А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdf
p R I M E R Y. 5. nAJDEM• PROIZWODNYE -FUNKCII:
h 0; 'i = ,h ; '0i = ,'0(0); h 00; 'i = ,h 0; '0i = '00(0); : : : ; h (k); 'i = (,1)k '(k)(0):
6. nAJDEM• PROIZWODNU@ OT FUNKCII h\WISAJDA h (0;+1) W SMYSLE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ NAD S. iMEEM
hh0; 'i = ,hh; '0i = Z0+1'0(x)dx = '(0) (' 2 S);
TAK ^TO hh; i0 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. pUSTX f | 2 -PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, ZADANNAQ NA PERIODE RAWEN- |
||||||||||||||
STWAMI |
|
|
|
|
|
, x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
; |
ESLI 0 < x < 2 , |
|
|||||
|
|
f (x) = ( 0; |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
ESLI x = 0; 2 . |
|
|||||||||
eE• RQD fURXE (ON SHODITSQ POTO^E^NO) IMEET WID |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin nx |
|
|
( ) |
|
|
|
f (x) = |
X |
|
n : |
|
|
|||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|TOT RQD SHODITSQ W SMYSLE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ NAD D |
(!!). pO\TOMU |
|||||||||||||
OBOB]•ENNAQ PROIZWODNAQ FUNKCII f W SOOTWETSTWII S P. 8 (SM. NIVE) |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RAWNA hf; i0 = h,2 + |
P |
2 j |
; i, TO ESTX |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
2 X |
|
|
|||
hf; 'i0 = ,2 |
'(x) dx + |
|
'(2 j) (' 2 D): |
|||||||||||
j |
supp(') |
|||||||||||||
s DRUGOJ STORONY, DIFFERENCIRUQ PO^LENNO RQD ( ) SOGLASNO P. 4, IMEEM
RAWENSTWO W SMYSLE OBOB]ENNYH• FUNKCIJ f (x) = P cosnx (RQD W PRAWOJ
0 1
n=1
^ASTI W SMYSLE OBY^NYH FUNKCIJ RASHODITSQ!).
u P R A V N E N I Q. 8. pUSTX f 2 Rloc1 KUSO^NO-GLADKAQ NA KAVDOM OTREZKE, PRI^EM• f0(xi +), f0(xi,) = hi (i = 1; : : : ; s). tOGDA PROIZWODNAQ FUNK-
CII f W SMYSLE OBOB]ENNYH• FUNKCIJ IMEET WID hf; i0 = hf0 + (SM. 175.6).
281
9. nAJTI PREDEL |
lim |
1 |
|
sin |
x |
W |
D |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
"!0+ x |
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
dOKAZATX |
, |
^TO RQDY |
A |
) |
+1 |
|
B |
1 |
(n) SHODQTSQ W |
D0 |
PRI |
||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
P |
an n, ( ) |
n=0 an( n) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L@BYH an. kAKOE USLOWIE SLEDUET NALOVITX NA an, ^TOBY RQD (A) SHODILSQ |
||||||||||||||||||||
W S0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
j |
|
00, |
11. nAJTI PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH• |
FUNKCIJ: |
x |
x |
|||||||||||||||||
[ (x)h(x)]0 ( |
| GLADKAQ FUNKCIQ, h | FUNKCIQ h\WISAJDA). |
j j |
|
j |
|
|||||||||||||||
x176. pREOBRAZOWANIE fURXE OBOB]•ENNYH FUNKCIJ
1. pREOBRAZOWANIEM fURXE (OBRATNYM PREOBRAZOWANIEM fURXE) OB-
OB]ENNOJ• FUNKCII 2 S0 NAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ ] (SOOTWET-
STWENNO [), OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM h ]; 'i h ; ']i; ' 2 S (SOOT- WETSTWENNO h [; 'i h ; '[i).
kORREKTNOSTX OPREDELENIQ SLEDUET IZ TOGO, ^TO ]) : S ! S | LI- NEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE (171.7). oTMETIM OSNOWNYE SWOJSTWA
PREOBRAZOWANIQ fURXE OBOB]ENNYH• |
FUNKCIJ. |
|
2. ][ = [] = . |
|
|
] |
|
|
3. n ! ( n; 2 S0) ) n ! ]; n[ ! [. |
|
|
4. oTOBRAVENIQ ]);[ ) : S0 ! S0 SUTX BIEKCII. |
|
|
p. 2: h ][; 'i = h ]; '[i = h ; '[]i = h ; 'i (' |
2 S ). |
|
p. 3: |
|
|
n ! ) h n]; 'i = h n ; ']i ! h ; ']i = h ]; 'i(' 2 S) ) ]n ! ]:
p. 4. 2 S0 ) = ( [)] ) ]) | S@R_EKCIQ. ] = F ](F; 2 S0) ) =][ = F][ = F ) ]) | IN_EKCIQ. >
iMEET MESTO ANALOG SWOJSTWA 168.8.
5.dLQ KAVDOJ 2 S0 : 0 = i ]x[.
dLQ L@BOJ ' 2 S IMEEM (SM. 168.8)
h 0; 'i = ,h ; '0i = ,h ; i']x[i:
282
oDNAKO
] |
[ |
|
|
|
1 |
|
|
its |
|
|
|
is |
|
|
|
||
' x |
|
(t) |
= |
|
2 Z e |
|
ds |
sZ e, |
|
|
'( )d [DELAEM ZAMENU s ! ,s] |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
its |
|
|
is |
[ ] |
|
|||
|
|
|
= |
,2 Z |
e, |
|
ds sZ |
e |
|
|
'( ) d = ,' x |
(t): |
|||||
pO\TOMU h 0; 'i = ih ; '[x]i = hi ]x[; 'i (' 2 S): >
6. p R I M E R. nAJDEM• PREOBRAZOWANIE fURXE -FUNKCII:
h ]; 'i = h ; ']i = '](0) = p12 Z '(t)dt = hp12 ; 'i (' 2 S );
OTKUDA ] = p12 . aNALOGI^NO, [ = p12 .
x177. pROSTEJ[IE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W KLASSE OBOB]ENNYH• FUNKCIJ
1. rASSMOTRIM PROSTEJ[EE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE
(1) |
|
|
|
|
|
|
0 = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
bUDEM RE[ATX EGO W PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH• |
FUNKCIJ S0. wOSPOLXZUEM- |
||||||||||||||||
SQ REZULXTATOM 176.5. iZ NEGO SLEDUET, ^TO (1) \KWIWALENTNO URAWNENI@ |
|||||||||||||||||
]x = 0 ILI, ^TO WS•E RAWNO, URAWNENI@ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2) |
|
|
|
|
h ]; 'xi = 0 (' 2 S): |
|
|
|
|
|
|||||||
zAFIKSIRUEM FUNKCI@ '0 |
2 S TAKU@, ^TO '0(0) = 1: tOGDA KAVDAQ FUNK- |
||||||||||||||||
CIQ ' 2 S ODNOZNA^NO PREDSTAWIMA W WIDE ' = |
|
x + '0 , GDE | PODHO- |
|||||||||||||||
DQ]AQ FUNKCIQ IZ |
S. f |
dEJSTWITELXNO |
, = '(0) |
I |
x = ' , '0, |
PRI^EM |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|||||||
2 S W SILU 171.8.g tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE URAWNENIQ (2), UDOWLETWO- |
|||||||||||||||||
RQ@]EGO NA^ALXNOMU |
|
|
USLOWI@ |
] |
|
|
|
NAHODITSQ IZ RAWENSTWA |
|
||||||||
\ |
|
" |
|
|
|
h ; '0i |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
h ]; 'i = '(0)h ]; '0i; ' 2 S: |
|
|
|
|||||||||||||
iTAK, ] = , TAK ^TO = [ = |
p |
1 |
. mY PRI[LI K UTWERVDENI@ |
|
|||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
2. oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (1) W S0 |
IMEET WID |
= const. |
|
|
|||||||||||||
283
z A M E ^ A N I Q. 3. kAK IZWESTNO, OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (1) W OBY^NYH FUNKCIQH TAKVE = const. pOSKOLXKU, ODNAKO, KLASS S0 SU- ]ESTWENNO [IRE KLASSA OBY^NYH FUNKCIJ, POLU^ENNYJ WY[E REZULXTAT ZARANEE NE BYL QSEN.
4. mOVNO BYLO BY RE[ATX URAWNENIE (1) W KLASSE D0. uTWERVDENIE P. 2 SOHRANQETSQ I DLQ \TOGO SLU^AQ, PRI^EM IZ NEGO W SILU ZAME^ANIQ 172.2 SLEDUET REZULXTAT P. 2 DLQ S0.
|
rASSMOTRIM TEPERX BOLEE OB]EE URAWNENIE |
(3) |
0 = F; |
GDE W PRAWOJ ^ASTI STOIT IZWESTNAQ OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ.
5.z A M E ^ A N I E. eSLI RE[ENIE (3) SU]ESTWUET, TO W SILU P. 2 ONO EDINSTWENNO S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO.
6.uRAWNENIE (3) RAZRE[IMO W S0.
bERQ PREOBRAZOWANIE fURXE OT OBEIH ^ASTEJ (3) I ISPOLXZUQ 176.5, POLU^IM x = F ]. oBOZNA^AQ =
\KWIWALENTNOMU URAWNENI@ W PROSTRANSTWE ,iF ], PRIHODIM K= ]; GS0 :0] = i ]
(4) |
x = G: |
rE[ENIEM \TOGO URAWNENIQ QWLQETSQ, NAPRIMER, OBOB]ENNAQ• FUNKCIQ , ZADANNAQ RAWENSTWOM h ; 'i = hG; A0'i (' 2 S), GDE A0 | LINEJNOE NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE, OPREDEL•ENNOE W 171.8. w SAMOM DELE,
h x; 'i = h ; 'xi = hG; A0 ('x)i = hG; 'i (' 2 S)
(TAK KAK A0 ('x)(t) = '(t); t 2 R): >
u P R A V N E N I Q. 7. rE[ITX URAWNENIE (1) W D0. 8. nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (n) = 0 W S0.
284
|lementy integrirowaniq po mnogoobraziqm
x178. gLADKIE KRIWYE
1. gLADKOJ KRIWOJ W Rn NAZYWAETSQ PARA f ; x : [a; b] ! Rng ILI, KORO^E, f ; x( )g, GDE
(A) = fx(t)j a t bg ( Rn ),
(B) WEKTOR-FUNKCIQ x GLADKAQ, PRI^EM• 8t 2 [a; b] (x0(t) 6= 0).
nEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLADKOJ KRIWOJ W Rn NAZYWAETSQ PARA f ; x( )g,
PRI^EM• UDOWLETWORQ@TSQ TREBOWANIQ (A) I
(B0 ) WEKTOR-FUNKCIQ x NEPRERYWNA I SU]ESTWUET RAZLOVENIE (a =
t0 < t1 < : : : < tk = b) TAKOE, ^TO DLQ L@BOGO i (1 i k) PARA f i; x : [ti,1; ti ] ! Rng | GLADKAQ KRIWAQ.
nEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ f ; x : [a; b] ! Rng NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI x(a) = x(b). fUNKCI@ x( ) BUDEM NZYWATX PARAMETRI-
ZACIEJ KRIWOJ .
2. gLADKIE KRIWYE f ; x : [a; b] ! Rng I f ; x : [c; d] ! Rng S^ITA@TSQ RAWNYMI, ESLI = I PARAMETR t, S POMO]X@e eKOTOROGO OSU]ESTWLQETSQ PARAMETRIZACIQ , eSWQZAN S PARAMETROM , PARAMETRIZU@]IM , DOPUS- TIMYM OBRAZOM, TO ESTX FUNKCIQ t = ( ) (c d) GLADKAQe, STROGO MONOTONNAQ I 0( ) 6= 0 ( 2 [c; d]). w SILU DANNOGO SOGLA[ENIQ ODNA I TA VE KRIWAQ DOPUSKAET RAZLI^NYE PARAMETRIZACII.
3. wWEDEM• SPECIALXNU@ PARAMETRIZACI@ NEPRERYWNOJ KUSO^NO-GLAD |
|||||||
KOJ KRIWOJ |
f |
; x : [a; b] |
! |
Rn |
g |
. pUSTX s(t) = |
t[ n xi0( )2]1=2d | DLINA |
|
|
|
|
Za iP=1 |
|||
DUGI NA[EJ KRIWOJ OT NA^ALXNOJ TO^KI a DO PEREMENNOJ TO^KI t (\TA WE- LI^INA W DANNOM SLU^AE KORREKTNO OPREDELENA). oBOZNA^IM ` = s(b) I ZA-
DADIM OTOBRAVENIE p : [0; `] ! Rn. pOLOVIM p(0) = x(a); p(s) |
x(t) 2 |
, |
|||||||
GDE t [a; b] TAKOWO, ^TO s(t) = s. w ^ASTNOSTI, p(`) = x(b). oTOBRAVE- |
|||||||||
n ! |
|
f |
|
! |
|
g |
|
f |
|
NIE p2: [0; `] |
Rn PARAMETRIZUET , PRI^EM• |
|
; x : [a; b] |
|
Rn |
|
= |
|
; |
p : [0; `] ! R g W SMYSLE P. 2, TAK KAK s0(t) = kx0 |
(t)k > 0 (a t b). |
|
|
||||||
285
x179. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODA
1. pUSTX f ; p : [0; `] ! Rng | NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ, PARAMETRIZOWANNAQ DLINOJ DUGI s. pUSTX f : ! R| NEPRERYWNAQ FUNK-
CIQ. kRIWOLINEJNYM INTEGRALOM 1-GO RODA OT FUNKCII f WDOLX KRIWOJ
NAZYWAETSQ INTEGRAL
(1) |
Z f |
Z0`f (p(s)) ds: |
|
|
|
z A M E ^ A N I Q. 2. eSLI KRIWAQ PARAMETRIZOWANA KAKIM-LIBO PA- RAMETROM t, OTLI^NYM OT s, TO S U^ETOM• 178.3 I FORMULY ZAMENY PE-
REMENNOJ POLU^IM WYRAVENIE DLQ KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA PO KRIWOJ f ; x : [a; b] ! Rng:
|
|
|
` |
b |
|
|
|
|
|
(2) |
Z |
f = Z0 |
f(p(s))ds = Za f(x(t))kx0(t)k dt: |
|
|
||||
|
3. wELI^INA KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA 1-GO RODA NE ZAWISIT OT NA- |
||||||||
PRAWLENIQ OBHODA KRIWOJ: POLAGAQ |
= ` |
, |
s; |
p( ) = p(` |
, |
), IMEEM |
|||
` |
0 |
|
` |
|
|
e |
|
||
Z0 f (p( ))d = Z` |
f(p(s))d(,s) = Z0 f (p(s))ds. |
|
|
||||||
4.ek KRIWOLINEJNOMU INTEGRALU 1-GO RODA MY PRIHODIM, RE[AQ, NA- PRIMER, ZADA^U OPREDELENIQ MASSY KRIWOLINEJNOGO STERVNQ S ZADANNOJ LINEJNOJ PLOTNOSTX@ (PLO]ADX SE^ENIQ STERVNQ S^ITAETSQ POSTOQNNOJ).
pUSTX URAWNENIE STERVNQ ZADANO PARAMETRI^ESKI = f(x(t); y(t); z(t)) j a t bg, A PLOTNOSTX OPISYWAETSQ FUNKCIEJ (x; y; z), OPREDEL•ENNOJ W TO^KAH STERVNQ. wZQW NEKOTOROE RAZLOVENIE (a = t0 < t1 < : : : < tk =
b), |
PRIMEM PRIBLIVENNO MASSU |
mi |
|
|
GO U^ASTKA STERVNQ |
, |
ZAKL@^ENNOGO |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
i- |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|||||||
MEVDU TO^KAMI |
(x(ti |
, |
1); y(ti |
, |
1); z(ti |
, |
1)); (x(ti); y(ti); z(ti)), |
RAWNOJ |
|
mi = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x( i); y( i); z( i)) `i, GDE i |
| POKA PROIZWOLXNAQ TO^KA IZ [ti |
, |
1; ti ], A |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DLINA \TOGO U^ASTKA |
|
pO TEOREME |
|||||||||||||||
`i = Zti,1 [x0(t) + y0(t) + z0(t) ] dt | |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA |
|
|
|
|
|
|
^TO |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
i |
2 |
[ti,1; ti], |
`i = [x0( i ) + y0( i ) + |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z0( i ) ] |
|
(ti , ti,1). pOLAGAQ i = i , POLU^IM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = |
|
mi = (x( i); y( i); z( i))[x0( i )2 + y0( i )2 + z0( i)2]1=2(ti |
, |
ti |
, |
1): |
||||||||||||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
286
w KA^ESTWE TO^NOGO ZNA^ENIQ ISKOMOJ MASSY ESTESTWENNO PRINQTX PREDEL
|
d( )!0 X |
|
|
b |
|
|
|
k |
k |
Z |
|
|
Za |
|
|
|
|||||
m = |
lim |
mi = |
|
(x(t); y(t); z(t)) x0(t) dt = |
: |
|||||
5. p R I M E R. wY^ISLIM Z |
p |
|
, GDE |
| ^ASTX KRIWOJ x = y2, |
||||||
x |
||||||||||
ZAKL@^•ENNAQ MEVDU TO^KAMI (1; ,1); (1; 1). kAK ^A]E WSEGO SLU^AETSQ |
||||||||||
NA PRAKTIKE, KRIWAQ ZADAETSQ• |
EE• GEOMETRI^ESKIM OBRAZOM , A PARAMET- |
|||||||||
RIZACI@ SLEDUET PODOBRATX. oTMETIM, ^TO PARAMETROM x PARAMETRI- ZOWATX WS@ KRIWU@ W DANNOM SLU^AE NELXZQ ( NE QWLQETSQ GRAFIKOM
FUNKCII WIDA y |
= f (x)). kRIWU@ MOVNO PARAMETRIZOWATX PEREMENNOJ |
|||||||||||||||
y : x(y) = y2; y(y) = y (,1 |
y |
1). iMEEM f (x; y) = |
q |
x(y) = |
jyj. |
|||||||||||
iSPOLXZUQ FORMULU (2), POLU^AEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5p5 |
|
|
|
|||||
Z |
px = |
Z,1j |
y |
(1 + 4y2 )1=2 dy |
= 2 |
y(1 + 4y2 )1=2 dy = |
1 |
, |
1): |
|
||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
j |
|
Z0 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||
x180. kRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA
1. pUSTX W OBLASTI R3 fZDESX I NIVE POD OBLASTX@ PONIMAET- SQ OTKRYTOE LINEJNO SWQZNOE MNOVESTWOg ZADANO WEKTORNOE POLE a (TO ESTX ZADANO OTOBRAVENIE a : ! R3). |TO MOVET BYTX, NAPRIMER, SI- LOWOE POLE ILI POLE TQGOTENIQ. ~TOBY SMESTITX MATERIALXNU@ TO^KU S KOORDINATAMI (x1; x2; x3) 2 NA MALYJ WEKTOR h = (h1; h2; h3), NUVNO SOWER[ITX \\LEMENTARNU@" RABOTU
W\L. = ha(x); hi = a1(x)h1 + a2(x)h2 + a3(x)h3:
pUSTX NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ f ; r : [c; d] ! R3g CELIKOM LEVIT W (TO ESTX r(t) 2 (c t d)), I TREBUETSQ NAJTI RABOTU POLQ a PO PEREME]ENI@ MATERIALXNOJ TO^KI WDOLX KRIWOJ OT TO^KI r(c) DO TO^KI r(d) W NAPRAWLENII WOZRASTANIQ PARAMETRA t. bUDEM PREDPOLAGATX WEKTORNOE POLE NEPRERYWNYM. rASSMOTRIM NEKOTOROE RAZLOVENIE (c = t0 < t1 < : : : < tN = d). tOGDA PRIBLIVENNOE• ZNA^ENIE ISKOMOJ RABOTY
287
W = N |
a(r(tj,1)); r(tj ) |
, |
r(tj,1) |
N |
a(r( j )); r0( j )(tj |
, |
tj,1 ) ; |
||||
j=1h |
|
|
|
i j=1h |
|
|
i |
||||
P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
tj,1 j tj: |
||
|
|
|
|
|
|
|
Zcdha(r(t)); r0(t)dti |
||||
uSTREMLQQ d( ) K 0, POLU^IM W = |
(W SILU NEPRE- |
||||||||||
RYWNOSTI a ZAMENY a(r(tj,1 )) ! a(r( j)) KORREKTNY; ODNAKO MY OPUSKAEM |
|||||||||||
DETALI WYKLADOK). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. pOLU^ENNOE WYRAVENIE MOVNO PEREPISATX INA^E. iMEEM S U^ETOM• |
|||||||||||
179.2 |
|
d |
|
|
r0(t) |
|
|
|
|
|
|
|
W = Zc |
|
|
kr0(t)k dti = Z ha; i; |
|
|
|||||
|
ha(r(t)); |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
kr0(t)k |
|
|
||||||||
GDE (t) | ORT KASATELXNOJ K KRIWOJ W TO^KE t W NAPRAWLENII WOZRAS- TANIQ PARAMETRA t. pOLU^ENNYJ INTEGRAL IMEET SPECIFI^ESKU@ OSOBEN- NOSTX: ON ZAWISIT NE TOLXKO OT WEKTORNOGO POLQ I KRIWOJ, NO I OT WYBORA NAPRAWLENIQ, W KOTOROM TO^KA DWIVETSQ PO KRIWOJ. eSLI IZMENITX NA- PRAWLENIE NA PROTIWOPOLOVNOE, TO KASATELXNYJ WEKTOR PEREJDET• W (, ) I, SLEDOWATELXNO, INTEGRAL IZMENIT ZNAK.
3. uKAZANNOE OBSTOQTELXSTWO PRIWODIT K NEOBHODIMOSTI WWESTI PO- NQTIE ORIENTACII KRIWOJ | NAPRAWLENIE WOZRASTANIQ PARAMETRA, U^AS- TWU@]EGO W PARAMETRIZACII KRIWOJ. eSLI ODNA I TA VE KRIWAQ PARA-
METRIZOWANA DWUMQ WEKTOR-FUNKCIQMI r : [a; b] ! Rn I r : [c; d] |
! Rn , A |
|||||||||
t = ( ) (c |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
d) | FUNKCIQ SWQZI PARAMETROW t (a t b) I , TO |
||||||||||
(RAWNYE) KRIWYE f ; r( )g I f ; r( )g IME@T ODINAKOWU@ (SOOTWETSTWENNO |
||||||||||
PROTIWOPOLOVNU@) ORIENTACI@e, ESLI 0 ( ) > 0 (c d) (SOOTWET- |
||||||||||
STWENNO 0 ( ) < 0). dALEE ^EREZ , OBOZNA^AETSQ KRIWAQ , U KOTOROJ |
||||||||||
ORIENTACIQ ZAMENENA NA PROTIWOPOLOVNU@. |
|
|
||||||||
4. tEPERX |
SWOEWREMENNO |
DATX |
OB]EE |
|
OPREDELENIE. pUSTX |
a(x) |
= |
|||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a1(x); : : : ; an(x)) (x |
|
|
|
Rn ) |
| NEPRERYWNOE WEKTORNOE |
POLE |
I |
|||
f ; r : [a; b] ! R g |
| NEPRERYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ KRIWAQ W . kRI- |
|||||||||
WOLINEJNYM INTEGRALOM 2-GO RODA |
OT WEKTORNOGO POLQ a WDOLX ORIENTI- |
|||||||||
ROWANNOJ KRIWOJ NAZYWAETSQ WELI^INA |
|
|
|
|
||||||
Z |
a1 (x)dx1 + : : : + an(x) dxn |
Z |
abha(r(t)); r0(t)dti: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
288
w SILU SKAZANNOGO W P. 2 \TOT INTEGRAL MOVET BYTX ZAPISAN ^EREZ KRI- WOLINEJNYJ INTEGRAL 1-GO RODA
Z a1 (x)dx1 + : : : + an(x) dxn = Z ha; i;
GDE (t) | KASATELXNYJ ORT K KRIWOJ, WY^ISLENNYJ W TO^KE t. oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO KRIWOLINEJNYJ INTEGRAL 2-GO RODA OPREDELEN• KORREKTNO: EGO WELI^INA NE ZAWISIT OT PARAMETRIZACII KRIWOJ, ESLI SO-
HRANQETSQ E•E ORIENTACIQ. pRI IZMENENII ORIENTACII KRIWOJ INTEGRAL |
|||
|
n |
|
n |
IZMENQET ZNAK NA PROTIWOPOLOVNYJ: |
,Z iP=1 ai (x)d xi = |
,Z |
iP=1 ai (x) dxi . |
z A M E ^ A N I Q. 5. nEPRERYWNU@ KUSO^NO-GLADKU@ ZAMKNUTU@ KRI- WU@ BUDEM NAZYWATX ZAMKNUTYM KONTUROM. iNTEGRAL PO ZAMKNUTOMU
KONTURU OBY^NO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM I ha; i I NAZYWAETSQ CIRKULQCI-
EJ WEKTORNOGO POLQ a WDOLX KONTURA .
6. oPREDELENIE KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA OBOB]AETSQ NA SLU^AJ KRI- WYH , PREDSTAWIMYH W WIDE OB_EDINENIQ KONE^NOGO ^ISLA POPARNO NEPE- RESEKA@]IHSQ NEPRERYWNYH KUSO^NO-GLADKIH ORIENTIROWANNYH KUSKOW:
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
[ |
\ |
|
; |
|
6 |
|
X i |
h |
i |
|
i=1 |
|
|
) Z h |
i i=1 Z |
||||||
= i ( i |
|
j = |
|
; i = j) |
|
a; |
|
|
a; : |
|
7. p R I M E R. wY^ISLIM Z |
(x2 + 2xy)dy, GDE | WERHNQQ POLOWINA |
|||||||||
OKRUVNOSTI x2 + y2 = 1, PROBEGAEMAQ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. pARAMET-
RIZUEM : |
x |
= cos t; y = sin t (t |
2 |
[0; ]). wEKTORNOE POLE IMEET WID |
|||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||
a(x; y) = (0; x |
|
+ 2xy) ((x; y) 2 R ). pO\TOMU |
|
|
|||||
Z |
(x2 + 2xy)dy = Z0 |
|
|
|
4 |
|
|||
(cos2 t + 2 cos t sin t) cos t dt = |
: |
||||||||
3 |
|||||||||
x181. pOTENCIALXNYE POLQ
1. pUSTX FUNKCIQ u : ! R ( ( Rn) | OBLASTX) DIFFERENCIRUEMA W . tOGDA W OPREDELENO WEKTORNOE POLE
(ru)(x) = (@x@u1 (x); : : : ; @x@un (x)); x 2
289
(ZNAK r ^ITAETSQ \NABLA"). fUNKCIQ u NAZYWAETSQ W \TOM SLU^AE POTEN- CIALOM WEKTORNOGO POLQ, A SAMO POLE | POTENCIALXNYM. wEKTORNOE POLE ru NAZYWA@T GRADIENTOM FUNKCII u I OBOZNA^A@T gradu.
2. p R I M E R. nAPRQV•ENNOSTX E \LEKTRI^ESKOGO POLQ (W R3) TO^E^NOGO ZARQDA q, POME]ENNOGO• W NA^ALO KOORDINAT, W TO^KE PROSTRANSTWA, IME- @]EJ RADIUS-WEKTOR r, ZADA•ETSQ FORMULOJ (ZAKON kULONA) E = q krrk3 ,
GDE | KONSTANTA, ZAWISQ]AQ OT WYBORA SISTEMY FIZI^ESKIH EDINIC. |TO POLE POTENCIALXNO:
E = ru; GDE u(x; y; z) = , q(x2 + y2 + z2 ),1=2:
3. pUSTX a : ! Rn | NEPRERYWNOE WEKTORNOE POLE W OBLASTI . sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
(1) SU]ESTWUET NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ u : ! R |
||||||||||||
TAKAQ, ^TO a = ru, |
|
|
|
|
|
|||||||
(2) I ha; i = 0 DLQ KAVDOGO ZAMKNUTOGO KONTURA . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) ) |
(2). pUSTX |
f ; x : [c; d] ! Rng | ZAMKNUTYJ KONTUR (TO ESTX |
||||||||||
x(c) = x(d)). tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I h |
a; |
= |
" |
d [ n ai(x(t))xi0(t)] dt = " |
d [ n |
@u |
(x(t))xi0(t)] dt |
|||||
|
||||||||||||
|
i |
|
Zc iP=1 |
Zc iP=1 @xi |
|
|
||||||
|
|
|
= |
"Zcd |
d |
[u(x(t))]dt = "[u(x(d)) , u(x(c))] = 0 |
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
|||||||
(ZDESX " = 1 W ZAWISIMOSTI OT ORIENTACII ). |
|
|
||||||||||
(2) ) |
(1). eSLI WYPOLNENO (2), TO INTEGRAL ha; i, GDE | L@BAQ |
|||||||||||
ORIENTIROWANNAQ KUSO^NO GLADKAQ KRIWAQ S NA^ALOM W TO^KE |
x0 |
I KONCOM |
||||||||||
|
|
|
|
|
- |
R |
|
|||||
W TO^KE x1 , ZAWISIT LI[X OT TO^EK x0 I x1 I NE ZAWISIT OT SAMOJ KRIWOJ.
dEJSTWITELXNO |
, |
ESLI |
|
E]E ODNA TAKAQ KRIWAQ |
, |
TO |
2 |
= |
, 1 [ | |
|||
|
|
1 | • |
|
|
|
|
||||||
ZAMKNUTYJ KONTUR I SLEDOWATELXNO, Z ha; i = 0; OTKUDA |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
= Z |
, Z |
= Z |
, [,Z |
+ Z |
] = ,,Z |
|
= Z : |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
290