А.Н.Шерстнев - Математический анализ

integral rimana

x45. zADA^I, PRIWODQ]IE K PONQTI@ INTEGRALA rIMANA

1. wY^ISLENIE PLO]ADI KRIWOLINEJNOJ TRAPECII. oSTAWLQQ NA BU-

DU]EE TO^NOE OPREDELENIE PLO]ADI PLOSKOJ FIGURY, BUDEM ORIENTIRO- WATXSQ POKA NA INTUITIWNYJ SMYSL \TOGO PONQTIQ. pRIBLIV•ENNOE ZNA^E- NIE PLO]ADI FIGURY, OGRANI^ENNOJ SNIZU OSX@ Ox, SWERHU | GRAFIKOM FUNKCII y = f (x), A S BOKOW | WERTIKALXNYMI PRQMYMI x = a; x = b

(rIS. 13),pAWNO

n

X f ( j )(xj , xj,1 ); j 2 [xj,1; xj ]:

j=1

eSTESTWENNO OPREDELITX TO^NOE ZNA^ENIE PLO]ADI \TOJ FIGURY KAK PRE- DEL (ESLI ON SU]ESTWUET)

nUVNO POTREBOWATX E]•E, ^TOBY \TOT PREDEL NE ZAWISEL NI OT WYBORA PROMEVUTO^NYH TO^EK j, NI OT SPOSOBA DROBLENIQ OTREZKA [a; b].

2. oPREDELENIE PUTI DWIVU]EJSQ MATERIALXNOJ TO^KI. pUSTX MATE-

RIALXNAQ TO^KA SOWER[AET PRQMOLINEJNOE DWIVENIE S PEREMENNOJ MGNO- WENNOJ SKOROSTX@ v(t). tREBUETSQ NAJTI PUTX, PROJDENNYJ TO^KOJ ZA WREMQ a t b. pUSTX FUNKCIQ v(t) NEPRERYWNA. dLQ RE[ENIQ ZA- DA^I RAZLOVIM PROMEVUTOK IZMENENIQ WREMENI NA MALYE PROMEVUTKI

[t0; t1]; : : : ; [tn,1; tn](a = t0 < t1 < : : : < tn = b). wYBRAW W j-M PROME-

VUTKE TO^KU j , MOVNO S^ITATX (W SILU NEPRERYWNOSTI v(t)), ^TO SKO- ROSTX MATERIALXNOJ TO^KI NA U^ASTKE WREMENI tj,1 t tj PRIBLIVENNO• POSTOQNNA I RAWNA v( j ), TAK ^TO PUTX, PROJDENNYJ ZA \TO WREMQ, PRI- BLIV•ENNO RAWEN v( j )(tj , tj,1). sLEDOWATELXNO, SUMMARNYJ PUTX ZA WRE-

n

MQ a t b RAWEN P v( j )(tj , tj,1 ). |TO PRIBLIVENNOE• ZNA^ENIE TEM

j=1

TO^NEE, ^EM MENX[E POGRE[NOSTX PRI ZAMENE PEREMENNOJ SKOROSTI NA PO- STOQNNU@ NA KAVDOM IZ U^ASTKOW [tj,1; tj] . eSTESTWENNO OVIDATX, ^TO

81

n

TO^NOE ZNA^ENIE PUTI POLU^ITSQ KAK PREDEL lim P v( j )(tj , tj,1), KOGDA

n j=1

max (tj , tj,1 ) ! 0 (n ! 1).

1 j n

x46. oPREDELENIE INTEGRALA rIMANA

1. pUSTX a = x0 < x1 < : : : < xn = b; W \TOM SLU^AE MY GOWORIM,

2. iNTEGRALXNOJ SUMMOJ rIMANA FUNKCII f(x) OTNOSITELXNO RAZLO- VENIQ NAZYWAETSQ SUMMA

zNA^ENIE \TOJ SUMMY ZAWISIT OT WYBORA PROMEVUTO^NYH TO^EK j .

b

OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Za f (x) dx.

4. z A M E ^ A N I E. ~ISLO W OPREDELENII P. 3 NE ZAWISIT NI OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI RAZLOVENIJ OTREZKA [a; b], NI OT WYBORA PRO- MEVUTO^NYH TO^EK j(k) .

pUSTX f INTEGRIRUEMA I f kg; f 0kg | DWE POSLEDOWATELXNOSTI RAZLO- VENIJ TAKIE, ^TO d( k ); d( 0k) ! 0: pO PREDPOLOVENI@ DOLVEN SU]EST- WOWATX PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI

82

8" > 0 9 > 0 8 (d( ) < ) jS , j < "):

6.oPREDELENIQ PP. 3 I 5 \KWIWALENTNY.

iZ SPRAWEDLIWOSTI P. 5 SLEDUET SPRAWEDLIWOSTX P. 3. oBRATNO, ESLI OPREDELENIE P. 5 DLQ FUNKCII f NE WYPOLNQETSQ, TO

8 9" > 0 8 > 0 9 (d( ) < ; jS , j "):

wYBRAW POSLEDOWATELXNOSTX n ! 0 ( n > 0), NAJDEM POSLEDOWATELXNOSTX RAZLOVENIJ n TAKIH, ^TO d( n) < n, PRI^•EM jS n , j ". tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (S n ) NE SHODITSQ. pO\TOMU OPREDELENIE P. 3 TAKVE NE WYPOLNQETSQ DLQ f: >

KAK SUMMA SODERVIT NE BOLEE 2m ^LENOW, OTLI^NYH OT NULQ g.

|FFEKTIWNOE OPISANIE KLASSA INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ | ZADA^A NEPROSTAQ I TREBUET OPREDEL•ENNOJ PODGOTOWKI. nIVE BUDET USTANOWLENO,

83

^TO W \TOT KLASS WHODQT WSE NEPRERYWNYE FUNKCII. pOKA PRIWEDEM• NEOB- HODIMOE USLOWIE INTEGRIRUEMOSTI FUNKCII.

9. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA NA OTREZKE [a; b], TO ONA OGRANI^E-

NA.

pUSTX, NAPROTIW, f NE OGRANI^ENA. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOGO RAZLOVE- NIQ = (a = x0 < x1 < : : : < xn = b) FUNKCIQ f NE OGRANI^ENA NA

j=j0

tOGDA

jS j = jf ( j0 )(xj0 , xj0,1) + P f ( j )(xj , xj,1)j

j6=j0

jf ( j0 )(xj0 , xj0,1)j , j P f( j )(xj , xj,1)j > N: >

j6=j0

x47. mNOVESTWA LEBEGOWOJ MERY NULX

1. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E ( R) IMEET LEBEGOWU MERU NULX (BU- DEM PISATX E = 0), ESLI \TO MNOVESTWO MOVNO POKRYTX NE BOLEE ^EM S^•ETNYM SEMEJSTWOM INTERWALOW, SUMMARNAQ DLINA KOTORYH MENX[E NA- PERED• ZADANNOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA. bOLEE TO^NO, E = 0, ESLI DLQ L@BOGO " > 0 SU]ESTWUET KONE^NOE ILI S^•ETNOE SEMEJSTWO INTERWALOW

(ai; bi) TAKIH, ^TO E S(ai; bi); P(bi , ai ) < ".

i i

pRO NEKOTOROE SWOJSTWO TO^EK ^ISLOWOGO MNOVESTWA BUDEM GOWORITX, ^TO ONO WYPOLNQETSQ PO^TI WS@DU (P.W.), ESLI MNOVESTWO TO^EK, DLQ KOTO- RYH \TO SWOJSTWO NE WERNO, IMEET LEBEGOWU MERU NULX. nAPRIMER, FRAZA \FUNKCIQ f : [a; b] ! R NEPRERYWNA P.W." OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO TO- ^EK RAZRYWA FUNKCII f IMEET LEBEGOWU MERU NULX. oTMETIM POLEZNYE

84

p. 2 SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ. pUSTX DALEE " > 0 PRO- IZWOLXNO. tOGDA DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO k SU]ESTWUET SEMEJSTWO IN- TERWALOW f(a(ik); b(ik))gi=1;2;::: TAKOE, ^TO

Ek

sEMEJSTWO INTERWALOW f(a(ik); b(ik))gi;k NE BOLEE ^EM S^ETNO• I OBRAZUET PO-

KRYTIE MNOVESTWA S Ek , PRI^EM• SUMMARNAQ DLINA WSEH INTERWALOW

k

p R I M E R Y. 4. wSQKAQ TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ IMEET LEBEGOWU MERU NULX.

5.dLQ WSQKOGO S^•ETNOGO MNOVESTWA E R : E = 0.

6.z A M E ^ A N I E. oBRATIM WNIMANIE NA NETRIWIALXNOSTX OBSUVDA- EMOGO ZDESX PONQTIQ. mY ZNAEM, ^TO R QWLQETSQ MNOVESTWOM PREDELXNYH TO^EK S^ETNOGO• MNOVESTWA Q, TO ESTX WO WSQKOJ OKRESTNOSTI (a; b) PRO- IZWOLXNOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA OBQZATELXNO PRISUTSTWU@T RACIO-

NALXNYE ^ISLA. mOVET POKAZATXSQ NA PERWYJ WZGLQD, ^TO ESLI KAVDOE

RACIONALXNOE ^ISLO q 2 [0; 1] POGRUZITX W KAKU@-LIBO OKRESTNOSTX \TOGO ^ISLA, TO W REZULXTATE POLU^ITSQ POKRYTIE WSEGO OTREZKA [0; 1]. nA SAMOM

DELE \TO NE TAK: POSKOLXKU (Q \ [0; 1]) = 0, TO MOVNO TAK ORGANIZOWATX POGRUVENIE RACIONALXNYH ^ISEL IZ OTREZKA [0,1] W OKRESTNOSTI, ^TO SUM- MARNAQ DLINA \TIH OKRESTNOSTEJ BUDET MENX[E NAPERED• ZADANNOGO ^ISLA

"> 0, TOGDA KAK DLINA OTREZKA [0; 1] RAWNA 1.

7.u P R A V N E N I E. pOKAVITE, ^TO OTREZOK [0; 1] NE QWLQETSQ MNOVESTWOM LEBEGOWOJ MERY NULX.

x48. tEOREMA lEBEGA

1. t E O R E M A [a. lEBEG]. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA PO rIMANU NA [a; b] TTOGDA ONA OGRANI^ENA I P.W. NEPRERYWNA.

pOZDNEE (x120) BUDET PRIWEDENO DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY W SU- ]ESTWENNO BOLEE OB]EJ SITUACII. nA DANNOM \TAPE IZU^ENIQ KURSA NA[EJ

85

CELX@ BUDET NAU^ITXSQ ISPOLXZOWATX E•E DLQ POLU^ENIQ OSNOWNYH SWOJSTW INTEGRALA PO OTREZKU.

2. s L E D S T W I E. wSQKAQ MONOTONNAQ FUNKCIQ f NA OTREZKE [a; b] INTEGRIRUEMA.

dOSTATO^NO POKAZATX, ^TO MNOVESTWO (f ) WSEH TO^EK RAZRYWA FUNKCII f NE BOLEE ^EM S^ETNO• . sOGLASNO 23.4 KAVDAQ TO^KA IZ (f ) QWLQETSQ

W TOM SMYSLE, ^TO ESLI OPREDELENA ODNA IZ EGO ^ASTEJ, TO OPREDELENA I DRUGAQ, I ONI RAWNY.

oBOZNA^AQ ^EREZ (f) MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA FUNKCII f , IMEEM W SILU 22.5{6

(f g) (f ) [ (g); (jfj) (f ); (f g) (f ) [ (g):

86

eSLI f I g INTEGRIRUEMY, TO (f) = (g) = 0: sLEDOWATELXNO (SM. 47.2{3),

(f g) = (f g) = (jfj) = 0:

pO TEOREME lEBEGA OTS@DA SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX UKAZANNYH W SWOJ- STWE P. 1 FUNKCIJ. rAWENSTWA P. 1 TEPERX SLEDU@T IZ OPREDELENIQ 46.3. pUSTX ( k) | PROIZWOLXNAQ POSLEDOWATELXNOSTX RAZLOVENIJ OTREZKA [a; b] TAKAQ, ^TO d( k ) ! 0. tOGDA, NAPRIMER,

pUSTX TEPERX OPREDELENA LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA W SWOJSTWE P. 2, TO ESTX f INTEGRIRUEMA NA [a; b]. tOGDA f OGRANI^ENA I (f ) = 0. tEM BOLEE LEBEGOWU MERU NULX IME@T MNOVESTWA TO^EK RAZRYWA OGRANI^ENIJ f NA OTREZKI [a; c]; [c; b], TAK ^TO OPREDELENA PRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA. aNALO- GI^NO, ESLI f INTEGRIRUEMA NA OTREZKAH [a; c]; [c; b], TO ONA INTEGRIRUEMA NA [a; b].

z A M E ^ A N I Q. 3. iZ INTEGRIRUEMOSTI jfj E]E• NE SLEDUET INTEGRIRUE- MOSTX f. pOSTROJTE SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER. fuKAZANIE: WIDOIZMENITE PRIMER 48.4.g

4. pOLEZNO RAS[IRITX OPREDELENIE INTEGRALA PO OTREZKU, S^ITAQ

dOKAZANNYE WY[E SWOJSTWA INTEGRALA WERNY I DLQ \TOGO RAS[IRENNOGO OPREDELENIQ.

87

4. t E O R E M A [O SREDNEM ZNA^ENII]. pUSTX f; ' INTEGRIRUEMY NA

[a; b]; '(x) 0 (a x b). tOGDA

88

dLQ NEPRERYWNOJ FUNKCII 2-E UTWERVDENIE TEOREMY SLEDUET IZ 24.2(G). >

OBLADAET PERWOOBRAZNOJ (OTWET NA WOPROS W 42.1).

pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU 1-J ^ASTI TEOREMY. pUSTX f NEPRERYWNA W TO^KE x0 2 (a; b). tOGDA PRI x = x0 SPRAWEDLIWY RAWENSTWA (2). pRIME- NIM K r(h) 1-@ ^ASTX TEOREMY 50.4; IMEEM r(h) = hh, GDE m(h) h

89

M(h), A m(h) (SOOTWETSTWENNO M(h)) | NIVNQQ (SOOTWETSTWENNO WERH-

x52. fORMULA nX@TONA-lEJBNICA

1. eSLI f NEPRERYWNA NA [a; b] I | PROIZWOLXNAQ E•E PERWOOBRAZNAQ,

b

Za f (t)dt = F (b) , F (a) = [F (b) + C ] , [F (a) + C ] = (b) , (a): > rAZNOSTX (b) , (a) OBOZNA^AETSQ ^ASTO SIMWOLOM (t)jba.

2. u P R A V N E N I E. pUSTX f INTEGRIRUEMA NA [a; b] I OBLADAET PERWO- OBRAZNOJ. pOKAVITE, ^TO DLQ f SPRAWEDLIWA FORMULA nX@TONA-lEJBNICA.

x53. oBOB]ENNAQ• FORMULA nX@TONA-lEJBNICA

pREVDE ^EM SFORMULIROWATX OBOB]ENIE FORMULY 52.1 WWED•EM NESKOLX- KO OPREDELENIJ, KOTORYE NEODNOKRATNO E]E• BUDUT ISPOLXZOWATXSQ W NA- [EM KURSE.

90