А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf4. sEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW E QWLQETSQ TOPOLOGIEJ W E. |TA TO- POLOGIQ NAZYWAETSQ DISKRETNOJ . oTMETIM, ^TO DISKRETNAQ TOPOLOGIQ SOWPADAET S TOPOLOGIEJ, OPREDELQEMOJ DISKRETNOJ METRIKOJ. tOPOLOGIQ
T= f;; Eg NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ W E. x94. sWOJSTWA OKRESTNOSTEJ
1.pUSTX T | TOPOLOGIQ W E . mNOVESTWO V ( E) NAZYWAETSQ OKREST- NOSTX@ TO^KI x 2 E, ESLI 9U 2 T (x 2 U V ). mNOVESTWO X( E) OTKRYTO TTOGDA X | OKRESTNOSTX KAVDOJ SWOEJ TO^KI (!!).
sEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE
(E; T ) OBOZNA^IM ^EREZ b(x). oNO OBLADAET SWOJSTWAMI (!!): |
|||
2. |
\U 2 b(x); U V " ) |
V 2 b(x), |
|
3. |
U; V |
2 b(x) ) U \ V |
2 b(x), |
4. |
8U |
2 b(x) (x 2 U ), |
|
5. |
8U 2 b(x) 9V 2 b(x) 8y 2 V (U 2 b(y)). |
||
|TI SWOJSTWA POLNOSTX@ HARAKTERIZU@T TOPOLOGI@ T :
6. t E O R E M A. pUSTX KAVDOMU \LEMENTU x MNOVESTWA E POSTAW- LENO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE SEMEJSTWO b(x) ^ASTEJ E, OBLADA@]EE SWOJSTWAMI 2 , 5. tOGDA W E SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ TOPOLOGIQ T , DLQ KOTOROJ b(x) SLUVIT SISTEMOJ WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x (PRI
L@BOM x 2 E).
sEMEJSTWO T = fU Ej 8x 2 U (U 2 b(x))g QWLQETSQ TOPOLOGIEJ W E (!!). oBOZNA^IM ^EREZ B(x) SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W \TOJ TOPOLOGII, TO ESTX
B(x) = fV Ej 9U 2 T (x 2 U V )g:
pOKAVEM, ^TO b(x) = B(x). w SILU SWOJSTWA 2 B(x) b(x). sPRAWEDLI- WO I OBRATNOE WKL@^ENIE. pUSTX V 2 b(x) I U = fy 2 Ej V 2 b(y)g. uSTANOWIM, ^TO
(A) x 2 U; (B) U V; (W) U 2 T :
|TO I BUDET OZNA^ATX, ^TO V 2 B(x). (A) O^EWIDNO.
(B): y 2 U ) V 2 b(y) ) y 2 V SOGLASNO SWOJSTWU 4.
151
(W): PUSTX y 2 U . tOGDA y 2 V I SOGLASNO SWOJSTWU 5 9W |
2 |
b(y) |
||
8z 2 W (V 2 b(z)). oTMETIM, ^TO W V. dEJSTWITELXNO, z 2 W |
) |
V 2 |
||
b(z) ) z 2 U (SM. OPREDELENIE U ); TOGDA W SILU SWOJSTWA 2 |
U 2 b(y). |
tA- |
||
KIM OBRAZOM, (SM. POD^ERKNUTOE• |
) U QWLQETSQ OKRESTNOSTX@ KAVDOJ SWOEJ |
|||
TO^KI W TOPOLOGII T , I POTOMU U 2 T : |
|
> |
|
|
|||
|
|||
7. |
sISTEMA F( b(x)) NAZYWAETSQ BAZISOM OKRESTNOSTEJ TO^KI x |
||
(ILI |
FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ OKRESTNOSTEJ TO^KI x), ESLI |
||
8U 2 b(x) 9V 2 F (V U ). |
|||
8. |
z A M E ^ A N I E. w PRILOVENIQH BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI IGRA- |
||
ET ROLX LEGKO OBOZRIMOJ SISTEMY, PO KOTOROJ WOSSTANAWLIWAETSQ WSQ EE• |
|||
SISTEMA OKRESTNOSTEJ: ESLI F | BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI x, TO b(x) =
fU Ej 9V 2 F (V U )g.
p R I M E R Y. 9. w DISKRETNOM TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE ODNO- TO^E^NOE MNOVESTWO fxg QWLQETSQ BAZISOM OKRESTNOSTEJ TO^KI x.
10. sISTEMA [AROW fB1=n (x)gn2N | BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI x W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE.
11. pUSTX W ODNOM I TOM VE MNOVESTWE E ZADANY DWE TOPOLOGII T |
|||||||||
I T 0. gOWORQT, ^TO TOPOLOGIQ T 0 SILXNEE TOPOLOGII |
T , |
ESLI |
T |
T 0. |
|||||
dRUGIMI SLOWAMI, T T 0 TTOGDA DLQ L@BOGO x 2 E |
b(x) b0 |
(x), GDE |
|||||||
b(x) I b0 (x) | SISTEMY WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLOGIQH T I |
|||||||||
T 0 SOOTWETSTWENNO. w ^ASTNOSTI, DISKRETNAQ TOPOLOGIQ W MNOVESTWE | |
|||||||||
SAMAQ SILXNAQ, A TRIWIALXNAQ TOPOLOGIQ | SAMAQ SLABAQ. gOWORQT, ^TO |
|||||||||
|
T |
0 STROGO SILXNEE TOPOLOGII |
T |
|
T T |
0; |
T 6 T |
0. |
|
TOPOLOGIQ |
|
|
, ESLI |
|
= |
||||
x95. rABO^IE PONQTIQ
1. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I A E. mNOVESTWO A NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI Ac EnA OTKRYTO. kLASS WSEH ZAMKNUTYH MNOVESTW OBLADAET SWOJSTWAMI (!!):
(I);; E ZAMKNUTY,
(II)OB_EDINENIE KONE^NOGO ^ISLA ZAMKNUTYH MNOVESTW | ZAMKNUTOE MNOVESTWO,
(III)PERESE^ENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA ZAMKNUTYH MNOVESTW | ZA-
MKNUTOE MNOVESTWO.
152
2.tO^KA x NAZYWAETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ A, ESLI A 2 b(x). mNOVES- TWO WSEH WNUTRENNIH TO^EK NAZYWAETSQ WNUTRENNOSTX@ MNOVESTWA A I OBOZNA^AETSQ A . wNE[NOSTX@ MNOVESTWA A NAZYWAETSQ MNOVESTWO Ac (WNUTRENNOSTX DOPOLNENIQ A). oTMETIM NEKOTORYE POLEZNYE SWOJSTWA WNUTRENNOSTI:
(i)A | NAIBOLX[EE OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EESQ W A;
(ii)A OTKRYTO TTOGDA A = A ;
(iii)(A \ B) = A \ B (A; B E ).
3.gOWORQT, ^TO x | TO^KA PRIKOSNOWENIQ MNOVESTWA A, ESLI
8U 2 b(x) (U \ A 6= ;). mNOVESTWO WSEH TO^EK PRIKOSNOWENIQ A NAZY- WAETSQ ZAMYKANIEM A I OBOZNA^AETSQ A,. iME@T MESTO SWOJSTWA:
(j)A, | NAIMENX[EE ZAMKNUTOE MNOVESTWO, OB_EML@]EE MNOVEST- WO A,
(jj)A ZAMKNUTO TTOGDA A = A, ,
(jjj)A,c = Ac ; A c = Ac,,
(jv) (A [ B), = A, [ B, (A; B E):
|
1-E RAWENSTWO W (jjj) SPRAWEDLIWO W SILU \KWIWALENTNOSTEJ: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
, x 2 EnA, |
, 9U 2 b(x) (U |
|
|
|
|
c |
|
c |
|
||||||||||||
x 2 A, |
|
\ A = ;) , A 2 b(x) |
, x 2 A |
. |
||||||||||||||||||||||
(jv) SPRAWEDLIWO W SILU WYKLADKI (S U^ETOM• UKAZANNYH WY[E SWOJSTW): |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(A |
|
|
B), |
= (A |
B ),cc = (A |
|
B)c c |
= (Ac |
|
Bc) c = (Ac |
|
Bc )c |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
[c |
c c |
|
|
[ |
|
|
|
|
\ |
|
\ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= (A, |
|
\ B, ) = A, [ B,: |
> |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4. tO^KA |
x NAZYWAETSQ PREDELXNOJ |
TO^KOJ |
MNOVESTWA A, ESLI |
||||||||||||||||||||
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
\ |
6 ; |
|
|
|
|
|
nf g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
b(x) (U |
), GDE U |
U |
-OKRESTNOSTX TO^KI x. tO^KA x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
A = |
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
NAZYWAETSQ GRANI^NOJ TO^KOJ |
A, ESLI x QWLQETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ |
|||||||||||||||||||||||||
MNOVESTW A I Ac ODNOWREMENNO. mNOVESTWO WSEH GRANI^NYH TO^EK NAZY- WAETSQ GRANICEJ A I OBOZNA^AETSQ AG. tAKIM OBRAZOM, AG = A, \ Ac,.
5. pUSTX A; B | PODMNOVESTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E. gO- WORQT, ^TO A PLOTNO OTNOSITELXNO B, ESLI B A, (TO ESTX KAVDAQ
153
TO^KA IZ B QWLQETSQ TO^KOJ PRIKOSNOWENIQ DLQ A). w ^ASTNOSTI, A NA- ZYWAETSQ PLOTNYM W E, ESLI ONO PLOTNO OTNOSITELXNO E ; W \TOM SLU^AE A, = E. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ SEPARABELXNYM, ESLI ONO OBLADAET S^•ETNYM PLOTNYM PODMNOVESTWOM.
p R I M E R Y. 6. Q PLOTNO W R.
7. mNOVESTWO WSEH \LEMENTOW WIDA x = (x1; : : : ; xn; 0; 0; : : :), TO ESTX
\LEMENTOW, U KOTORYH LI[X KONE^NOE ^ISLO KOORDINAT OTLI^NO OT NULQ, PLOTNO W `2.
u P R A V N E N I Q. 8. eSLI A OTKRYTO, A B PROIZWOLXNO, TO A\(B,) (A \ B), .
9.mNOVESTWA A ; Ac ; AG POPARNO NE PERESEKA@TSQ, PRI^<M
E = A [ Ac [ AG.
10.(A [ B)G AG [ BG; (A \ B)G AG [ BG; (AnB)G AG [ BG.
11.A A [ AG.
12.pROSTRANSTWO `2 SEPARABELXNO.
13.dOKAZATX, ^TO W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE Br(x), Br [x]. wOZ- MOVNO LI STROGOE WKL@^ENIE?
x96. nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ
1. |
pUSTX E; F |
| TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. oTOBRAVENIE |
|
f : E ! F NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM W TO^KE x 2 E, ESLI |
|||
|
|
8V 2 b(f (x)) 9U 2 b(x) (f(U) V ): |
|
2. |
pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE, x 2 E I F | BAZIS OKREST- |
||
NOSTEJ TO^KI f(x). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY: |
|||
(A) |
f NEPRERYWNO W |
x, |
|
(B) |
f,1 |
(V ) 2 b(x) DLQ L@BOGO V 2 b(f (x)), |
|
(W) f,1 |
(W ) 2 b(x) DLQ L@BOGO W 2 F. |
||
3. |
z A M E ^ A N I E. iZWESTNOE OPREDELENIE NEPRERYWNOSTI FUNKCII |
||
f : R ! R W TO^KE x 2 R NA QZYKE \" | " SOGLASUETSQ S PRIWEDENNYM•
154
WY[E: W KA^ESTWE BAZISA OKRESTNOSTEJ TO^KI f (x) NUVNO WZQTX SISTEMU
F= f(f (x) , "; f (x) + ")g">0 .
4.[nEPRERYWNOSTX SLOVNOJ FUNKCII]. pUSTX f : E ! F | OTOBRA-
VENIE, NEPRERYWNOE W TO^KE x 2 E, A g : F ! G NEPRERYWNO W TO^KE f (x). tOGDA OTOBRAVENIE g f : E ! G NEPRERYWNO W x.
W 2 b(g(f (x))) ) g,1(W) 2 b(f (x)) ) (g f),1 (W ) = f,1(g,1(W)) 2 b(x): >
5. oTOBRAVENIE f : E |
! F NAZYWAETSQ NEPRERYWNYM, ESLI ONO NEPRE- |
||
RYWNO W KAVDOJ TO^KE x 2 E. |
|
||
6. pUSTX (E; T ); |
(E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA I |
||
f : E ! E0 | OTOBRAVENIE. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY: |
|||
(A) f NEPRERYWNO, |
|
|
|
(B) POLNYJ PROOBRAZ WSQKOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA IZ E0 OTKRYT W |
|||
E, TO ESTX f,1 ( |
0) |
T |
, |
T |
|
|
|
(W) POLNYJ PROOBRAZ WSQKOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA IZ E0 ZAMKNUT
WE.
o^EWIDNO, (B) , (W), (B) ) (A). pOKAVEM, ^TO (A) ) (B). pUSTX V 2 T 0. tOGDA x 2 f,1 (V ) ) f (x) 2 V ) V 2 b(f(x)) ) f,1 (V ) 2 b(x). iZ PROIZWOLXNOSTI x f,1 (V ) 2 T : >
7.z A M E ^ A N I Q. oBRAZ OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA PRI NEPRERYWNOM OTOBRAVENII MOVET NE BYTX OTKRYTYM (SOOTWETSTWENNO ZAMKNUTYM) MNOVESTWOM.
8. |
pUSTX |
(E; T ); |
(E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE |
PROSTRANSTWA |
I |
||||||||||||||||
f : E |
! E0 NEPRERYWNO. |
eSLI TOPOLOGII T |
|
W |
E I |
T 0 W E0 TAKOWY, |
|||||||||||||||
|
T |
T |
|
T |
0 |
T |
0, |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|||
^TO |
e |
|
; |
e |
|
T |
|
TO DANNOE OTOBRAVENIE QWLQETSQ NEPRERYWNYM |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(E0; |
T |
0). w ^ASTNOSTI, ESLI |
T |
|
T |
0 |
||||||||
OTOBRAVENIEM (E; |
e |
) W |
e |
|
DISKRETNA ILI |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
E0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
TRIWIALXNA, TO L@BOE OTOBRAVENIE f : E |
|
NEPRERYWNO. |
|
|
|||||||||||||||||
9. p R I M E R . pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO I a 2 M FIKSIROWANO. tOGDA OTOBRAVENIE x ! d(x; a) (x 2 M) | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE M W R.
155
u P R A V N E N I Q (E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO).
10.oTOBRAVENIE f : E ! R NEPRERYWNO TTOGDA DLQ L@BOGO 2 R MNOVESTWO fx 2 Ej f (x) < g OTKRYTO W E .
11.eSLI OTOBRAVENIE f : E ! RNEPRERYWNO W a 2 E, TO f OGRANI^ENO W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a.
12.eSLI f; g : E ! R NEPRERYWNY W TO^KE a 2 E , TO W TO^KE a NEPRERYWNY TAKVE OTOBRAVENIQ f g; f g; f=g (ESLI g(a) 6= 0).
x97. gOMEOMORFIZMY
1. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA (E; T ) I (E0; T 0) NAZYWA@TSQ GOMEO- MORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET NEPRERYWNAQ BIEKCIQ f : E ! E0 TAKAQ, ^TO OBRATNOE OTOBRAVENIE TAKVE NEPRERYWNO. uKAZANNOE OTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ GOMEOMORFIZMOM. sWOJSTWA TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANST- WA, SOHRANQ@]IESQ PRI GOMEOMORFIZMAH, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI. |TI SWOJSTWA QWLQ@TSQ OSNOWNYM OB_EKTOM WNIMANIQ W TOPOLOGII. gO- MEOMORFNYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA QWLQ@TSQ TOPOLOGI^ESKI \K- WIWALENTNYMI (NERAZLI^IMYMI).
p R I M E R Y. 2. sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ SFERY (W R3 ) S UDALENNYM• SEWERNYM POL@SOM NA PLOSKOSTX R2 | GOMEOMORFIZM.
3.sEPARABELXNOSTX | TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO.
4.dISKRETNOSTX PROSTRANSTWA | TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO.
5.s^ITAETSQ (WSLEDSTWIE GEOMETRI^NOSTI NA[EGO MY[LENIQ), ^TO HO- RO[O USTROENNYMI QWLQ@TSQ EWKLIDOWY PROSTRANSTWA Rn. pO\TOMU TOPO- LOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, WOZNIKA@]IE W PRILOVENIQH (NE WSE, KONE^NO), STARA@TSQ SWESTI POSREDSTWOM GOMEOMORFNYH PREOBRAZOWANIJ K EWKLIDO- WYM. iNOGDA \TO UDAETSQ• SDELATX LI[X LOKALXNO.
bUDEM GOWORITX, ^TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E LOKALXNO GOMEO- MORFNO EWKLIDOWU PROSTRANSTWU Rn , ESLI KAVDAQ TO^KA x 2 E OBLADAET OKRESTNOSTX@, GOMEOMORFNOJ Rn. tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, LOKALX- NO GOMEOMORFNYE EWKLIDOWYM PROSTRANSTWAM, QWLQ@TSQ PREDMETOM IZ- U^ENIQ CELOGO RAZDELA TOPOLOGII | TOPOLOGII MNOGOOBRAZIJ.
6.p R I M E R. oKRUVNOSTX S( R2) LOKALXNO GOMEOMORFNA R (!!). oDNAKO GLOBALXNOGO GOMEOMORFIZMA MEVDU \TIMI TOPOLOGI^ESKIMI PRO-
STRANSTWAMI NET. bOLEE TOGO, S NE GOMEOMORFNA NIKAKOJ ^ASTI R (TOPOLO-
156
GII NA S I NA ^ASTQH R INDUCIROWANY SOOTWETSTWU@]IMI TOPOLOGIQMI IZ R2 I R (SM. NIVE 99.2)):
7. nE SU]ESTWUET NEPRERYWNOGO IN_EKTIWNOGO OTOBRAVENIQ OKRUV- NOSTI S( R2) W R.
pUSTX OTOBRAVENIE : S ! S PEREWODIT TO^KI S W TO^KI, DIAMETRALX- NO PROTIWOPOLOVNYE, A OTOBRAVENIE f : S !
NIE TEPERX SLEDUET IZ FAKTOW:
(A) OTOBRAVENIE g f , f NEPRERYWNO, (B) g = ,g,
(W) ESLI f | IN_EKCIQ, TO g(s) 6= 0 (s 2 S) I, SLEDOWATELXNO, W TO^KAH s I (s) FUNKCIQ g PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW,
(G) TAK KAK S LINEJNO SWQZNO, IZ (A), (W) I 70.4 SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET t 2 S TAKOE, ^TO g(t) = 0; ^TO PROTIWORE^IT (W). >
u P R A V N E N I Q. 8. oTKRYTYJ [AR B1( ) W Rn GOMEOMORFEN WSEMU
PROSTRANSTWU Rn . fiSKOMYJ GOMEOMORFIZM f : Rn ! B1 ( ) MOVET BYTX ZADAN FORMULOJ f(x) = (1 + kxk),1x (x 2 Rn): >
9. sLEDU@]IE SWOJSTWA QWLQ@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI: (A) KONE^NOSTX PROSTRANSTWA, (B) SU]ESTWOWANIE NEPODWIVNOJ TO^KI U KAVDOGO NEPRE- RYWNOGO OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA W SEBQ.
10. pOLNOTA METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (92.10) | NE TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO (W KLASSE METRI^ESKIH PROSTRANSTW).
x98. tOPOLOGIQ, POROVDENNAQ• SEMEJSTWOM MNOVESTW
w \TOM I NESKOLXKIH POSLEDU@]IH PARAGRAFAH MY RASSMOTRIM NEKO- TORYE TIPI^NYE SPOSOBY ZADANIQ TOPOLOGIJ.
1. pUSTX ZADANO NEKOTOROE SEMEJSTWO ^ASTEJ MNOVESTWA E I TREBU- ETSQ ZADATX W E TOPOLOGI@ TAK, ^TOBY WSE MNOVESTWA IZ BYLI OTKRYTY- MI. pRI PODOBNOJ POSTANOWKE ZADA^I OTWET TRIWIALEN: NUVNOMU TREBO- WANI@ UDOWLETWORQET DISKRETNAQ TOPOLOGIQ. mOVNO LI, ODNAKO, UKAZATX NAIBOLEE \\KONOMNU@" TOPOLOGI@ SREDI TEH, W KOTORYH MNOVESTWA IZ OTKRYTY? sDELAEM SNA^ALA POLEZNOE ZAME^ANIE (!!):
2. pUSTX (Ti )i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGIJ W MNOVESTWE E. tOGDA
T = T Ti | TOPOLOGIQ W E.
i2I
157
tOPOLOGIQ, OPREDEL•ENNAQ W \TOM UTWERVDENII, NAZYWAETSQ PERESE^E-
NIEM TOPOLOGIJ Ti (i 2 I).
3. tEPERX OTWETIM NA POSTAWLENNYJ WY[E WOPROS. sEMEJSTWO TOPO- LOGIJ T TAKIH, ^TO T , NE PUSTO (NAPRIMER, W \TO SEMEJSTWO WHODIT
DISKRETNAQ TOPOLOGIQ), I PERESE^ENIE T0 = T QWLQETSQ NAIMENX[EJ
TOPOLOGIEJ, W KOTOROJ MNOVESTWA IZ SISTEMYT OTKRYTY; T0 NAZYWAETSQ
TOPOLOGIEJ, POROVD•ENNOJ SISTEMOJ , A | SISTEMOJ OBRAZU@]IH
TOPOLOGII T0.
4. uKAVEM BOLEE KONSTRUKTIWNYJ METOD POSTROENIQ T0 PO SISTEME. sNA^ALA OBRAZUETSQ SISTEMA 0 MNOVESTW, QWLQ@]IHSQ PERESE^ENIEM KONE^NYH SEMEJSTW IZ SISTEMY . tOGDA SEMEJSTWO WSEWOZMOVNYH OB_EDI-
NENIJ MNOVESTW IZ 0 (S PRISOEDINENNYMI• MNOVESTWAMI E I ; ) QWLQETSQ ISKOMOJ TOPOLOGIEJ T0 (!!).
5. sISTEMA OTKRYTYH PODMNOVESTW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANST- WA E NAZYWAETSQ BAZOJ TOPOLOGII, ESLI WSQKOE OTKRYTOE MNOVESTWO W E QWLQETSQ OB_EDINENIEM MNOVESTW IZ . nAPRIMER, W PRIWEDENNOJ• WY[E KONSTRUKCII 0 QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII T0. gOWORQT, ^TO TOPOLO- GI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOWLETWORQET 2-J AKSIOME S^•ETNOSTI, ESLI ONO OBLADAET S^•ETNOJ BAZOJ.
p R I M E R Y. 6. sISTEMA WSEH ODNOTO^E^NYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E QWLQETSQ BAZOJ DISKRETNOJ TOPOLOGII W E.
7. sISTEMA WSEH OGRANI^ENNYH INTERWALOW S RACIONALXNYMI KONCAMI QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII ^ISLOWOJ PRQMOJ. tAKIM OBRAZOM, RUDOWLETWO- RQET 2-J AKSIOME S^ETNOSTI• .
u P R A V N E N I Q. 8. qWLQETSQ LI TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWO TOPOLOGII OBLADATX S^ETNOJ• BAZOJ?
9.eWKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn OBLADAET S^ETNOJ• BAZOJ.
10.tOPOLOGIQ W `2, OPREDEL•ENNAQ METRIKOJ (SM. 92.8), UDOWLETWORQET 2-J AKSIOME S^ETNOSTI• .
x99. pROOBRAZ TOPOLOGII
1. pUSTX E | MNOVESTWO (BEZ TOPOLOGII) I (E0; T 0 ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO. tREBUETSQ ZADATX W E TOPOLOGI@ TAK, ^TOBY BYLO NEPRE- RYWNO FIKSIROWANNOE OTOBRAVENIE f : E !
158
USLOWI@ BUDET UDOWLETWORQTX DISKRETNAQ TOPOLOGIQ W E . sODERVATELX- NOJ QWLQETSQ ZADA^A ZADANIQ W E NAIBOLEE \\KONOMNOJ" TOPOLOGII SREDI WSEH TOPOLOGIJ, DLQ KOTORYH UKAZANNOE OTOBRAVENIE NEPRERYWNO. rU- TINNAQ PROWERKA POKAZYWAET, ^TO NAIMENX[EJ (SLABEJ[EJ) IZ WSEH TOPO-
LOGIJ W E, OTNOSITELXNO KOTORYH OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO, QWLQETSQ TOPOLOGIQ f,1(T 0) = ff,1 (X0)j X0 2 T 0g | PROOBRAZ TOPOLOGII T 0 OTNO-
SITELXNO OTOBRAVENIQ f.
2. p R I M E R. iNDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ. pUSTX E | TOPOLOGI-
^ESKOE PROSTRANSTWO I X E . sLABEJ[AQ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W X, OTNOSITELXNO KOTORYH NEPRERYWNO TOVDESTWENNOE WLOVENIE iX : X ! E, NAZYWAETSQ INDUCIROWANNOJ (IZ E) TOPOLOGIEJ W X . eSLI T | TOPOLOGIQ W E, TO INDUCIROWANNAQ TOPOLOGIQ TX W X PREDSTAWLQET SOBOJ SEMEJST- WO fU \ Xj U 2 T g. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X; TX ) NAZYWAETSQ
PODPROSTRANSTWOM PROSTRANSTWA (E; T ).
3. pUSTX (X; TX ) | PODPROSTRANSTWO PROSTRANSTWA (E; T ). wSQKOE MNOVESTWO A X , OTKRYTOE (ZAMKNUTOE) W X, OTKRYTO (SOOTWETSTWENNO ZAMKNUTO) W E TTOGDA X OTKRYTO (SOOTWETSTWENNO ZAMKNUTO) W E.
4. oPISANNU@ WY[E KONSTRUKCI@ PROOBRAZA TOPOLOGII MOVNO OBOB- ]ITX NA SLU^AJ PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA OTOBRAVENIJ. pUSTX E | MNO- VESTWO (BEZ TOPOLOGII) I (Ei; Ti)i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PRO- STRANSTW. nAIBOLEE \KONOMNAQ TOPOLOGIQ W E, OTNOSITELXNO KOTOROJ NE- PRERYWNY FIKSIROWANNYE OTOBRAVENIQ fi : E ! Ei (i 2 I), HARAKTERIZU- ETSQ SLEDU@]IM UTWERVDENIEM:
5. tOPOLOGIQ W E S SISTEMOJ OBRAZU@]IH S fi,1 (Ti) QWLQETSQ SLA-
i2I
BEJ[EJ SREDI WSEH TOPOLOGIJ W E, OTNOSITELXNO KOTORYH NEPRERYWNY WSE OTOBRAVENIQ fi (i 2 I ).
6. p R I M E R . pROIZWEDENIE TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. pUSTX
(Ei ; Ti )i2I | SEMEJSTWO TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW I E = Q
i2I
KAVDOGO INDEKSA j 2 I RASSMOTRIM PROEKTIROWANIE pj : E ! Ej , OPRE- DEL•ENNOE FORMULOJ pj ((xi )i2I ) = xj . oPREDELIM W E TOPOLOGI@ T KAK SLABEJ[U@ IZ TOPOLOGIJ, OTNOSITELXNO KOTORYH WSE pj (j 2 I) NEPRE- RYWNY. w \TOM SLU^AE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; T ) NAZYWAETSQ
PROIZWEDENIEM TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW (Ei; Ti ), A TOPOLOGIQ T |
PROIZWEDENIEM TOPOLOGIJ (Ti )i2I. tOPOLOGIQ T POROVDAETSQ SISTEMOJ
159
= |
p,1 |
(U ) j |
2 |
I; U |
2Tj |
, I W SOOTWETSTWII S 98.4{5 BAZOJ \TOJ TOPOLOGII QW- |
||
|
f j |
g |
|
|
|
I Ui, GDE Ui 2 Ti |
||
LQETSQ SISTEMA 0, W KOTORU@ WHODQT MNOVESTWA WIDA i |
2 |
|||||||
I Ui = Ei DLQ WSEH i, KROME KONE^NOGO IH ^ISLA. eSLIQ , W ^ASTNOSTI, |
||||||||
I = |
f1; : : : ; ng, TO PROIZWEDENIE TOPOLOGIJ W E = E1 : : : En IMEET |
|||||||
BAZU fU1 : : : Unj Ui n2 Ti (i = 1; : : : ; n)g. nAPRIMER, TOPOLOGIQ EW- |
||||||||
KLIDOWA PROSTRANSTWA R | TOPOLOGI^ESKOE PROIZWEDENIE n \KZEMPLQROW ^ISLOWYH PRQMYH R.
u P R A V N E N I Q. 7. pUSTX X; Y | ^ASTI TOPOLOGI^ESKOGO PRO- STRANSTWA (E; T ) I X Y . tOGDA ZAMYKANIE X W TOPOLOGII TY ESTX
\Y , GDE X, | ZAMYKANIE X W TOPOLOGII T .
8.w USLOWIQH P. 7 TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ W X IZ E, SOWPADAET S TOPOLOGIEJ, INDUCIROWANNOJ W X IZ Y KAK PODPROSTRANSTWA E.
9.pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOKAVITE, ^TO OTO-
BRAVENIE fx; yg ! d(x; y) PROSTRANSTWA M M (KAK TOPOLOGI^ESKOGO PROIZWEDENIQ PROSTRANSTWA M NA SEBQ) W R NEPRERYWNO.
10.pUSTX (E; T ); (E0; T 0) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. bIEKCIQ f : E ! E0 QWLQETSQ GOMEOMORFIZMOM TTOGDA WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ: (A) T | SLABEJ[AQ IZ TOPOLOGIJ W E, OTNOSITELXNO KOTORYH f NEPRE- RYWNO, (B) T 0 | SILXNEJ[AQ IZ TOPOLOGIJ W E0 , OTNOSITELXNO KOTORYH f NEPRERYWNO.
x100. fINALXNAQ TOPOLOGIQ
1.pUSTX E | MNOVESTWO (BEZ TOPOLOGII) (Ei; Ti)i2I | SEMEJSTWO TO- POLOGI^ESKIH PROSTRANSTW I fi : Ei ! E (i 2 I) | ZADANNYE OTOBRA- VENIQ. eSLI E NADELITX TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ, TO WSE \TI OTOBRA- VENIQ BUDUT NEPRERYWNY. sODERVATELXNOJ QWLQETSQ ZADA^A OPREDELENIQ SILXNEJ[EJ (ILI NAIBOLX[EJ) TOPOLOGII W E SREDI WSEH TOPOLOGIJ, OT-
NOSITELXNO KOTORYH WSE fi BYLI BY NEPRERYWNYMI. iSKOMOJ QWLQETSQ TOPOLOGIQ T = fU Ej fi,1(U ) 2 Ti PRI WSEH i 2 Ig (!!). oNA NAZYWAETSQ FINALXNOJ TOPOLOGIEJ, POROVD•ENNOJ SEMEJSTWOM (fi)i2I .
2.p R I M E R. fAKTOR-TOPOLOGIQ. pUSTX (E; T ) | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I R | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W E. fAKTOR-TOPOLOGIEJ
W E=R (OBOZNA^AETSQ T =R) NAZYWAETSQ FINALXNAQ TOPOLOGIQ, POROVDENNAQ• KANONI^ESKOJ S@R_EKCIEJ ' : E ! E=R. iTAK, T =R = fU E=Rj ',1(U) 2 T g. pARA (E=R; T =R) NAZYWAETSQ FAKTOR-PROSTRANSTWOM.
160