А.Н.Шерстнев - Математический анализ

3.pOSLEDOWATELXNOSTX (xk) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI SU]EST-

WUET M > 0 TAKOE, ^TO kxkk M (k 2 N). oTMETIM NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE TEOREMY 64.3.

4.wSQKAQ OGRANI^ENNAQ WEKTORNAQ POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.

dLQ WEKTORNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ IMEET MESTO KRITERIJ kO[I:

5. pOSLEDOWATELXNOSTX (xk) W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE SHODITSQ TTOGDA ONA FUNDAMENTALXNA, TO ESTX

8" > 0 9N 8n; m > N (kxn , xmk < "):

nEOBHODIMOSTX PO^TI O^EWIDNA (SM. DOKAZATELXSTWO NEOBHODIMOSTI W 11.7). dOSTATO^NOSTX: KAK I W SKALQRNOM SLU^AE (SM. 11.7), WYWODIM,^TO IZ FUNDAMENTALXNOSTI SLEDUET OGRANI^ENNOSTX (xk); W SILU P. 4 (xk ) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@. sLEDOWATELXNO, (xk) SHO- DITSQ K TOMU VE WEKTORU, ^TO I SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. >

x66. pREDEL FUNKCII W TO^KE

1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, f : ! F ( E ). wEKTOR y 2 F NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a 2 E, ESLI a |

PREDELXNAQ TO^KA I DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xk) (a 6= xk 2 ),

SHODQ]EJSQ K a, POSLEDOWATELXNOSTX f(xk ) SHODITSQ K y. oBOZNA^ENIE DLQ

8" > 0 9 > 0 8x 2 \ B (a) (f (x) 2 B"(y)).

oTMETIM WIDOIZMENENIQ DANNOGO OPREDELENIQ NA NESOBSTWENNYE SLU- ^AI:

2. lim f(x) = 1 OZNA^AET, ^TO a | PREDELXNAQ TO^KA I

x!a

8N > 0 9 > 0 8x 2 (0 < kx , ak < ) kf (x)k > N ):

3. lim f (x) = y OZNA^AET, ^TO NE OGRANI^ENO I f (xk ) ! y, KOLX

x!1

SKORO xk ! 1 (xk 2 ).

111

z A M E ^ A N I Q. 4. pOLEZNO OTMETITX SLU^AJ WEKTOR-FUNKCIJ. pUSTX f (t) = (f1(t); : : : ; fn(t)) 2 Rn; t 2 R. wEKTOR y = (y1; : : : ; yn) 2 Rn |

PREDEL WEKTOR-FUNKCII f W TO^KE t0 TTOGDA lim fk (t) = yk (k = 1; : : : ; n)

t!t0

W SMYSLE OBY^NYH SKALQRNYH FUNKCIJ (!!). dLQ WEKTOR-FUNKCIJ WIDA f : ! F ( R) OSMYSLENO TAKVE PONQTIE ODNOSTORONNIH PREDELOW:

lim f(t); lim f (t).

t!t0+ t!t0,

5. bOLEE OB]IM OBRAZOM, IZU^ENIE OTOBRAVENIJ IZ ODNOGO EWKLIDO- WA PROSTRANSTWA W DRUGOE S POZICIJ NEPRERYWNOSTI, PREDELA I T. P. SWODITSQ K IZU^ENI@ S \TIH VE POZICIJ FUNKCIJ MNOGIH PEREMENNYH (65.1(A)). dEJSTWITELXNO, PUSTX f : ! F ( E) I (ej )1 j n; (gi )1 i m | STANDARTNYE BAZISY W PROSTRANSTWAH E I F SOOTWETSTWENNO. rAZLO-

tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (f (xk )) FUNDAMENTALXNA I OBLADAET NEKOTO- RYM PREDELOM y (SM. 65.5). aNALOGI^NO SKALQRNOMU SLU^A@ POLU^AEM,

112

^TO f (zk) ! y DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI (zk) (zk 6= a), SHODQ- ]EJSQ K a (!!). >

113

eSLI a 2 | PREDELXNAQ TO^KA , TO USLOWIE ( ) \KWIWALENTNO USLOWI@ lim f (x) = f(a).

x!adLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE, SPRAWEDLIWY ARIFMETI^ESKIE SWOJSTWA:

f (x) SOHRANQET ZNAK ^ISLA f (a) W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.

8" > 0 9 > 0 8x; y 2 (kx , yk < ) kf(x) , f (y)k < "):

p R I M E R Y. 6. pUSTX WEKTOR b IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA F FIK-

2E) NEPRERYWNA.

7.fUNKCIQ f (x1; : : : ; xn) = x1 ((x1; : : : ; xn) 2 C n), RAWNOMERNO NEPRE- RYWNA.

8.eWKLIDOWA NORMA WEKTORA KAK FUNKCIQ IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA W R NEPRERYWNA (DAVE RAWNOMERNO NEPRERYWNA).

9.u P R A V N E N I E. wSQKAQ NORMA (NE OBQZATELXNO EWKLIDOWA) KAK FUNKCIQ IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA W R NEPRERYWNA.

114

x70. sWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYH

MNOVESTWAH

1. pUSTX E; F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA, K ( E) | KOMPAKTNOE MNOVESTWO I f : K ! F NEPRERYWNA. tOGDA f OGRANI^ENA I RAWNOMERNO NEPRERYWNA.

pUSTX, NAPROTIW, f NE RAWNOMERNO NEPRERYWNA. tOGDA

9" > 0 8m 2 N 9xm; ym 2 K (kxm , ymk < 1=m;

kf (xm) , f(ym )k ").

w SILU 65.4 POSLEDOWATELXNOSTX (xm) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDO-

pOSLEDOWATELXNOSTX (xm) OGRANI^ENA. pUSTX (xmk ) | SHODQ]AQSQ POD- POSLEDOWATELXNOSTX: xmk ! a 2 K. tAK KAK f NEPRERYWNA W a, IMEEM

f (a) = lim f(xmk ) = : >

k

pEREHODIM K ANALOGU TEOREMY O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH.

3. ~ASTX EWKLIDOWA PROSTRANSTWA NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNOJ, ES- LI DLQ L@BYH TO^EK x; y 2 NAJD<TSQ NEPRERYWNAQ WEKTOR-FUNKCIQ

' : [0; 1] ! TAKAQ, ^TO '(0) = x; '(1) = y.

115

SU]ESTWUET t 2 [0; 1] TAKOE, ^TO g(t) = . tOGDA TO^KA y = '(t) ISKOMAQ.

>

116

linejnye otobraveniq

x71. oPREDELENIE LINEJNOGO OTOBRAVENIQ

1. lINEJNYE OTOBRAVENIQ IGRA@T KL@^EWU@ ROLX PRI IZU^ENII OTO- BRAVENIJ PROSTRANSTW RAZMERNOSTEJ > 1. dLQ FUNKCIJ ODNOGO PEREMEN- NOGO IH ROLX TAKVE WELIKA (WSPOMNIM KASATELXNOE OTOBRAVENIE!), HOTQ \TO OBSTOQTELXSTWO ZA PROSTOTOJ SITUACII NESKOLXKO ZAWUALIROWANO.

pUSTX X I Y | WEKTORNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM . oTOBRAVENIE A : X ! Y NAZYWAETSQ LINEJNYM, ESLI

A(x + y) = Ax + Ay; A( x) = Ax (x; y 2 X; 2 ):

(oBY^NO U ARGUMENTA LINEJNOGO OTOBRAVENIQ SKOBKI OPUSKA@T: PI[UT Ax WMESTO A(x)). eSLI Y = , LINEJNOE OTOBRAVENIE NAZYWAETSQ LINEJ- NYM FUNKCIONALOM.

2. pUSTX L(X; Y ) | MNOVESTWO WSEH LINEJNYH OTOBRAVENIJ WEKTORNO- GO PROSTRANSTWA X W WEKTORNOE PROSTRANSTWO Y . w L(X; Y ) ESTESTWENNO WWODITSQ STRUKTURA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA: DLQ A; B 2 L(X; Y ); 2 POLOVIM

(A + B)x Ax + Bx; ( A)x Ax (x 2 X ):

aKSIOMY WEKTORNOGO PROSTRANSTWA (62.1) WYPOLNENY (!!). nULX WEKTOR- NOGO PROSTRANSTWA L(X; Y ) | \TO OTOBRAVENIE 0 : X ! Y , DEJSTWU@]EE PO FORMULE 0x = , GDE | NULEWOJ WEKTOR W Y .

pUSTX X; Y; Z | WEKTORNYE PROSTRANSTWA NAD POLEM ; A 2 L(X; Y ); B 2 L(Y; Z). tOGDA SUPERPOZICIQ B A \TIH OTOBRAVENIJ (SM. 5.2) QWLQ- ETSQ LINEJNYM OTOBRAVENIEM IZ X W Z; ONO NAZYWAETSQ PROIZWEDENIEM OTOBRAVENIJ I OBOZNA^AETSQ BA. tAKIM OBRAZOM, BA 2 L(X; Z) I DEJ- STWUET PO FORMULE (BA)x = B (Ax) (x 2 X).

3.oTMETIM WAVNOE PONQTIE IZOMORFIZMA: WEKTORNYE PROSTRANSTWA

E I F (NAD POLEM ) NAZYWA@TSQ ALGEBRAI^ESKI IZOMORFNYMI, ESLI SU- ]ESTWUET BIEKCIQ A 2 L(E; F ).

4.z A M E ^ A N I E. dWA KONE^NOMERNYH WEKTORNYH PROSTRANSTWA (NAD ODNIM POLEM) IZOMORFNY TTOGDA ONI IME@T ODINAKOWU@ RAZMERNOSTX.

117

x72. pREDSTAWLENIE LINEJNOGO OTOBRAVENIQ MATRICEJ

1. pUSTX E I F | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA NAD POLEM (= C ILI R)

| SOOTWETSTWU@]IE STANDARTNYE BAZISY W E I F . rASSMOTRIM LINEJNOE OTOBRAVENIE A : E ! F . eSLI PODEJSTWOWATX OTOBRAVENIEM A NA j-J \LE-

MENT BAZISA (1), TO POLU^ENNYJ \LEMENT MOVET BYTX RAZLOVEN PO BAZISU

m

sOOTWETSTWIE A ! [aji ] OSU]ESTWLQET ALGEBRAI^ESKIJ IZOMORFIZM PRO- STRANSTWA L(E; F ) NA PROSTRANSTWO Mn m (SM. 62.4).

2. z A M E ^ A N I E. w ^ASTNOSTI, LINEJNOJ WEKTOR-FUNKCII A : ! F SOOTWETSTWUET (1 m)-MATRICA ILI WEKTOR-STOLBEC

3. u P R A V N E N I E. wSQKOE LINEJNOE OTOBRAVENIE IZ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E W EWKLIDOWO PROSTRANSTWO F NEPRERYWNO.

x73. oBRATIMYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ

1. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO. lINEJNOE OTOBRAVENIE A : E ! E NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI SU]ESTWUET LINEJNOE OTOBRAVE- NIE A,1 2 L(E; E) TAKOE, ^TO AA,1 = A,1A = I, GDE I | TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE E NA SEBQ: Ix = x (x 2 E ).

118

2. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

119

oTS@DA kAk kAke. oBRATNO, PUSTX j0 TAKOWO, ^TO

4.w PROSTRANSTWE L( ; F) : kAk = kAke.

5.u P R A V N E N I E. pUSTX E; F; G | EWKLIDOWY PROSTRANSTWA,

A 2 L(E; F ); B 2 L(F; G). tOGDA OPERATORNAQ NORMA OTOBRAVENIQ BA UDOWLETWORQET NERAWENSTWU kBAk kBk kAk.

120