Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5128 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

3. kAVDOJ FUNKCII f 2 R1loc

SOOTWETSTWUET OBOB]•ENNAQ FUNKCIQ

OPREDELENNAQ RAWENSTWOM

•

( )

f (') Z

f(x)'(x) dx; ' 2 O:

pRI \TOM UKAZANNOE SOOTWETSTWIE IN_EKTIWNO.

iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI KORREKTNO OPREDELEN

(!!)

f |

LINEJNYJ

•

FUNKCIONAL NA O. uSTANOWIM NEPRERYWNOSTX FUNKCIONALA f . pUSTX

! ('n 2

O) I OTREZOK [a; b] TAKOW, ^TO supp('n ) [a; b] (n 2 N).

tOGDA f ('n )

! 0 W SILU OCENKI

j f ('n)j Za jf(x)jj'n(x)j dx k'nk[a;b]Za jf(x)j dx

S U^ETOM TOGO

^TO W SILU B

•

( ) 'n =) .

! f LINEJNO PO

dOKAVEM IN_EKTIWNOSTX. tAK KAK SOOTWETSTWIE f

f , DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO f = WLE^•ET f

= 0. iTAK,

PUSTX =

loc

2 R1

. |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET OTREZOK [a; b]

R TAKOJ, ^TO IN-

TEGRAL

Za f(x)dx NE IMEET OSOBENNOSTEJ NA [a; b] I

jf (x)jdx > 0. sLE-

DOWATELXNO

, f

NEPRERYWNA P W

[a; b],

I ZNA^IT

NAJDETSQ

x0 2 (a; b)

. .

•

TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII

f ,

W KOTOROJ

f (x0 ) = 0;

NAPRIMER

PUSTX f (x0) > 0. sLEDOWATELXNO, f STROGO POLOVITELXNA W NEKOTOROJ

OKRESTNOSTI

(x0

, "; x0 + ")

[a; b].

wOZXMEM

; ' 0;

^TOBY

• ' 2

supp(')

(x0

"; x0 + "); '(x0) = 1. w SILU 50.3 POLU^IM f (') =

x0+"

Zx0

f (x)'(x) dx > 0, TO ESTX f

= 0:

,tAKIM OBRAZOM, OSU]ESTWLENO WLOVENIE

loc

W O0. oKAZYWAETSQ, PRO-

STRANSTWO O0 [IRE,

^EM

loc

: SU]ESTWU@T OBOB]•ENNYE FUNKCII, NE QW-

loc

LQ@]IESQ FUNKCIONALAMI WIDA f (f 2 R1

4. [ -FUNKCIQ]. oPREDELIM FUNKCIONAL NA PROSTRANSTWE O FORMULOJ

(') = '(0) ('

O). tOGDA 0 =

O0 (!!). pOKAVEM, ^TO NE SU]ESTWUET

f (x)'(x)dx (' 2

f 2 R1loc TAKOJ, ^TO = f . pUSTX, NAPROTIW, '(0) = Z

O), GDE f

| NEKOTORAQ FUNKCIQ IZ

R1loc. pOKAVEM TOGDA, ^TO f(x) = 0

P.W. (\TO BUDET OZNA^ATX, ^TO f

= 0 W PROTIWORE^IE S TEM, ^TO = 0).

pUSTX x0

(= 0) | TO^KA NEPRERYWNOSTI FUNKCII f . eSLI f(x0) = 0, TO

O TAK

^TOBY

LEGKO PODOBRATX

supp(')

(x0

"; x0 +"); '(x0) =

271

x0+"

1, GDE " > 0 TAKOWO, ^TO sgnf(x) = sgnf(x0) (x 2 (x0 , "; x0 + ")). w \TOM SLU^AE 0 = '(0) = Zx0," f (x)'(x) dx 6= 0 | PROTIWORE^IE. tAKIM OBRAZOM, f (x) = 0 P.W.

5. dLQ OBY^NYH FUNKCIJ f : R ! R PO SAMOMU OPREDELENI@ MOVNO

GOWORITX O ZNA^ENII f (x) FUNKCII f W TO^KE x. dLQ \LEMENTA f PRO- STRANSTWA Rloc1 \TO UVE NE TAK (WSPOMNIM, ^TO f | \TO KLASS FUNKCIJ,

OTLI^A@]IHSQ MEVDU SOBOJ NA MNOVESTWE LEBEGOWOJ MERY NULX). wY- BRAW FUNKCI@ | PREDSTAWITELQ KLASSA, MOVNO GOWORITX O E•E ZNA^ENIQH W TO^KAH. dLQ OBOB]ENNYH• FUNKCIJ UTRA^IWAETSQ I TAKOE PONIMANIE. oTMETIM, ODNAKO, ^TO PRI RASSMOTRENNOM WY[E WLOVENII Rloc1 W O0 PO OBOB]•ENNOJ FUNKCII f MOVNO WOSSTANOWITX ZNA^ENIE f W EE• TO^KAH NEPRERYWNOSTI. dEJSTWITELXNO, PUSTX x0 | TO^KA NEPRERYWNOSTI f , I

POSLEDOWATELXNOSTX 'n 2 O OPREDELENA USLOWIQMI 'n 0; supp('n)

(x0 , n; x0

+ n);

'n (x) dx = 1.

tOGDA PO TEOREME O SREDNEM

50.4

f ('n ) =

f(x)'n

(x)dx =

'n(x) dx = n;

Zx0, n

Zx0,n

GDE n

[

inf

f (x);

sup

f (x)]. tAK KAK f NEPRERYWNA W

x0,

x x0+

x0,

x x0+

TO^KE x0, TO n , f (x0 +

) ! 0 (n ! +1). sLEDOWATELXNO,

f (x0) = lim f(x0 +

) = lim[f(x0

)

n ] + lim n = lim n

= lim f ('n ):

x170. pROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ D I S

wYBOR PROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ, KAK PRAWILO, DIKTUETSQ ZA- DA^AMI, KOTORYE PREDPOLAGAETSQ RE[ATX METODAMI TEORII OBOB]ENNYH• FUNKCIJ. oBY^NO \TO PROSTRANSTWA BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH, BYST- RO UBYWA@]IH NA BESKONE^NOSTI FUNKCIJ. rASSMOTRIM DWA HARAKTERNYH PROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ, OGRANI^IW[ISX SLU^AEM FUNKCIJ OD- NOGO PEREMENNOGO. tOPOLOGI^ESKIE STRUKTURY W NIH BUDEM OPISYWATX W TERMINAH SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. |TO WOZMOVNO, TAK KAK PRO- STRANSTWA OBLADA@T 1-J AKSIOMOJ S^ETNOSTI• (SM. 101.7).

1. pROSTRANSTWOM D NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE WEKTORNOE PROSTRAN- STWO FUNKCIJ, ZADANNYH NA ^ISLOWOJ PRQMOJ, NEOGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ

272

R1(R); R2(R). bOLEE

DIFFERENCIRUEMYH I OBLADA@]IH KOMPAKTNYMI NOSITELQMI. sHODIMOSTX

W \TOM PROSTRANSTWE OPREDELENA USLOWIEM: POSLEDOWATELXNOSTX 'n ,!D , ESLI

(A)	9[a; b] 8n 2 N (supp('n) [a; b]),
(B)	'(k) = (n		+ ); k = 0; 1; 2; : : :,
	n	)	! 1

TO ESTX POSLEDOWATELXNOSTX 'n STREMITSQ K NUL@ RAWNOMERNO WMESTE SO

WSEMI SWOIMI PROIZWODNYMI.

z A M E ^ A N I Q. 2. pROSTRANSTWO

D NETRIWIALXNO1

. nAPRIMER, W D

WHODIT FUNKCIQ '(x) =

(x)

exp

(x R) (!!).

(0;1)

f,x(1 , x)g

3. fUNKCII

( )

k'kk xsup2Rj'(k)(x)j

(k = 0; 1; 2; : : :)

QWLQ@TSQ POLUNORMAMI W D

I USLOWIE (B) P. 1 \KWIWALENTNO TOMU, ^TO

k'nkk ! 0 (n ! +1) PRI L@BOM k = 0; 1; 2; : : : .

4. pROSTRANSTWOM S (PROSTRANSTWOM BYSTRO UBYWA@]IH NA BESKO-

NE^NOSTI FUNKCIJ) NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO NE-

OGRANI^ENNOE ^ISLO RAZ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ ', ZADANNYH NA ^I-

SLOWOJ PRQMOJ I UDOWLETWORQ@]IH TREBOWANI@:

k'kk;m xsup(1R

+ jxjm)j'(k) (x)j < +1 (k; m = 0; 1; 2; : : :):

sHODIMOSTX W PROSTRANSTWE OPREDELENA USLOWIEM

ESLI

k'kk;m !

: 'n ,! ,

0 (n ! +1); k; m = 0; 1; 2; : : : .

5. z A M E ^ A N I E. sPRAWEDLIWO WKL@^ENIE D S, KOTOROE SOGLASU-

D S

ETSQ SO STRUKTURAMI SHODIMOSTI: 'n ,! ) 'n ,! .

u P R A V N E N I Q. 6. pOKAVITE, ^TO POLUNORMY ( ) W PROSTRANSTWE D QWLQ@TSQ NORMAMI.

7. pOKAVITE, ^TO IME@T MESTO WKL@^ENIQ S TOGO, ' 2 S WLE^ET• '(k) 2 R1 (R) \ R2(R) (k 2 N).

8. sHODIMOSTX W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH FUNKCIJ D I S, OPREDELENNAQ•

W PP. 1 I 4, ESTESTWENNO SWQZANA S PODHODQ]IMI TOPOLOGIQMI W \TIH PRO- STRANSTWAH. oPI[ITE BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI ' 2 D (SOOTWETSTWENNO

273

' 2 S ) W SOOTWETSTWU@]EJ TOPOLOGII PROSTRANSTWA D (SOOTWETSTWENNO

PROSTRANSTWA S ).

x171. lINEJNYE OTOBRAVENIQ W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH

FUNKCIJ

1. wS@DU NIVE ^EREZ O OBOZNA^AETSQ ODNO IZ PROSTRANSTW OSNOWNYH FUNKCIJ D ILI S. oTOBRAVENIE A : O ! O NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM,

O O

ESLI 'n ,! ' WLE^•ET A('n) ,! A(').

lINEJNOE OTOBRAVENIE A : O ! O NEPRERYWNO TTOGDA A NEPRERYWNO W TO^KE (!!). rASSMOTRIM OSNOWNYE PRIMERY LINEJNYH NEPRERYWNYH

OTOBRAVENIJ.

2. oPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ. oTOBRAVENIQ

D(N)(') '(N) (' 2 O; N 2 N)

\| NEPRERYWNYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ W PROSTRANSTWE O.
rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLU^AJ PROSTRANSTWA S. s U^ETOM•							170.3 IME-
EM		S				(N)
	'n	,!		) k'nkk;m	! 0 (k; m = 0; 1; 2; : : :) ) kD			'nkk;m =


k'nkk+N;m !				0 (n ! +1):	>

	rASSMOTRIM TEPERX OPERACI@ UMNOVENIQ NA FUNKCI@.
	3. pUSTX			: R ! R \| PROIZWOLXNAQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ
FUNKCIQ. oTOBRAVENIE T					: D ! D, ZADANNOE RAWENSTWOM (T ')(x)
(x)'(x); '			2 D, ESTX LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PROSTRAN-
STWA D (!!).
	~TOBY KORREKTNO OPREDELITX ANALOGI^NU@ OPERACI@ W PROSTRANSTWE

S NAM PONADOBITSQ NEKOTORAQ PODGOTOWKA.

4. bESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@ : R ! R NAZOWEM• FUNK-

CIEJ POLINOMIALXNOGO ROSTA, ESLI DLQ L@BOGO k = 0; 1; 2; : : : NAJDUTSQ m = m(k) 2 N I KONSTANTA C > 0 TAKIE, ^TO j (k) (x)j C(1+jxjm); x 2 R.

5. p R I M E R. wSQKIJ POLINOM QWLQETSQ FUNKCIEJ POLINOMIALXNOGO ROSTA.

dOSTATO^NO USTANOWITX OCENKU ja0 + a1x + : : : + anxnj C(1 + jxjn ). uTWERVDENIE WERNO PRI n = 0. pUSTX ONO WERNO DLQ POLINOMOW STEPENI

274

n ,

1: tOGDA DLQ p(x) = a0 + a1x + : : : + anxn IMEEM

p(x)

a0 + a1x + : : : + an

1xn,1

C (1 + x n,1)

j j

jj j

j j

+ janj(1 + jxj

) C1 (1 + jxj

);

GDE C1 = maxfjanj; 2Cg: >

6. pUSTX | FUNKCIQ POLINOMIALXNOGO ROSTA. tOGDA OTOBRAVENIE

(T ')(x)

(x)'(x); ' 2 S, QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRA-

VENIEM PROSTRANSTWA

pUSTX k; m | PROIZWOLXNYE NEOTRICATELXNYE CELYE ^ISLA. tOGDA PRI

PODHODQ]IH KONSTANTAH C1; C2 I CELYH mj

x m )( (x)'(x))(k)

= (1 + x m )

(j) (x)'(k,j)(x)

(1 +

j j

kj j

j jP=0 j

C1 j=0(1 + jxjm)(1 + jxjmj )j'(k,j) (x)j

P (1 +

m+mj )

'(k,j)(x)

j=0

j=0 k k

P ' k,j;m+mj :

•

pUSTX TEPERX

'n ,!

s U^ETOM DOKAZANNOGO NERAWENSTWA

kT ('n )kk;m

sup(1 + jxjm)j(

(x)'n (x))(k)j

x2Rk

j=0 k

k,j;m+mj

0 (n

+ ):

7. pREOBRAZOWANIE fURXE ]) | LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE,

BIEKTIWNO OTOBRAVA@]EE

S NA

pUSTX ' 2 S . tOGDA OPREDELENO EE• PREOBRAZOWANIE fURXE '](x) =

ixt

PRI^EM

]

NEPRERYWNAQ FUNKCIQ TAK KAK

p2 Z '(t)e,

2 R1

dt,

• '

(

( ),

SM. 170.7). pOKAVEM, ^TO '] 2 S. fORMALXNO DIFFERENCIRUQ POD ZNAKOM

INTEGRALA, IMEEM DLQ k 2 N:

(1)

'](k)(x) = Z

(t)e,ixt dt;

GDE

(t) =

(,it)k'(t):

275

w SILU P. 6 2 S, I ZNA^IT, 2 R1 (R), OTKUDA INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI

(1) SHODITSQ RAWNOMERNO, TAK ^TO RAWENSTWO (1) SPRAWEDLIWO. iTAK, OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW. pOSLEDOWATELXNO INTEGRIRUQ PO ^ASTQM W (1), IMEEM

'](k)(x) =

0(t)e,ixt dt = : : : =

(m)(t)e,ixt dt;

(ix)m

OTKUDA DLQ L@BYH k; m

(2)

k;m = sup(1 +

x m )

'](k)(x)

(t) dt +

Z j

(m) (t)

dt < +

j j j

j Z j

iTAK, '] 2 S. uSTANOWIM TEPERX, ^TO ]) | NEPRERYWNOE LINEJNOE OTO-

'n ,! ,

k'nkk;m

! 0 (n ! +1)

BRAVENIE

pUSTX

TO ESTX

DLQ L@BYH

k; m. tOGDA

(3)

k'n]kk;m Z j

n (t)j dt + Z j

n(m)(t)j dt;

GDE n(t) =

(,it)k'n (t). dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO INTEGRALY W PRA-

WOJ ^ASTI (3) STREMQTSQ K NUL@. dEJSTWITELXNO,

(m)

(t)j dt = Z j

(m)

Z j n

(t)j(1 + t

)1 + t2

k nkm;2 Z 1 + t2

! 0 (n ! +1):

oSTALOSX UBEDITXSQ W BIEKTIWNOSTI OTOBRAVENIQ ]). s U^ETOM•

168.6

'] = )

' = '][ = [ = , TO ESTX ]) IN_EKTIWNO. pUSTX ' 2 S PROIZ-

WOLXNO. pOLAGAQ

= '[, IMEEM

2 S; ' = ], TAK ^TO ]) S@R_EKTIWNO.

8. u P R A V N E N I E. pUSTX '0

2 S TAKOWA, ^TO '0(0) = 1. pOKAZATX,

^TO OTOBRAVENIE A0 : S ! S, ZADANNOE RAWENSTWOM

['(t) , '(0)'0(t)]; ESLI t 6= 0,

(A0

')(t) =

( '0 (0)

'(0)'0 (0);

ESLI t = 0,

QWLQETSQ LINEJNYM NEPRERYWNYM OTOBRAVENIEM. fuKAZANIE: POKAZATX SNA^ALA, ^TO ' 2 S ) A0' 2 S . dLQ PROWERKI NEPRERYWNOSTI DOSTATO^NO

276

POLU^ITX OCENKU WIDA kA0'kk;m C P k'kkj ;mj . pUSTX, NAPRIMER, k = 0.

j=1

zAFIKSIRUEM > 0. tOGDA PRI jtj :

(1 + jtjm)j 1t ['(t) , '(0)'0 (t)]j 1(k'k0;m + j'(0)jk'0k0;m) C1k'k0;m;

PRI jtj < :

(1 + jtjm)j	1	['(t) ,	'(0)'0 (t)]j = (1 + jtjm)j	1	['(t) , '(0)
	t			t
+			'(0)(1 , '0 (t))]j C2[k'k1;0 + k'k0;0];
TAK ^TO kA0'k0;m C(k'k0;m + k'k1;0 + k'k0;0). g

x172. oPREDELENIE OBOB]•ENNOJ FUNKCII

1. pUSTX O | PROSTRANSTWO OSNOWNYH FUNKCIJ. wS@DU NIVE O = D ILI S. oBOB]•ENNOJ FUNKCIEJ (NAD O) NAZYWAETSQ NEPRERYWNYJ LINEJ- NYJ FUNKCIONAL : O ! C . pRI \TOM NEPRERYWNOSTX ESTESTWENNO OZNA-

^AET, ^TO 'n ,! ) ('n ) ! 0.

nAM BUDET UDOBNO NESKOLXKO IZMENITX OBOZNA^ENIQ: WMESTO (') BUDEM PISATX h ; 'i. nA 1-M MESTE W FORME h ; i STAWITSQ OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ, A NA 2-M | OSNOWNAQ FUNKCIQ, ZNA^ENIE W KOTOROJ WY^ISLQETSQ. sOWO- KUPNOSTX WSEH OBOB]ENNYH• FUNKCIJ NAD O BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ O0.

w O0 ESTESTWENNO OPREDELQETSQ STRUKTURA KOMPLEKSNOGO WEKTORNOGO PRO- STRANSTWA:

h 1 + 2; 'i h 1; 'i + h 2; 'i; h ; 'i h ; 'i ( 2 C ):

zDESX 1-E RAWENSTWO OPREDELQET SUMMU 1 + 2 OBOB]•ENNYH FUNKCIJ, A 2-E | PROIZWEDENIE OBOB]ENNOJ• FUNKCII NA SKALQR .

	2.					.	S0 D0 . f			2 S0; 'n ,! ('n 2 D).
		z A M E ^ A N I E							pUSTX	D	w
		170.5 'n ,! ,						h ; 'ni ! 0. g
SILU			S		OTKUDA
Z	p R I M E R Y.			3. dLQ KAVDOJ FUNKCII f 2 R1loc RAWENSTWO hf; 'i
	f (x)'(x) dx (' 2 D) OPREDELQET OBOB]•ENNU@ FUNKCI@ hf; i NAD D.
	4. eSLI f		2 R1loc TAKOWA, ^TO PRI NEKOTOROM m 2 N SPRAWEDLIWA OCENKA
jf(x)j C(1 + jxjm) (x 2							R), TO RAWENSTWO			hf; 'i Z f(x)'(x) dx (' 2 S)
OPREDELQET OBOB]ENNU@•							FUNKCI@ NAD S.

277

5. rAWENSTWO h ; 'i '(0) (' 2 S ) OPREDELQET OBOB]•ENNU@ FUNK- CI@ NAD S ; ONA NAZYWAETSQ -FUNKCIEJ dIRAKA. -FUNKCIQ OBOZNA^AETSQ TAKVE SIMWOLOM (x), I UKAZANNOE WY[E RAWENSTWO ZAPISYWA@T W WI-

DE Z (x)'(x) dx = '(0): -FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ MATEMATI^ESKOE

WYRAVENIE PLOTNOSTI EDINI^NOJ MASSY, SOSREDOTO^ENNOJ W TO^KE x = 0. eSLI TAKAQ MASSA SOSREDOTO^ENA W TO^KE x = a, MY PRIHODIM K -FUNKCIIa (x , a), OPREDELQEMOJ RAWENSTWOM h a; 'i '(a) (' 2 S).

6. pUSTX f(x) = x1 (x 6= 0). pOLOVIM

(1)

hf; 'i =

v.p. Z

'(x)

dx (' 2 D):

62 R

oTMETIM, ^TO f

loc,

TAK ^TO SITUACIQ OTLI^NA OT RASSMOTRENNOJ

FUNKCI@ NAD D. fpRAWAQ

W P. 3. rAWENSTWO (1) OPREDELQET OBOB]ENNU@•

^ASTX (1) OPREDELENA W SILU PREDSTAWLENIQ

(2)

f; '

'(x) , '(0) dx +

v.p.

'(0) dx;

ESLI U^ESTX, ^TO INTEGRIROWANIE FAKTI^ESKI WED•ETSQ PO KOMPAKTNOMU

MNOVESTWU

NOSITEL@ FUNKCII

pUSTX TEPERX

I OTREZOK

[a; b] TAKOW, ^TO supp('n )

[a; b]; n

N. eSLI 0

[a; b], TO

b 'n (x)

jhf; 'nij

= jZa

dxj k'nk0j ln

j ! 0 (n ! +1):

eSLI 0 2 [a; b], TO IZ (2) IMEEM

b 'n(0)

f; 'n

jZa

v.p.

;

< 1:

( nx)dx +

iTAK, jhf; 'nij (b , a)k'nk1 + k'nk0 j v.p. Za

x j ! 0 (n ! +1).g

7. u P R A V N E N I E. pOKAZATX, ^TO FUNKCIONAL hf; i IZ P. 6 QWLQETSQ

OBOB]•ENNOJ FUNKCIEJ NAD S.

x173. sHODIMOSTX OBOB]•ENNYH FUNKCIJ

1. w WEKTORNOM PROSTRANSTWE O0

OBOB]ENNYH•

FUNKCIJ NAD OSNOW-

NYM PROSTRANSTWOM O WWODITSQ PONQTIE SHODIMOSTI: POSLEDOWATELXNOSTX

278

n 2

•

NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ K OBOB]ENNOJ FUNKCII

ESLI

k=1

lim n; '

; '

DLQ L@BOJ '

O. w SOOTWETSTWII S \TIM RQD

1 k

IZ OBOB]ENNYH FUNKCIJ

k 2

NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ K OBOB]ENNOJP

•

FUNKCII

ESLI K

SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX

kP=1 k

EGO ^AST

NYH SUMM. 2

2. p R I M E R. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX OBY^NYH FUNKCIJ

1=n

i 2 S

0. pRI \TOM DLQ L@BOJ

N). w SILU 172.4

fn;

(0;1=n)

2 S

hfn; 'i =

'(t)dt = '(

! '(0) (n ! +1) (0 < n < 1).

sLEDOWATELXNO

; i !

(n ! +1),

GDE

FUNKCIQ

, hfn

| -

x174. uMNOVENIE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ NA BESKONE^NO

DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII

1. pUSTX | PROIZWOLXNAQ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ I 2 D0. tOGDA RAWENSTWO

( )

h ; 'i h ; 'i

OPREDELQET OBOB]•ENNU@ FUNKCI@

NAD D.

'n ,!

171.3

h ; i

D (!!).

fUNKCIONAL

LINEEN NA

pUSTX

w SILU

; 'ni = h ; 'ni

= h ; T 'ni ! 0 (n

! +1):

aNALOGI^NO IMEET MESTO UTWERVDENIE

2. eSLI FUNKCIQ

POLINOMIALXNOGO ROSTA, TO RAWENSTWO ( ) OPRE-

DELQET OBOB]•ENNU@ FUNKCI@

NAD S (!!).

POLOVIM x

3. w ^ASTNOSTI, DLQ (x) x (x 2 R) I 2 S0

, TAK

^TO x 2 S0.

z A M E ^ A N I Q. 4. dANNOE WY[E OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OBY^NYM

UMNOVENIEM FUNKCIJ. nAPRIMER, ESLI

| BESKONE^NO DIFFERENCIRUE-

MAQ FUNKCIQ, TO

hf; i = h f; i;

f 2 R1loc .

5. pROIZWEDENIE OBOB]ENNOJ•

FUNKCII NA OBOB]ENNU@•

FUNKCI@ OPRE-

DELITX NEWOZMOVNO, ESLI TREBOWATX, ^TOBY \TA OPERACIQ BYLA NEPRERYW- NOJ I NA KLASSE OBY^NYH FUNKCIJ SOWPADALA BY S OBY^NYM UMNOVENIEM FUNKCIJ.

279

u P R A V N E N I Q. 6. nAJTI x.

7. nAJTI (x1)x, GDE x1 | OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ IZ 172.6. x175. dIFFERENCIROWANIE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ

1. pUSTX O = D ILI S. pROIZWODNOJ OBOB]ENNOJ• FUNKCII 2 O0 NAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ 0, OPREDELENNAQ• RAWENSTWOM

h 0; 'i ,h ; '0i; ' 2 O:

dANNOE OPREDELENIE KORREKTNO: 0 | LINEJNYJ FUNKCIONAL, EGO NE-

PRERYWNOSTX SLEDUET IZ 171.2. pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW: (n) ( (n,1))0 (n = 2; 3; : : :).

oPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ OBOB]ENNYH• FUNKCIJ SOGLASUETSQ S DIFFERENCIROWANIEM OBY^NYH FUNKCIJ.

2. pUSTX f 2 Rloc1 | GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [a; b] R. tOGDA DLQ OBOB]•ENNOJ FUNKCII hf; i 2 D0 IMEET MESTO RAWENSTWO hf; i0 = hf0; i.

pUSTX ' 2 D PROIZWOLXNA. oBOZNA^AQ ^EREZ hf; 'i0 ZNA^ENIE OBOB]ENNOJ• FUNKCII hf; i0 W TO^KE ', IMEEM

hf; 'i0 =	,hf; '0i = , Z f (x)'0(x) dx
	+1

		+ Z f0(x)'(x)dx = hf0; 'i: >
=	,f (x)'(x)j,1	+ Z f0(x)'(x)dx = hf0; 'i: >

3. z A M E ^ A N I E. oBRATIM WNIMANIE NA ZAME^ATELXNOE OBSTOQTELX- STWO: WSQKAQ OBOB]•ENNAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA (A ZNA^IT, OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW!). w ^ASTNOSTI, KAVDAQ FUNKCIQ f 2 Rloc1 , BUDU^I NE OBQZATELXNO DIFFERENCIRUEMOJ W OBY^NOM SMYSLE, KAK OB- OB]ENNAQ• FUNKCIQ UVE DIFFERENCIRUEMA I PRITOM SKOLXKO UGODNO RAZ.

4. pUSTX n

( n;

O0). tOGDA 0

0. eSLI =

n !

n=1

( n;

0),

TO ESTX SHODQ]IJSQ RQD IZ OBOB]ENNYH

•

n=1

FUNKCIJ MOVNO DIFFERENCIROWATXP

PO^LENNO.

n !

h n

i ,

n h

i ,h

dLQ

: lim 0

; ' =

lim n; '0 =

; '0

TO ESTX

0. 2-

UTWERVDENIE NEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ 1-GO. >

280

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5128 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб91Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx