А.Н.Шерстнев - Математический анализ

eSLI, W ^ASTNOSTI, E OGRANI^ENO SWERHU I SNIZU, TO GOWORQT, ^TO E OGRA- NI^ENO. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E OBLADAET NAIMENX[IM \LEMENTOM

0(2 E), ESLI 8 2 E ( 0 ).

(V) aKSIOMA NEPRERYWNOSTI. eSLI E( R) NE PUSTO I OGRANI^ENO SWERHU, TO SREDI MAVORANT MNOVESTWA E SU]ESTWUET NAIMENX[AQ.

nAIMENX[AQ MAVORANTA OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA E NAZY- WAETSQ WERHNEJ GRANX@ I OBOZNA^AETSQ ODNIM IZ SLEDU@]IH SIMWOLOW sup E; sup (supremum | NAIWYS[EE). aNALOGI^NO, NIVNQQ GRANX OGRA-

2E

NI^ENNOGO SNIZU MNOVESTWA E ESTX NAIBOLX[AQ MINORANTA; OBOZNA^ENIQ:

inf E; inf (in mum | NAINIZ[EE).

2E

z A M E ^ A N I Q. 2. gRANI sup E; inf E NE OBQZANY PRINADLEVATX MNOVESTWU E. nAPRIMER, DLQ E = f j > 0g : inf E = 0 62E (!!).

3. mNOVESTWO Q S OBY^NYM OTNO[ENIEM < MEVDU RACIONALXNYMI ^ISLAMI UDOWLETWORQET TREBOWANIQM (I)|(IV), NO NE UDOWLETWORQET TRE- BOWANI@ (V) (NAPRIMER, SREDI MAVORANT MNOVESTWA fr 2 Q j r2 < 2g NET NAIMENX[EJ (W Q) (!!)).

uSTANOWIM POLEZNOE HARAKTERISTI^ESKOE SWOJSTWO WERHNEJ GRANI ^I- SLOWOGO MNOVESTWA.

4. pUSTX 0 | MAVORANTA MNOVESTWA E(6= ;). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:

(A) 0 = sup E;

(B) 8" > 0 9 2 E ( 0 , " < ).

(A) ) (B). pUSTX 0 = sup E, NO USLOWIE (B) NARU[AETSQ. tOGDA PRI NEKOTOROM " > 0 ^ISLO 0," QWLQETSQ MAVORANTOJ MNOVESTWA E, MENX[EJ ^EM 0, ^TO NEWOZMOVNO.

(B) ) (A). pUSTX WYPOLNENO (B) I | MAVORANTA E TAKAQ, ^TO <0. tOGDA PRI " = 0 , USLOWIE (B) NARU[AETSQ, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@. >

5. iZ NAGLQDNO-GEOMETRI^ESKIH SOOBRAVENIJ MNOVESTWO R DEJSTWI- TELXNYH ^ISEL NAZYWA@T TAKVE ^ISLOWOJ PRQMOJ. oTMETIM, ^TO NEOB- HODIMO E]•E DOKAZATX NEPROTIWORE^IWOSTX SISTEMY (I)|(V). dLQ \TOGO

21

DOSTATO^NO POSTROITX MODELX R, W KOTOROJ WYPOLNQLISX BY WSE \TI AK- SIOMY. w pRILOVENII I DANO IS^ERPYWA@]EE IZLOVENIE ODNOJ TAKOJ MODELI, PRIWEDEN• \SKIZ INTERESNOJ MODELI a. n. kOLMOGOROWA, A TAKVE DOKAZANA \KWIWALENTNOSTX RAZLI^NYH MODELEJ. |TO pRILOVENIE REKOMEN- DUETSQ ^ITATX POSLE IZU^ENIQ RAZDELA \pREDEL ^ISLOWOJ POSLEDOWATELX- NOSTI".

u P R A V N E N I Q. 6. wYWEDITE IZ AKSIOM (I) | (III), ^TO DLQ L@BOGO

n2 N: n > 0.

7.wYWEDITE AKSIOMU (I3) IZ OSTALXNYH AKSIOM (I) | (III).

8.pOKAVITE, ^TO < ( ; 2 R) ) 9 2 Q ( < < ) (USILENIE

(I3)).

9.wYWEDITE AKSIOMU aRHIMEDA IZ OSTALXNYH AKSIOM DEJSTWITELXNYH ^ISEL.

x7. tOPOLOGIQ ^ISLOWOJ PRQMOJ

1. sREDI MNOVESTW NA ^ISLOWOJ PRQMOJ R MY ^ASTO BUDEM IMETX DELO

TO^KI a NAZYWAETSQ MNOVESTWO WIDA U(a)\E (SOOTWETSTWENNO U(a) \E).

3. z A M E ^ A N I E. wSQKIE DWE RAZLI^NYE TO^KI a; b 2 R OBLADA@T NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI.

22

pREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA SAMA MOVET EMU I NE PRINADLEVATX.

u P R A V N E N I Q. 5. pUSTX E = f1; 1=2; 1=3; : : :g. nAJTI WSE IZOLI- ROWANNYE TO^KI MNOVESTWA E, WSE EGO PREDELXNYE TO^KI. oTKRYTO ILI ZAMKNUTO E?

6.tO^KA a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E TTOGDA WSQKAQ OKREST- NOSTX U (a) SODERVIT BESKONE^NOE MNOVESTWO TO^EK IZ E.

7.pUSTX E0 | MNOVESTWO WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E. tOGDA

(E0 )0 E0.

8.eSLI E OTKRYTO I ZAMKNUTO ODNOWREMENNO, TO E = ; LIBO E = R.

sLEDU@]AQ TEOREMA QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ DLQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ.

9. t E O R E M A [k. wEJER[TRASS]. bESKONE^NOE OGRANI^ENNOE MNOVES-

MAVORANTA F ). pO AKSIOME NEPRERYWNOSTI SU]ESTWUET = sup F . pO- KAVEM, ^TO | ISKOMAQ PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E. pUSTX U ( ) = (c; d) | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI . nADO LI[X UBEDITXSQ, ^TO

I 2 (c; ). tAK KAK < = sup F , MNOVESTWO E \ (,1; ) KONE^NO. nO TOGDA IZ ( ) SLEDUET, ^TO E \ (,1; d) KONE^NO, TO ESTX d , I ZNA^IT,62(c; d) | PROTIWORE^IE. >

23

x8. rAS[IRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ

1. ~ASTO BYWAET UDOBNO PRISOEDINQTX K ^ISLOWOJ PRQMOJ R TAK NAZY- WAEMYE NESOBSTWENNYE ^ISLA 1. mNOVESTWO R[ f 1g NAZOW•EM RAS[I- RENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ PRI SLEDU@]IH SOGLA[ENIQH:

-OKRESTNOSTX@ TO^KI f+1g (SOOTWETSTWENNO f,1g) NAZOWEM• WSQKOE MNO- VESTWO WIDA (M; +1) (SOOTWETSTWENNO (,1; M)); M 2 R.

2.iNOGDA UDOBNO PRISOEDINQTX K ^ISLOWOJ PRQMOJ ODNU NESOBSTWEN-

NU@ TO^KU f1g (BESKONE^NOSTX BEZ ZNAKA); -OKRESTNOSTX@ TO^KI f1g NAZOWEM• WSQKOE MNOVESTWO WIDA (,1; N ) [ (M; +1). COGLA[ENIJ O PO- RQDKOWYH I ARIFMETI^ESKIH SWOJSTWAH TO^KI f1g NE DELAETSQ.

3.z A M E ^ A N I E. kAVDOE NEPUSTOE PODMNOVESTWO RAS[IRENNOJ

^ISLOWOJ PRQMOJ R [ f 1g OBLADAET WERHNEJ I NIVNEJ GRANQMI (\TI GRANI OPREDELQ@TSQ ANALOGI^NO 6.1).

24

predel ~islowoj posledowatelxnosti

x9. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI

1. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM ^ISLOWOJ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ),

ESLI DLQ L@BOGO " > 0 NAJDETSQ• NATURALXNOE ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSQ- KOGO n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jxn , aj < ". w \TOM SLU^AE PI[UT lim xn = a ILI xn ! a I GOWORQT, ^TO (xn ) SHODITSQ (ILI STREMITSQ) K a.

z A M E ^ A N I Q. 2. xn ! a OZNA^AET, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX U (a) TO^KI a QWLQETSQ \LOWU[KOJ" POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), TO ESTX W U (a) POPADA@T WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA. pRIWEDEM• ZAPISI RAWENSTWA lim xn = a W KWANTORAH:

8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxn , aj < ");

8U(a) 9N 2 N 8n > N (xn 2 U (a)):

w ^ASTNOSTI, xn ! 0 OZNA^AET, ^TO 8" > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj < "), TO ESTX xn ! 0 TTOGDA jxnj ! 0:

3. xn ! a TTOGDA xn , a ! 0:

4. iZMENENIE KONE^NOGO ^ISLA ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI NE WLIQET NA EE• SHODIMOSTX.

5. pUSTX (xn) | POSLEDOWATELXNOSTX I n1 < n2 < : : : (nk 2 N). pO- SLEDOWATELXNOSTX yk xnk (k 2 N) NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ).

6. eSLI (xn) SHODITSQ, TO L@BAQ E•E PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODIT- SQ K TOMU VE PREDELU.

pUSTX xn ! a I yk = xnk | PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI

(xn ); n1 < n2 < : : :. o^EWIDNO, nk k. pUSTX DALEE N 2

jxn , aj < " (n > N). tOGDA k > N ) nk > N I, SLEDOWATELXNO, jyk , aj = jxnk , aj < " (k > N ), TO ESTX yk ! a: >

p R I M E R Y. 7. x = 1 ! 0 fDLQ L@BOGO " > 0 WYBEREM N > 1="

n n

(TAKOE N SU]ESTWUET PO AKSIOME aRHIMEDA (SM. 6.1)). tOGDA jxnj < " PRI n > Ng.

25

8.lim(pn + 1 , pn , 1) = 0.

9.pOSLEDOWATELXNOSTX 0; 1; 0; 1; : : : NE SHODITSQ.

u P R A V N E N I Q. 10. ~TO ZNA^IT, ^TO (xn ) NE SHODITSQ? zAPI[ITE W KWANTORAH.

11. oHARAKTERIZOWATX SHODQ]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI, U KOTORYH N W OPREDELENII PREDELA NE ZAWISIT OT ".

12. eSLI xn ! a I xn M (n 2 N), TO a M.

13. eSLI xn ! a I f : N ! N | BIEKCIQ, TO xf(n) ! a. 14. eSLI xn ! 0 I xn > 0; TO pxn ! 0:

15. eSLI x ! a I y = 1(x + : : : + x ) (n 2 N), TO y ! a.

n n n 1 n n

x10. |LEMENTARNYE SWOJSTWA PREDELA

1. pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI EDINSTWEN. sWOJSTWO \ZAVATOJ" POSLEDOWATELXNOSTI:

2.eSLI xn ! a; yn ! a; xn zn yn (n 2 N), TO zn ! a.

3.eSLI xn ! a, TO jxnj ! jaj.

dLQ DOKAZATELXSTWA 1-GO UTWERVDENIQ DOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO DLQ POSLEDOWATELXNOSTI (xn): xn ! a; xn ! b; a 6= b. pUSTX U (a); U(b) | NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI TO^EK a I b (SM. 7.3). sOGLASNO P. 2 OBE ONI OBQZANY BYTX LOWU[KAMI POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), ^TO NEWOZMOVNO. dLQ DOKAZATELXSTWA P. 2 WYBEREM PROIZWOLXNOE " > 0. tOGDA PRI DO-

STATO^NO BOLX[OM N

a , " < xn < a + "; a , " < yn < a + " (n > N):

ESLI 9M > 0 8n 2 N (jxnj M).

5.eSLI xn ! 0, A POSLEDOWATELXNOSTX (yn) OGRANI^ENA, TO xnyn ! 0:

sLEDUET IZ OCENKI 0 jxnynj Mjxnj I SWOJSTW 2, 3. >

6.sHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA.

26

pUSTX xn ! a. pOLOVIM " = 1 W OPREDELENII PREDELA, I PUSTX N TAKOWO, ^TO jxn , aj < 1 (n > N). tOGDA

jxnj maxfjaj + 1; jx1j; : : : ; jxN jg (n 2 N): >

sOGLASNO 5.1 NAD POSLEDOWATELXNOSTQMI OPREDELENY ARIFMETI^ESKIE OPERACII. nAPRIMER, POSLEDOWATELXNOSTX (xnyn ) QWLQETSQ PROIZWEDENIEM POSLEDOWATELXNOSTEJ (xn ) I (yn).

7. eSLI xn ! a; yn ! b, TO

(A) xn yn ! a b,

(B) xnyn ! ab,

xn ! a 6 6

(W) yn b (yn = 0; b = 0).

sWOJSTWO (B) SLEDUET IZ OCENKI (S U^ETOM• P. 6)

jxnyn , abj jxnyn , aynj + jayn , abj = jynj jxn , aj + jaj jyn , bj:

pUSTX b 6= 0 I N TAKOWO, ^TO jynj > jbj=2 (n > N ). tOGDA

10. lim qn = 0 PRI jqj < 1.

x11. oSNOWNYE SWOJSTWA PREDELA

1. kAVDAQ OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@.

27

pUSTX E = fx1; x2; : : :g | MNOVESTWO ZNA^ENIJ1 POSLEDOWATELXNOSTI (xn ). eSLI E KONE^NO, TO UTWERVDENIE O^EWIDNO. pUSTX E BESKONE^NO. pO TEOREME wEJER[TRASSA 7.9 MNOVESTWO E OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ a 2 R. pOLOVIM n1 = minfp 2 Nj xp 2 (a,1; a +1)g. eSLI n1; : : : ; nk,1 UVE

WYBRANY, POLOVIM nk = minfp 2 N j p > nk,1 ; xp 2 (a , k1; a + k1 )g. tOGDA yk xnk (k 2 N) | ISKOMAQ, SHODQ]AQSQ (K a), PODPOSLEDOWATELXNOSTX

POSLEDOWATELXNOSTI (xn ): >

2.pOSLEDOWATELXNOSTX (xn) NAZYWAETSQ NEUBYWA@]EJ (SOOTWETSTWEN-

NO NEWOZRASTA@]EJ ), ESLI xn xn+1 (n 2 N) (SOOTWETSTWENNO xn xn+1 ). pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, ESLI ONA NEWOZRASTA@]AQ ILI NEUBYWA@]AQ.

3.wSQKAQ OGRANI^ENNAQ MONOTONNAQ POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ.

pUSTX, NAPRIMER, (xn) NE UBYWAET I OGRANI^ENA. tOGDA SU]ESTWUET M = sup xn. pOKAVEM, ^TO xn ! M. pUSTX U (M) = (a; b) | PROIZWOLXNAQ

n

OKRESTNOSTX TO^KI M, TO ESTX a < M < b. pO OPREDELENI@ WERHNEJ GRANI NAJDETSQ• N TAKOE, ^TO a < xN M . nO TOGDA xn 2 U(M) (n > N) I OSTAETSQ• WOSPOLXZOWATXSQ ZAME^ANIEM 9.2. >

4. l E M M A [O WLOVENNYH OTREZKAH]. pUSTX In = [an; bn ](n = 1; 2; : : :),

PRI^•EM I1 I2 : : : I bn , an !

1

TO^KA a 2 T In.

n=1

pOSLEDOWATELXNOSTX (an ) LEWYH KONCOW NA[IH OTREZKOW NE UBYWAET I OGRANI^ENA SWERHU (NAPRIMER, ^ISLOM b1 ). w SILU P. 3 SU]ESTWUET a = lim an. aNALOGI^NO, POSLEDOWATELXNOSTX (bn ) PRAWYH KONCOW NE WOZ- RASTAET I SU]ESTWUET

( ): lim bn = lim[(bn , an) + an ] = a

1zDESX ^ISLA, STOQ]IE W FIGURNYH SKOBKAH, NE OBQZATELXNO POPARNO RAZLI^NY. wO- OB]E NE SLEDUET PUTATX POSLEDOWATELXNOSTX S MNOVESTWOM E•E ZNA^ENIJ: ^ISLO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NO, HOTQ MNOVESTWO E•E ZNA^ENIJ MOVET BYTX KONE^NYM.

28

pO SWOJSTWU P. 1 SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk ) :

29

8.u P R A V N E N I E. dOKAVITE, ^TO lim xnn! = 0 (x 2 R). x12. pREDELY W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ

1.bUDEM GOWORITX, ^TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX (xn ) STREMITSQ K +1 W R[ f 1g (OBOZNA^ENIE: xn ! +1), ESLI WSQKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI +1 | LOWU[KA DLQ (xn), TO ESTX

8M 2 R 9N 2 N 8n > N (xn > M );

! ,1.

2. pODOBNYM VE OBRAZOM OPREDELQETSQ SHODIMOSTX ^ISLOWOJ POSLEDO- WATELXNOSTI (xn) K TO^KE 1 W RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f1g : xn ! 1, ESLI WSQKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI 1 QWLQETSQ LOWU[KOJ DLQ POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), TO ESTX

8M > 0 9N 2 N 8n > N (jxnj > M ):

3. w RAS[IRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ R[ f 1g TO^KU NAZOWEM• ^ASTI^- NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn), ESLI SU]ESTWUET PODPOSLEDOWA- TELXNOSTX xnk ! . pUSTX L(xn) | MNOVESTWO WSEH ^ASTI^NYH PREDELOW POSLEDOWATELXNOSTI (xn ).

4. mNOVESTWO L(xn) NE PUSTO I OBLADAET NAIBOLX[IM I NAIMENX- [IM \LEMENTAMI.

eSLI (xn ) OGRANI^ENA, TO L(xn) NE PUSTO W SILU 11.1. eSLI (xn) NE OGRANI^ENA SWERHU (SOOTWETSTWENNO SNIZU), TO MNOVESTWU L(xn ) PRINAD-

LEVIT TO^KA +1 (SOOTWETSTWENNO f,1g). pOKAVEM,NAPRIMER, ^TO L(xn) OBLADAET NAIBOLX[IM \LEMENTOM. w SILU 8.3 SU]ESTWUET 0 = sup L(xn).

0 , 1 < xn1

(n1 SU]ESTWUET, TAK KAK SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWA- TELXNOSTI (xn), SHODQ]AQSQ K NEKOTOROMU 1 > 0 , 1). eSLI xn1 ; : : : ; xnN,1 UVE WYBRANY, NAJD•EM INDEKS nN IZ USLOWIQ:

1

nN > nN,1; 0 , N < xnN

30