А.Н.Шерстнев - Математический анализ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ESLI x = 0,

ESLI x = 0.

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 515 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

x!a

p R I M E R Y. 3. lim cos x = cosa.

s U^ETOM•

NERAWENSTWA

sin x

jxj (x 2 R) IMEEM

cosx

cos a

= 2 sin x , a

sin x + a

2 x , a

j j

oSTA•ETSQ PRIMENITX 2(B).g

4. lim sin

NE SU]ESTWUET: xn

0, NO sin

= (

1)n NE

(2n + 1) !

x!0

SHODITSQ.

x19. sWOJSTWA PREDELA FUNKCII

1.pREDEL FUNKCII EDINSTWEN.

eSLI, NAPROTIW, I | DWA RAZLI^NYH ^ISLA, QWLQ@]IHSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a, WYBEREM NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI U ( ) I U ( ) \TIH ^ISEL (\TO MOVNO SDELATX W SILU 7.3). mY PRIHODIM TOGDA K PROTIWORE^I@ S USLOWIEM 18.2(W). >

2. fUNKCIQ f :

R NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ NA MNOVESTWE

E, ESLI f (A) | OGRANI^ENNOE MNOVESTWO. sLEDU@]EE SWOJSTWO GLA-

SIT, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE SLEDUET EE• OGRANI-

^ENNOSTX W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI:

eSLI = lim f (x), TO SU]ESTWUET OKRESTNOSTX U(a) TO^KI a TA-

x!a

U (a) \ E.

KAQ, ^TO f OGRANI^ENA NA MNOVESTWE

f(x)

< 1 (x

U(a)

E). tOGDA

pUSTX U (a) TAKOWA, ^TO

f(x)

j j + 1 (x 2 U (a) \ E):

3. pUSTX = lim f (x); = lim g(x). tOGDA

x!a

lim[f(x)

g(x)] =

lim f (x)g(x) = ,

x!a

lim f(x)

(

= 0).

x!a

g(x)

4. [kRITERIJ kO[I]. pUSTX f

: E

R I a | PREDELXNAQ TO^KA

MNOVESTWA E; lim f(x) SU]ESTWUET TTOGDA

x!a

( )

8" > 0 9U (a) 8x0; x00 2

U (a) \ E (jf (x0) , f (x00)j < "):

5. pUSTX f; g; h ZADANY NA MNOVESTWE E

R, PRI^•EM SU]ESTWUET

OKRESTNOSTX U (a) TAKAQ, ^TO f (x) g(x)

h(x) (x 2 U (a) \ E) I

lim f

(x) = lim h(x) = . tOGDA lim g

(x) = .

x!a

sWOJSTWA P. 3 POLU^A@TSQ IZ PODHODQ]IH SWOJSTW DLQ PREDELOW POSLE-

DOWATELXNOSTEJ (!!). dOKAVEM E]E• DWA UTWERVDENIQ.

4 (DOSTATO^NOSTX). pUSTX xn

a (a = xn

E); " >

0 | PpOIZ-

WOLXNO I N TAKOWO, ^TO xn

U(a) PRI n > N , TAK ^TO W SILU ( )

8n; m > N (jf (xn ),f(xm)j < "). iTAK, POSLEDOWATELXNOSTX (f (xn )) FUNDA-

MENTALXNA I, SLEDOWATELXNO, OBLADAET PREDELOM. oSTAETSQ• ZAMETITX, ^TO

\TOT PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI (xn) fDOPUSTIW,

^TO DLQ (x0 ) POSLEDOWATELXNOSTX (f (x0 )) SHODITSQ K DRUGOMU PREDELU,

PRIHODIM K PROTIWORE^I@ SO SWOJSTWOM EDINSTWENNOSTI PREDELA, ESLI

WOZXMEM NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX

x1; x0 ; x2; x0 ; : : : : >

•

ng > n0(xn

pUSTX xn

a (a

= xn

E ). tOGDA

U(a)) I,

SLEDOWATELXNO, f (xn ) g(xn )

h(xn) (n > n0). tEPERX PO SWOJSTWU 10.2

lim g(x) = :

x!a

p R I M E R Y. 6. lim

sin x

= 1.

pLO]ADX SEKTORA OAM < PLO].

OMN

x!0

sinx

(SM. rIS. 7), TO ESTX

2jxj

< 2MN ILI jxj < j tgxj. pO\TOMU cos x <

1 (x 2 U (0)). oSTAETSQ• U^ESTX 18.3 I P. 5.g

7. lim

tg x

= 1.

x!0

8. z A M E ^ A N I E. tRIGONOMETRI^ESKIE, STEPENNAQ, POKAZATELXNAQ

I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCII OBLADA@T SWOJSTWOM lim f(x) = f (a). dLQ

x!a

TRIGONOMETRI^ESKIH | \TO SLEDSTWIE 18.3 I P. 3. dLQ OSTALXNYH TIPOW

FUNKCIJ \TO SWOJSTWO BUDET USTANOWLENO POZDNEE. sLEDUET OGOWORITXSQ, ^TO UPOMINAW[IESQ WY[E \LEMENTARNYE FUNKCII NAMI STROGO NE OPRE- DELENY. pOZDNEE (x27) \TOT PROBEL BUDET ^ASTI^NO WOSPOLNEN | BUDUT AKKURATNO WWEDENY POKAZATELXNAQ, LOGARIFMI^ESKAQ I STEPENNAQ FUNK- CII.

			x a	6
u P R A V N E N I Q.			9. eSLI lim f (x) = = 0; TO DLQ NEKOTOROJ
			!
OKRESTNOSTI U (a) FUNKCIQ f NA MNOVESTWE U (a) SOHRANQET ZNAK ^ISLA .
	!			x b
10. eSLI f : [a; b)		R MONOTONNA I OGRANI^ENA, TO lim f(x) SU]EST-
WUET.				!

x20. wIDOIZMENENIQ PONQTIQ PREDELA FUNKCII

1. pUSTX f : E ! R (E R) I a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA

E \ (a; +1). ~ISLO NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE a SPRAWA

(PI[UT = lim f (x)), ESLI xn ! a (a < xn; xn 2 E) ) f(xn) ! .

x!a+

aNALOGI^NO OPREDELQETSQ lim f(x) | PREDEL FUNKCII f W TO^KE a SLEWA.

x!a,

2. pUSTX f : E ! R; E NE OGRANI^ENO. ~ISLO NAZYWAETSQ PREDELOM

FUNKCII f W 1 (PI[UT = lim f (x)), ESLI xn ! 1 (xn 2 E ) WLE^•ET

x!1

f (xn ) ! . aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ PREDELY lim f (x).

x! 1

3. nAKONEC, MOVNO S^ITATX, ^TO | NESOBSTWENNAQ TO^KA. nAPRIMER,

lim f (x) = 1 PRI a 2 R OZNA^AET, ^TO DLQ FUNKCII f : E ! R TO^KA a

x!a

PREDELXNAQ DLQ E I xn ! a (a 6= xn 2 E) ) f(xn) ! 1.

z A M E ^ A N I Q. 4. s OPREDELENIEM P. 2 SOGLASUETSQ OPREDELENIE PRE-

DELA POSLEDOWATELXNOSTI ( 9) (WSPOMNIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX ESTX

FUNKCIQ, ZADANNAQ NA N).

5. dLQ WWEDENNYH•

WIDOIZMENENIJ PONQTIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE

OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI (ZA O^EWIDNYMI ISKL@^ENIQMI) SWOJSTWA PRE-

DELA, RASSMOTRENNYE W x19.

p R I M E R Y.

6. lim sgn x = 1; lim

sgn x =

lim sgn x NE SU]EST-

WUET.

x!0+

x!0,

x!0

lim

j sinx xj

= 1;

lim

j sinx xj

x!0+

x!0,

lim

1 +

x = e. dOSTATO^NO DOKAZATX RAWENSTWO DLQ SLU^AEW

x !

x!1

! +1 RAWENSTWO QWLQETSQ SLEDSTWI-

+1; x ! ,1. w SLU^AE x

EM NERAWENSTW

[x]

[x]+1

1 +

< 1 + x

< 1 +

[x]!

[x] + 1

S U^•ETOM SWOJSTW 19.5 I 11.5.

w SLU^AE x ! ,1: lim 1 + 1 x x!,1 x

=lim 1 , y!+1

=lim 1 + y!+1

lim

y!+1

y,1 1 +

= e:

y , 1

9. lim (1 + x)1=x = e (SLEDSTWIE PRIMERA 8).

x!0

10. iMEETSQ NEKOTOROE KOLI^ESTWO RADIOAKTIWNOGO WE]ESTWA. iZ- WESTEN KO\FFICIENT RASPADA k | OTNO[ENIE KOLI^ESTWA ATOMOW, RASPA- DA@]IHSQ W EDINICU WREMENI, K OB]EMU KOLI^ESTWU ATOMOW WE]ESTWA. sOGLASNO ZAKONAM QDERNOJ FIZIKI k ZAWISIT LI[X OT WE]ESTWA. tREBU- ETSQ UZNATX KOLI^ESTWO t WE]ESTWA, KOTOROE OSTANETSQ PO PRO[ESTWII WREMENI t. w KA^ESTWE PRIBLIV•ENNOGO ZNA^ENIQ MOVNO WZQTX WELI^INU, kt , TO ESTX t (1 , kt) . oDNAKO \TO ZNA^ENIE NE TO^NO, TAK KAK ZA WREMQ t KOLI^ESTWO WE]ESTWA NE OSTAETSQ• POSTOQNNYM, A UMENX[AETSQ. rAZDELIM PROMEVUTOK t NA n ^ASTEJ. tOGDA

t=n

, k

n ; 2t=n

1 , k n t=n 1 , kn

; : : : ;

1 , kn

w PREDELE PRI n ! 1 MY POLU^IM ISKOMU@ WELI^INU

,kt

= lim 1

n = lim 201 +

1, kt3

= e,kt :

4kt 5

11.u P R A V N E N I E. wYPI[ITE PRIWED•ENNYE WY[E OPREDELENIQ PP. 1,2,4 W TERMINAH \" , " I -OKRESTNOSTEJ., n (, n )A 76@

x21. aSIMPTOTIKA

1. ~ASTO FUNKCIQ OPREDELENA W OKRESTNOSTI NEKOTOROJ TO^KI a, NO, WOZMOVNO, NE OPREDELENA W SAMOJ TO^KE a. wOZNIKAET WOPROS, KAK WED•ET SEBQ \TA FUNKCIQ WBLIZI TO^KI a? dLQ SLOVNYH FUNKCIJ VELATELXNO IMETX HORO[U@ APPROKSIMACI@ S POMO]X@ PROSTYH FUNKCIJ. wWEDEM• NESKOLXKO TEHNI^ESKIH PONQTIJ, POLEZNYH PRI RE[ENII UKAZANNYH ZADA^.

pUSTX FUNKCII f I g OPREDELENY W NEKOTOROJ -OKRESTNOSTI TO^KI a. tOGDA

f (x)

o(g(x)) (x

a) OZNA^AET: lim f (x)

= 0;

a g(x)

f (x)

O(g(x)) (x

a) OZNA^AET:

9U (a) 9C > 0 8x 2 U (a) (jf (x)j Cjg(x)j);

f (x) =

g(x) (x

OZNA^AET

: lim

f (x)

= 1:

x!a

g(x)

oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA ASIMPTOTI^ESKIH RAWENSTW.

2. f (x) = g(x) (x a)

TTOGDA

f (x) = g(x) + o(g(x)) (x a).

!GDE

f (x) = g(x) (x

OZNA^AET

^TO

r(x) =

f (x) = g(x) + r(x),

[f(x)

1]g(x), PRI^EM•

lim r(x) =

lim[f (x)

1] = 0. oBRATNO, f(x) =

g(x)

x!a g(x)

x!a

g(x) ,

g(x) + o(g(x)) (x ! a) WLE^•ET

lim f (x)

= lim[1 + o(g(x))

] = 1:

x!a

g(x)

x!a

g(x)

x!a

eSLI

f (x) = g(x) (x

I SU]ESTWUET

lim g(x)

(x),

TO SU]EST

WUET lim f

(x) (x) I lim f(x) (x) = lim g(x)

(x).

x!a

dEJSTWITELXNO,

lim f (x)

(x) = lim f (x)g(x)

(x) = lim g(x)

(x):

x!a

x!a g(x)

x!a

4. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE RAWENSTWA, SOOTWET- STWU@]IE WIDOIZMENENIQM PONQTIQM PREDELA FUNKCII (x20). dLQ NIH TAKVE SPRAWEDLIWY SWOJSTWA 2, 3.

p R I M E R Y [ZAME^ATELXNYH \KWIWALENTNOSTEJ].

												!
5.	sin x				= x	(x										0),		!
		,					2											!
6.	1			cos x		=		1		x2							(x			0),
6.	1			cos x		=				x2							(x			0),
																	!
7.	ln(1 + x) = x												(x					0),
	ax		,															!
8.	ax		,		1 = ln a							x					(x			0),
		x	,										!
9.	e	p			1 = x				(x								0),
														x
														x
						,				k									!
10.		k		1 + x			1 =										(x				0).
10.				1 + x			1 =										(x				0).
5. \|TO PRIMER 19.6.
6. iSPOLXZUQ P. 5, IMEEM
																							2 x				1			2
					lim 1 , cosx = lim																	2 sin			2	= lim	2(	2	x)		= 1:
					lim 1 , cosx = lim																	1				= lim	1				= 1:
					x!0						1				2				x!0			1		2		x!0	1			2
											2x											2x					2x

7. lim ln(1x+ x) = lim ln(1 + x)1=x = 1 (SM. 20.9, 19.8).

x!0 x!0

9. dLQ '(x) = ex

1 W SILU 19.8 IMEEM lim '(x) = 0: pO\TOMU S U^ETOM•

P. 7

x!0

lim ex , 1

'(x)

= lim

= 1:

x!0

ln(1 + '(x))

10. uKAZANIE: POLOVITX '(x) = p1 + x , 1 I ISPOLXZOWATX FORMULU

BINOMA nX@TONA.

o('(x)) (x ! a); g(x) =

u P R A V N E N I Q. 11. eSLI f (x) =

o('(x)) (x ! a), TO f (x) g(x) = o('(x)) (x ! a).

12. pUSTX f (x) = o('(x)) (x ! a); '(x) = o( (x)) (x ! a). tOGDA f (x) = o( (x)) (x ! a).

x22. nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE

1. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE a 2 E, ESLI

8" > 0 9 > 0 8x 2 E (jx , aj < ) jf(x) , f (a)j < ");

ILI ESLI 8U (f (a)) 9V (a) (f(V (a) \ E ) U (f (a))).

w ^ASTNOSTI, ESLI a | IZOLIROWANNAQ TO^KA E, TO KAVDAQ FUNKCIQ f : E ! R NEPRERYWNA W a. eSLI a | NE IZOLIROWANNAQ TO^KA E , TO

NEPRERYWNOSTX f W TO^KE a \KWIWALENTNA RAWENSTWU lim f (x) = f (a).

x!a

s U^ETOM• 18.1 MOVNO SFORMULIROWATX USLOWIE NEPRERYWNOSTI FUNK- CII W TO^KE NA QZYKE POSLEDOWATELXNOSTEJ: FUNKCIQ f : E ! R NEPRE- RYWNA W TO^KE a 2 E TTOGDA IZ xn ! a (xn 2 E) SLEDUET f(xn) ! f(a).

2. z A M E ^ A N I E. eSLI a | NE IZOLIROWANNAQ TO^KA MNOVESTWA E, TO f : E ! R NEPRERYWNA W a TTOGDA f (a + h) , f (a) = o(1) (h ! 0).

rASSMOTRIM SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE.

3.eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA W TO^KE, TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTO- ROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI.

4.eSLI f NEPRERYWNA W a I f (a) 6= 0, TO f SOHRANQET ZNAK ^ISLA f (a) W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.

5.pUSTX f; g NEPRERYWNY W TO^KE a. tOGDA W \TOJ TO^KE NEPRERYWNY TAKVE FUNKCII f g; f g; f=g (ESLI g(a) 6= 0).

	6. [nEPRERYWNOSTX SUPERPOZICII]. pUSTX f :			E ! R; g : F ! R;
f (E) F . pUSTX DALEE f NEPRERYWNA W TO^KE a I g NEPRERYWNA W TO^KE
f (a). tOGDA g f NEPRERYWNA W a.
p.3 SLEDUET IZ 19.2, P. 4 \| IZ 19.9, P. 5 \| IZ 19.3. dOKAVEM P. 6. pUSTX
a	2 E I xn ! a (xn 2 E ). tOGDA f (xn) ! f (a), TAK KAK f NEPRERYWNA W
a.	sLEDOWATELXNO		, g f(xn) = g(f (xn )) ! g(f (a)),	TAK KAK	g	NEPRERYWNA

W f (a):		>

7. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA W KAVDOJ TO^KE x 2 E .

8. pRIMERY NEPRERYWNYH FUNKCIJ.

(A) pOSTOQNNAQ FUNKCIQ f (x) = (x 2 R). (B) lINEJNAQ FUNKCIQ f (x) = x (x 2 R).

(W) pOLINOM p(x) = 0 + 1x + : : : + nxn (x 2 R).

(G) rACIONALXNAQ FUNKCIQ r(x) = p(x) (q(x) = 0), GDE p; q q(x) 6

MY.

(D) tRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII sin x; cos x; tgx; ctg x RYWNOSTX SLEDUET IZ 18.3).

x23. tO^KI RAZRYWA

| POLINO-

(IH NEPRE-

1. tO^KA a 2 E NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA DLQ FUNKCII f : E ! R, ESLI f NE NEPRERYWNA W a. pOLEZNA SLEDU@]AQ PROSTAQ KLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA: a 2 E NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA DLQ FUNKCII

f : E ! R, ESLI SU]ESTWU@T PREDELY lim f(x); lim f (x) I HOTQ BY ODIN

x!a, x!a+

IZ NIH OTLI^EN OT f (a); TO^KA RAZRYWA NAZYWAETSQ TO^KOJ RAZRYWA 2-GO RODA, ESLI ONA NE QWLQETSQ TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA.

p R I M E R Y. 2. tO^KA FUNKCII

f(x) = (

0 QWLQETSQ TO^KOJ RAZRYWA 1-GO RODA DLQ

j x	j		6
sin x		;	ESLI x = 0,
0			; ESLI x = 0.

3. tO^KA 0 | TO^KA RAZRYWA 2-GO RODA DLQ FUNKCII

u P R A V N E N I Q. 4. u MONOTONNOJ FUNKCII TO^KI RAZRYWA MOGUT BYTX TOLXKO 1-GO RODA.

5. fUNKCIQ rIMANA R(x) OPREDELENA SOGLA[ENIQMI: R(0) = 0, R(x) = 0 PRI IRRACIONALXNOM x, R(p=q) = 1=q, ESLI p 2 Znf0g; q 2 N I p=q | NESOKRATIMAQ DROBX. pOKAZATX, ^TO R(x) NEPRERYWNA W IRRACIONALXNYH TO^KAH I TOLXKO W NIH. kAKOGO RODA TO^KI RAZRYWA \TOJ FUNKCII?

x24. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE

1.wY[E MY IZU^ILI LOKALXNYE SWOJSTWA (TO ESTX SWOJSTWA, SWQZAN- NYE S POWEDENIEM FUNKCII W MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI IZ OBLASTI OPRE- DELENIQ) NEPRERYWNOJ FUNKCII. oTMETIM, ^TO I SAMO PONQTIE NEPRERYW- NOSTI FUNKCII W TO^KE QWLQETSQ LOKALXNYM SWOJSTWOM. tEM BOLEE PRIME- ^ATELXNO, ^TO DLQ OPREDELENNOGO• KLASSA ^ISLOWYH MNOVESTW MOVNO GOWO- RITX O GLOBALXNYH SWOJSTWAH NEPRERYWNYH FUNKCIJ (TO ESTX SWOJSTWAH, SWQZANNYH S POWEDENIEM FUNKCII NA WSEJ OBLASTI EE• OPREDELENIQ). pOKA MY OGRANI^IMSQ IZU^ENIEM GLOBALXNYH SWOJSTW NEPRERYWNYH FUNKCIJ, ZADANNYH NA OTREZKE.

2.pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA. tOGDA

(A) FUNKCIQ f OGRANI^ENA,

	(B) FUNKCIQ f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ (TO ESTX SU]ESTWU@T c; d 2
	[a; b] TAKIE, ^TO				f(c) = sup	f (x); f (d) =	inf f(x)),
				6	x2[a;b]		x2[a;b]
				6	6
	(W) ESLI ^ISLA f(a) = 0; f(b) = 0 IME@T RAZNYE ZNAKI, TO SU]ESTWUET
	c 2 (a; b) TAKOE, ^TO f(c) = 0,
	(G) ESLI f(a) < < f (b), TO NAJD•ETSQ c 2 (a; b) TAKOE, ^TO									f (c) = .
	A	pUSTX	,	NAPROTIW	, 8n 9xn 2	[a; b] (jf(xn)j > n).		pOSLEDOWATELX			-
	( ).		,		, 8n 9xn 2	[a; b] (jf(xn)j > n).					-
NOSTX (xn) SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (xnk ); xnk ! c
(SM. 11.1). sLEDOWATELXNO f (xnk ) ! f (c), NO \TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO
jf(xnk )j > nk (k 2 N).									2
	(B). pO SWOJSTWU (A) SU]ESTWUET = sup f(x). pUSTX xn									[a; b] TA-
						x2[a;b]

KOWY, ^TO , 1 < f(xn) (n 2 N) I (xnk ) | SHODQ]AQSQ PODPOSLEDO- n

WATELXNOSTX: xnk ! c. tOGDA
,		1	< f (xnk )	(k 2 N); f (xnk ) ! f(c) (k ! 1):

		nk
oTS@DA PO SWOJSTWU 10.2				= f(c).
(W). pUSTX DLQ OPREDEL•ENNOSTI f(a) > 0; f(b) < 0 I F = fx 2 [a; b] j
	2		g	6 ;		2
f (y) > 0; y		[a; x] . mNOVESTWO F =			(NAPRIMER, a		F ) I OGRANI^ENO.

pO\TOMU (SM. x6) SU]ESTWUET c = sup F . tO^KA c ISKOMAQ: NERAWENSTWO f (c) > 0 PROTIWORE^IT (W SILU 22.4) TOMU, ^TO c | MAVORANTA F , A f (c) < 0 NEWOZMOVNO, TAK KAK c | NAIMENX[AQ MAVORANTA F .

(G). pOLOVIM g(x) = f(x) , I PRIMENIM K g SWOJSTWO (W). >

p R I M E R Y. 3. fUNKCIQ f (x) = x1 (0 < x < 1) NEPRERYWNA, NO NE OGRANI^ENA; ONA OGRANI^ENA SNIZU, NO NE DOSTIGAET SWOEJ NIVNEJ GRANI.

4. uRAWNENIE x = cos x OBLADAET KORNEM NA OTREZKE [0; 1] fPRIMENIM

2(W) K FUNKCII f (x) = x , cosxg.

5. u P R A V N E N I E. pUSTX E | ODIN IZ PROMEVUTKOW (a; b); [a; b]; (a; b] [a; b) (WKL@^AQ NESOBSTWENNYE) I f : E ! R NEPRERYWNA I STROGO WOZRAS- TAET. tOGDA f (E) QWLQETSQ PROMEVUTKOM TOGO VE TIPA.

6. fUNKCIQ f : E ! R (E R) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ

NA E , ESLI

8" > 0 9 > 0 8x; y 2 E (jx , yj < ) jf (x) , f(y)j < "):

rAWNOMERNO NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, O^EWIDNO, NEPRERYWNA. oBRATNOE, WO-

OB]E GOWORQ, NEWERNO. nAPRIMER, FUNKCIQ f (x) =

(0 < x < 1) NEPRE-

RYWNA, NO NE RAWNOMERNO (DLQ x = ; y = 2 : jx , yj < ; jx

, yj >

> 1

DLQ WSEH 2 (0; 1)).

! R NEPRERYWNA, TO ONA I RAWNOMERNO NEPRERYWNA.

7. eSLI f : [a; b]

pUSTX NAPROTIW,

9" > 0 8 > 0 9x; y 2 E (jx ,yj

< ;jf(x) , f (y)j ").

tOGDA DLQ k =

(k 2 N) NAJDUTSQ xk; yk 2 [a; b] TAKIE, ^TO

( )

jf (xk ) , f(yk )j " (k 2 N):

jxk , ykj < k ;

pOSLEDOWATELXNOSTX (xk ), BUDU^I OGRANI^ENNOJ, OBLADAET SHODQ]EJSQ POD-

POSLEDOWATELXNOSTX@ (xkj ) : xkj ! c 2 [a; b]. tOGDA ykj = (ykj ,xkj )+xkj !

c. tAK KAK f NEPRERYWNA W c, TO f(xkj ) , f (ykj ) ! f(c) , f(c) = 0, ^TO PROTIWORE^IT ( ). >

x25. pRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI

pUSTX f : E ! R RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA E, I E0 | MNOVESTWO WSEH PREDELXNYH TO^EK MNOVESTWA E. tOGDA f DOPUSKAET RAWNOMERNO

NEPRERYWNOE PRODOLVENIE NA E [ E0 .

tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET f~ : F ! R, RAWNOMERNO NEPRERYW-

NAQ NA F

E [ E0 I TAKAQ, ^TO f~jE = f . dLQ KAVDOJ TO^KI a 2 E0 PO

KRITERI@ kO[I 19.4 SU]ESTWUET lim f (x). pOLOVIM

x!a

f~(a) =

f(a);

ESLI a 2 E,

( xlim!a f (x);

ESLI a 2 E0nE .

uBEDIMSQ, ^TO f~: F

R RAWNOMERNO NEPRERYWNA. pO USLOWI@

" > 0

> 0

x0; x00 ! E

( x0

x00

) j

f(x0)

f (x00)

< "=3). pUSTX

; 00

0; 00 < )

y; z 2 F TAKOWY, ^TO jy , zj < . tOGDA NAJDUTSQ 0

TAKIE, ^TO

jx0

, yj < 0

) jf (x0)

, f~~(y)j

< "=3 (x0 2

E);

jx00

, zj

< 00

) jf (x00) , f (z)j < "=3 (x00 2 E):

tEPERX, WYBRAW x0 2 (y , 0; y + 0) \ E; x00

2 (z00 , 00; z + 00) \ E, POLU^IM

f~(y)

f~(z)

f~(y)

f (x0) +

f (x0)

f (x00 ) +

f (x00)

f~(z)

< "

j j

(MY U^ITYWAEM, ^TO jx0,x00j jx0,yj+jy,zj+jz,x00j < 3 ). uTWERVDENIE

DOKAZANO (SM. POD^ERKNUTYJ•

TEKST).

x26. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII

1. pUSTX E | PROMEVUTOK W R (SM. 7:1) I f : E ! R STROGO WOZ-

RASTAET (UBYWAET) I NEPRERYWNA. tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ g : F ! R STROGO WOZRASTAET (SOOTWETSTWENNO UBYWAET) I NEPRERYWNA.

w SILU 4.2 NUVNO USTANOWITX NEPRERYWNOSTX g W KAVDOJ TO^KE 2 F . pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI• E = [a; b]. pUSTX c 2 [a; b] TAKOWO, ^TO f(c) =

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 515 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб90Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx