Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Lx : E

differencirowanie otobravenij

x75. kASATELXNOE OTOBRAVENIE I EGO SWOJSTWA

1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA NAD POLEM I ( E) | OTKRYTOE MNOVESTWO. oTOBRAVENIE f : ! F NAZYWAETSQ DIFFE- RENCIRUEMYM W TO^KE x 2 , ESLI SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVENIE

! F TAKOE, ^TO

(1)				f (x + h) , f (x) = Lx h + o(h)	(h ! ):
faSIMPTOTI^ESKOE RAWENSTWO r(h) = o(h)					(h ! ) OZNA^AET, ^TO
h!0	kkhkk		g
lim	r(h)	= 0.		\|TO LINEJNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM

ILI KASATELXNYM OTOBRAVENIEM, ILI PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x. oTOBRAVENIE Lx OBOZNA^AETSQ TAKVE SIMWOLAMI df (x); f0 (x).

2. z A M E ^ A N I E. w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII f : ! C ( C ), PRIHODIM K OPREDELENI@ PROIZWODNOJ FUNKCII ODNOGO KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO; \TA PROIZWODNAQ W TO^KE z0 2 MOVET BYTX WY^ISLENA S POMO]X@ PRIWY^NOJ FORMULY

f0(z0) = lim 1 [f (z0 + h) , f (z0)]:

h!0 h

pOLEZNO POMNITX, ^TO \TO | LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ C W C , DEJSTWU@-

]EE PO FORMULE f0(z0)(h) = f0(z0) h (h 2 C ).

oTMETIM \LEMENTARNYE SWOJSTWA KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ, WYTEKA- @]IE IZ EGO OPREDELENIQ.

3. eSLI OTOBRAVENIE f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x, TO SOOTWET- STWU@]EE KASATELXNOE OTOBRAVENIE OPREDELENO ODNOZNA^NO.

pUSTX NARQDU S (1) IMEET MESTO RAWENSTWO

(2)	f (x + h) , f(x) = Lh + o(h) (h ! );

GDE L | E]•E ODNO LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ E W F . pOLOVIM A = L ,Lx. wY^ITAQ (1) IZ (2), IMEEM Ah = o(h) (h ! ). tOGDA DLQ PROIZWOLXNOGO

121

y	2	E POLU^AEM Ay = lim	1	A(ty) = lim o(ty)		= (t	2	R \| ^ISLOWOJ

		t!0 t		t!0	t

PARAMETR). iTAK, A = 0, TO ESTX L = Lx:					>

4. eSLI OTOBRAVENIE f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x, TO ONO W \TOJ TO^KE NEPRERYWNO.

uTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKI (SM. 74.2)

kf (x + h) , f(x)k kf0(x)k khk + ko(h)k (h ! ): >

5.eSLI f : ! F POSTOQNNO, TO f0(x) = 0 (x 2 ).

6.wSQKOE LINEJNOE OTOBRAVENIE A : E ! F DIFFERENCIRUEMO W KAVDOJ TO^KE x 2 E, PRI^•EM A0(x) = A.

w SILU LINEJNOSTI A RAWENSTWO (1) PRIOBRETAET WID A(x + h) , Ax =

Ah (x; h 2 E): >

7.eSLI f; g DIFFERENCIRUEMY W TO^KE x, TO W \TOJ TO^KE DIFFE- RENCIRUEMY OTOBRAVENIQ f g; f ( 2 ), PRI^•EM

(f g)0(x) = f0(x) g0(x); ( f)0 (x) = f0(x):

8. [dIFFERENCIROWANIE SUPERPOZICII OTOBRAVENIJ]. pUSTX ZADANY OTOBRAVENIQ f : ! F; g : ! G ( E; F; f( ) ), PRI^•EM f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x 2 , A g DIFFERENCIRUEMO W TO^KE f (x) 2. tOGDA g f DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x I

(g f )0(x) = g0(f (x)) f0(x):

sPRAWEDLIWA WYKLADKA

g(f(x + h)) ,	g(f (x)) = g(f(x) + [f (x + h) , f(x)]) , g(f(x))
= g0		(f (x))[f(x + h) , f (x)] + o(f(x + h) , f (x))
=	g0	(f (x))(f0(x)h + o(h)) + o(f0 (x)h + o(h))
= g0		(f (x)) f0(x)(h) + g0(f(x))(o(h)) + o(h) (h ! ):
		g	(f (x))(o(h))		o(h)
tEPERX IZ OCENKI	k 0		khk	k	kg0(f (x))k kkhkk SLEDUET, ^TO
g f (x + h) , g f (x) = g0 (f (x)) f0					(x)(h) + o(h) (h ! ):	>

122

u P R A V N E N I Q. 9. uBEDITESX, ^TO NIKAKAQ NORMA k k W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E NE DIFFERENCIRUEMA W .

10. pUSTX f : E ! F OBLADAET SWOJSTWOM kf (x)k kxk2 (x 2 E). nAJDITE f0( ).

x76. ~ASTNYE PROIZWODNYE

dALEE W \TOM RAZDELE MY BUDEM ZANIMATXSQ DIFFERENCIALXNYMI SWOJ- STWAMI OTOBRAVENIJ ISKL@^ITELXNO W WE]ESTWENNYH EWKLIDOWYH PRO- STRANSTWAH.

1. pRISTUPAQ K NAHOVDENI@ \FFEKTIWNYH SPOSOBOW WY^ISLENIQ KASA- TELXNYH OTOBRAVENIJ, WWEDEM WAVNOE PONQTIE ^ASTNOJ PROIZWODNOJ DLQ

FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH.

pUSTX

OTKRYTOE MNOVESTWO W

; fe1; : : : ; eng

STANDARTNYJ

BAZIS W

; f :

R | FUNKCIQ; j-J ^ASTNOJ PROIZWODNOJ FUNKCII f W

)

(OBOZNA^AETSQ

(x0 ) ILI f0j

(x0)) NAZYWA-

TO^KE x0 = (x

; : : : ; x

@xj

ETSQ SLEDU@]IJ PREDEL, (ESLI ON SU]ESTWUET):

) =

lim

[f (x

+ te

)

f (x

)]

@xj

t!0

lim

[f (x1; : : : ; xj + t; : : : ; xn)

f(x1; : : : ; xj

; : : : ; xn)];

t!0

TO ESTX @x@fj (x0 ) | \TO PROIZWODNAQ FUNKCII f (x10; : : : ; xj; : : : ; xn0 ) ODNOGO

PEREMENNOGO xj W TO^KE xj0 (PRI FIKSIROWANNYH OSTALXNYH PEREMENNYH). oTS@DA SLEDUET, ^TO ^ASTNAQ PROIZWODNAQ OPREDELENA ODNOZNA^NO (KOLX SKORO ONA SU]ESTWUET).


	0;					ESLI x = 0 ILI y = 0,
2. p R I M E R. pUSTX f(x; y) = 1;						W PROTIWNOM SLU^AE,
((x; y) 2 R2). tOGDA		@f	(0; 0) =	@f	(0; 0) = 0.
		@x		@y
x77. mATRICA qKOBI
pUSTX						STANDARTNYE BAZISY W PROSTRAN
1. n	mfe1; : : : ; eng; ff1; : : : ; fmg \|					m		-
STWAH R	I R SOOTWETSTWENNO I ' : ! R						, GDE \| NEKOTOROE OTKRYTOE

123

MNOVESTWO W Rn. oTOBRAVENIE ' OPREDELENO SISTEMOJ m SWOIH KOORDI-

NATNYH FUNKCIJ 'i

(1 i m) n PEREMENNYH (SM. 66.5):

(x = (x1; : : : ; xn) 2 ):

'(x1; : : : ; xn) =

i=1

'i (x1; : : : ; xn)fi

pUSTX ' DIFFERENCIRUEMO W TO^KE x

: '(x + h)

'(x) = '0 (x)h +

o(h)

). wY^ISLIM MATRICU [di ] KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ '0(x).

72.1) ZAMETIM, ^TO

dLQ \TOGO (S U^ETOM•

'0 (x)ej

lim

'0(x)(tej) = lim

['(x + tej )

'(x) + o(t)]

t!0

lim

['(x + tej )

'(x)] = lim

['i(x

+ tej )

'i(x)]fi

t!0

t!0 i=1

i=1

(x)fi

(1 j n):

@xj

iTAK dij =

(x). mATRICA ^ASTNYH PROIZWODNYH

(x)

NAZYWAET-

@xj

SQ MATRICEJ qKOBI

OTOBRAVENIQ '0(x). pOLU^EN \FFEKTIWNYJ SPOSOB

WY^ISLENIQ KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ (ESLI ONO SU]ESTWUET). oTMETIM

WAVNYE ^ASTNYE SLU^AI.

2. [pROIZWODNAQ FUNKCII n PEREMENNYH]. pUSTX f (x) (x 2

) | FUNK-

CIQ n PEREMENNYH. mATRICA qKOBI f0 (x) QWLQETSQ TOGDA (n

1)-MATRICEJ

(x); : : : ;

(x) , A ZNA^ENIE DIFFERENCIALA FUNKCII f NA SME]ENII

h = (dx1; : : : ; dxn) WY^ISLQETSQ PO FORMULE df (x) = n

(x)dxj:

j=1 @x

3. [pROIZWODNAQ WEKTOR-FUNKCII].

pUSTX

WEKTOR-FUNKCIQ x(t) =

(x1(t); : : : ; xm(t)) (t

R) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE t

. tOGDA

x10(t)

3 | (1

MATRICA qKOBI DLQ x0

(t) = 2

: : :

m)-MATRICA. dIFFERENCI-

6 xm0(t) 7

AL \TOJ WEKTOR-FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IJ SME]ENI@ dt, RAWEN dx(t) = (x10(t)dt; : : : ; xm0(t)dt).

4. [fORMULA POLNOJ PROIZWODNOJ]. pUSTX SKALQRNAQ FUNKCIQ g(t) = f (x1(t); : : : ; xn (t)) (t 2 R) | SUPERPOZICIQ FUNKCII f n PEREMEN- NYH I WEKTOR-FUNKCII x(t) (SO ZNA^ENIQMI W Rn ). w PREDPOLOVENII, ^TO

124

( 0 (x)

DIFFERENCIROWANIE WOZMOVNO:

g0(t) =

f(x1(t); : : : ; xn(t)) =

(x(t))xj0

(t):

@xj

j=1

w SILU 75.8

x10(t)

g0(t) = f0(x(t)) x0(t) =

(x(t)); : : : ;

(x(t))

: : :

6 xn0(t)

(x(t))xj0(t):

j=1

5. [aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PROIZWODNOJ FUNKCIJ MNOGIH PEREMEN-

NYH]. pUSTX f; g : ! R ( Rn) DIFFERENCIRUEMY W x 2 . tOGDA W \TOJ TO^KE DIFFERENCIRUEMY FUNKCII f g; f=g (ESLI g(x) 6= 0), PRI^•EM

(f g)0 (x) = g(x)f0(x) + f (x)g0(x);
	f		1
(g )0 (x) =		g2	(x)[g(x)f0(x) , f (x)g0(x)]:

|TI FORMULY MOVNO POLU^ITX WYKLADKAMI, ANALOGI^NYMI SKALQRNOMU SLU^A@ (30.1). s CELX@ ILL@STRACII RAZWITOJ TEHNIKI MY PRIWEDEM DRU- GOJ WYWOD (OGRANI^IMSQ PERWOJ FORMULOJ). oTOBRAVENIE x ! f (x)g(x) PREDSTAWIM KAK SUPERPOZICI@ DWUH OTOBRAVENIJ: f (x)g(x) = (x) (x 2), GDE : R2 ! R DEJSTWUET PO FORMULE (u; v) = uv (u; v 2 R), A OTOBRA- VENIE : ! R2 | PO FORMULE (x) = ff(x); g(x)g. pODS^ITAEM MAT-

RICY qKOBI \TIH OTOBRAVENIJ: 0(u; v) = [v; u]; 0(x) = f00(x) g (x)

QWLQETSQ (n 2)-MATRICEJ, SOKRA]•ENNO ZAPISANNOJ KAK (1 2)-MATRICA). w SILU 75.8 IMEEM

(f g)0(x) = 0( (x)) 0

f0 (x)

(x) = [ g(x); f (x) ] g0(x)

= g(x)f0(x) + f (x)g0(x):

6. p R I M E R. pUSTX ' :

R2 ZADANO KOORDINATNYMI FUNKCIQ-

sin y ((x; y)

MI ' (x; y) = e

cosy; '

(x; y) = e

R ), TO ESTX '(x; y) =

cos y; e sin y) ((x; y)

R ). mATRICA qKOBI OTOBRAVENIQ ' IMEET WID

'0(x; y) =

ex cos y

ex2siny

sin y

e cos y

125

x78. uSLOWIQ DIFFERENCIRUEMOSTI OTOBRAVENIJ

mY NAU^ILISX WY^ISLQTX MATRICU KASATELXNOGO OTOBRAVENIQ W PRED- POLOVENII EGO SU]ESTWOWANIQ. pOLU^IM USLOWIQ, PRI KOTORYH MATRICA ^ASTNYH PROIZWODNYH OPREDELQET KASATELXNOE OTOBRAVENIE. nA^NEM• S FUNKCIJ n PEREMENNYH.

1. pUSTX : ! R ( Rn), I WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE @x@ k (1

k n) OPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x 2 I NEPRERYWNY W SAMOJ TO^KE x. tOGDA DIFFERENCIRUEMO W x.

dLQ NAGLQDNOSTI OGRANI^IMSQ SLU^AEM n = 3: w SILU PREDPOLOVENIJ SPRAWEDLIWA WYKLADKA

(x1 + h1; x2 + h2; x3 + h3)

(x1; x2; x3)

= (x1 + h1; x,2 + h2; x3 + h3) ,

(x1; x2 + h2; x3 + h3 )

+ (x1; x2 + h2; x3 + h3)

(x1; x2; x3 + h3 )

; x

+ h

)

+ (x

; x

; x ; x

= 0 1

(x ; x

+ h

; x + h )h + o(h )

+ 0 2

(x1; x2; x3 + h3)h2 + o(h2 ) + 0 3

(x1

; x2; x3)h3 + o(h3 )

= 0 1

(x1; x2 + h2; x3 + h3)h1 + 0

2 (x1

; x2; x3 + h3)h2

+ 0 3

(x1; x2; x3 )h3 + o(h)

0 i (x1; x2; x3)hi + r(h);

i=1

GDE

r(h) = [ 0

(x1; x2 + h2; x3 + h3 )

(x1; x2; x3)]h1

1 2 3

, 1x

2 3

(x ; x ; x + h )

(x ; x ; x )]h + o(h)

+ [ 0

= o(h) (h

sFORMULIRUEM TEPERX OB]EE UTWERVDENIE.

2. pUSTX '1; : : :; 'm

| KOORDINATNYE

FUNKCII

OTOBRAVENIQ

' :

Rm (

Rn). ~TOBY ' BYLO DIFFERENCIRUEMYM W TO^KE x

NEOBHODIMO, ^TOBY BYLA OPREDELENA MATRICA

(x) ,

I DOSTATO^NO,

@xj

^TOBY \TA MATRICA BYLA OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI

x I WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE

BYLI W \TOJ TO^KE NEPRERYWNYMI.

nEOBHODIMOSTX USTANOWLENA WY[E (77.1). dOKAVEM DOSTATO^NOSTX. pUSTX

f1; : : :; fm | STANDARTNYJ BAZIS W Rm I '(y) = P 'i (y)fi (y 2 ). w SI-

i=1

126

LU P. 1 KOORDINATNYE FUNKCII 'i DIFFERENCIRUEMY W x

, TAK ^TO

'i(x + h) , 'i (x) = 'i0(x)h + o(h) (h ! ). sLEDOWATELXNO, 2

'(x + h) , '(x) = i=1['i0(x)h + o(h)]fi = i=1('i0(x)h)fi

+ o(h)

= '0(x)h + o(h) (h !

);

GDE '0(x) | LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ Rn W Rm, OPREDELENNOE•

MATRICEJ

(x) :

@xj

3. z A M E ^ A N I E. w 76.2 MATRICA

( );

( ) OPREDELENA. oDNAKO

f NE DIFFERENCIRUEMA W , IBO ONA W DAVE RAZRYWNA. tAKIM OBRAZOM, SU]ESTWOWANIE MATRICY qKOBI NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM USLOWIEM DIF- FERENCIRUEMOSTI FUNKCII.

x79. kASATELXNAQ PLOSKOSTX

1. pUSTX POWERHNOSTX (S) W R3 OPISYWAETSQ URAWNENIEM


( )	z = f (x; y)		((x; y) 2 R2):
pLOSKOSTX	( ) NAZYWAETSQ	KASATELXNOJ K POWERHNOSTI			(S) W TO^KE
a0 2 (S),	ESLI RASSTOQNIE	d(a; ( ))		OT PEREMENNOJ TO^KI	a 2 (S)	DO
a0 2 (S),		d(a; ( ))			a 2 (S)
PLOSKOSTI	( ) UDOWLETWORQET ASIMPTOTI^ESKOMU RAWENSTWU d(a; ( )) =

o(ka , a0k) (a ! a0; a 2 (S)).

2. pUSTX f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE (x0; y0). tOGDA POWERHNOSTX (S), OPISYWAEMAQ URAWNENIEM ( ), OBLADAET EDINSTWENNOJ KASATELXNOJ PLOSKOSTX@ ( ) W TO^KE a0 = (x0; y0; z0):

z, z0 = fx0 (x0; y0)(x , x0) + fy0 (x0; y0)(y , y0 ):

iZ KURSA ANALITI^ESKOJ GEOMETRII IZWESTNO, ^TO

d(a; ( )) = M1 jz , z0 , fx0 (x0; y0)(x , x0) , fy0 (x0; y0 )(y , y0 )j;

GDE a = (x; y; z) 2 (S); M = h1 + fx0 (x0; y0 )2 + fy0 (x0; y0 )2i1=2 . tAK KAK f

DIFFERENCIRUEMA W (x0; y0), IMEEM d(a; ( )) = o([(x , x0)2 + (y , y0)2]1=2) (a ! a0). sLEDOWATELXNO,

127

) kf0(x) , f0(y)k < ")

lim

d(a; ( ))

= lim

d(a; ( ))

ka , a0k

x0)2 + (y

y0)2 ]1=2

a!a0

[(x

[(x , x0 )2 + (y , y0)2]1=2

= 0:

ka , a0k

kASATELXNAQ PLOSKOSTX EDINSTWENNA (!!).

x80. nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYE OTOBRAVENIQ

1. pUSTX E

I F

EWKLIDOWY

PROSTRANSTWA, A OTOBRAVENIE

f: ! F ( E) DIFFERENCIRUEMO W KAVDOJ TO^KE OTKRYTOGO MNOVES- TWA . tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE f0 : ! L(E; F ), SOPOSTAWLQ@]EE KAVDOJ TO^KE x 2 KASATELXNOE OTOBRAVENIE f0(x) 2 L(E; F ). oTOBRA- VENIE f0 ESTESTWENNO NAZWATX (PO ANALOGII S 29.4) PROIZWODNOJ FUNKCII

fW OBLASTI .

2.oTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYM W ,

ESLI OTOBRAVENIE f0 : ! L(E; F ) NEPRERYWNO:

8x 2 8" > 0 9 > 0 8y 2 (kx , yk <

(ZDESX kf0 (x),f0(y)k OZNA^AET NORMU LINEJNOGO OTOBRAVENIQ f0(x),f0(y) (SM. 74.1)).

3. eSLI OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO, TO OTOBRA-

VENIE x ! kf0(x)k NEPRERYWNO.

|TO SLEDUET IZ OCENKI j kf0 (x)k , kf0(y)kj kf0(x) , f0(y)k:

4. oTOBRAVENIE f :

(

Rn ) NEPRERYWNO DIFFERENCIRU-

EMO W TTOGDA WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE

(fi | KOORDINATNYE

FUNKCII f ) NEPRERYWNY W .

nEOBHODIMOSTX. pUSTX f NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMO W . w SILU

@fi

78.2 WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE

OPREDELENY W . iH NEPRERYWNOSTX

SLEDUET IZ OCENKI

1=2

@x@fj (x) , @x@fj (y) 2

i;j

@x@fj (x) , @x@fj (y)

= kf0(x) , f0(y)ke:

dOSTATO^NOSTX. 4X

sOGLASNO 78.2 IZ NEPRERYWNOSTI W WSEH ^ASTNYH

PROIZWODNYH SLEDUET DIFFERENCIRUEMOSTX f W KAVDOJ TO^KE . pUSTX

128

x 2	I " > 0 PROIZWOLXNO. iZ NEPRERYWNOSTI							@fi
								@xj
		i				i
^TO SU]ESTWUET ij > 0 TAKOE, ^TO		@f	(x) ,		@f		(y)
		@xj			@xj
pOLAGAQ = min ij, POLU^IM DLQ L@BOGO y						B (x)
	i;j			2

W TO^KE x SLEDUET,

< " (y 2 B (x)). nm ij

kf0(x) , f0 (y)k kf0 (x) , f0 (y)ke = 2 i;j				i	i	2	3	1=2
				@x@fj (x) , @x@fj		(y)		< ":	>


			4X				5
5. z A M E ^ A N I E. nA WEKTOR-FUNKCII ESTESTWENNO OBOB]AETSQ PO-
NQTIE GLADKOSTI (53.1{2). nEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ f							: [a; b] ! Rm
NAZYWAETSQ GLADKOJ,	ESLI ONA NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA [a; b] I
SU]ESTWU@T PREDELY	lim	f0(t);	lim f0(t). wEKTOR-FUNKCIQ f					NAZYWAETSQ
	t!a+		t!b,

NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA I SU]ESTWUET RAZLO-

VENIE (a = t0 < t1 < : : : < tn = b) TAKOE, ^TO f GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE [tj,1; tj ].

x81. iNTEGRAL OT NEPRERYWNOJ WEKTOR-FUNKCII

1. pUSTX f (t) = (f1 (t); : : : ; fm (t)) (a t b) | NEPRERYWNAQ WEKTOR- FUNKCIQ SO ZNA^ENIQMI W Rm. wSE KOORDINATNYE FUNKCII fi QWLQ@TSQ TOGDA OBY^NYMI NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI NA OTREZKE [a; b]. iNTEGRALX- NOJ SUMMOJ rIMANA WEKTOR-FUNKCII f NAZYWAETSQ SUMMA

				n	(tj , tj,1 )f( j ) (2 Rm ); tj,1 j tj ;
		S =		X	(tj , tj,1 )f( j ) (2 Rm ); tj,1 j tj ;
				j=1
GDE (a = t0			< t1 < : : : < tn				= b) \| RAZLOVENIE [a; b]. nETRUDNO WI-
DETX	,	^TO DLQ NEPRERYWNOJ WEKTOR FUNKCII SU]ESTWUET PREDEL							lim S ,
	,						-		lim S ,
								d( )!0
KOTORYJ ESTESTWENNO NAZWATX INTEGRALOM rIMANA WEKTOR-FUNKCII f PO
							b
OTREZKU [a; b] I OBOZNA^ITX SIMWOLOM Za f(t) dt. tAKIM OBRAZOM,
		b				b	b	fm (t) dt! (2 Rm):
		Za	f (t) dt = Za			f1 (t) dt; : : : ; Za		fm (t) dt! (2 Rm):

nA WEKTORNYE INTEGRALY PERENOSQTSQ MNOGIE OBY^NYE SWOJSTWA INTEG- RALA. oTMETIM DWA NUVNYH NAM SWOJSTWA.

129

dLQ NEPRERYWNOJ WEKTOR-FUNKCII f(t) (a t b) SU]ESTWUET

PERWOOBRAZNAQ WEKTOR-FUNKCIQ F (t) (a

b) TAKAQ,

^TO dF (t) =

f (t)dt 3), PRI^•EM

Za f(t) dt = F (b) , F (a).

kZa f (t) dtk Za kf(t)k dt.

iZ PREDPOLOVENIJ P. 2 KOORDINATNYE FUNKCII fi WEKTOR-FUNKCII f

. wEKTOR-FUNKCIQ F (t) = (F

(t); : : : ; F

(t))

OBLADA@T PERWOOBRAZNYMI F

QWLQETSQ TOGDA ISKOMOJ PERWOOBRAZNOJ DLQ f (t). iNTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI P. 3 SU]ESTWUET. sLEDOWATELXNO,

bf(t) dt

lim S

lim

(tj

1 )f( j )

kZa

k d( )!0n

d( )!0 k jP=1

d( )!0 jP=1 k

lim

f( j ) (tj

1) =

f (t)

dt:

x82. oCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA

1. fORMULA lAGRANVA (KONE^NYH PRIRA]ENIJ) NE IMEET TO^NOGO ANA- LOGA W MNOGOMERNOM SLU^AE. |TOT FAKT SLEDUET IZ RASSMOTRENIQ SPIRALI W R3 S DOSTATO^NO PLOTNYMI WITKAMI (rIS. 18), KOTORAQ NI W ODNOJ TO^KE NE OBLADAET KASATELXNOJ, PARALLELXNOJ HORDE AB (SM. TAKVE NIVE P. 4). oDNAKO IMEET MESTO OCENO^NAQ FORMULA lAGRANVA:

2. pUSTX OTOBRAVENIE f : ! Rm ( Rn) NEPRERYWNO DIFFEREN- CIRUEMO W . pUSTX x 2 I h 2 Rn TAKOWY, ^TO fx +thj 0 t 1g . tOGDA SU]ESTWUET t0 2 [0; 1] TAKOE, ^TO

kf(x + h) , f (x)k kf0(x + t0h)k khk:

rASSMOTRIM WEKTOR-FUNKCI@ '(t) = f (x+th) (t 2 [0; 1]). iMEEM d'(t) = f0 (x + th)(h)dt, I W SILU 81.2

f(x + h) , f (x) = '(1) , '(0) = Z 1 f0(x + th)(h)dt:

3zDESX LEWAQ ^ASTX OPREDELENA W 77.3, A PRAWAQ PONIMAETSQ KAK PROIZWEDENIE SKALQRA-SME]ENIQ dt NA WEKTOR f(t), TO ESTX f(t)dt = (f1(t)dt,...,fm(t)dt).

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб90Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx