Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 514 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

(SNOWA nN SU]ESTWUET, T. K. SU]ESTWUET PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDO-

,N1 ). pO POSTROENI@

2 L(xnN ) ) 0. oSTAETSQ• ZAMETITX, ^TO L(xnN ) L(xn ): >

5.wERHNIM (SOOTWETSTWENNO NIVNIM) PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI (xn ) NAZYWAETSQ NAIBOLX[IJ (SOOTWETSTWENNO NAIMENX[IJ) \LEMENT MNO- VESTWA L(xn); ON OBOZNA^AETSQ lim xn (SOOTWETSTWENNO lim xn ).

6.wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY SU]ESTWU@T I lim xn lim xn. pRI \TOM lim xn = lim xn TTOGDA SU]ESTWUET lim xn (I TOGDA lim xn =

lim xn = lim xn ).

1-E UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 4. eSLI lim xn SU]ESTWUET, TO L(xn) ODNO\LEMENTNO, A ZNA^IT, limxn = limxn. oBRATNO, PUSTX L(xn) ODNO\LE- MENTNO: L(xn ) = f g. pOKAVEM, ^TO L@BAQ OKRESTNOSTX TO^KI QWLQETSQ LOWU[KOJ DLQ (xn ). eSLI, NAPRIMER, = +1 I 2 R PROIZWOLXNO, TO WNE INTERWALA ( ; +1) LEVIT LI[X KONE^NOE ^ISLO ^LENOW POSLEDOWA- TELXNOSTI (xn ) (W PROTIWNOM SLU^AE NA[LASX BY PODPOSLEDOWATELXNOSTX xnk ! , ^TO PROTIWORE^IT ODNO\LEMENTNOSTI L(xn)). pUSTX TEPERX2 R I a < < b. sNOWA W PROMEVUTKAH (,1; a] I [b; +1) MOVET LE- VATX LI[X KONE^NOE ^ISLO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI (xn ), T. E. (a; b) | LOWU[KA DLQ (xn): >

7. p R I M E R. dLQ POSLEDOWATELXNOSTI xn =

[2 + (,1)n]n :

lim

xn =

lim

xn = +1.

u P R A V N E N I Q. 8. pOKAVITE, ^TO lim xn

= lim supxn ;

lim

xn =

lim inf xn .

k n k

n k

9. eSLI ODIN IZ PREDELOW lim xn; limyn KONE^EN ILI limxn = limyn, TO

lim (xn + yn ) lim xn + lim yn . w ANALOGI^NYH PREDPOLOVENIQH

lim

(xn +

yn)

lim

xn +

lim

yn.

10. eSLI xn ! a > 0, TO

lim

xn = a

lim

yn;

lim

xnyn = a

lim

yn.

lim

xn+1

lim

11. pUSTX xn > 0 (n 2 N). dOKAZATX, ^TO

pxn; limpxn

xn+1

lim

~islowye rqdy

x13. |LEMENTARNYE SWOJSTWA ^ISLOWYH RQDOW

1. pUSTX (xn) | ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX. fORMALXNAQ SUMMA

			1		X		X
( )	ILI KORO^E		X		X		X
( )	x1 + x2 + : : : (	:	n=1	xn;	n	xn;	xn)

NAZYWAETSQ ^ISLOWYM RQDOM; ^ISLA xn NAZYWA@TSQ ^LENAMI RQDA. ~ISLA

sn = x1 + : : : + xn (n = 1; 2; : : :)

NAZYWA@TSQ ^ASTNYMI SUMMAMI RQDA

( ).

rQD ( ) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX (sn)

EGO ^ASTNYH SUMM. ~ISLO s = lim sn NAZYWAETSQ W \TOM SLU^AE SUMMOJ

RQDA ( ); SUMMA RQDA OBOZNA^AETSQ TAK VE, KAK I SAM RQD: s =

P xn.

2. z A M E ^ A N I E. oTBRASYWANIE ILI DOBAWLENIE KONE^NOGO ^ISLA

^LENOW RQDA NE WLIQET NA EGO SHODIMOSTX.

3. eSLI RQDY

xn;

yn SHODQTSQ, TO SHODQTSQ RQDY

(

(xn

yn),

PRI^EM

);

•

X xn = X xn; X(xn yn) = X xn X yn:

nAPRIMER, (xn + yn) = lim

k (xn + yn) = lim

xn + lim k

yn =

n=1

xn +

yn:

4. zPA M E ^ A N I E. iZ SHODIMOSTI RQDA

(xn +yn ), KONE^NO, NE SLEDUET

SHODIMOSTX RQDOW

xn;

yn .

oTMETIM DWA WAVNYH KRITERIQ SHODIMOSTI ^ISLOWYH RQDOW.

5. k R I T E R I J [o. kO[I]. rQD ( ) SHODITSQ TTOGDA

8" > 0 9N 8n > N 8p (jxn+1 + : : : + xn+pj < "):

6. rQD ( ) S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI SHODITSQ TTOGDA POSLEDO- WATELXNOSTX EGO ^ASTNYH SUMM OGRANI^ENA.

rQD ( ) SHODITSQ TTOGDA SHODITSQ POSLEDOWATELXNOSTX (sn ) EGO ^ASTNYH SUMM. w SILU 11.7 \TO \KWIWALENTNO USLOWI@

8" > 0 9N 8n > N 8p (jsn+p , snj = jxn+1 + : : : + xn+pj < "):

uTWERVDENIE 6 SLEDUET IZ 11.3, PRIMENENNOGO• K POSLEDOWATELXNOSTI ^ASTNYH SUMM RQDA ( ). >

pOLAGAQ W KRITERII kO[I p = 1, POLU^AEM NEOBHODIMOE USLOWIE SHO- DIMOSTI RQDA:

7. eSLI RQD P xn SHODITSQ, TO xn ! 0.

8. rQDOM lEJBNICA NAZYWAETSQ RQD WIDA x1 ,x2 +x3 ,: : :, GDE xn > 0,

PRI^EM• x1 x2 : : : ; xn ! 0: rQD lEJBNICA WSEGDA SHODITSQ I EGO SUMMA x1.

iZ PREDSTAWLENIJ

s2n = x1 , (x2 , x3 ) , : : : , (x2n,2 , x2n,1 ) , x2n x1; s2n = (x1 , x2) + : : : + (x2n,1 , x2n )

SLEDUET, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (s2n) OGRANI^ENA SWERHU I NE UBYWAET, TAK ^TO SU]ESTWUET s = lim s2n x1 . kROME TOGO, lim s2n+1 = lim(s2n + x2n+1) = s, OTKUDA lim sn =s. >

p R I M E R Y. 9. rQD 1 , 1 + 1 , 1 + : : : RASHODITSQ.

+: : : RASHODITSQ PRI jxj 1, TAK KAK x

10. rQD n=0 x

= 1 +x + x

STREMITSQ KP SM

. 7).

pRI

jxj < 1

RQD SHODITSQ

0 ( .

: sn = 1+x +: : :+x ,

11, xx

! (1 , x),1.

rQD 1 +

+ : : : NAZYWAETSQ GARMONI^ESKIM. oN RASHODITSQ,

11.

TAK KAK DLQ NEGO NARU[AETSQ KRITERIJ P. 5:

js2n , snj

+ : : : +

n + 1

12. rQD 1 ,

3 , : : : SHODITSQ (\TO RQD lEJBNICA).

x14. pRIZNAKI SHODIMOSTI ZNAKOPOSTOQNNYH RQDOW

1. pUSTX

xn;

yn RQDY S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI.

(A) eSLI xPn yn P(n 2 N), TO IZ SHODIMOSTI

yn SLEDUET SHODIMOSTX

xn, A IZ RASHODIMOSTI

xn | RASHODIMOSTXP

yn.

P (B) eSLI lim

= A >P0,

TO OBA RQDA

xn;

Pyn SHODQTSQ ILI RAS-

HODQTSQ ODNOWREMENNO.

SLEDUET IZ

13.6,

POSKOLXKU

tk =

nP=1

xn = sk; k

pUSTX

( )

nP=1

" > 0 TAKOWO, ^TO 0 < " < A I j

, Aj < " (n > N), TO ESTX

0 < (A , ")yn < xn < (A + ")yn (n > N ):

tEPERX (B) SLEDUET IZ (A). nAPRIMER, ESLI

xn SHODITSQ, TO SHODITSQ RQD

TAK KAK

SHODITSQ RQD

. 13.3)

yn <

(n > N ),

yn: >

(

P A ,pRIZNAK"

dALAMBERA

pUSTXA , "

[

xxn+1n

> 0 (n 2

(A) eSLI

lim

< 1 , TO RQD

xn SHODITSQ.

(B) eSLI

lim

xxn+1n

> 1, TO RQD

Pxn RASHODITSQ.

pRIZNAK kO[I

pUSTX

3. [

0 (n

< 1, TO RQD

xn SHODITSQ.

(A) eSLI lim pxn

(B) eSLI

TO RQD P xn RASHODITSQ.

lim

> 1,

4. z A M E ^ A N I E. uSLOWIE (A) PRIZNAKA dALAMBERA (SOOTWETSTWENNO

PRIZNAKA kO[I) \KWIWALENTNO USLOWI@:

xn+1

q < 1) :

SOOTWETSTWENNO n

9n0 8n n0 xn q < 1 (

pxn

2(A). w SILU P. 4

xn+1

q < 1 PRI n n0 . bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI

xn+1

MOVNO S^ITATX, ^TO

q DLQ WSEH n 2 N. tOGDA xn+1

= x1

: : :

xn+1

x1q

, NO PRI q < 1 RQD x1q + x1q

+ x1q

+ : : : SHODITSQ, I

UTWERVDENIE SLEDUET IZ P. 1(A).

pUSTX

TAKOWO

^TO

> r > 1.

tOGDA SU]ESTWUET POD

lim pxn

POSLEDOWATELXNOSTX

(xnk ) POSLEDOWATELXNOSTI (xn ) TAKAQ, ^TO xnk > 1

2 N). w SILU 13.7

RQD

xn RASHODITSQ. aNALOGI^NO USTANAWLIWA@TSQ

2(B) I 3(A).

5. u P R A V N E N I E. iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX:

;

n + 1

n=0

n=1

6. z A M E ^ A N I E. pOLEZNO IMETX W WIDU,

^TO RQD

SHODITSQ

n=1

PRI p > 1 I RASHODITSQ PRI p

1. pOSLEDNEE SLEDUET IZPRASHODIMOSTI

GARMONI^ESKOGO RQDA, PERWOE BUDET USTANOWLENO POZDNEE (SM. 59.2).

x15. aBSOL@TNO SHODQ]IESQ RQDY

1. oSOBO WAVNOE ZNA^ENIE DLQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA I EGO PRI- LOVENIJ IME@T ^ISLOWYE RQDY, NASLEDU@]IE IZWESTNOE DLQ KONE^NYH SUMM PRAWILO \OT PERESTANOWKI SLAGAEMYH SUMMA NE MENQETSQ". w \TOM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM TAKIE RQDY. rQD

( )

X xn

P j

NAZYWAETSQ ABSOL@TNO SHODQ]IMSQ,

ESLI SHODITSQ RQD

2. eSLI RQD SHODITSQ ABSOL@TNO, TO ON SHODITSQ.

wOSPOLXZUEMSQ 13.5. pUSTX RQD

jxnj SHODITSQ I " > 0 PROIZWOLXNO.

tOGDA

N n > N p ( xn+1 +: : :+ xn+p < ").

sLEDOWATELXNO

DLQ L@BOGO

n > N I L@BOGO p IMEEM jxn+1 + : : : + xn+pj

< jxn+1j +: : : + jxn+pj < ", TO

ESTX DLQ ( ) WYPOLNEN KRITERIJ 13.5.

3. z A M E ^ A N I E. kAK POKAZYWA@T PRIMERY 13.11 I 13.12, RQD MOVET

SHODITXSQ, NO NE ABSOL@TNO.

4. t E O R E M A. eSLI RQD ( ) SHODITSQ ABSOL@TNO, TO SHODITSQ RQD

x0 , POLU^ENNYJ IZ

(

)KAKOJ-LIBO PERESTANOWKOJ EGO ^LENOW, PRI^•EM

xn.

P oBRATNO, ESLI DLQ SHODQ]EGOSQ RQDA (

) SHODITSQ WSQKIJ RQD

x0 ,

POLU^ENNYJ IZ ( ) KAKOJ-LIBO PERESTANOWKOJ EGO ^LENOW, TO RQD (

) SHO-

DITSQ ABSOL@TNO.

pUSTX

( )

SHODITSQ ABSOL@TNO I

0 (n 2

pUSTX

s = P xn

. tOGDA s0

) I

SHODITSQ W SILU 13.6, PRI^EM•

n=1

aNALOGI^NO

x0 .

w OB]EM SLU^AE (RQD (

) ZNAKOPEREMENNYJ) POLOVIM

xn;

ESLI xn

xn;

ESLI xn

ESLI xn < 0,

x, =

ESLI xn

> 0,

TAK ^TO xn

= x+

x, . rQDY

x+;

x, (S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI)

n ,

SHODQTSQ, TAK KAK x

N). iSPOLXZUQ DOKAZANNU@ WY[E WOZMOV-

NOSTX PERESTAWLQTX ^LENY ZNAKOPOSTOQNNOGO SHODQ]EGOSQ RQDA, IMEEM

xn = (x+

x,) = x+

x, =

x0+

x0,

P =

P(x0+

x0, ) =P x0

pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU OBRATNOGO UTWERVDENIQ TEOREMY. pUSTX, NAPROTIW, RQD ( ) SHODITSQ NE ABSOL@TNO. dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO PRI PODHODQ]EJ PERESTANOWKE EGO ^LENOW POLU^ENNYJ RQD P x0n BUDET RAS- HODITXSQ. dLQ RQDA ( ) RASSMOTRIM DWA WSPOMOGATELXNYH RQDA: y1 +y2 +: : : ; z1 + z2 + : : : ~LENAMI 1-GO (SOOTWETSTWENNO 2-GO) RQDA QWLQ- @TSQ POLOVITELXNYE (SOOTWETSTWENNO NEPOLOVITELXNYE) ^LENY RQDA ( ), ZANUMEROWANNYE W PORQDKE WOZRASTANIQ INDEKSOW. oDIN IZ \TIH ZNAKOPO- STOQNNYH RQDOW RASHODITSQ fNA SAMOM DELE ONI, KAK NETRUDNO WIDETX, RASHODQTSQ OBAg. dEJSTWITELXNO, ESLI ONI OBA SHODQTSQ, TO \TO OZNA^A- ET, ^TO ABSOL@TNO SHODITSQ RQD ( ). tEPERX NETRUDNO WYPISATX ISKOMYJ RASHODQ]IJSQ RQD P x0n. w KA^ESTWE NEGO MOVNO, NAPRIMER, WZQTX RQD WIDA

y1 + : : : + yn1 + z1 + yn1+1 + : : : + yn2 + z2 + yn2+1 + : : : + yn3 + z3 + : : : ;

GDE POSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW n1 < n2 < : : : WYBRANA IZ USLOWIJ

y1 + : : : + yn1	> 1,
y1 + : : : + yn2	> 2	, z1,
. . . . . . . . . . . . . .
y1 + : : : + ynk > k			(z1 + : : : + zk,1),
. . . . . . . . . . . . . .,

w \TOM SLU^AE PODPOSLEDOWATELXNOSTX fs0nk+k,1g POSLEDOWATELXNOSTI fs0ng ^ASTNYH SUMM RQDA P x0n OBLADAET SWOJSTWOM s0nk +k,1 > k (k 2 N), TAK ^TO RQD P x0n RASHODITSQ. >

x16. dWOJNYE RQDY

1. rASSMOTRIM BESKONE^NU@ TABLICU ^ISEL

dWOJNYM RQDOM

( )

	u11			u12 : : : u1n		: : :		1
0 u21				u22 : : : u2n		: : :
B		: : :		: : : : : : : : :		: : :		C
	um1			um2 : : : umn		: : :
@								A
		: : :		: : : : : : : : :		: : :
NAZYWAETSQ FORMALXNAQ SUMMA
1					X
X			uik	ILI KORO^E			uik ):
				(
i;k=1						i;k

m n
~ISLA smn = i=1 k=1 uik NAZYWA@TSQ ^ASTNYMI SUMMAMI RQDA ( ). ~ISLO
P P
NAZYWAETSQ SUMMOJ RQDA ( ) (PI[UT = i;k uik ), ESLI
				P
8" > 0 9N 8n; m > N (jsmn					, j < "):
w \TOM SLU^AE RQD ( ) NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ.
2. p R I M E R. pUSTX ZADANA TABLICA
0	0	1	1	: : :	1
0	,1	0	1	: : :	1
@	,1	,1	0	: : :	A
B : : : : : : : : : : : : C
hOTQ snn = 0 (n 2 N), RQD i;k uik RASHODITSQ.
P						2	m;n
3. u P R A V N E N I E. eSLI uik				0 (i; k		2	m;n
3. u P R A V N E N I E. eSLI uik				0 (i; k			N) I = supsmn , TO

P uik = .

i;k

4. z A M E ^ A N I E. nAD DWOJNYMI RQDAMI MOVNO PROIZWODITX TE VE ARIFMETI^ESKIE OPERACII, ^TO I NAD OBY^NYMI (SM. 13.3).

5. rQD ( ) NAZYWAETSQ ABSOL@TNO SHODQ]IMSQ, ESLI SHODITSQ RQD P juikj.

i;k

6. eSLI RQD ( ) SHODITSQ ABSOL@TNO, TO ON SHODITSQ.

pROWERQETSQ, KAK I DLQ OBY^NYH RQDOW, S POMO]X@ DOLVNYM OBRAZOM SFORMULIROWANNOGO KRITERIQ kO[I DLQ DWOJNYH RQDOW (P. 9). >

7. eSLI RQD ( ) SHODITSQ ABSOL@TNO, I EGO ^LENY PERENUMEROWANY

(L@BYM SPOSOBOM) ODNIM INDEKSOM v1; v2; : : :, TO

vj =

uik .

i;k

iZ NERAWENSTWA j=1 jvjj i;k

juikj (n 2 N) SLEDUET, ^TO RQD

vj SHODITSQ

ABSOL@TNO. pERESTAWIM ^LENY RQDA P vj

TAK, ^TOBY POLU^ILSQ RQD

X j

v0 = u11

+ (u12

+ u21 + u22) + (u13 + u23 + u33 + u32

+ u31) + : : : :

oBOZNA^IW ^EREZ s0 ^ASTNU@ SUMMU RQDA

v0 , IMEEM

v0 = lim s0

= lims0 2

vj =

= lim

uik =

uik

i;k=1

i;k

(POSLEDNEE RAWENSTWO W CEPO^KE WERNO, TAK KAK ( ) SHODITSQ). >

w KA^ESTWE PRILOVENIQ PONQTIQ DWOJNOGO RQDA POLU^IM TEOREMU O PEREMNOVENII ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW.

8. eSLI RQDY P ui; P vk SHODQTSQ ABSOL@TNO, TO

(X ui)(X vk) = X uivk;

i;k

PRI^•EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ ABSOL@TNO.

pOSLEDNEE UTWERVDENIE SLEDUET IZ OCENKI
m n	m	n

Xi=1 kX=1 juivkj = (Xi=1 juij)(kX=1 jvkj) (X juij)(X jvkj):

tEPERX 1-E UTWERVDENIE QWLQETSQ SLEDSTWIEM CEPO^KI RAWENSTW:

(	ui)(	vk ) = (lim n			ui )(lim	n	vk) = lim( n	ui)( n vk )
P	P		n	Pn	n	P	P	P
			n	i=1	n	k=1	n i=1	k=1
			n	P	uivk:
			n	i;k=1
9. u P R A V N E N I E. dOKAVITE, ^TO DWOJNOJ RQD ( ) SHODITSQ TTOGDA
8" > 0 9N 8n; m; p; q > N (jsmn , spqj < ").
x17. pOWTORNYE RQDY
1. pOWTORNYMI RQDAMI				NAZYWA@TSQ FORMALXNYE SUMMY WIDA

1 1 uik! ;

1 1 uik! :

X X

i=1

k=1

k=1 i=1

pOWTORNYJ RQD 1

1 uik

NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ,

ESLI PRI KAVDOM

i=1

k=1

SHODITSQ RQD

PRI^EM SHODITSQ RQD 1

GDE

SUMMA

k=1 uik ,

•

i=1 vi

vi k=1 uik;

1 vi NAZYWAETSQ SUMMOJ DANNOGO POWTORNOGO RQDA.

i=1

P 2. eSLI DWOJNOJ RQD

uik SHODITSQ ABSOL@TNO, TO

i;k

X X

uik =P

1 1 uik! = 1 1 uik! :

i;k

i=1 k=1

k=1 i=1

oTS@DA 1

J SLU^AJ

: uik

pUSTX

= i;k uik .

tOGDA

k=1 uik .

k=1 uik

SHODITSQ PRI L@BOM i. zAFIKSIRUEM m. tOGDA

X X

uik

= lim

X X

uik

1 uik

i=1

k=1

k=1 i=1

k=1

i=1

tAK KAK m PROIZWOLXNO,

1 uik

. s DRUGOJ STORONY, smn =

iP=1 kP=1

i=1

k=1

uik

1 uik

, TO ESTX = sup smn

m;n

2-J SLU^AJ (OB]IJ). pUSTX

uik

;

ESLI uik

uik

;

ESLI uik

u+ =

ESLI uik < 0,

ESLI uik > 0.

tOGDA uik

= u+

u, ;

uik

= u+ + u,

I RQDY

u SHODQTSQ, TAK KAK

ik ,

i;k

SHODITSQ RQD

i;k juikj. sLEDOWATELXNO,

uik =

u, =

1 1 u+

1 1 u, =

1 1 uik :

ik ,

X X

ik! ,

X X

ik!

X X

i;k

i=1

k=1

i=1 k=1

i=1

k=1

3. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE, OBRATNOE DOKAZANNOMU, NEWERNO (POSTROJTE SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER).

predel i neprerywnostx funkcij

x18. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE

w \TOM RAZDELE NA^INAETSQ IZU^ENIE LOKALXNOGO POWEDENIQ ^ISLOWYH FUNKCIJ. sLEDU@]EE CENTRALXNOE OPREDELENIE PRIDAET• TO^NYJ MATEMA- TI^ESKIJ SMYSL TIPI^NOJ SITUACII, KOGDA PRI PRIBLIVENII TO^KI x K TO^KE a ZNA^ENIE FUNKCII f (x) PRIBLIVAETSQ K ^ISLU .

1. pUSTX f : E

! R (E R) I a | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA E.

~ISLO NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE

a, ESLI xn

a (a =

WLE^ET

w \TOM SLU^AE PI[UT

= lim f (x).

oTMETIM

• f(xn)

x!a

^TO f MOVET BYTX I NE OPREDELENA W TO^KE a.

2. pUSTX f : E

! R I a | PREDELXNAQ TO^KA E. sLEDU@]IE USLOWIQ

\KWIWALENTNY:

(A) = lim f (x),

x!a

(B) 8" > 0 9 > 0 8x 2 E (0 < jx , aj < ) jf(x) , j < "),

8 9 \

(W) U( ) V (a) (f(V (a) E) U ( )).

qSNO, ^TO (B) , (W). pOKAVEM, ^TO (A) ) (B). eSLI (B) NE WYPOLNQETSQ, TO

9" > 0 8 > 0 9x 2 E (0 < jx , aj < ; jf(x) , j "):

w ^ASTNOSTI, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI n =

(n 2 N) SU]ESTWUET POSLE-

DOWATELXNOSTX

(xn ) (xn

2 E)

TAKAQ

^TO

jf(xn) , j ";

0 < jxn , aj < n;

TAK ^TO xn

a (a = xn

E), NO f(xn)

(B)

)

(A). pUSTX xn

(a = xn

E); " > 0 | PROIZWOLXNO I > 0

TAKOWO, ^TO 8x 2 E (0 < jx , aj < ) jf (x) , j < "). eSLI N TAKOWO,

^TO jxn , aj < (n > N), TO jf (xn ), j < "(n > N), TO ESTX f (xn ) ! : >

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 514 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб175_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб2_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб30А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб5а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб9Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб90Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб46Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб29Автомобильные войска Российской Федерации.docx