А.Н.Шерстнев - Математический анализ

predislowie

pREDMETOM MATEMATI^ESKOGO ANALIZA QWLQETSQ IZU^ENIE FUNKCIJ S POMO]X@ PROCESSOW PREDELXNOGO PEREHODA. sMYSL \TOJ FRAZY STUDENTAM PRIHODITSQ POSTIGATX W TE^ENIE WSEGO PERIODA IZU^ENIQ KURSA.

w DANNOM U^EBNOM POSOBII REALIZOWANA IDEQ IZLOVENIQ KURSA MATE- MATI^ESKOGO ANALIZA (WKL@^AQ KURS FUNKCIONALXNOGO ANALIZA) W WIDE KOMPAKTNOGO POSOBIQ-KONSPEKTA, SODERVA]EGO, TEM NE MENEE, WESX IZLAGA- EMYJ NA LEKCIQH MATERIAL. uROWENX PODROBNOSTI DOKAZATELXSTW RASS^I- TAN NA STUDENTA, AKTIWNO RABOTA@]EGO NAD LEKCIQMI. oPU]ENA ^ASTX ILL@STRATIWNOGO MATERIALA (OPREDELQEMAQ WKUSOM LEKTORA).

tAKIM OBRAZOM, POSOBIE, NE ZAMENQQ SOBOJ OBSTOQTELXNYH U^EBNIKOW, MOVET BYTX POLEZNYM DLQ TEKU]IJ RABOTY NAD KURSOM I PRI PODGOTOWKE K \KZAMENAM. u^EBNOE POSOBIE NAPISANO NA OSNOWE LEKCIJ, NEODNOKRATNO ^ITANNYH AWTOROM DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW MEHANIKO-MATEMATI^ES- KOGO FAKULXTETA kAZANSKOGO UNIWERSITETA. oNO MOVET BYTX REKOMENDO- WANO STUDENTAM FIZIKO-MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW.

nESKOLXKO ZAME^ANIJ O STRUKTURE POSOBIQ. oSNOWNOJ TEKST RAZBIT NA RAZDELY (BEZ NUMERACII) I PARAGRAFY SO SKWOZNOJ NUMERACIEJ. kAV- DYJ PARAGRAF RAZBIT NA PUNKTY. cIFRY 16.2 OZNA^A@T SSYLKU NA x16, PUNKT 2. oSNOWNOMU TEKSTU PREDPOSLANA pROGRAMMA, KOTORAQ MOVET IS- POLXZOWATXSQ W KA^ESTWE PROGRAMMY \KZAMENA PO KURSU, ONA VE QWLQETSQ PODROBNYM OGLAWLENIEM kONSPEKTA. pOSLE OSNOWNOGO TEKSTA POME]ENY 4 PRILOVENIQ: 2-E NOSIT SPRAWO^NYJ HARAKTER, A OSTALXNYE MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY DLQ FAKULXTATIWNOJ RABOTY.

dANNOE, ^ETWERTOE• , IZDANIE NEZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ OT PREDYDU- ]EGO: NESKOLXKO RAS[IRENO PRILOVENIE 1, WNESENY IZMENENIQ W TRI PA- RAGRAFA, ISPRAWLENY OPE^ATKI.

pRIWED•EM PERE^ENX OB]IH DLQ WSEJ KNIGI SOGLA[ENIJ I OBOZNA^ENIJ. ~EREZ N; Z; Q; R; C OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNO MNOVESTWA NATURALXNYH, CELYH RACIONALXNYH, RACIONALXNYH, DEJSTWITELXNYH, KOMPLEKSNYH ^I- SEL. w ZAPISI WYSKAZYWANIJ ISPOLXZU@TSQ LOGI^ESKIE SIMWOLY:

3

9 | SU]ESTWUET,

8 | DLQ L@BOGO,

) | WLE^•ET.

pRIMENQ@TSQ TAKVE OBY^NYE TEORETIKO-MNOVESTWENNYE OBOZNA^ENIQ:

2; ; \; [; n. aBBREWIATURA \TTOGDA" OZNA^AET \TOGDA I TOLXKO TOGDA,

KOGDA" (LOGI^ESKIJ SIMWOL ,). zNAKI I > OZNA^A@T SOOTWETSTWEN-

NO NA^ALO I KONEC DOKAZATELXSTWA; ZNAK (!!) ZAMENQET FRAZU \UBEDITESX

W \TOM (PROWERXTE \TO) SAMOSTOQTELXNO". w TEKSTE INOGDA WSTRE^A@TSQ

OBRA]ENIQ K RISUNKAM. pO TEXNI^ESKIM PRI^INAM RISUNKI WYNESENY W

OTDELXNOE PRILOVENIE. nAPRIMER, W FAJLE Fig8 11.ps NAHODQTSQ RISUNKI

8{11.

literatura

zORI^ w. a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. w 2 ^. { m.: nAUKA, 1981 { 1984. { ~. I. { 543 c.; ~. II. { 640 S.

nIKOLXSKIJ s. m. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. w 2 T. { m.: nAUKA, 1973 { 1975. { t. 1. { 432 c.; t. 2. { 408 S.

kOLMOGOROW a. n., fOMIN s. w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIO- NALXNOGO ANALIZA. { m: nAUKA, 1976. { 543 S.

4

programma

ponqtie funkcii

oPREDELENIE FUNKCII. ~ISLOWYE FUNKCII I SPOSOBY IH ZADANIQ (x1,3). gRA- FIK FUNKCII (x3). oBRATNAQ FUNKCIQ. dOSTATO^NOE USLOWIE SU]ESTWOWANIQ OB- RATNOJ FUNKCII (x4). oPERACII NAD FUNKCIQMI: ARIFMETI^ESKIE OPERACII, SU- PERPOZICIQ (x5). bIEKCIQ. rAWNOMO]NYE MNOVESTWA, S^ETNYE• MNOVESTWA (x1).

dejstwitelxnye ~isla

aKSIOMATI^ESKOE OPREDELENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL. aKSIOMA NEPRERYWNOSTI (x6). gRANI OGRANI^ENNOGO ^ISLOWOGO MNOVESTWA. hARAKTERISTI^ESKOE SWOJST- WO WERHNEJ GRANI (x6). tOPOLOGIQ ^ISLOWOJ PRQMOJ (OKRESTNOSTI, OTKRYTYE I ZAMKNUTYE MNOVESTWA, IZOLIROWANNYE I PREDELXNYE TO^KI MNOVESTWA). tEO- REMA wEJER[TRASSA (x7). rAS[IRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ (x8).

predel ~islowoj posledowatelxnosti

pOSLEDOWATELXNOSTX. pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (x2,9). pODPOSLEDO- WATELXNOSTX ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (x9). |LEMENTARNYE SWOJSTWA PRE- DELA (EDINSTWENNOSTX PREDELA, OGRANI^ENNOSTX SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOS- TI, ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA, SWOJSTWO ZAVATOJ POSLEDOWATELXNOSTI) (x10). oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI (SU]ESTWOWANIE SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTI U OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, SHODIMOSTX MONO- TONNOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, LEMMA O WLOVENNYH OTREZKAH). fUN- DAMENTALXNYE POSLEDOWATELXNOSTI. kRITERIJ kO[I SU]ESTWOWANIQ PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI (x11). pREDELY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ. wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY POSLEDOWATELXNOSTI I IH SWOJSTWA (x12).

~islowye rqdy

~ISLOWOJ RQD I EGO SUMMA. kRITERIJ SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNOGO RQDA. kRI- TERIJ kO[I SHODIMOSTI RQDA (x13). pRIZNAKI SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNYH RQDOW (PRIZNAKI SRAWNENIQ, dALAMBERA, kO[I) (x14). aBSOL@TNO SHODQ]IE- SQ RQDY I IH OSNOWNOE SWOJSTWO (x15). rQD lEJBNICA (x13). dWOJNYE RQDY. pEREMNOVENIE ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW (x16). pOWTORNYE RQDY (x17).

predel i neprerywnostx funkcij

oPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE (x18). oDNOSTORONNIE PREDELY, PREDE- LY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ (x20). sWOJSTWA PREDELA FUNKCII W TO^KE. kRITERIJ kO[I SU]ESTWOWANIQ PREDELA (x19). ~ISLO \e" (x11,20). aSIMPTOTI- KA. |KWIWALENTNYE FUNKCII I IH SWOJSTWA. zAME^ATELXNYE \KWIWALENTNOSTI (x21). nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE. oSNOWNYE SWOJSTWA FUNKCII, NEPRE- RYWNOJ W TO^KE (OGRANI^ENNOSTX W OKRESTNOSTI, SOHRANENIE ZNAKA, ARIFME- TI^ESKIE SWOJSTWA, NEPRERYWNOSTX SUPERPOZICII) (x22). tO^KI RAZRYWA (x23).

5

sWOJSTWA FUNKCIJ NEPRERYWNYH NA OTREZKE (OGRANI^ENNOSTX, DOSTIVENIE GRA- NEJ, USLOWIE OBRA]ENIQ W NULX W PROMEVUTO^NOJ TO^KE OTREZKA, RAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX) (x24). tEOREMA O PRODOLVENII PO NEPRERYWNOSTI (x25). nEPRE- RYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII (x26). wAVNEJ[IE \LEMENTARNYE FUNKCII (POKA- ZATELXNAQ, LOGARIFMI^ESKAQ, STEPENNAQ, GIPERBOLI^ESKIE) (x27).

differencirowanie

kASATELXNAQ K KRIWOJ. mGNOWENNAQ SKOROSTX (x28). pROIZWODNAQ FUNKCII W TO^KE. kASATELXNOE OTOBRAVENIE I DIFFERENCIAL FUNKCII. oDNOSTORON- NIE PROIZWODNYE (x29). tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ (ARIFMETI^ESKIE SWOJST- WA, DIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII, DIFFERENCIROWANIE OBRATNOJ FUNKCII, TABLICA PROIZWODNYH) (x30). pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQD- KOW. fORMULA lEJBNICA (x31). oSNOWNYE TEOREMY DIFFERENCIALXNOGO IS^IS- LENIQ (TEOREMY rOLLQ, kO[I, FORMULA lAGRANVA) (x32).

priloveniq ponqtiq proizwodnoj.

pRAWILO lOPITALQ (x33). fORMULA tEJLORA S OSTATKOM W FORME lAGRAN- VA (x34). lOKALXNAQ FORMULA tEJLORA. eDINSTWENNOSTX RAZLOVENIQ FUNK- CII S OSTATKOM W FORME pEANO (x35). rQD tEJLORA. rQDY tEJLORA OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ (x36). aNALITI^ESKIE FUNKCII (x37). wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCIJ NA OTREZKE (x38). lOKALXNYJ \KSTREMUM (x39). wYPUKLYE FUNKCII. wYPUKLOSTX FUNKCII W TO^KE. tO^KI PEREGIBA (x40). nERAWENSTWA g•ELXDERA, mINKOWSKOGO, kO[I-bUNQKOWSKOGO, {WARCA (x41).

•

perwoobraznaq i neopredelennyj integral

pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDEL•ENNYJ INTEGRAL OT NEPRERYWNOJ FUNKCII (x42). sWOJSTWA NEOPREDEL•ENNOGO INTEGRALA (INTEGRIROWANIE PO ^ASTQM, ZAMENA PERE- MENNOJ). tABLICA PERWOOBRAZNYH OT NEKOTORYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ (x43). pREDSTAWLENIE RACIONALXNOJ FUNKCII W WIDE SUMMY \LEMENTARNYH RACIO- NALXNYH DROBEJ (x44). iNTEGRIROWANIE RACIONALXNYH FUNKCIJ (x43,44).

integral rimana

oPREDELENIQ INTEGRALA rIMANA. nEOBHODIMOE USLOWIE INTEGRIRUEMOSTI (x46). mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX NA ^ISLOWOJ PRQMOJ I IH SWOJSTWA (x47). tE- OREMA lEBEGA (FORMULIROWKA). iNTEGRIRUEMOSTX MONOTONNOJ FUNKCII (x48). sWOJSTWA INTEGRALA rIMANA (LINEJNOSTX, INTEGRIRUEMOSTX PROIZWEDENIQ IN- TEGRIRUEMYH FUNKCIJ, INTEGRIRUEMOSTX MODULQ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII, AD- DITIWNOSTX INTEGRALA KAK FUNKCII OTREZKA) (x49). sWOJSTWA INTEGRALA, SWQ- ZANNYE S NERAWENSTWAMI. tEOREMA O SREDNEM (x50). iNTEGRAL KAK FUNKCIQ SWOE- GO WERHNEGO PREDELA (x51). tEOREMA O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ DLQ NEPRE- RYWNOJ FUNKCII (x51). fORMULA nX@TONA-lEJBNICA (x52). oBOB]•ENNAQ FOR- MULA nX@TONA-lEJBNICA (x53). fORMULY INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM I ZAMENY

6

PEREMENNOJ W INTEGRALE rIMANA (x54). wERHNIJ I NIVNIJ INTEGRALY dARBU (x55). kRITERIJ dARBU INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII. iNTEGRIRUEMOSTX NEPRE- RYWNOJ FUNKCII (x56). o PRIBLIV•ENNOM WY^ISLENII INTEGRALOW (FORMULY PRQMOUGOLXNIKOW, TRAPECIJ, sIMPSONA) (x57).

nekotorye priloveniq integrala rimana

fORMULA tEJLORA S OSTATKOM W INTEGRALXNOJ FORME (x58). iNTEGRALXNYJ PRIZNAK SHODIMOSTI ^ISLOWOGO RQDA (x59). lOGARIFMI^ESKAQ I POKAZATELX- NAQ FUNKCII (x61). gEOMETRI^ESKIE PRILOVENIQ: PLO]ADX PLOSKOJ FIGURY (x45,60), DLINA KRIWOJ (x60,83), PLO]ADX POWERHNOSTI WRA]ENIQ (x60).

otobraveniq w ewklidowyh prostranstwah

pONQTIE WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. eWKLIDOWO PROSTRANSTWO (x62). tOPOLOGIQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. rAS[IRENNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO (x63). kOM- PAKTNYE MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. nEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KOMPAKTNOSTI MNOVESTWA. tEOREMA wEJER[TRASSA (x64). tIPY OTOBRA- VENIJ W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH. pREDEL WEKTORNOJ POSLEDOWATELXNOSTI I EGO SWOJSTWA (x65). pREDEL FUNKCII W TO^KE (x66). sWOJSTWA PREDELA (ARIFME- TI^ESKIE SWOJSTWA, ANALOG SWOJSTWA SOHRANENIQ ZNAKA, KRITERIJ kO[I) (x67). pREDEL PO NAPRAWLENI@ (x68). nEPRERYWNYE FUNKCII I IH LOKALXNYE SWOJSTWA (x69). sWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYH MNOVESTWAH (x70).

linejnye otobraveniq

lINEJNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW. wEKTORNOE PROSTRANSTWO WSEH LINEJNYH OTOBRAVENIJ IZ ODNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA W DRUGOE (x71). mATRI^NOE PREDSTAWLENIE LINEJNOGO OTOBRAVENIQ EWKLIDOWYH PROSTRANSTW (x72). oBRATIMYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ (x73). oPERATORNAQ I EWKLIDOWA NOR- MY LINEJNOGO OTOBRAVENIQ (x74).

differencirowanie otobravenij

kASATELXNOE OTOBRAVENIE W TO^KE. dIFFERENCIAL FUNKCII W TO^KE. sWOJST- WA KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ. dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII OTOBRAVE- NIJ (x75). ~ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH I IH GEO- METRI^ESKIJ SMYSL (x76). mATRICA qKOBI KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ. fOR- MULA POLNOJ PROIZWODNOJ. aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PROIZWODNOJ DLQ FUNK- CIJ NESKOLXKIH PEREMENNYH (x77). uSLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI OTOBRAVE- NIJ (x78). kASATELXNAQ PLOSKOSTX (x79). nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYE OTO- BRAVENIQ. pROIZWODNAQ FUNKCII W OBLASTI (x80). iNTEGRAL OT NEPRERYWNOJ WEKTOR-FUNKCII (x81). oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA (x82). nEOBHODIMOE USLO- WIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA (x84). tEOREMA O DIFFERENCIROWANII OBRATNOJ FUNKCII (x85). ~ASTNYE PROIZWODNYE WYS[IH PORQDKOW. nEZAWISIMOSTX OT

7

PORQDKA DIFFERENCIROWANIQ (x86). fORMULA tEJLORA DLQ FUNKCIJ NESKOLX- KIH PEREMENNYH S OSTATKAMI W FORMAH lAGRANVA I pEANO (x87). lOKALXNYJ \KSTREMUM FUNKCII (x88). tEOREMA O SU]ESTWOWANII NEQWNOJ FUNKCII (x89). lOKALXNYJ OTNOSITELXNYJ \KSTREMUM FUNKCII (x90). mETOD lAGRANVA ISSLE- DOWANIQ FUNKCII NA OTNOSITELXNYJ LOKALXNYJ \KSTREMUM (x91).

|lementy ob}ej topologii

oTNO[ENIQ W MNOVESTWE. oTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI, PORQDKA, NAPRAWLEN- NOSTI (PRIL. I, x101). pRINCIP WYBORA. aKSIOMA cERMELO. pRINCIP TRANSFI- NITNOJ INDUKCII. iNDUKTIWNYE MNOVESTWA. tEOREMA cORNA (PRIL. III). oT- KRYTYE MNOVESTWA W METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH I IH SWOJSTWA (x92). tOPOLO- GI^ESKOE PROSTRANSTWO (x93). oKRESTNOSTX TO^KI W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRAN- STWE. oPREDELENIE TOPOLOGII POSREDSTWOM SEMEJSTW OKRESTNOSTEJ. sRAWNENIE TOPOLOGIJ (x94). rABO^IE PONQTIQ (ZAMKNUTYE MNOVESTWA, WNUTRENNIE TO^KI I WNUTRENNOSTX MNOVESTWA, PREDELXNYE I GRANI^NYE TO^KI MNOVESTWA) (x95). nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ (x96). gOMEOMORFNYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANST- WA. tOPOLOGI^ESKIE SWOJSTWA. lOKALXNYJ GOMEOMORFIZM (x97). pERESE^ENIE TOPOLOGIJ. tOPOLOGIQ, POROVDENNAQ SEMEJSTWOM MNOVESTW. sISTEMA OBRAZU- @]IH I BAZA TOPOLOGII (x98). pROOBRAZ TOPOLOGII OTNOSITELXNO SEMEJSTWA OTOBRAVENIJ. iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ. pROIZWEDENIE TOPOLOGI^ESKIH PRO- STRANSTW (x99). fINALXNAQ TOPOLOGIQ. fAKTOR-TOPOLOGIQ (x100). sHODIMOSTX SETEJ W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA S 1-J AKSIOMOJ S^•ETNOSTI (x101). oTDELIMYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA (x102). pREDEL OTOBRAVENIQ W TO^KE (x103). rEGULQRNYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANST- WA. pRODOLVENIE OTOBRAVENIQ PO NEPRERYWNOSTI (x104). kOMPAKTNYE TOPOLO- GI^ESKIE PROSTRANSTWA (x105). nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ KOMPAKTNYH PRO- STRANSTW (x106). tEOREMA tIHONOWA O PROIZWEDENII KOMPAKTNYH PROSTRANSTW (x107). lOKALXNO KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA. pOGRUVENIE LOKALXNO KOMPAKT- NOGO PROSTRANSTWA W KOMPAKTNOE (x108). sWQZNYE I LINEJNO SWQZNYE TOPOLO- GI^ESKIE PROSTRANSTWA (x109, 110).

mera vordana

|LEMENTARNYE MNOVESTWA (x111). mERA NA KLASSE \LEMENTARNYH MNOVESTW (x112). sWOJSTWO S^•ETNOJ ADDITIWNOSTI MERY (x113). iZMERIMYE PO vORDANU MNOVESTWA. mNOVESTWA VORDANOWOJ MERY NULX I MNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX (x114). kRITERIJ IZMERIMOSTI MNOVESTWA PO vORDANU (x115). sWOJSTWA IZMERIMYH PO vORDANU MNOVESTW (x116).

kratnye integraly rimana

oPREDELENIE KRATNOGO INTEGRALA (x117). sWQZX MEVDU INTEGRIRUEMOSTX@ FUNK- CII I EE• OGRANI^ENNOSTX@ (x118). kRITERIJ INTEGRIRUEMOSTI dARBU. iNTEG-

8

RIRUEMOSTX NEPRERYWNOJ FUNKCII (x119). kOLEBANIE FUNKCII W TO^KE (x120). tEOREMA lEBEGA (x121). sWOJSTWA KRATNOGO INTEGRALA (INTEGRIROWANIE PO ZA- MYKANI@ OBLASTI, ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA, ADDITIWNOSTX INTEGRALA KAK FUNKCII OBLASTI, TEOREMA O SREDNEM) (x122). sWQZX KRATNOGO INTEGRALA S PO- WTORNYM (x123). zAMENA PEREMENNYH W KRATNOM INTEGRALE (x124). pLO]ADX POWERHNOSTI (x125,186).

nesobstwennye integraly

iNTEGRAL S OSOBENNOSTX@ W ODNOM IZ KONCOW (x126). nESOBSTWENNYJ INTEGRAL (OB]IJ SLU^AJ). iNTEGRAL W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ (x131). sWOJSTWA INTEG- RALA S OSOBENNOSTX@. fORMULA nX@TONA-lEJBNICA DLQ NESOBSTWENNYH INTEG- RALOW (x127). pRIZNAKI SHODIMOSTI (KRITERIJ kO[I, SHODIMOSTX INTEGRALOW OT NEOTRICATELXNYH FUNKCIJ) (x127,128). sWQZX NESOBSTWENNYH INTEGRALOW S RQDAMI (x129). aBSOL@TNO SHODQ]IESQ NESOBSTWENNYE INTEGRALY (x130). pRI- ZNAKI SHODIMOSTI dIRIHLE I aBELQ (x130). kRATNYE NESOBSTWENNYE INTEGRALY

(x132).

integraly, zawisq}ie ot parametra

sOBSTWENNYE INTEGRALY, ZAWISQ]IE OT PARAMETRA. sWOJSTWO NEPRERYWNOSTI INTEGRALA PO PARAMETRU (x133). iNTEGRIROWANIE I DIFFERENCIROWANIE SOBST- WENNYH INTEGRALOW PO PARAMETRU (x133, 134). rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX NESOB- STWENNYH INTEGRALOW, ZAWISQ]IH OT PARAMETRA. pRIZNAKI RAWNOMERNOJ SHO- DIMOSTI (x135). nEPRERYWNOSTX NESOBSTWENNOGO INTEGRALA PO PARAMETRU. iN- TEGRIROWANIE I DIFFERENCIROWANIE NESOBSTWENNYH INTEGRALOW PO PARAMETRU (x136). b\TA-FUNKCIQ |JLERA. gAMMA-FUNKCIQ |JLERA (x137).

posledowatelxnosti i rqdy funkcij

rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI FUNKCIJ (x138). pREDEL RAWNO- MERNO SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI NEPRERYWNYH FUNKCIJ (x139). rAWNO- MERNAQ SHODIMOSTX RQDOW FUNKCIJ. kRITERIJ kO[I RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDA (x140). pRIZNAKI RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI RQDOW (wEJER[TRASSA, dIRIH- LE, aBELQ) (x140,141). pO^LENNOE INTEGRIROWANIE I DIFFERENCIROWANIE RAW- NOMERNO SHODQ]IHSQ RQDOW. dZETA-FUNKCIQ rIMANA (x142). sTEPENNYE RQDY W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI. 1-Q TEOREMA aBELQ. rADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA (x143). fORMULA kO[I-aDAMARA (x144). dIFFERENCIROWANIE STEPENNOGO RQDA (x145). aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ. |KSPONENTA (x146). wE]ESTWENNYE STE- PENNYE RQDY. 2-Q TEOREMA aBELQ. iNTEGRIROWANIE WE]ESTWENNYH STEPENNYH RQDOW (x147).

9

wektornye prostranstwa funkcij. rqdy i integraly furxe

nORMIROWANNYE I BANAHOWY PROSTRANSTWA (x148). bANAHOWO PROSTRANSTWO WSEH OGRANI^ENNYH ^ISLOWYH FUNKCIJ. bANAHOWY PROSTRANSTWA NEPRERYWNYH FUNK- CIJ (x149). fAKTORIZACIQ. pROSTRANSTWO R1( ) (x150). uNITARNYE PROSTRAN- STWA. nERAWENSTWA kO[I-bUNQKOWSKOGO I {WARCA (x152). pROSTRANSTWO R2( ) (x153). tEOREMY O PLOTNOSTI (x151,153). gILXBERTOWO PROSTRANSTWO. pROSTRAN- STWO `2 (x154). pOLNYE I ZAMKNUTYE ORTONORMIROWANNYE SISTEMY WEKTOROW W UNITARNOM PROSTRANSTWE. rQD fURXE PO ORTONORMIROWANNOJ SISTEME. nERAWEN-

(x156). tRIGONOMETRI^ESKIJ RQD fURXE (x157). oSCILLQCIONNAQ LEMMA (x158). oCENKA OSTATKA RQDA fURXE (x159). kLASS FUNKCIJ Lip . uSLOWIE RAWNOMER- NOJ SHODIMOSTI TRIGONOMETRI^ESKOGO RQDA fURXE (x160). pOLNOTA TRIGONOMET- RI^ESKOJ SISTEMY FUNKCIJ (x161). pOLINOMY ~EBY[EWA. pOLNOTA SISTEMY POLINOMOW (x162). kOMPLEKSNAQ FORMA RQDA fURXE (x163). pO^LENNOE DIFFE- RENCIROWANIE I INTEGRIROWANIE RQDA fURXE (x164). pROSTOJ INTEGRAL fURXE (x166). tEOREMA O SHODIMOSTI INTEGRALA fURXE (x167). pREOBRAZOWANIE fURXE I EGO SWOJSTWA. pROIZWODNAQ I PREOBRAZOWANIE fURXE (x168).

•

|lementy teorii obob}ennyh funkcij

pROSTRANSTWA OSNOWNYH FUNKCIJ D I S (x170). nEPRERYWNYE LINEJNYE OTO- BRAVENIQ W PROSTRANSTWAH OSNOWNYH FUNKCIJ (DIFFERENCIROWANIE, UMNOVE- NIE NA BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@, PREOBRAZOWANIE fURXE W PRO- STRANSTWE S) (x171). pROSTRANSTWA D0 I S0 OBOB]•ENNYH FUNKCIJ. pRIMERY OBOB]•ENNYH FUNKCIJ, -FUNKCIQ (x172). sHODIMOSTX OBOB]•ENNYH FUNKCIJ (x173). dEJSTWIQ NAD OBOB]•ENNYMI FUNKCIQMI (x174, 175). pREOBRAZOWANIE fURXE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ IZ S0 (x176). pROSTEJ[IE DIFFERENCIALXNYE URAW- NENIQ W KLASSE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ (x177).

|lementy integrirowaniq po mnogoobraziqm

gLADKIE KRIWYE. pARAMETRIZACIQ GLADKOJ KRIWOJ. nATURALXNAQ PARAMETRI- ZACIQ (x178). kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODA (x179). rABOTA WEKTORNOGO POLQ. oRIENTACIQ GLADKOJ KRIWOJ. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA (x180). gRADIENT. pOTENCIALXNOE WEKTORNOE POLE. uSLOWIE POTENCIALXNOSTI POLQ W TERMINAH KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA (x181). rOTOR. uSLOWIE POTENCIALXNOSTI POLQ W TERMINAH ROTORA (x182). oRIENTACIQ PLOSKOJ OBLASTI (x183). fORMU- LA gRINA (x184). gLADKIE POWERHNOSTI W R3 (x185). pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 1-GO RODA (x186). pOTOK WEKTORA ^EREZ ORIENTIROWANNU@ POWERHNOSTX (x187). pOWERHNOSTNYJ INTEGRAL 2-GO RODA (x188). fORMULA gAUSSA-oSTROGRADSKOGO. dIWERGENCIQ I E•E FIZI^ESKIJ SMYSL (x189). fORMULA sTOKSA (x190).

10