.1				.16. (4; 0) или (—2; 0). 4.1.17. (5; 5) и (13; 13). 4.1						.18. Да, £ВАС.
4	.1	.19.	л/82. 4.1.20. 34.			4.1.21.	26.	4.1.22. (3; -2 ); 10. 4.1.23. 2у/Ь.

4.1.27.

( - ^ ; - 7 ) ; ( - 5 ; - 6);

( - | ; - 5 ) ;

(10;4). 4.1.28. (3;0) и (-7*0).

4.1.29.

(0; 4)

и ( - l ;- 3 ) .

4.1.30. 60°

4.1.31. (4; —5). 4.1.32. (5;5).

4.1.33. 20.

4 1 34

x — XlTn' + xomi 4- lama.

?/iWXi + У2ГП2 + У3ТП3 4 ^

35,

V 27

mi + m 2 + m3

’ J

tn1

+ m2 + m3

4.1.37.

(—5; 0) и ( - 2 ;- 4 )

или (3;6) и (6; 2). 4.1.38. (8; 0)

или (~l;3\/3).

4.1.39.

7. 4.1.40.

( W ; Щ ). 4.1.41. 1) I 11III; 2)

II и IV; 3)

I и III; 4) I, III,

\ DO

DO/

и (x2; 2 yx -

IV; 5) II и IV. 4.1.42. (-9 ; 11). 4.1.44. (2x2 -

sijyi)

3/2) или

(xi;2y2 —1/1) и (2X1 - X 2 W2 ). 4.1.47. .4(3; 0); В(1;-л/3); C(0;5); D(0;0);

* ( - £ ;

$ ) . 4.1.49. д(з>/2;§,г);

в ( 5; - | ) ;

с(г> /2;-§ т г); D(4 ;тг); я ( 4; f ) .

4.1.51.

(1;0);

(> /3 ;f);

( 2 ;f ) ; (\ tf;§ );

(l; § * ) . 4.1.52. (3;§тг);

( 5 ; - f ) .

4.1.53.

8. 4.1.54. > /3 -1 .

4.1.55.

(

;

4. 1.57.

a) (

;

(i; §^)î

(3;JT); 6) ( 2 ; - f ) ;

( l ;| ) ;

(3; 0). 4.1.58. 25. 4.1.59.

4 .I.6 O. 3(4>/3- 1).

4.1.61.

а) На окружности радиуса г с центром в точке О. б) На луче,

выходящем из полюса под углом ( 5 )

к полярной оси. в) На полярной оси.

4.1.62.

(7; 0). 4.1.65. Зх + у -

4 = 0. 4.1.66. у2 = 4х - 12. 4.1.68. у = ± | .

4.1.69.

х2 + у2 — 4х + 6у - 12 = 0. 4.1.71. J

æ = ocost>

4.1.72. г = 2Bsmy>.

I у = a sin t.

4.1.73. у = |. 4.1.75. Ai и А3. 4.1.76. (0; 6);

(6; 0); (—1;0). 4.1.77. (—3; 4) и

(4;3). 4.1.78. а) (3; 4) и (3; -4 );

б)

(>/25 -

у2-, у0) и (->/25

- yg; i/o).

4.1.79. a) æ —2у + 2 = 0, прямая; б)

3L. + 2L. = 1} эллипс; в) у2 —х = 0,

парабола. 4.1.80.

+ у2 = 1. 4.1.81. ^

= 1, гипербола.

4.1.82. г2 = 2a2cos2y?. Кривая называется лемнискатой Бернулли.

х = a(t —sin £),

{

. Эта кривая называется циклоидой.

у = а(1 — cost)

4.1.84. г = asin2ip. 4.1.85. х2 - 4 х - 6 у +

13 = 0. 4.1.86. ху =

4.1.87. у2 = 2рх. 4.1.88. а) Оси координат, б) Ось Оу и биссектриса II и IV

координат углов.

§ 2. Прямая на плоскости

4.2.2. у + ^

= 1. 4.2.3. а) а = 0; Q = 1; б) а = i. 4.2.4.

4.2.5. 15* - by + 32 = 0. 4.2.7. Расстояния: а) §^21. 6) 2)5; в)

г) 0.

528

4.2.15.а) у = л/Зх - 6; б) у = 2; в) 4х + Зу - 12 = 0. 4.2.16. х + 2у - 8 = 0.

4.2.17.х + у - 7 = 0. 4.2.18. 4.2.19. (1,0); х + у - 1 = 0. 4.2.20. а = 3;

Р= —4. 4.2.21. 2х —у —4 = 0 или х —2у + 4 = 0. 4.2.22. 5х + у —3 = 0.

4.2.23.Зх - 4у - 25 = 0. 4.2.24. х = 3; у = 2; 2х + у - 14 = 0.

4.2.25. х - у + 2 = 0. 4.2.26. 5. 4.2.27. rcos(ip - | ) = 2%/2. 4.2.28. у = 0;

7/= 3 ;х + т/ -5 = 0 ;ге —т/+ 5 = 0. 4.2.29. х + 2т/ —8 = 0; х —2у + 4 = 0.

4.2.30.у = —х + 3. 4.2.31. 6; -9 . 4.2.32. х 4- у - 1 = 0. 4.2.33. 5х + 13 = 0.

4.2.34. х + у	—6 = 0. 4.2.35. х + у + 4 = 0. 4.2.36. (2;0); (0; -3) или (-4; 0);
(О; \| ). 4.2.37.	(1;0). 4.2.38. 2х + у + 4 = 0 ;2 х - у + 4 = 0;2х + у - 4 = 0.

4.2.40.у + 2 = 0. 4.2.41. А = В. 4.2.42. у = ^ х + 4. 4.2.43. а = 1.


4.2.50.	С = ±90. 4.2.51. у = -\| х + 6. 4.2.53. 1)			2) 0; 3) arctg 4) \|.
4.2.54.	а)	6) arctg	4.2.55. 1) Перпендикулярны; 2) Пересекаются;

3)Совпадают, 4) Параллельны; 5) Совпадают; 6) Перпендикулярны;

7)Пересекаются; 8) Параллельны; 9) Пересекаются; 10) Перпендикулярны.

4.2.56. 1) а) 4; б) -9 ; 2) а) 8; б) -2; 3) а) |; б) -12; 4) а) б) |.

4.2.58. а) 2х —у + 4 = 0; б) Зх —у + 5 = 0. 4.2.59. а) х —Зу —11 = 0; б) х -f у + 1 = 0. 4.2.63. 5. 4.2.64. 49. 4.2.65. 4х + у —6 = 0 или

Зх + 2у - 7 = 0. 4.2.66. 5х - 12у - 52 = 0, 5х - 12у + 26 = 0. 4.2.69. •ЛЗ.

4.2.70.5,1 •V2. 4.2.71. 4. 4.2.72. у - 5 = 0 или 5х + 12т/ - 65 = 0. 4.2.73. (1;3).

4.2.74. (2;4). 4.2.75. Зх + 2у - 11 = 0. 4.2.76. (-3; -1). 4.2.77. (6;6). 4.2.78. х + 2у - 10 = 0. 4.2.80. 7х - 56у + 83 = 0 и 32х + 4у + 73 = 0.

4.2.81. 4х - Зу + 7 = 0, х = 2. 4.2.82. 4х - Зу - 7 = 0. 4.2.83. (2;1) и (5;2) или


(0;7)	и (3;8). 4.2.84. 5х —Зу —2 = 0, 7х + 6у + 4 = 0, = arctg3. 4.2.85. Да;
Ai =	-10; Л2 = 6. 4.2.86. \|; \|. 4.2.87. а =		а = Ъу/3. 4.2.88. в) и г).
4.2.89. ± у/2. 4.2.90.		4.2.91. 4о - b - 1 = 0. 4.2.92. а = 3, а = 4.

4.2.93.(Г,6). 4.2.94. Пересекаются. 4.2.96. 13. 4.2.97. а) х ——2;

б) у = - х - 1; в) 2х + у4- 3 = 0; г) у = х + 3; д) х + 6у - 4 = 0; е) 2х - у + 5 = О или Зх + у + 5 = 0. 4.2.98. 7х - у = 0, 17у - 28 = 0. 4.2.99. arctg 2.

4.2.100. а) (4;4); б) f . 4.2.101. 2х + Ну - 26 = 0. 4.2.102. & Ш .

4.2.103. х + 2у —7 = 0, х —4у —1 = 0, х —у + 2 = 0; 4.2.104. (2; -3). 4.2.105. Зх - Зу - 8 = 0. 4.2.106. (0;2); (4;0); (2;4); (-2; 6). 4.2.107. (-3 ; 1). 4.2.108. а) (-3; ±3\/3); б) (-3; ±\/3). 4.2.109. Зх - 4у - 9 = О, Зх - 4у + 16 = 0, 4х + Зу - 37 = 0 или 4х + Зу + 13 = 0. 4.2.110. Квадрат со сторонами, лежащими на прямых Зх + у = ±5, х —Зу = ±5.

4.2.111. 2х + 7у + 22 = 0; 7х + 2у - 13 = 0; х - у + 2 = 0. 4.2.112. 1 ) 5; 5; 2) 4х + Зу - 27 = 0 и Зх - 4у - 14 = 0; 3) 4х + Зу - 27 = 0; 4) 5;

4.2.113. 3x + у —14 = 0 и x —3?/ + 12 = 0. 4.2.114. у = 2x, x —3?/ = 15,

Зх + у = 25. 4.2.115. Зх + Ay + 6 = 0, 3r +

“ 14 = 0 или Зх + Ay + б = 0,

Зх + Ay + 26 = 0. 4.2.116. Зх + Ay —12 = 0. 4.2.117. К стороне AD.

4.2.118.

Зх —Ay —25 = 0, Зх —4у + 5 = 0. 4.2.120. rsin(0 —ф) = r\ sin(0 —

4.2.121. х - Зт/ -

23 = 0, 7х + 9у + 19 = 0, 4х + Зт/ + 13 = 0.

§ 3. Кривые второго порядка

4.3.2.

а)

(2; -3 ); Я = 4; 6)

( -1 ; |); R =

4.3.4. (х - 2)2 +

(у + 2)2 =

(x -

10)2 + (у + 10)2 =

100. 4.3.5. у = 0 и 4* - Зу = 0. 4.3.6. (-А ; | );

R =

I .

4.3.8. а) (х + 2)2 + у2 = 4; б) (х + 4)2 + (у -

5)2 = 25; в) (х -

З)2 + (у -

2)2 =

13.

4.3.9. (х -

4)2 + (у - 2)2 = 10. 4.3.10. 4. 4.3.11. Зх -

4у + 7 = 0. 4.3.12. (4;1);

(-2 ; -5 ). 4.3.13. х + у - 6 = 0. 4.3.14. (-3 ; -2 ); Я = 5.

4.3.15.

(x + 2)2 + (у + I)'2 = 20. 4.3.16. тг - arctg Ц-. 4.3.17. О< к <

к = О

и к = j i .

4.3.18. у = 2х ± 5. 4.3.19. хх0 + ууо = Я2

4.3.20. 7.

4.3.21.

(х - 7)2 + (у -

4)2 =

1. 4.3.22. Нет. 4.3.23. Да. 4.3.24. Точка С.

4.3.25. х2 + у2 + 2ах -

6у + а2 = 0. 4.3.26. х2 + у2 + 12у - 64 = 0. 4.3.29. 5 и 4;

(3;0) н (—3;0); е = 0,6; х =

± ^ . 4.3.30.

^ ц р * ' + jfo =

2) й + 12Ч16#

= 1- 4-3-32- !) й16 ^+ £4

= 1;2) й + й

= 1; 3) А

+ й

= 1;

„2

. 2

Ш +

576 ~

4 -3'33-

fô + 4" “

36 + 16 “

100 +

6Î ~

4 ) ^ + У2 = 1. 4.3.35. |а| <

^6; а = ±у/%. 4.3.36.

~ 7)‘

+ (?/~g2)~

= 1.

4 .3 .3 8 .1)

= »i 2> Î5 + é= 1- 4-3-39' 4 4-3-40' ( f

•± ^

î )-

4.3.41.

4.3.42. 12у/2. 4.3.43.

4.3.44. ^

+ ^

= 1.

Указание. 4 — у/х2 + у2 =

у/{х —2)2 + у2. 4.3.45. ^

2? =

4 -3'43'

( - Й ’ 8#

) ' ( - Й

8# ) - 4 -3-47- ^

4-3-43- *

- 2 » ± 3 = «-

4.3.49. (—3;2);

\/Ï3. 4.3.50.

4.3.51. -42а2 + В 2 Ь2 = С2.

4.3.53.

о1

4* 2L = 1. 4.3.54. Эллипс. Указание, стороны угла принять за оси

координат. Ввести угол tp между отрезками и осью Оу. Исключить параметр

у) из полученных выражений для х и у. 4.3.56. е «			0,08. 4.3.57	. 1; 0; 2.
4.3.58.	4.3.59. 20. 4.3.62. 1) £ -	= 1; 2)	^ - 2L. = 1;

rî

3) m x* ~ ял36 = L 4 -3-63- 4 m36 ~ K64J = i ; 2) Ç - Ç = ! ; 3) *2 - ^

4.3.65. ^		2	2		4t/ - 18 = 0 и
	= 1. 4.3.66.		- 2^ = 1; 2^5. 4.3.68. 3x -
3x + 4y + 6 = 0. 4.3.70.		+ ^	= 1- 4.3.71. e = 2. 4.3.72.
4.3.73. 3a; 4- 2?/ —6 = 0 и —За; + 2т/ + 6 = 0. 4.3.74. x + y ± 1 = 0.
4.3.75.	a) Гипербола ^X	--- = 1; б) Гипербола x2 —y2 = 1.
4.3.78. 3. 4.3.79. 100. 4.3.80. —i —. 4.3.81. 9,6. 4.3.82.				2	2
				lo	_ IL- = 1.
		cos a			4o

4.3.83.4.3.84. bs/2. 4.3.85. 5\/ÏÔ; 3\/ÏÏ); 7,5; 12,5.

4.3.86.									4.3.87. 2\/2; 6\/2. 4.3.88. \|a\| > \/Ï0;
a = ±VÏÔ. 4.3.89. f j						- £	=	1. 4.3.90.			= 1.
4.3.91. x2 -					y2 = §. 4.3.92. ^			-	g	= 1. 4.3.93. Л2а2 - B 2b2 = C2.
4.3.94.				^	= 1. 4.3.95. x2 -				^	= 1; x > 0. 4.3.97. 4. 4.3.99. CM. 4.3.98.
4	.3.100.			Нет. \k\^		4.3.101. 1) Ветвь гиперболы в нижней полуплоскости;
2) Ветвь гиперболы в лсвоИ полуплоскости. 4.3.102. 90° 4.3.103. 4.
4	.3.104		. Через В. 4.3			.107. у2 = -Зх. 4.3.108. 3. 4.3.110. Ах - 2у + 1 = 0.
4	.3,111.			к < \|; к =		\|. 4.3.112. х2 = у. 4-3.113. (2;±2%/3). 4.3.114. 12.
4	.3	.115.		4\/Зр. 4.3.116.			8 уД . 4.3.117. 1,6 м. 4.3.118. 7 м. 4.3.119. (—1; 2).
4.3		.120.		у = ±х. 4.3.121. х-2 =					16?/; у2 = -9,6а:. 4.3.122. х2 = 2у.
4.3		.123	. 4ч/5. 4.3.125			. у2 = 8(х + 2). 4.3.126. 4х -					2у + 7 = 0. 4.3.127. 24.
4,3		.128	. х - у + 9 = 0; 9 ж				- у + 1 =			0. 4.3.129. 9 ж	- by + 9 = 0.
4.3		.132	. у - 18 = 0. См. 4.3.131.						4.3.133. 2® - у -		4 = 0. 4.3.135. ж2 = Ау\
у2 ——4 ж ;				ж 2	= —Ау. 4	.3.136. ж 2			= 14у. 4;3.137. Парабола, у2 = \| ж ; Р — \|;

^ (| ;0 ); ж = - | . 4.3.139. 8.

Глава 5. Аналитическая геометрия в пространстве

§ 1. Метод координат в пространстве

5.1.2.^^;24;0^. 5.1.5. Относительно плоскостей ОхулOyz, Oxz —

соответственно (3;—4 ;—2), (—3; —4; 2), (3; 4; 2); относительно осей Ох, Оу, Oz — соответственно (3; 4; —2), (—3; —4; —2), (—3; 4; 2); относительно точки

О — (—3; 4; —2). 5.1.6. \/65. 5.1.9. (б ;3 ;^ ) . 5.1.10. (4; —1;3). 5.1.11. (0;0;6);

(0;0;2). 5.1.12. 0,75 •y/ÎÔ. 5.1.13. Да. 5.1.14. 1) 1,3,5,7; 2) 2,3,5,8; 3) 1,3,5,7;

4)2,4,5,7. 5.1.15. (3; —3; -3 ), R = 3. 5.1.16. |.40| = 5V% расстояния до осей

Ох, От/, Oz соответственно равны л/ЗТ; л/34; 5. 5.1.17. 0(7; —1; 7); 0(10; —3; 6)

5.1.18.	3,5. 5.1.20. Указание. Доказать, что середины этих отрезков имеют
одинаковые координаты. 5.1.21. .4 G Oz, В G Оху, О G Oyz. 5.1.22. 5.
5.1.23.	5.1.27. (1; 0; —3), R = 4. 5.1.28. Вне сферы; внутри; внутри.
5.1.30.	1) Две плоскости у = 2, у = —2; 2) Параболический цилиндр;

3) Точка 0(0; 0; 0); 4) Плоскость z = 0 и у = —z. 5..1.31. 1) Плоскость х = О, г/ = О, 2 = 0; 2) Две плоскости, проходящие через ось Oz и делящие пополам двугранные углы, образованные плоскостями Оху и Oyz; 3) Никакой;

4) Круговой цилиндр с R = 2 и осью параллельной оси Oz. 5.1.33. Сфера (х —тр) + (у —4)2 + z2 = ijp . 5.1.34. Окружность, лежащая в плоскости

у= 2, с радиусом Я = >/б и центром в точке (3;2;0). 5.1.35. 1) Ось Oz;

2)Прямая параллельная оси Ох; 3) Окружность с R = 2>/5 и центром в

точке (4;0;0)J .		L . U U .	- Г	— X J
5.1.37	J (х — 2)2 Н- (т/ — 2)2 + (z — 2)2 = 9,				у — х. 5.1.39.	у (	0.
	\	0.		5.1.38.
	[ у -
5.1.40. х2 + у2 = 2pz, где р — расстояние от точки до плоскости.
5.1.41. х2+ у2 + z2 = а2. 5.1.421				~ ^ + fg = -1- 5.1.43. Эллипс.
5.1.44.	Цилиндр. 5.1.45. А\ лежит, Ао не лежит.

§ 2. Плоскость в пространстве

5.2.2. 1) z - 1 = 0; 2) х + 2z = 0. 5.2.3. 1) х - 5 = 0; 2) х + ?/ + г - 7 = 0.

5.2.5.		coso = 2^2, cos/3 =		cos7 = ' 5 . 2 . 8 . 9х + у + Hz -				7 = 0.
5.2	.9.	8х + Зу - 2z -	5 = 0. 5	.2.11. 10х -		5у -	4z + 20 = 0.
5.2	.13.	х + 5у + 2z -	8 = 0. 5.2.14		. Зу -	8z +	13 = 0. 5.2.15. 37,5.	5.2.16. 10;
arccos фг. 5.2.17. х -			2у + 2z -	18 =	0. 5.2.18. 2х - у - 3z + 5 = 0.
5.2.19. Зх - 2у + 4z - 8 = 0. 5.2.20. x - 2 y + z - 3 = 0.
5.2.21. 5х —2у — 3z + 4 = 0. 5.2.22. 5х -						2у + 5z - 16 = 0. 5.2.23. 2.

5.2.24. x + y + z —4 = 0. 5.2.25. х + у + 3z - 15 = 0. 5.2.26. x - y - 3 z - 2 = 0.

			1) (1; - 2; 2); 2) Нет общей точки. 5				X - XQ	у —2/0	2 - 2	0
5.2		.27.	1) (1; - 2; 2); 2) Нет общей точки. 5			.2.29.	0>хах	а»у	а.	= 0.
							А	в	С
5	.2	.30.	9х + 10у -	Hz = 0.	5.2.31. 27. 5.2	.32. (-40; -8 ; 44). 5.2.33. 6..
5	.2	.34.	Зх + 2у + z - 10 = 0. 5.2.35. 1) и 4). 5.2.36. Да, через А и С.
5	.2	.37.	( -6 ; 0; 0);	(0; -3 ; 0);	(0; 0; 2). 5.2.39. х + 2у - 3z + 4 = 0.
5	.2	.40. 15х — 5у — 4z —7 = 0. 5.2.42. 1) arccos					2) arccos i .
5.2		.44.	1) Зл/З ; 2)	8. 5.2.45	. 4. 5.2.47. Зх - 4у + 2z = 0.
			2

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5853 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб61Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб34Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб3Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб29Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб36Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб10Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб17Сборник задач по общей физике.-1.pdf