А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
zAFIKSIRUEM TO^KU x0 2 I POLOVIM
( ) |
u(x) = Z |
ha; i (x 2 ); |
|
(x0;x) |
|
GDE (x0; x) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ, LEVA- ]AQ W I SOEDINQ@]AQ x0 S x (ONA WSEGDA SU]ESTWUET (!!)), ORIENTIROWAN- NAQ USLOWIEM, ^TO x0 | EE• NA^ALO. pOKAVEM, ^TO u(x) | POTENCIAL POLQ
a. uBEDIMSQ, NAPRIMER, ^TO @x@u1 (x) = a1(x) (x 2 ). pUSTX x POLU^AET MALOE SME]ENIE h PO 1-J KOORDINATE I h = [x; x+he1] | PRQMOLINEJNYJ
OTREZOK S KONCAMI W x I x +he1, ORIENTIROWANNYJ USLOWIEM, ^TO x | EGO NA^ALO. iZ NEZAWISIMOSTI INTEGRALA ( ) OT PUTI IMEEM
u(x + he1) , u(x) = |
|
Z |
|
|
|
, |
|
|
|
Z |
= |
|
Z |
|
|
, |
Z |
||||||||
|
|
|
(x0;x+he1) |
|
(x0;x) |
|
|
(x0;x)[ h |
|
(x0;x) |
|||||||||||||||
|
|
= |
|
Z |
|
+ Z |
, |
|
Z |
|
= |
Z |
|
|
ha; i: |
||||||||||
|
|
|
(x0;x) |
|
|
h |
|
|
(x0;x) [x0;x+he1] |
|
|
|
|
||||||||||||
pARAMETRIZUQ OTREZOK [x; x + he1] PARAMETROM t = x1 |
I ZAME^AQ, ^TO W |
||||||||||||||||||||||||
\TOM SLU^AE KASATELXNYJ WEKTOR |
= "e1 |
(" = sgn h), |
IMEEM S U^ETOM |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|||||||||||||||
TEOREMY O SREDNEM: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x1+h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x + he1) u(x) = 8 Zx1 1 |
|
a1(t; x2; : : : ; xn) dt; |
ESLI h > 0, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
> |
x |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x1+ha (t; x ; : : : ; x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
< |
)dt; |
|
ESLI h < 0, |
||||||||||||||||||||
|
|
>1Z |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
1): |
||||||||
|
|
= :a (x |
+ h; x |
; : : : ; x |
|
)h (0 |
|||||||||||||||||||
iZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII a1 IMEEM OTS@DA |
@u |
(x) = a1(x): |
|
> |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x182. rOTOR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. pUSTX a(x) (x |
2 R3 ) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE WEKTOR- |
||||||||||||||||||||||||
NOE POLE. rOTOROM |
POLQ a (OBOZNA^AETSQ rot a ) NAZYWAETSQ WEKTORNOE |
||||||||||||||||||||||||
POLE |
|
@a3 |
@a2 |
|
@a1 |
|
@a3 |
@a2 |
@a1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
rot a = (@x2 , |
@x3 ; |
|
@x3 , |
@x1 ; |
@x1 , |
@x2 ): |
|
|
|
||||||||||||||||
291
dLQ UDOBSTWA ZAPOMINANIQ UDOBNO PREDSTAWLENIE ROTORA W WIDE FOR- |
|||||||||||||||
MALXNOGO OPREDELITELQ (KAK \WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ" OPERATORA r = |
|||||||||||||||
( |
@ |
; |
@ |
; |
@ |
) NA WEKTOR a(x)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
@x |
@x |
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
e2 |
|
e3 |
|
|||
|
|
|
|
|
(rot a)(x) = (r a)(x) |
|
@ |
|
@ |
|
|
@ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
@x1 |
@x2 |
|
@x3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a1(x) a2(x) |
a3(x) |
|
||||||
GDE fe1; e2; e3g | STANDARTNYJ BAZIS W R3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. eSLI NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE WEKTORNOE POLE a POTENCI-
ALXNO W OBLASTI ( R3 ), TO rot a = 0. |
|
|
|
|
|
|||
pUSTX a = ru. tOGDA, NAPRIMER, |
|
|
|
|
|
|||
@a3 |
@a2 |
@2u(x) |
|
@2u(x) |
|
|
|
|
@x2 (x) , @x3 (x) = |
|
, |
|
= 0: |
|
> |
||
@x2@x3 |
@x3@x2 |
|||||||
|
||||||||
oBRATNOE UTWERVDENIE, WOOB]E, NEWERNO. oDNAKO, ONO SPRAWEDLIWO, KOGDA | PARALLELEPIPED.
3. eSLI a | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE WEKTORNOE POLE W = [ 1; 1] [ 2; 2] [ 3; 3], PRI^•EM rot a = 0 W , TO W POLE a POTEN- CIALXNO.
pOLOVIM DLQ (x1; x2; x3) 2
|
|
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
||
u(x1; x2; x3 ) = Z 1 a1( ; 2; 3 )d + Z 2 a2(x1; ; 3)d + Z 3 a3(x1; x2; )d : |
||||||||
tOGDA S U^•ETOM 134.1 IMEEM |
|
|
|
|||||
|
@u |
|
x2 |
x3 |
||||
|
(x) = a1(x1 |
; 2; 3 ) + Z 22 |
@a2 |
(x1 |
; ; 3 )d + Z 33 |
@a3 |
(x1; x2; )d |
|
|
@x1 |
@x1 |
@x1 |
|||||
|
|
|
x |
x |
||||
|
|
= a1(x1 |
; 2; 3 ) + Z 2 |
@a1 |
(x1 |
; ; 3 )d + Z 3 |
@a1 |
(x1; x2; )d |
|
|
@x2 |
@x3 |
|||||
(MY WOSPOLXZOWALISX USLOWIEM rot a = |
0). sLEDOWATELXNO, PO FORMULE |
|||||||
nX@TONA-lEJBNICA IMEEM |
|
|
|
|||||
@x@u1 (x) = a1 (x1; 2; 3 ) + a1(x1; x2; 3) , a1 (x1; 2; 3 ) + a1(x1; x2; x3) , a1 (x1; x2; 3 ) = a1(x):
292
aNALOGI^NO @x@u2 (x) = a2(x); @x@u3 (x) = a3(x): >
4. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE P. 3 OSTAETSQ• SPRAWEDLIWYM DLQ DOWOLXNO [IROKOGO KLASSA OBLASTEJ, TAK NAZYWAEMYH ODNOSWQZNYH. oB- LASTX R3 NAZYWAETSQ ODNOSWQZNOJ, ESLI (GRUBO GOWORQ) KAVDYJ ZA- MKNUTYJ KONTUR, LEVA]IJ W , MOVNO NEPRERYWNO STQNUTX W TO^KU TAK, ^TO PRI STQGIWANII KONTUR OSTAETSQ• W . mY NE DA•EM TO^NOGO OPREDELE- NIQ ODNOSWQZNOJ OBLASTI, OGRANI^IW[ISX SKAZANNYM I DWUMQ PRIMERA- MI: (A) OBLASTX, ZAKL@^ENNAQ• MEVDU DWUMQ KONCENTRI^ESKIMI SFERAMI, ODNOSWQZNA, (B) OBLASTX R3n(OSX OZ) NE ODNOSWQZNA.
x183. oRIENTACIQ PLOSKOJ OBLASTI
1.wWED•EM PONQTIE ORIENTACII PLOSKOJ OBLASTI, GRANICEJ KOTOROJ QW- LQETSQ KONE^NAQ SISTEMA ZAMKNUTYH KONTUROW. zAFIKSIRUEM W R2 PRQMO- UGOLXNU@ SISTEMU KOORDINAT I NAPRAWLENIE OBHODA EDINI^NOJ OKRUVNOS- TI S CENTROM W 0, PRI KOTOROM PROHODITSQ KRAT^AJ[IJ PUTX OT POLOVI- TELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI OX K POLOVITELXNOMU NAPRAWLENI@ OSI OY . eSLI PRI TAKOM OBHODE TO^KI WNUTRENNOSTI KRUGA OSTA@TSQ SLEWA (SO- OTWETSTWENNO SPRAWA), BUDEM GOWORITX ^TO NA PLOSKOSTI ZADANA POLOVI- TELXNAQ (SOOTWETSTWENNO OTRICATELXNAQ) ORIENTACIQ (SM. rIS. 24). w SO- OTWETSTWII S \TIM OBLASTX, GRANICEJ KOTOROJ QWLQETSQ KONE^NAQ SISTEMA ZAMKNUTYH KONTUROW, NAZYWAETSQ POLOVITELXNO ORIENTIROWANNOJ, ESLI ORIENTACIQ KONTUROW SOGLASOWANA S ORIENTACIEJ PLOSKOSTI, TO ESTX PRI POLOVITELXNOJ (SOOTWETSTWENNO OTRICATELXNOJ) ORIENTACII PRI DWIVE- NII WDOLX KONTUROW TO^KI OBLASTI OSTA@TSQ SLEWA (SOOTWETSTWENNO SPRA- WA). aNALOGI^NO OBLASTX OTRICATELXNO ORIENTIROWANA, ESLI PRI POLO- VITELXNOJ (SOOTWETSTWENNO OTRICATELXNOJ) ORIENTACII PRI DWIVENII WDOLX KONTUROW TO^KI OBLASTI OSTA@TSQ SPRAWA (SOOTWETSTWENNO SLEWA).
2.pRIWEDENNOE• OPREDELENIE ORIENTACII ^ISLOWOJ PLOSKOSTI MOVET POKAZATXSQ ISKUSSTWENNYM. kROME TOGO, NE SOWSEM QSNO, KAK EGO OBOB-
]ITX NA PROSTRANSTWA WYS[IH RAZMERNOSTEJ. pRIWEDEM• OB]EE OPREDE- LENIE ORIENTACII PROSTRANSTWA Rn , ^ASTNYM SLU^AEM KOTOROGO QWLQETSQ
RASSMOTRENNYJ PLOSKIJ SLU^AJ.
zADATX ORIENTACI@ W PROSTRANSTWE Rn | \TO, PO OPREDELENI@, UKA-
ZATX W \TOM PROSTRANSTWE UPORQDO^ENNYJ ORTONORMIROWANNYJ BAZIS fe1; : : : ; eng. eSLI W Rn ZADAN E]E• ODIN TAKOJ BAZIS ff1; : : : ; fng, TO OPRE-
293
DELENA MATRICA [aj ] PEREHODA OT 1-GO BAZISA KO 2-MU (f = |
n |
|
|
|
|
||||||||||
aje ; |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
i |
jP=1 i |
j |
|
||
j |
n). pRI \TOM det[ai ] = |
1. dWE ORIENTACII, ZADAWAEMYE BAZISAMI |
|||||||||||||
fe1; : : : ; eng |
I |
ff1; : : : ; fng, |
NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI ILI E]E GOWORQT |
|
|||||||||||
|
n |
|
( |
• |
j |
|
|
, |
|||||||
^TO \TI BAZISY ZADA@T W |
R |
ODINAKOWU@ ORIENTACI@), ESLI det[ai ] = 1. |
|||||||||||||
eSLI det[aij |
|
|
, |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
] = |
|
1; TO SOOTWETSTWU@]IE ORIENTACII NAZYWA@TSQ RAZLI^- |
|||||||||||||
NYMI. tAKIM OBRAZOM, W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE R IMEETSQ WSEGO DWE ORIENTACII (ILI 2 KLASSA ORIENTACIJ).
x184. fORMULA gRINA
1. oBLASTX R2 NAZOWEM• PRAWILXNOJ, ESLI \TO OBLASTX ODNOGO IZ SLEDU@]IH ^ETYREH• TIPOW: (1) OBLASTX WIDA, IZOBRAVENNOGO• NA rIS. 25, GDE '(x) | STROGO WOZRASTA@]AQ NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ;
(2){(4) POLU^A@TSQ IZ (1) POWOROTAMI SOOTWETSTWENNO NA UGLY 2; ; 32 .
2. [fORMULA gRINA]. pUSTX | PLOSKAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX S |
|||||||||
NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ POLOVITELXNO ORIENTIROWANNOJ GRANI- |
|||||||||
CEJ , I , = |
n |
|
|
\ |
|
|
; |
|
6 |
i=1 |
|
|
|
|
|||||
S |
i |
( i |
|
j |
= |
|
(i = j)), GDE i PRAWILXNY. pUSTX |
||
|
|
|
|
|
2 , ) | NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE |
||||
a(x; y) = (u(x; y); v(x; y)) ((x; y) |
|||||||||
WEKTORNOE POLE. tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|||
Z Z ( |
@x@v |
, @u@y )dxdy = Z |
u(x; y) dx + v(x; y) dy |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(GDE SPRAWA STOIT KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA).
pUSTX SNA^ALA OBLASTX SAMA QWLQETSQ PRAWILXNOJ, TO ESTX QWLQETSQ OBLASTX@ ODNOGO IZ TIPOW (1) { (4). pROWERKA FORMULY OSU]ESTWLQETSQ NEPOSREDSTWENNYM PROS^•ETOM. pROWERIM, NAPRIMER, FORMULU DLQ OBLAS- TI TIPA (1) (SM. rIS. 25). iMEEM
|
@u |
|
|
b |
'(x) |
||
Z Z (, |
) dxdy = |
,Za dxZ'(a) |
@u |
(x; y)dy |
|||
@y |
@y |
||||||
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ,Zb a [u(x; '(x)) , u(x; '(a)]dx |
|||||
= |
Za |
[u(x; '(a)) , u(x; '(x))]dx: |
|||||
294
s DRUGOJ STORONY, Z u(x; y)dx |
= Z |
+ Z |
+ Z . zDESX |
Z |
= 0, TAK KAK |
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
KASATELXNAQ K 2 ORTOGONALXNA OSI OX. u^ASTKI 1 ; 3 PARAMETRIZUEM PARAMETROM x (a x b). iMEEM
|
Z u(x; y) dx = |
Zabu(x; '(a))dx; Z u(x; y)dx |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
,,Z u(x; y)dx = ,Za u(x; '(x))dx: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
sLEDOWATELXNO, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
Z Z (,@u@y )dxdy = Za u(x; '(a))dx , Za u(x; '(x)) dx = Z |
u(x; y)dx: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@v |
|
|
|
|
|
|
|
|
aNALOGI^NO Z Z |
|
@x dxdy = Z |
v(x; y) dy, I FORMULA DOKAZANA. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w OB]EM SLU^AE, KOGDA RAZREZAETSQ NA PRAWILXNYE OBLASTI, OS- |
||||||||||
TAETSQ• ZAMETITX, ^TO DWOJNOJ INTEGRAL |
Z Z |
= |
P Z iZ |
. dLQ KAVDOGO KUSKA |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
Z Z |
= Z , GDE i |
| ORIENTIROWANNAQ GRANICA KUSKA i. nO SOSEDNIE KUSKI |
|||||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NA OB]EJ ^ASTI IH GRANIC INDUCIRU@T PROTIWOPOLOVNYE ORIENTACII I PRI SLOVENII KRIWOLINEJNYH INTEGRALOW W REZULXTATE OSTANETSQ TOLXKO INTEGRAL PO GRANICE OBLASTI : >
w KA^ESTWE SLEDSTWIQ OTMETIM FORMULU DLQ WY^ISLENIQ PLO]ADI PLOSKOJ OBLASTI ^EREZ KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL.
|
1 |
|
|
3. dLQ OBLASTI W USLOWIQH P. 2 m( ) = 2Z |
x dy , y dx. |
||
pOLOVIM W FORMULE gRINA u(x; y) = ,y; v(x; y) = x: > x185. gLADKIE POWERHNOSTI W R3
1. pUSTX ( R2) | OBLASTX W PROSTRANSTWE PARAMETROW. gLADKOJ POWERHNOSTX@ W R3 NAZYWAETSQ PARA f ; r : ,
(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) I
295
(A) = fr(u; v) : (u; v) 2 ,g ( R3 ),
(B) KOORDINATNYE FUNKCII x(u; v); y(u; v); z(u; v) GLADKIE W ,, PRI^EM•
(1) jJ(x(u; v); y(u; v))j2 + jJ (y(u; v); z(u; v))j2 |
|
|
|
|
+ |
J(z(u; v); x(u; v)) 2 |
= 0 ((u; v) |
2 |
). |
j |
j |
6 |
|
|
z A M E ^ A N I Q. 2. uDOBNO POLXZOWATXSQ WEKTORNOJ ZAPISX@, POLAGAQ r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k, GDE i; j; k | EDINI^NYE ORTY OSEJ OX; OY; OZ SOOTWETSTWENNO. w \TOM SLU^AE USLOWIE (B) P. 1 OZNA^AET, ^TO
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
r0 |
@x |
|
|
|
|
|
|
@z |
|
= 0; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@u |
|
@u |
|
@u |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
v |
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
@y |
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@v |
|
@v |
|
@v |
|
|
|
|
||||||
GDE OPREDELITELX W PRAWOJ ^ASTI |
\TOGO RAWENSTWA |
FORMALXNO RASKRYWA- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ETSQ PO PERWOJ STROKE. wEKTOR r0 |
|
r0 |
QWLQETSQ WEKTOROM NORMALI K DANNOJ |
||||||||||||||||||||||
POWERHNOSTI, I TREBOWANIQ, NALOVENNYE NA POWERHNOSTX, OZNA^A@T, ^TO |
|||||||||||||||||||||||||
POWERHNOSTX OBLADAET W KAVDOJ TO^KE NORMALX@. oTMETIM, ^TO |
|
|
|||||||||||||||||||||||
(2) |
k |
r0 |
r0 |
2 = |
j |
J(x(u; v); y(u; v)) 2 |
+ |
j |
J (y(u; v); z(u; v)) 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
u |
vk |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+jJ (z(u; v); x(u; v))j . |
||
3. eSLI (u0; v0) 2 , TO ODIN IZ OPREDELITELEJ W (1) OTLI^EN OT NULQ. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pUSTX |
, |
NAPRIMER |
, J (x(u0; v0 ); y(u0; v0)) = 0: |
tOGDA PO TEOREME O SU]ESTWO |
- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
WANII NEQWNOJ FUNKCII SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U (u0; v0) TAKAQ, ^TO URAWNENIQ x = x(u; v); y = y(u; v) W \TOJ OKRESTNOSTI RAZRE[IMY OTNOSITELXNO u; v : u = u(x; y); v = v(x; y). pODSTAWIW \TI WYRAVENIQ W URAWNENIE z = z(u; v), POLU^IM, ^TO NEKOTORYJ KUSOK s OPISYWAETSQ URAWNENIEM z = f (x; y), GDE f(x; y) = z(u(x; y); v(x; y)). iTAK, DLQ L@BOJ TO^KI
(u0; v0 ) 2 |
SU]ESTWUET NEKOTORAQ OKRESTNOSTX |
U (u0; v0) |
TAKAQ |
, |
^TO |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
SOOTWETSTWU@]IJ EJ KUSOK |
IMENNO |
s = fr(u; v) j |
(u; v) 2 |
U (u0; v0)g) |
|||||||
|
|
|
|
s ( |
|||||||
BIEKTIWNO OTOBRAVAETSQ NA ODNU IZ KOORDINATNYH PLOSKOSTEJ. |
|
|
|||||||||
|
4. gLADKIE POWERHNOSTI f ; r : , |
! R3g |
I f ; r : , ! |
R3g S^ITA- |
|||||||
@TSQ RAWNYMI, ESLI = I PARAMETRY u; v, |
OPREDELQ@]IE |
, SWQZANY |
|||||||||
S PARAMETRAMI ; , OPREDELQ@]IMI |
|
|
e e |
e |
|
|
|
||||
, DOPUSTIMYM OBRAZOM, TO ESTX |
|||||||||||
u = u( ; ); |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = v( ; ) (( ; ) 2 ,), PRI^EM• (A) \TO BIEKTIWNOE PRE- |
||||||||||
OBRAZOWANIE NA , (B) u( ; ); v( ; )eNEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMY I |
|||||||||||
j |
J (u; v) = 0: |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
j 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
296
5. p R I M E R. eDINI^NAQ SFERA S W R3 OPREDELQETSQ KOORDINATNYMI FUNKCIQMI
x |
= |
cos ' cos ; y = sin ' cos |
; |
z |
= |
sin (0 ' 2 ; , =2 |
=2) |
= f('; ) j 0 < ' < 2 ; , =2 < < =2g):
|TO | GLADKAQ POWERHNOSTX (!!).
x186. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 1-GO RODA
1. w x125 BYLA POLU^ENA FORMULA DLQ PLO]ADI GLADKOJ POWERHNOSTI W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH. aNALOGI^NAQ FORMULA MOVET BYTX WY- PISANA W SLU^AE OB]EGO ZADANIQ POWERHNOSTI. iMENNO, W OBOZNA^ENIQH 185.1{2 PLO]ADX S GLADKOJ POWERHNOSTI f ; r : , ! R3g RAWNA
|
|
Z Z k u |
vk |
|
(1) |
S = |
r0 |
r0 |
dudv: |
w SILU 185.3 NA[A POWERHNOSTX LOKALXNO MOVET BYTX PARAMETRIZOWANA PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI. pO\TOMU DOSTATO^NO DOKAZATX (1) DLQ KUSKA, DOPUSKA@]EGO TAKU@ PARAMETRIZACI@. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI• POWERHNOSTX PARAMETRIZOWANA KOORDINATAMI x; y. iMEEM (SM. x125)
S = Z Z [1 + (@z )2 + (@z )2]1=2 dxdy;
0 @x @y
GDE FUNKCII x = x(u; v); y = y(u; v) ((u; v) 2 ) ZADA@T DOPUSTIMOE PRE- OBRAZOWANIE PARAMETROW (u; v) 2 ! (x; y) 2 0. pOLXZUQSX FORMULOJ ZAMENY PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE, IMEEM
(2) |
S = Z Z [1 + (@x@z (u; v))2 + (@y@z (u; v))2 ]1=2jJ (u; v)j dudv: |
|||||||||||
pROIZWODNYE |
@z |
(u; v); |
@z |
(u; v) NAHODQTSQ IZ SISTEMY |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
@x |
|
@y |
|
|
|
|
|
|
||
|
@z |
@z @x |
@z @y |
@z |
@z |
@x |
@z @y |
|
||||
|
@u = |
@x @u + |
@y @u; |
@v |
= @x |
@v |
+ @y @v |
: |
||||
297
iMEEM |
|
|
|
|
|
@z |
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
@z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
J (z(u; v); y(u; v)); |
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
@u @u |
= |
||||||||||||||
|
|
@x |
|
J(u; v) |
@z |
|
|
@y |
|
|
|
J (u; v) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
@v |
@v |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
@z |
|
|
J(x(u; v); z(u; v)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
|
J(u; v) |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W (2) S U^ETOM• |
(2) x185, POLU^AEM (1)). |
|
> |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
2. pUSTX f ; r : , |
! R3g | GLADKAQ POWERHNOSTX I f : ! R | |
||||||||||||||||||||
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ. tOGDA INTEGRAL |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Z |
Z Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k u |
vk |
|
|
|
|||
(3) |
|
f |
|
|
f (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) |
r0 |
r0 |
dudv |
||||||||||||||
NAZYWAETSQ POWERHNOSTNYM INTEGRALOM 1-GO RODA OT FUNKCII f PO PO-
WERHNOSTI .
z A M E ^ A N I Q. 3. dANNOE OPREDELENIE KORREKTNO: WELI^INA (3) NE ZA- WISIT OT WYBORA DOPUSTIMOJ PARAMETRIZACII POWERHNOSTI (ISPOLXZUJTE DLQ \TOGO OBY^NU@ PROCEDURU ZAMENY PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE
(!!)).
4. eSLI POWERHNOSTX ZADANA W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT URAWNENIEM z = z(x; y) ((x; y) 2 ,), TO
|
|
|
Z |
|
Z Z |
|
@z 2 |
@z 2 1=2 |
|
|
|
|
f = |
f(x; y; z(x; y))[1 + (@x ) |
+ (@y ) ] |
dxdy: |
|||
|
x187. pOTOK WEKTORA ^EREZ ORIENTIROWANNU@ POWERHNOSTX |
||||||||
|
1. pUSTX |
f ; r : , |
! R3g | GLADKAQ POWERHNOSTX. iSPOLXZUQ WEK- |
||||||
TORNU@ ZAPISX, POLOVIM r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k. kAK UVE |
|||||||||
OTME^ALOSX (185.2), GLADKAQ POWERHNOSTX OBLADAET W KAVDOJ TO^KE NOR- |
|||||||||
MALX@ r0 |
|
r0 . nORMIRUQ \TOT WEKTOR, POLU^IM ORT NORMALI n(u; v) = |
|||||||
r0 |
r0 |
u |
v |
|
|
|
|
|
|
u |
rv0 |
|
. oTMETIM, ^TO NA SAMOM DELE MOVNO GOWORITX O DWUH NORMA- |
||||||
r0 |
|
||||||||
k u |
vk |
|
|
|
|
|
|
|
|
LQH n(u; v), KOTORYM SOOTWETSTWU@T DWE \STORONY" POWERHNOSTI. mOV- NO, ODNAKO, WSEGDA S^ITATX, ^TO WPEREDI STOIT ZNAK +, TAK KAK (ESLI \TO NEOBHODIMO) MOVNO POMENQTX MESTAMI PARAMETRY u; v.
298
gLADKAQ POWERHNOSTX f ; rg NAZYWAETSQ ORIENTIROWANNOJ, ESLI NA ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NORMALI n( ) : ! R3 . bUDEM PISATX (WMESTO ), ESLI POWERHNOSTX ORIENTIROWANA.
2. pUSTX G( R3) | OBLASTX, W KOTOROJ ZADANO NEPRERYWNOE WEKTORNOE POLE
a(x; y; z) = (x; y; z)i + (x; y; z)j + (x; y; z)k ((x; y; z) 2 G);
IW G LEVIT GLADKAQ ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX f ; rg, GDE r(u; v) = x(u; v)i + y(u; v)j + z(u; v)k, A n(u; v) | SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCIQ NOR- MALI. pOTOKOM WEKTORNOGO POLQ a ^EREZ POWERHNOSTX NAZYWAETSQ PO-
WERHNOSTNYJ INTEGRAL (1-GO RODA)
Z ha; ni = Z Z [ (x; y; z)J (y; z) + (x; y; z)J (z; x) + (x; y; z)J (x; y)] dudv
(ZDESX x; y; z | FUNKCII u; v). fIZI^ESKAQ INTERPRETACIQ: ESLI W G IMEET MESTO STACIONARNOE TE^ENIE VIDKOSTI, a(x; y; z) | EE• SKOROSTX W TO^KE (x; y; z), TO POTOK SKOROSTI ^EREZ POWERHNOSTX | KOLI^ESTWO VIDKOS- TI, PROHODQ]EE ^EREZ POWERHNOSTX ZA EDINICU WREMENI W NAPRAWLENII ORIENTACII .
x188. pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA
1. kAK OTME^ALOSX WY[E (183.2), W PROSTRANSTWE R3 IME@TSQ DWE ORI- ENTACII. nAZOW•EM ORIENTACI@, OPREDELQEMU@ UPORQDO^ENNYM BAZISOM i; j; k POLOVITELXNOJ (TERMINOLOGIQ USLOWNAQ), A ORIENTACI@, OPREDELQ- EMU@ BAZISOM j; i; k | OTRICATELXNOJ. pRI POLOVITELXNOJ ORIENTACII KRAT^AJ[IJ POWOROT OT OSI OX K OSI OY SOWER[AETSQ PO ^ASOWOJ STREL- KE, ESLI SMOTRETX WDOLX POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI OZ (rIS. 26). eSLI TEPERX ZADANA ORIENTIROWANNAQ POWERHNOSTX , TO MOVNO GOWORITX OB ORIENTACII KONTUROW, OGRANI^IWA@]IH \TU POWERHNOSTX ILI KAKU@- LIBO EE• ^ASTX. dEJSTWITELXNO, ESLI n0 | NORMALX K ^ASTI , WYREZAEMOJ [AROM MALOGO RADIUSA " S CENTROM W TO^KE (x0; y0; z0), TO KONTUR , OGRA- NI^IWA@]IJ \TOT KUSOK, DOLVEN PROBEGATXSQ PO ^ASOWOJ STRELKE (ESLI SMOTRETX WDOLX NORMALI n0 ) (rIS. 27).
2. rASSMOTRIM TEPERX ZADA^U WY^ISLENIQ POTOKA WEKTORA ^EREZ ORIEN- TIROWANNU@ POWERHNOSTX W DEKARTOWYH KOORDINATAH. pUSTX POWERHNOSTX
299
BIEKTIWNO PROEKTIRUETSQ NA KAVDU@ IZ TREH KOORDINATNYH PLOSKOS- TEJ, TO ESTX ONA OPISYWAETSQ L@BYM IZ TREH• URAWNENIJ:
|
x = f (y; z); (y; z) 2 x; x | |
PROEKCIQ |
|
NA PLOSKOSTX |
x = 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = g(z; x); (z; x) 2 y; y | |
PROEKCIQ |
|
NA PLOSKOSTX |
y = 0; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z = h(x; y); (x; y) 2 z; z | |
PROEKCIQ |
|
NA PLOSKOSTX |
z = 0: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
pUSTX | TA VE POWERHNOSTX S FIKSIROWANNOJ ORIENTACIEJ, A |
; ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y z |
| ORIENTIROWANNYE PROEKCII NA SOOTWETSTWU@]IE PLOSKOSTI (OBHOD |
||||||||||||
KONTURA NA |
|
OPREDELQET OBHODY NA EE PROEKCIQH |
x; y; z |
I TEM SAMYM |
||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
||
ZADAET• NA NIH ORIENTACII). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
pUSTX a | WEKTORNOE POLE WIDA a(x; y; z) = (x; y; z)k. pARAMETRIZO- |
|||||||||||
WAW PARAMETRAMI x I y, IMEEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( ) |
|
|
Z |
ha; ni = "Z Z (x; y; h(x; y)) dxdy; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
GDE " = +1, ESLI ORIENTACIQ SOGLASOWANA S POLOVITELXNOJ ORIENTACI- |
||||||||||||
|
|
|
|
z |
,1 | W PROTIWNOM SLU^AE. iNTEGRAL |
|||||||
EJ PLOSKOSTI XOY (SM. 183.1) I " = |
||||||||||||
W |
PRAWOJ |
|
^ASTI |
( ) NAZYWAETSQ POWERHNOSTNYM |
INTEGRALOM |
|||||||
2-GO RODA OT WEKTORNOGO POLQ a = k PO ORIENTIROWANNOJ POWERHNOSTI |
||||||||||||
|
I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Z (x; y; z)dxdy. pODOBNYM OBRAZOM OPREDE- |
|||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
||
LQ@TSQ INTEGRALY |
(x; y; z) dydz; |
|
(x; y; z)dzdx. tAKIM OBRAZOM, DLQ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OB]EGO WEKTORNOGO POLQ POLU^AEM WYRAVENIE POTOKA ^EREZ OB]IJ PO- WERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA:
Z ha; ni = Z (x; y; z)dydz + (x; y; z) dzdx + (x; y; z) dxdy:
x189. fORMULA gAUSSA-oSTROGRADSKOGO
1. pUSTX W OBLASTI G( R3 ), OGRANI^ENNOJ NEPRERYWNOJ KUSO^NO- GLADKOJ POWERHNOSTX@ , ZADANO WEKTORNOE POLE
a(x; y; z) = (x; y; z)i + (x; y; z)j + (x; y; z)k
300