А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
3. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, R | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W E I ' : E ! E=R | KANONI^ESKAQ S@R_EKCIQ. oTO- BRAVENIE f : E=R ! F NEPRERYWNO TTOGDA NEPRERYWNO OTOBRAVENIE g = f '.
eSLI f NEPRERYWNO, TO g = f ' NEPRERYWNO SOGLASNO 96.4. oBRATNO, PUSTX g NEPRERYWNO I V | PROIZWOLXNOE OTKRYTOE MNOVESTWO W F . tOGDA ',1 (f,1 (V )) = g,1(V ) OTKRYTO W E I PO OPREDELENI@ FAKTOR-TOPOLOGII f,1(V ) OTKRYTO W E=R, TO ESTX f NEPRERYWNO. >
iZ DOKAZANNOGO UTWERVDENIQ NEPOSREDSTWENNO SLEDUET:
4.pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, R | OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI W E. sU]ESTWUET ESTESTWENNAQ BIEKCIQ MEVDU NE- PRERYWNYMI OTOBRAVENIQMI IZ E=R W F I NEPRERYWNYMI OTOBRAVE- NIQMI IZ E W F , POSTOQNNYMI NA KAVDOM SMEVNOM KLASSE OTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI R.
5.p R I M E R. oTNO[ENIE \x , y 2 Z" W R QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWI- WALENTNOSTI. sOOTWETSTWU@]EE FAKTOR-PROSTRANSTWO OBOZNA^AETSQ T I NAZYWAETSQ ODNOMERNYM TOROM. sOGLASNO P. 4 SU]ESTWUET ESTESTWENNAQ BIEKCIQ MEVDU NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI PERIODA 1 NA R I NEPRERYW- NYMI FUNKCIQMI NA TORE T.
6.u P R A V N E N I E. oDNOMERNYJ TOR GOMEOMORFEN OKRUVNOSTI.
x101. sHODIMOSTX W TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH
1.kAK NAM IZWESTNO, OSNOWNYE PONQTIQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA W Rn (PREDEL OTOBRAVENIQ, NEPRERYWNOSTX, DIFFERENCIRUEMOSTX I T.D.) MOGUT BYTX OPISANY W TERMINAH SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ WEKTO- ROW. iNSTRUMENTOM POSLEDOWATELXNOSTEJ MOVNO S USPEHOM RABOTATX I W METRI^ESKIH PROSTRANSTWAH. oDNAKO W OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRAN- STWAH POSLEDOWATELXNOSTEJ UVE NEDOSTATO^NO (SM. NIVE UPR. 11).
dLQ POSTROENIQ INSTRUMENTA SHODIMOSTI W OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH NAM PRID•ETSQ POZNAKOMITXSQ S OBOB]ENIEM PONQTIQ PO- SLEDOWATELXNOSTI.
2.pUSTX | BINARNOE OTNO[ENIE W MNOVESTWE A. bUDEM NAZYWATX
IERARHIEJ, ESLI 8x; y 2 A 9z 2 A ( (z; x); (z; y)). rEFLEKSIWNAQ TRAN- ZITIWNAQ IERARHIQ NAZYWAETSQ OTNO[ENIEM NAPRAWLENNOSTI (ILI NA-
161
PRAWLENIEM). w \TOM SLU^AE BUDEM PISATX y x WMESTO (x; y). nE SLE- DUET PUTATX \TO OTNO[ENIE S OTNO[ENIEM PORQDKA!
3. pUSTX E | MNOVESTWO I | NAPRAWLENIE W MNOVESTWE A. wSQKAQ FUNKCIQ x : A ! E NAZYWAETSQ SETX@ (ILI OBOB]ENNOJ• POSLEDOWATELX- NOSTX@) W E. sETX (PO ANALOGII S OBY^NOJ POSLEDOWATELXNOSTX@) OBO- ZNA^AETSQ TAKVE (x ) 2A . dLQ SETI (x ) 2A MNOVESTWO X( E) NAZOWEM•
LOWU[KOJ, ESLI 9 2 A 8 2 A ( ) x 2 X ), I KORMU[KOJ, ESLI
8 2 A 9 2 A ( ; x 2 X).
4. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I (x ) 2A | SETX W E. pO OPREDELENI@ \TA SETX SHODITSQ K TO^KE x 2 E (PI[UT x ! x ILI
x = lim x ), ESLI KAVDAQ OKRESTNOSTX TO^KI x QWLQETSQ LOWU[KOJ \TOJ
2A
SETI. tO^KU x NAZOW•EM PREDELXNOJ TO^KOJ SETI (x ) 2A, ESLI KAVDAQ OKRESTNOSTX TO^KI x QWLQETSQ KORMU[KOJ \TOJ SETI.
5. p R I M E R. pUSTX F | BAZIS OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLO- |
||||||||
GI^ESKOM PROSTRANSTWE E I U |
V (U; V |
2 F) OZNA^AET, ^TO V U . |
||||||
tOGDA |
| NAPRAWLENIE W F, I WSQKAQ FUNKCIQ WYBORA (PRIL. III.7) |
|||||||
U ! xU 2 U (U 2 F) | |
SETX W |
E, |
SHODQ]AQSQ K |
x. |
|
|||
|
|
|
|
|||||
6. pUSTX E | TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I X E. |
||||||||
(A) x0 | PREDELXNAQ TO^KA MNOVESTWA X TTOGDA SU]ESTWUET SETX |
||||||||
(x ) 2A Xnfx0g, SHODQ]AQSQ K x0. |
|
|
SHODQ]AQSQ K |
|||||
B |
2 X, |
TTOGDA SU]ESTWUET SETX |
(x ) 2A X, |
|||||
( ) x0 |
|
|
|
|
|
|||
x0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(A). pUSTX x0 | PREDELXNAQ TO^KA X . wOZXM•EM W KA^ESTWE A KAKOJ-LIBO BAZIS F OKRESTNOSTEJ TO^KI x0. pO PREDPOLOVENI@ DLQ L@BOJ OKRESTNOS-
TI U 2 F : U \ (Xnfx0g) 6= ;. w KA^ESTWE ISKOMOJ SETI x : F ! E MOVNO WZQTX FUNKCI@ WYBORA DLQ SEMEJSTWA fU \ (Xnfx0g)gU2F. w OBRATNU@
STORONU UTWERVDENIE O^EWIDNO; (A) ) (B) (!!) >
7.tOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, W KOTORYH DLQ OPISANIQ SHODIMOSTI DOSTATO^NO POSLEDOWATELXNOSTEJ, HARAKTERIZU@TSQ TREBOWANIEM: KAVDAQ TO^KA PROSTRANSTWA OBLADAET S^•ETNOJ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ OKREST- NOSTEJ (S^ETNYM• BAZISOM OKRESTNOSTEJ). tAKIE PROSTRANSTWA NAZYWA@T- SQ TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI S 1-J AKSIOMOJ S^•ETNOSTI.
8.w TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE S 1-J AKSIOMOJ S^•ETNOSTI TO^- KA x0 | PREDELXNAQ DLQ MNOVESTWA X TTOGDA SU]ESTWUET POSLEDOWA-
162
TELXNOSTX (xn ) Xnfx0g, SHODQ]AQSQ K TO^KE x0 . |
|||||
u P R A V N E N I Q. 9. ~ISLOWOJ RQD |
1 xn SHODITSQ ABSOL@TNO TTOGDA |
||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
SHODITSQ SETX ( |
P |
xn) A , GDE A | SEMEJSTWO WSEH KONE^NYH PODMNOVESTW |
|||
, |
|
2 |
|
. |
|
|
n2 |
|
|
||
MNOVESTWA N NAPRAWLENNOE PO WKL@^ENI@ |
|
||||
10. eSLI TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET 1-J (2-J) AKSIOMOJ S^•ETNOSTI, TO WSQKOE EGO PODPROSTRANSTWO OBLADAET 1-J (SOOTWETSTWENNO 2-J) AKSIOMOJ S^ETNOSTI• .
11. pUSTX 2 f0; 1g | DWUHTO^E^NOE MNOVESTWO, SNABV•ENNOE DIS- KRETNOJ TOPOLOGIEJ, 2R | PROIZWEDENIE R \KZEMPLQROW TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA 2 (SM. 99.6). tAKIM OBRAZOM, TO^KAMI 2R QWLQ@TSQ FUNK- CII ! : R ! f0; 1g. pUSTX A | MNOVESTWO WSEH FUNKCIJ !, U KOTORYH !,1 (f0g) KONE^NO, A !0 OPREDELENA USLOWIEM !0(t) = 0 (t 2 R). pOKAVI- TE, ^TO !0 2 A,, NO NE SU]ESTWUET NI ODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI !n 2 A TAKOJ, ^TO !n ! !0 W 2R.
x102. oTDELIMYE TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA
1.kAK IZWESTNO, SHODQ]AQSQ POSLEDOWATELXNOSTX WEKTOROW W EWKLIDO- WOM PROSTRANSTWE IMEET EDINSTWENNYJ PREDEL. w OB]IH TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTWAH SETX MOVET SHODITXSQ SRAZU K NESKOLXKIM TO^KAM. nAPRI- MER, W PROSTRANSTWE S TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ KAVDAQ SETX SHODITSQ K L@BOJ TO^KE PROSTRANSTWA. ~TOBY USTRANITX NEPRIQTNOSTI TAKOGO SOR- TA, NA TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA OBY^NO NAKLADYWA@T TREBOWANIE, OBESPE^IWA@]EE EDINSTWENNOSTX PREDELA. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ OTDELIMYM, ESLI KAVDYE DWE RAZLI^NYE TO^KI PROSTRANSTWA OBLADA@T NEPERESEKA@]IMISQ OKRESTNOSTQMI. nAPRIMER, KAVDOE METRI- ^ESKOE PROSTRANSTWO OTDELIMO (SM. 92.6).
2.tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OTDELIMO TTOGDA KAVDAQ SETX W \TOM PROSTRANSTWE SHODITSQ NE BOLEE, ^EM K ODNOMU PREDELU.
nEOBHODIMOSTX O^EWIDNA. dOSTATO^NOSTX. pUSTX E NE OTDELIMO, TO ESTX SU]ESTWU@T TO^KI x; y E (x b(x)2 6= y) TAKIE, ^TO 8U 2 8V 2
b(y) (U \ V 6= ;). pOLOVIM A = b(x) b(y) I ZADADIM W A NAPRAWLENIE, S^ITAQ (U; V ) (U0; V 0), ESLI U0 U; V 0 V . w KA^ESTWE SETI z : A ! E WOZXMEM• KAKU@-LIBO FUNKCI@ WYBORA DLQ fU \ V j U 2 b(x); V 2 b(y)g. |TA SETX SHODITSQ K TO^KAM x I y ODNOWREMENNO. >
163
u P R A V N E N I Q. 3. pODPROSTRANSTWO OTDELIMOGO PROSTRANSTWA OTDELIMO.
4. eSLI PROIZWEDENIE Q Ei TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW OTDELIMO, TO
i2I
OTDELIMO KAVDOE PROSTRANSTWO Ei .
x103. pREDEL OTOBRAVENIQ W TO^KE
1. pUSTX E; F | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA, X E I a | PRE- DELXNAQ TO^KA MNOVESTWA X. |LEMENT y 2 F NAZYWAETSQ PREDELOM OTO-
BRAVENIQ f : X ! F W TO^KE a 2 E (PI[UT: y = lim f (x)), ESLI
x!a
|
\ X) U ): |
8U 2 b(y) 9V 2 b(a) (f (V |
2.z A M E ^ A N I E. eSLI F OTDELIMOE PROSTRANSTWO, PREDEL OTOBRA- VENIQ EDINSTWEN, KOLX SKORO ON SU]ESTWUET.
3.pUSTX f : E ! F | OTOBRAVENIE, a 2 E | NE IZOLIROWANNAQ TO^KA. sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(A) f NEPRERYWNO W TO^KE a, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(B) f (a) = lim f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
) lim x |
= a ((x ) |
|
A | |
SETX W |
E) |
|
lim f(x ) = f (a). |
|
|||||||||||
( |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
A |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(A) ) |
(B). pUSTX f NEPRERYWNO W a I U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX |
||||||||||||||||||
TO^KI f (a). tOGDA NAJD•ETSQ V |
2 b(a) TAKAQ, ^TO f (V ) U. tEM BOLEE |
|||||||||||||||||||
f (V |
nf |
a |
g |
) |
|
U , TO ESTX |
lim f(x) = f (a). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(B) |
|
) |
(W) (!!). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 E. tOGDA |
||||||
|
(W) |
|
) |
(A). pUSTX, NAPRIMER, f NE NEPRERYWNO W TO^KE a |
||||||||||||||||
9U |
2 b(f (a)) 8V 2 b(a) (f (V ) 6 U ). oPREDELIM SETX x : |
b(a) ! E, |
||||||||||||||||||
POLOVIW xv |
2 |
V , PRI^EM• f (xv ) |
U |
(V |
2 |
b(a)). tOGDA lim xv = a I W TO |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
V 2b(a) |
|
||
VE WREMQ U NE QWLQETSQ LOWU[KOJ SETI (f (xv ))v2b(a) W F , TO ESTX (W) NE UDOWLETWORQETSQ. >
164
x104. pRODOLVENIE PO NEPRERYWNOSTI
1. pUSTX f; g | NEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ TOPOLOGI^ESKOGO PRO- STRANSTWA E W OTDELIMOE PROSTRANSTWO F, SOWPADA@]IE NA NEKOTO- ROJ PLOTNOJ W E ^ASTI X. tOGDA f = g.
pUSTX a |
2 E I (x ) 2A | SETX W X , SHODQ]AQSQ K a. w SILU 103.3 |
||||||
f (a) = lim f(x ) = lim g(x ) = g(a): |
|
> |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
2A |
2A |
|
|
|
|
|
|
2. pUSTX TEPERX f | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE PLOTNOJ W E ^ASTI X |
|||||||
W OTDELIMOE PROSTRANSTWO F , PRI^EM• W KAVDOJ TO^KE a |
2 E SU]ESTWUET |
||||||
PREDEL lim f (x). tOGDA OPREDELENO OTOBRAVENIE f : E |
! |
F , |
|||||
x!a |
|
|
|
|
ESLI a 2 Xe, |
|
|
|
f (a) = |
f (a); |
|
|
|||
|
e |
( xlim!a f (x); |
ESLI a 2 EnX . |
|
|
||
bUDET LI f |
NEPRERYWNO? oKAZYWAETSQ, OTWET WSEGDA POLOVITELEN, ESLI |
||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
F UDOWLETWORQET TREBOWANI@ REGULQRNOSTI. |
|
|
|||||
3. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ REGULQRNYM, ESLI KAVDAQ EGO TO^KA OBLADAET FUNDAMENTALXNOJ SISTEMOJ ZAMKNUTYH OKRESTNOSTEJ. w ^ASTNOSTI, WSQKOE METRI^ESKOE PROSTRANSTWO REGULQRNO.
4. pUSTX f : X ! F NEPRERYWNO, X ( E) PLOTNO W TOPOLOGI^ESKOM
PROSTRANSTWE E, A F OTDELIMO I REGULQRNO. pRI \TOM PUSTX lim f (x)
x!a
SU]ESTWUET DLQ WSQKOGO a 2 E. tOGDA SU]ESTWUET I OPREDELENO ODNO- ZNA^NO NEPRERYWNOE PRODOLVENIE f NA E.
pUSTX U | PROIZWOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI f (a), GDE f OPREDELE- |
||||||||||||||||
NO WY[E. pUSTX DALEE W | ZAMKNUTAQ OKRESTNOSTX TO^KI f |
(a) TAKAQ, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
^TO W |
|
|
U. pUSTX V | OTKRYTAQ OKRESTNOSTXeTO^KI a eTAKAQ, ^TO |
|||||||||||||
f ((V |
|
X) |
|
a ) |
W. tOGDA DLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x |
|
V |
|
I L@BOJ |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
SHODQ]EJSQ K |
|
|
|
A |
2 |
2 |
|
|
|
|
SETI |
\ nf g |
x: |
f (x) = lim f (x ) |
|
, |
|
SM |
|||||||||
|
(x ) A |
|
X, |
|
|
W |
|
= W ( . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
||
101.6(B)). tAKIM OBRAZOM, f(V ) |
|
W |
U: |
> |
|
|
|
|
|
|
||||||
5. z A M E ^ A N I E. weDOKAZANNOM UTWERVDENII NELXZQ, WOOB]E GO- |
||||||||||||||||
WORQ, |
OSLABITX TREBOWANIE REGULQRNOSTI F (MY NE OSTANAWLIWAEMSQ NA |
|||||||||||||||
DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA).
u P R A V N E N I Q. 6. pOSTROITX PRIMER OTOBRAVENIQ f : E ! F ,
GDE F OTDELIMO, TAKOGO, ^TO lim f (x) SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE a 2 E,
x!a
I W TO VE WREMQ f NE NEPRERYWNO.
165
7.w MNOVESTWE, SOSTOQ]EM IZ TREH \LEMENTOW, UKAZATX NEOTDELIMU@, NO REGULQRNU@ TOPOLOGI@.
8.pOKAZATX, ^TO TOPOLOGIQ W Q, POROVDENNAQ• INDUCIROWANNOJ TOPO- LOGIEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ RI MNOVESTWOM K WSEH DESQTI^NO-RACIONALXNYH
^ISEL (TO ESTX ^ISEL WIDA = a0; a1 : : : as , GDE a0 2 Z, A ak 2 f0; 1; : : : ; 9g, k > 1) OTDELIMA, NO NE REGULQRNA.
9.eSLI E | REGULQRNOE TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO I X E, TO INDUCIROWANNAQ W X TOPOLOGIQ REGULQRNA.
10.eSLI E = X [ fag I a 2 X,, TO UTWERVDENIE P. 4 SPRAWEDLIWO BEZ PREDPOLOVENIQ REGULQRNOSTI F .
x105. kOMPAKTNYE PROSTRANSTWA
1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E NAZYWAETSQ KOMPAKTNYM, ESLI IZ WSQKOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ E MOVNO WYDELITX KONE^NOE POKRYTIE (SR. 64.1).
2. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO E KOMPAKTNO TTOGDA KAVDAQ SETX W E OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ. eSLI, W ^ASTNOSTI, E | PROSTRAN- STWO SO 2-J AKSIOMOJ S^•ETNOSTI, TO E KOMPAKTNO TTOGDA KAVDAQ POSLEDOWATELXNOSTX W E OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOS- TX@.
nEOBHODIMOSTX. pUSTX, NAPROTIW, NEKOTORAQ SETX (x ) 2A W KOM- PAKTNOM PROSTRANSTWE E NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ:
8 |
x |
2 |
E |
9 |
U(x) |
2 |
|
(x) |
\ T 9 |
x |
2 |
A |
8 |
|
2 |
A |
( x |
|
|
) |
62 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sISTEMA fU (x)gx2E OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE E. pO\TOMU SU]EST- |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
f |
n |
g |
|
|
WU@T x1; : : : ; xn |
|
E TAKIE, ^TO |
|
U (x1 ); : : : ; U (xn ) | POKRYTIE E. dLQ |
||||||||
|
2 A TAKOGO, ^TO x1 ; : : : ; xn |
: x 62i=1 U(xi) = E | PROTIWORE^IE. |
||||||||||
nEOBHODIMOSTX ^ASTNOGO UTWERVDENIQ TEPERXS |
O^EWIDNA, ESLI ZAMETITX, |
|||||||||||
^TO POSLEDOWATELXNOSTX OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ TTOGDA ONA SODER- |
||||||||||||
VIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. |
|
|
|
|||||||||
|
dOSTATO^NOSTX. pUSTX E | NE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I (U ) |
2 |
A |
|||||||||
| OTKRYTOE |
POKRYTIE |
E TAKOE, ^TO DLQ |
|
|
||||||||
KAVDOJ KONE^NOJ ^ASTI |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A : x |
|
( U )c |
= |
. rASSMOTRIM W KA^ESTWE SETI (x ) KAKU@- |
||||||
NIBUDX FUNKCI@ WYBORAS |
DLQ SEMEJSTWA (x ) (MY S^ITAEM 0 , ESLI |
|||||||||||
166
0 ). nO TOGDA SETX (x ) NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ. dEJSTWITELXNO, ESLI a | TAKAQ TO^KA I 2 A TAKOWO, ^TO a 2
8 (f g ) x 2 ( S2 U )c ), TO ESTX x 62U .
dOKAVEM TEPERX DOSTATO^NOSTX ^ASTNOGO UTWERVDENIQ. pUSTX KAV- DAQ POSLEDOWATELXNOSTX W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E SO 2-J AKSIO- MOJ S^ETNOSTI• OBLADAET PREDELXNOJ TO^KOJ. pROWERKA KOMPAKTNOSTI E PROWODITSQ PO SLEDU@]EJ SHEME:
(A) IZ PROIZWOLXNOGO OTKRYTOGO POKRYTIQ (U ) 2B WYDELQEM S^ETNOE• POKRYTIE (U ) 2A (SM. NIVE P. 10);
(B) DALEE DEJSTWUEM PO SHEME OB]EGO SLU^AQ, RAZOBRANNOGO WY[E: PRED- POLAGAQ, ^TO E NE KOMPAKTNO, NAHODIM POSLEDOWATELXNOSTX (x ) \LEMEN- TOW E (A | S^ETNO• !), NE OBLADA@]U@ NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ. >
3. ~ASTX K TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA NAZOWEM• KOMPAKTOM (ILI KOMPAKTNYM MNOVESTWOM), ESLI K | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO W INDU- CIROWANNOJ TOPOLOGII.
4. z A M E ^ A N I E. ~ASTX K TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E QWLQETSQ KOMPAKTOM TTOGDA WSQKOE OTKRYTOE (W E) POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE POKRYTIE.
5. p R I M E R. w EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH KOMPAKTNYE MNOVESTWA HARAKTERIZU@TSQ HORO[O IZWESTNYMI USLOWIQMI (SM. 64.2). w ^ASTNOS-
TI, EDINI^NAQ SFERA S = fx 2 Rn : |
kxk = 1g |
| KOMPAKT. oDNAKO W |
|||||||
BESKONE^NOMERNYH PROSTRANSTWAH TEOREMA 64.2 UVE MESTA NE IMEET. pO- |
|||||||||
2 |
|
f |
|
2 |
|
nP=1 j |
j |
|
g |
KAVEM, NAPRIMER, ^TO EDINI^NAQ SFERA S = |
|
x |
|
`2 : |
1 |
xn |
2 |
= 1 W |
|
` NE KOMPAKTNA (W TOPOLOGII, OPREDELQEMOJ METRIKOJ, SM. 92.8). dEJST- WITELXNO, ESLI DOPUSTITX, ^TO OTKRYTOE POKRYTIE fB1=2(x)gx2S SFERY S SODERVIT KONE^NOE POKRYTIE, TO BESKONE^NOE ^ISLO \LEMENTOW WIDA en = (0; : : : :; 0; 1; 0; : : :) (1 NA n-OM MESTE) DOLVNO POPASTX W ODIN IZ [A- ROW WIDA B1=2(x). oDNAKO W \TOT [AR DIAMETRA 1 NE MOGUT POPASTX DAVE DWA \LEMENTA UKAZANNOGO WIDA, TAK KAK d(en; em) = p2 > 1 (n 6= m).
6.w OTDELIMOM PROSTRANSTWE KAVDYJ KOMPAKT ZAMKNUT.
pUSTX K | KOMPAKT W OTDELIMOM PROSTRANSTWE E I a 62K. dLQ KAVDOJ TO^KI x 2 K PUSTX Ux I Vx | OTKRYTYE OKRESTNOSTI TO^EK x I a SOOTWETSTWENNO I TAKIE, ^TO Ux \Vx = ;. iZ OTKRYTOGO POKRYTIQ (Ux)x2K
167
n |
n |
||
MNOVESTWA K WYBEREM KONE^NOE: K i=1 Uxi . tOGDA V |
i=1 Vxi 2 b(a), |
||
PRI^EM• V \ K = ;, TO ESTX Kc OTKRYTO.S |
|
> |
T |
|
|||
|
|||
7. w KOMPAKTNOM PROSTRANSTWE KAVDOE ZAMKNUTOE MNOVESTWO QW- LQETSQ KOMPAKTOM.
pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I K( E) ZAMKNUTO, A (U ) 2A | OTKRYTOE POKRYTIE K (W E). tOGDA fKc; (U ) 2Ag | OTKRYTOE POKRYTIE
E. >
8. oTDELIMOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO REGULQRNO.
pUSTX E | OTDELIMOE KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, x |
2 E PROIZWOLXNO I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = fU,j U |
2 b(x)g. pOKAVEM, ^TO F |
| FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA (ZAMK- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
NUTYH) OKRESTNOSTEJ TO^KI x. pUSTX V |
2 |
b(x) PROIZWOLXNO. rASSMOTRIM |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
OTKRYTOE POKRYTIE E : |
f |
V 0 |
; (U,c ) |
|
(\TO DEJSTWITELXNO POKRYTIE: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
U2b(x)g |
|
2 |
|
|
|
9 |
|
2 |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
x |
V I W SILU OTDELIMOSTI E : |
|
6 |
c9 |
U |
b(x) |
W |
b(y) (U |
V = |
), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
y(= x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||
TO ESTX y U, I, SLEDOWATELXNO, y |
|
U, ). tAK KAK E | KOMPAKTNOE PRO- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
STRANSTWO, DANNOE POKRYTIE SODERVIT KONE^NOE: |
f |
V |
|
; U, |
; : : : ; U, |
|
|
g |
. sLE- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
c |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
S |
U,c |
|
|
|
T |
U, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
DOWATELXNO, |
|
|
= |
|
|
|
V 0 . tAKIM OBRAZOM, DLQ PROIZWOLXNOJ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
OKRESTNOSTI V 2 b(x) NAJDENO F 2 F (F = i=1 Ui,) TAKOE, ^TO F |
V: |
|
> |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u P R A V N E N I Q. 9. kOMPAKTNOSTX PROSTRANSTWA | TOPOLOGI^ESKOE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
SWOJSTWO.
10. eSLI TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO OBLADAET 2-J AKSIOMOJ S^ET• - NOSTI, TO KAVDOE OTKRYTOE EGO POKRYTIE SODERVIT S^•ETNOE POKRYTIE.
x106. nEPRERYWNYE OTOBRAVENIQ KOMPAKTNYH PROSTRANSTW
1. pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I f : E ! E0 | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE. tOGDA f(E) KOMPAKT W E0.
pUSTX (U ) 2A | OTKRYTOE POKRYTIE f (E). tOGDA (f,1 (U )) 2A | OTKRYTOE POKRYTIE E, I PO\TOMU SU]ESTWUET KONE^NAQ ^ASTX MNOVES-
TWA A TAKAQ, ^TO E = |
|
|
f,1(U ). oTS@DA (U ) |
| KONE^NOE POKRYTIE |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
MNOVESTWA f (E): |
|
> S |
|
|
||
|
|
|
||||
2. eSLI E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I f : E ! F | NEPRERYWNAQ BIEKCIQ E NA OTDELIMOE PROSTRANSTWO F, TO f | GOMEOMORFIZM.
168
pOKAVEM, ^TO DLQ WSQKOGO ZAMKNUTOGO MNOVESTWA X E MNOVESTWO f (X) ZAMKNUTO W F . iZ 105.7 X | KOMPAKT W E, A ZNA^IT, f(X ) KOMPAKT W F . iZ 105.6 f (X) ZAMKNUTO W F: >
sLEDU@]IE SWOJSTWA NEPRERYWNYH OTOBRAVENIJ QWLQ@TSQ OBOB]E- NIEM HORO[O IZWESTNYH SWOJSTW NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA KOMPAKTNYH MNOVESTWAH W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH (x70).
3. pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO I OTOBRAVENIE f : E ! R NEPRERYWNO. tOGDA
(A) OTOBRAVENIE f OGRANI^ENO,
(B) OTOBRAVENIE f DOSTIGAET SWOIH GRANEJ,
(A). sEMEJSTWO ff,1((,n; n))gn2N OBRAZUET OTKRYTOE POKRYTIE KOM- PAKTNOGO PROSTRANSTWA E I IZ NEGO MOVNO WYDELITX KONE^NOE POKRY- TIE. |TO OZNA^AET, ^TO E = f,1 ((,n; n)) PRI NEKOTOROM n 2 N, TO ESTX 8x 2 E (jf (x)j < n), TAK ^TO f OGRANI^ENO. (B) (!!). >
w KA^ESTWE PRILOVENIQ USTANOWIM POLEZNYJ GEOMETRI^ESKIJ FAKT, PRI DOKAZATELXSTWE KOTOROGO OPU]EN RQD DETALEJ, W REZULXTATE ^EGO PO- LU^ILOSX POLEZNOE UPRAVNENIE.
4. wYPUKLYJ KOMPAKT P ( Rn ) S NEPUSTOJ WNUTRENNOSTX@ GOMEO- MORFEN ZAMKNUTOMU EDINI^NOMU [ARU W Rn.
nAPOMNIM SNA^ALA, ^TO MNOVESTWO P ( Rn) NAZYWAETSQ WYPUKLYM, ESLI 8x; y 2 P 8t 2 [0; 1] (tx + (1 , t)y 2 P ). bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO 2 P . pUSTX S = fu 2 Rn : kuk = 1g | EDINI^NAQ SFERA. oPREDELIM OTOBRAVENIE ' : S ! R, S^ITAQ, ^TO '(u) (u 2 S) | \TO POLOVITELXNOE ^ISLO, ODNOZNA^NO OPREDELENNOE• TREBOWANIQMI:
u 2 P PRI 0 |
'(u), |
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u P PRI > '(u). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iSKOMYJ GOMEOMORFIZM |
|
|
! B1[ ] |
MOVET BYTX OPREDELEN FORMULOJ |
|||||
|
|
f : P |
|
|
• |
||||
|
|
['( |
|
v |
|
)],1; |
ESLI = v |
2 |
P , |
|
f(v) = |
|
v |
|
|||||
|
( ; |
k |
k |
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
ESLI v = . |
|
||||
sKAZANNOE WY[E TREBUET OBOSNOWANIQ. oTMETIM, ^TO DLQ \TOGO SLEDUET SDELATX:
169
1)iZ OGRANI^ENNOSTI I WYPUKLOSTI P WYWESTI, ^TO ^ISLO '(u) DEJ- STWITELXNO OPREDELENO ODNOZNA^NO.
2)qSNO, ^TO f | IN_EKCIQ, I f(P ) B1[ ]. nA SAMOM DELE, f I S@R_- EKCIQ.
3)s U^ETOM• P. 2 OSTA•ETSQ PROWERITX, ^TO f NEPRERYWNO. dLQ \TOGO W
SWO@ O^EREDX DOSTATO^NO DOKAZATX NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ '. tOGDA
NEPRERYWNOSTX f NA MNOVESTWE P nf g SLEDUET NEPOSREDSTWENNO, A NEPRE- RYWNOSTX f W TO^KE QWLQETSQ SLEDSTWIEM TOGO, ^TO '(u) > 0 (u 2 S) I SWOJSTWA P. 3(B). >
x107. pROIZWEDENIE KOMPAKTNYH PROSTRANSTW
cELX@ \TOGO PARAGRAFA QWLQETSQ DOKAZATELXSTWO FUNDAMENTALXNOJ TEOREMY a.n. tIHONOWA.
pUSTX Ei (i 2 I) | TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. pROIZWEDENIE E = Q Ei | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO TTOGDA KOMPAKTNO KAVDOE
i2I
Ei (i 2 I).
nEOBHODIMOSTX. pUSTX E | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. tAK KAK Ei | OBRAZ E PRI KANONI^ESKOM PROEKTIROWANII pi, TO W SILU 106.1 Ei | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO (i 2 I).
dOSTATO^NOSTX. pUSTX WSE Ei (i 2 I) | KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA. dOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO E NE KOMPAKTNO, TO ESTX SU]ESTWU@T OTKRYTYE POKRYTIQ E, NE SODERVA]IE KONE^NYH POKRYTIJ. mNOVESTWO WSEH TAKIH POKRYTIJ, UPORQDO^ENNOE PO WKL@^ENI@, QWLQETSQ INDUKTIWNYM (!!). pO TEOREME cORNA (PRIL. III.11) SU]ESTWUET MAKSIMALXNOE OTKRYTOE POKRY- TIE = (U ) 2A, NE SODERVA]EE KONE^NOGO POKRYTIQ. iZ MAKSIMALXNOSTI
(A) ESLI ( A) KONE^NO, TO S U 2 ,
2
(B) ESLI U OTKRYTO W E I 8 2 A (U [ U 6= E), TO U 2 .
w MNOVESTWE A ESTESTWENNO WWODITSQ NAPRAWLENIE: , ESLI U U .
rASSMOTRIM TEPERX SETX x = (x ) 2A W E TAKU@, ^TO x 2 EnU ( 2 A). |TA SETX NE OBLADAET NI ODNOJ PREDELXNOJ TO^KOJ W E fESLI, NAPROTIW, a 2 E | PREDELXNAQ TO^KA DLQ x, TO a 2 U 0 PRI NEKOTOROM 0 2 A, NO U 0
NE QWLQETSQ KORMU[KOJ DLQ x, IBO 8 ( 0 ) x 2 EnU 2 EnU 0 )g. oDNAKO, PRI KAVDOM i 2 I SETX (pi(x )) 2A W Ei OBLADAET PREDELXNOJ
170