А.Н.Шерстнев - Математический анализ
..pdfINTEGRALOM lEBEGA FUNKCII f I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM |
Z f d (ILI |
|
Z f d ; |
Z f (x) (dx)). |
|
E |
E |
|
uBEDIMSQ W KORREKTNOSTI DANNOGO OPREDELENIQ:
(A) limZ fn d SU]ESTWUET;
n
(B) PREDEL NE ZAWISIT OT WYBORA POSLEDOWATELXNOSTI fn ;
(W) DLQ PROSTYH FUNKCIJ \TO OPREDELENIE SOGLASUETSQ S OPREDELENIEM P. 1.
pUSTX fn | PROSTYE INTEGRIRUEMYE FUNKCII I fn =) f. w SILU PP. 2 I 3 IMEEM OCENKU
jZ fn d , Z fm d j = jZ (fn , fm )d j kfn , fmkE E;
IZ KOTOROJ SLEDUET SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI INTEGRALOW Z fn d , I (A) USTANOWLENO.
pUSTX gn | E]E• ODNA POSLEDOWATELXNOSTX PROSTYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ TAKAQ, ^TO gn =) f. tOGDA
jZ fn d , Z gn d j kfn , gnkE E ! 0 (n ! +1):
|
n Z |
|
n |
Z |
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pO\TOMU |
lim |
fn d |
= lim |
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gn d |
I |
B |
) |
USTANOWLENO |
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uTWERVDENIE W |
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( |
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( ) |
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SLEDUET IZ A |
I B |
ESLI POLOVITX |
fn = f (n 2 |
N |
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): > |
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( ) |
( ), |
|
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|||||||
sWOJSTWA PP. 2 I 3, USTANOWLENNYE WY[E DLQ PROSTYH FUNKCIJ, OSTA- |
||||||||||||||||
@TSQ SPRAWEDLIWYMI W OB]EM SLU^AE (PROWERKA \TOGO, OSU]ESTWLQETSQ S |
||||||||||||||||
POMO]X@ PREDELXNOGO PEREHODA (!!)): |
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|||||||
5. eSLI FUNKCII f; g |
INTEGRIRUEMY, |
TO |
INTEGRIRUEMY TAKVE |
|||||||||||||
f +g; f ( 2 R), PRI^•EM Z |
( f +g)d = Z |
f d +Z g d . wSQKAQ OGRANI- |
||||||||||||||
^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, PRI^•EM jZ f d j kfkE E. |
||||||||||||||||
6. eSLI f; g INTEGRIRUEMY I f g, |
TO Z f d Z |
g d . |
341
uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ g(x) 0. |TO TAK, ESLI f 0 |
|||||||
| PROSTAQ (!!). w OB]EM SLU^AE POLOVIM |
|
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|||||
|
1 k |
|
|
k |
k + 1 |
)); n 2 N: |
|
fn = |
X |
n Ak |
; GDE Ak = f,1 ([n; |
n |
|||
|
k=0 |
|
|
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|
tOGDA 0 f(x) , fn(x) |
1 |
. oTS@DA fn =) f; f , fn | OGRANI^ENY |
|||||
n |
|||||||
I SOGLASNO P. 5 INTEGRIRUEMY. tAK KAK f INTEGRIRUEMA, IZ RAWENSTWA |
fn = (fn ,f )+f SLEDUET INTEGRIRUEMOSTX fn . pO POSTROENI@ fn PROSTYE |
||||||||||||||||||||||||||
I fn |
|
0. sLEDOWATELXNO, |
|
Z |
f d |
= lim |
fn d |
|
0: |
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> |
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n Z |
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7. fUNKCIQ f NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ PO MNOVESTWU A 2 A, ESLI |
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INTEGRIRUEMA FUNKCIQ f |
A ; INTEGRALOM FUNKCII f PO MNOVESTWU A |
|||||||||||||||||||||||||
NAZYWAETSQ ^ISLO |
Z |
f d |
Z |
f A d . |
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A |
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8. eSLI FUNKCIQ f INTEGRIRUEMA, TO ONA INTEGRIRUEMA PO KAVDOMU |
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MNOVESTWU A |
2 A. |
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eSLI f = |
n |
n Bn |
| PROSTAQ INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO f A = |
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P |
BnA |
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n j |
n |
Bn < + , |
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j |
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j |
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1 |
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INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ I |
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P |
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P |
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A |
X |
|
|
|
X |
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w OB]EM SLU^AE, ESLI f INTEGRIRUEMA I fn | POSLEDOWATELXNOSTX PROS- TYH INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ, fn =) f, TO fn A =) f A . pO\TOMU f A TAKVE INTEGRIRUEMA. >
sLEDU@]EE UTWERVDENIE NAZYWAETSQ SWOJSTWOM ABSOL@TNOJ NEPRE-
RYWNOSTI INTEGRALA lEBEGA.
9. eSLI A = 0 I f INTEGRIRUEMA, TO Z f d = 0:
A
uTWERVDENIE SLEDUET IZ (1) DLQ PROSTOJ f. oB]IJ SLU^AJ POLU^AETSQ STANDARTNYM PREDELXNYM PEREHODOM (!!). >
|
10. pUSTX f INTEGRIRUEMA I E = |
P |
Ak. tOGDA |
|
|
|
|
k |
|
|
|
X |
|
|
(2) |
Z f d = |
k |
AZk |
f d ; |
342
PRI^•EM RQD W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ ABSOL@TNO.
|
dLQ PROSTOJ INTEGRIRUEMOJ FUNKCII f = |
|
n |
|
n Bn : |
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P |
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k j n n BnAkj k;n j nj BnAk |
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|
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P P |
|
P |
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n |
j |
n |
j k |
BnAk = n |
|
j |
n |
Bn |
< + |
: |
||
|
P |
|
P |
|
j |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
P |
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|TO OZNA^AET ABSOL@TNU@ SHODIMOSTX RQDA W PRAWOJ ^ASTI (2), A TAKVE RQDA
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X |
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|
X X |
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X X |
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X |
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n Bn |
= |
n |
k |
n BnAk = |
|
k |
n n BnAk = |
k |
AZk |
f d : |
|
|
|||||||||||||||||||||
eSLI f |
| INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ, TO, PO OPREDELENI@ 4, DLQ WSQKOGO |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
" |
|
|
|
> |
0 |
SU]ESTWUET |
PROSTAQ |
INTEGRIRUEMAQ FUNKCIQ |
|
g |
TAKAQ, ^TO |
||||||||||||||||||||||||||
kf , gkE < ". |
pO DOKAZANNOMU |
Z g d = |
|
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Z g d , |
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|
Z g d |
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k |
• |
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k |
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SHODITSQ ABSOL@TNO. iZ OCENKI |
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PAk |
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|
PAk |
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XAZk |
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XAZk |
|
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|
XAZk |
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|
XAZk |
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|
k |
j f d j |
|
k |
j |
(f , g)d j + k j |
|
g d j " E + |
|
k j g d j |
|
|
||||||||||||||||||||
SLEDUET, ^TO RQD W PRAWOJ ^ASTI (2) SHODITSQ ABSOL@TNO. iTAK, |
|
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Z |
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PAZk |
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Z |
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PAZk |
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PAZk |
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j |
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k |
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f d j = j |
(f |
, g)d + |
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k |
g d , k |
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= jZ (f , g)d + |
|
k |
Z (g , f )d j 2kf , gkE E < 2" E: |
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PAk |
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||||
iZ PROIZWOLXNOSTI " POLU^AEM (2). |
|
> |
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11. eSLI jfj |
' I ' INTEGRIRUEMA, TO f INTEGRIRUEMA. |
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
f |
|
|
eSLI f I ' PROSTYE, TO SU]ESTWUET NE BOLEE ^EM S^ETNOE• |
RAZBIENIE |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
g |
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|
|
|
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|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
2 |
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|
MNOVESTWA |
E, |
^TO |
f = |
|
|
n An ; ' = |
|
n An , |
PRI^EM |
|
|
|
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n (n |
|
|
|||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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• n |
|
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tOGDA |
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TOPESTX |
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INTEGRIRUEMA |
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~ITA |
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|||||||||||||||||||
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|
n j nj An |
n |
n An |
|
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|
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|||||||||||||||||
TELX UVE OWLADELP |
STANDARTNYMIP |
PRIEMAMI• |
, ^TOBY DOKAZATX UTWERVDENIE |
W OB]EM SLU^AE. >
343
12. s L E D S T W I E. fUNKCIQ f INTEGRIRUEMA TTOGDA INTEGRIRUEMA
jfjdOSTATO^NOSTX. SLEDUET IZ P. 11. nEOBHODIMOSTX W SLU^AE PROSTOJ FUNK- CII f SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ 1. oB]IJ SLU^AJ POLU^A- ETSQ PREDELXNYM PEREHODOM. >
13. z A M E ^ A N I E. uTWERVDENIE P. 12 W ^ASTI DOSTATO^NOSTI NE WERNO DLQ FUNKCIJ, INTEGRIRUEMYH PO rIMANU: FUNKCIQ ' = [0;1]\Q , [0;1]nQ
IZMERIMA, NO, PODOBNO FUNKCII dIRIHLE, NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU. mEVDU TEM E•E MODULX j'j ( 1) INTEGRIRUEM PO rIMANU.
14.eSLI Z jfj d = 0, TO f (x) = 0 P.W.
pUSTX An = fx 2 E : jf (x)j n1g. iZ NERAWENSTWA
An =AZn 1 d nAZn jfj d = 0
SLEDUET, ^TO An = 0. oTS@DA
f |
|
2 |
|
j |
6 g |
[ |
|
X |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
E |
|
f (x) = 0 = ( An) |
|
|
An = 0: |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
!n2, |
n |
|
u P R A V N E N I Q. 15. pROINTEGRIRUJTE FUNKCI@ f (!) = n=1 |
|
|||||||||||
W USLOWIQH 202.10. |
|
|
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|
|
|
|
P |
|
|
16.dOKAVITE SWOJSTWA PP. 5,6,10,11 DLQ INTEGRALOW PO MNOVESTWU
A( E).
17.eSLI f IZMERIMA I A = 0; TO f INTEGRIRUEMA PO MNOVESTWU A I
Z f d = 0.
A
18. eSLI FUNKCII f1; : : : ; fn INTEGRIRUEMY, TO INTEGRIRUEMA f (x) = maxff1 (x); : : : ; fn(x)g (x 2 E).
19. kAKU@ STRUKTURU BUDET IMETX INTEGRAL lEBEGA PO MERE m W USLOWIQH 192.8? oPI[ITE KLASS INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ.
20. eSLI f INTEGRIRUEMA, TO
8" > 0 9 > 0 8A 2 A( A < ) jZ f d j < "):
A
344
x208. pREDELXNYJ PEREHOD POD ZNAKOM INTEGRALA
zADA^A O PREDELXNOM PEREHODE POD ZNAKOM INTEGRALA \KWIWALENTNA ZA- DA^E O PO^LENNOM INTEGRIROWANII SHODQ]EGOSQ FUNKCIONALXNOGO RQDA. w PRILOVENIQH TEORII INTEGRALA PODOBNYE ZADA^I IGRA@T PERWOSTEPENNU@ ROLX.
|
1. t E O R E M A [a. lEBEG]. pUSTX fn ! f; jfnj '; ' INTEGRIRUEMA. |
|||||||||||||||||||||||||
tOGDA f INTEGRIRUEMA I Z fn d ! Z f d . |
|
|
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|
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|
1 |
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j |
|
j |
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|
|
|
|
|
qSNO, |
^TO |
|
f |
|
' I, SOGLASNO 207.11, f INTEGRIRUEMA. pOLOVIM |
||||||||||||||||||||
Ak = ', ([k; +1)); k = 0; 1; 2; : : : . tOGDA E = A0 A1 : : : ; |
k Ak = ;, |
|||||||||||||||||||||||||
TAK ^TO |
|
|
! |
|
! |
|
SM |
|
|
pUSTX |
|
|
|
|
|
T |
|
w |
||||||||
|
|
|
Ak |
0 (k |
+1) ( . 197.13). |
|
|
|
" > 0 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||
SILU 207.20 NAJD•ETSQ m |
2 N TAKOE, ^TO AZm ' d < ". pO TEOREME eGOROWA |
|||||||||||||||||||||||||
SU]ESTWUET PREDSTAWLENIE Amc |
= Y + Z, GDE Z < |
" |
; fn = |
f NA MNO- |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
VESTWE |
|
|
w ^ASTNOSTI |
|
NAJDETSQ |
|
TAKOE |
|
^TO |
|
|
|
m |
|
)" |
|
|
|
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Y . |
, |
n0 |
, |
kf ,fnkY |
< Y |
(n n0 ). |
||||||||||||||||||||
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• |
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nAKONEC, PRI n n0: |
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jZ fn d , Z f d j = jAZm fn d ,AZm f d + Z fn d , Z f d |
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+ Z |
(fn , f )d j jZ |
fn d j + jZ f d j |
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Y |
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Z |
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Y |
Am |
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Z |
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+ j |
fn d j + j f d j |
+ jZ (fn , f )d j |
|
|
2AZm ' d + 2Z ' d + " < 5": w SILU PROIZWOLXNOSTI " UTWERVDENIE DOKAZANO. >
2. z A M E ^ A N I E. tEOREMA P. 1 OSTAETSQ• SPRAWEDLIWOJ, ESLI WMESTO POTO^E^NOJ SHODIMOSTI PREDPOLOVITX, ^TO fn ,!P.W. f . dEJSTWITELXNO, W SILU 207.17 ZNA^ENIQ, PRINIMAEMYE FUNKCIEJ NA MNOVESTWE MERY NULX, NE WLIQ@T NA WELI^INU INTEGRALA.
P.W.
3. s L E D S T W I E. eSLI jfnj C (n = 1; 2; : : :) I fn ,! f , TO f
INTEGRIRUEMA I Z fn d ! Z f d .
345
|
|
4. t E O R E M A [b. lEWI]. pUSTX f1 f2 : : : ; |
fn INTEGRIRUEMY I |
||||||||||||||||||||||
Z fn d K (n 2 N). tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
P.W. |
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||||||||||
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(1) SU]ESTWUET f TAKAQ, ^TO fn ,! f , |
|
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(2) f INTEGRIRUEMA I |
Z fn d ! Z f d . |
|
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|||||||||||||||
|
|
mOVNO S^ITATX |
, |
^TO |
f1 |
|
0 |
( |
INA^E PEREJDEM K POSLEDOWATELXNOS |
- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
• |
fxj fn (x) > |
|
|
||||||||||
TI gn = fn , f1 (n |
= 1; 2; : : :)). pUSTX Anr |
= |
rg. tOGDA |
||||||||||||||||||||||
A = fx 2 E j fn(x) ! +1g |
= r |
|
1 n |
|
1 |
Anr . iMEEM |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
T S |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||
|
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|
|
|
|
|
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||
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|
|
|
|
|
|
fn |
1 |
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STATO^NO POKAZATX INTEGRIRUEMOSTX ', TO ESTX SHODIMOSTX RQDA P r Br,
r
GDE Br = fx 2 E j '(x) = rg. pOSLEDNEE SLEDUET IZ OGRANI^ENNOSTI ^AST-
NYH SUMM \TOGO RQDA (W SILU OGRANI^ENNOSTI FUNKCII f NA MNOVESTWE
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P Br PRIMENIMA TEOREMA P. 1):
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346
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347
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RAWNY).
pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@. pUSTX f ' INTEGRIRUEMA. pOLOVIM
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348
pO POSTROENI@ jfnj jfj, TAK ^TO j(fn ')(x)j j(f ')(x)j(x 2 E ). kROME TOGO, fn =) f , A ZNA^IT, fn ' =) f '. iZ 207.4 I RAWENSTWA (1) DLQ PROSTYH FUNKCIJ NAHODIM
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oTS@DA VE SLEDUET, ^TO ESLI f INTEGRIRUEMA PO MERE ', TO f ' INTEG- RIRUEMA PO (I INTEGRALY RAWNY). >
x210. sRAWNENIE INTEGRALOW rIMANA I lEBEGA
1. oGRANI^IMSQ SLU^AEM OTREZKA E = [0; 1]. pUSTX f INTEGRIRUEMA PO rIMANU. tOGDA SOOTWETSTWU@]IJ INTEGRAL MOVNO PREDSTAWITX KAK PREDEL NIVNEJ ILI WERHNEJ SUMMY dARBU:
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1; |
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, |
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n |
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n2n = [1 , 2, |
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; 1]: |
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oPREDELIM DWE POSLEDOWATELXNOSTI PROSTYH FUNKCIJ |
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2n |
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2n |
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f = |
X |
(nk) ; f = |
X |
; |
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n |
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nk |
n |
(nk) |
nk |
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k=1 |
|
k=1 |
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2 |
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: : : ; |
f1 f2 |
: : :. eSLI U^ESTX, ^TO f OGRANI^ENA |
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PRI \TOM f1 |
f |
|
||||||||||||||||||||||||||||
(BUDU^I INTEGRIRUEMOJ PO rIMANU), TO OTS@DA SLEDUET, ^TO SU]ESTWU@T |
FUNKCII f I f TAKIE , ^TO fn ! f f; fn ) f f . iZ OPREDELENIQ |
|||||||||||||||||||||||
207.1 Z |
|
|
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|
|
Z fn d = |
S |
n |
|
|
|||||||||||||
f |
n d = Sn; |
(ZDESX | LINEJNAQ MERA lEBEGA). w |
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SILU 208.4 |
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Z |
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Z |
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Z0 |
1 |
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n |
n Z |
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n |
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|
n |
n |
n |
|
n |
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f d = |
lim |
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|
f |
|
d = lim Sn = (R) |
f(x)dx = lim |
S |
|
= lim |
f |
|
d |
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= Z f d :
349
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Z j |
|
, |
|
j |
|
Z |
|
|
, |
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1 |
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oTS@DA |
|
f |
|
f |
|
d = |
|
(f |
|
f )d = 0, TO ESTX (SM. 207.14) f = f = f P.W. |
||||||
NA [0; 1]. tAKIM OBRAZOM, Z f d = Z |
|
d = (R)Z0 |
|
|||||||||||||
f |
f (x) dx. sFORMULIRUEM |
|||||||||||||||
POLU^ENNYJ REZULXTAT. |
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|
2. eSLI f INTEGRIRUEMA NA OTREZKE PO rIMANU, TO ONA INTEGRIRUEMA PO lEBEGU I SOOTWETSTWU@]IE INTEGRALY SOWPADA@T.
z A M E ^ A N I Q. 3. nEOGRANI^ENNYE FUNKCII WOOB]E NE INTEGRIRUEMY PO rIMANU, NO NEKOTORYE IZ NIH INTEGRIRUEMY PO lEBEGU. nAPRIMER,
x,1=2; |
ESLI 0 < x |
1, |
f(x) = ( 0; |
ESLI x = 0, |
|
NE INTEGRIRUEMA PO rIMANU. oDNAKO, f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU. dEJST-
WITELXNO, POLOVIM fn (x) = x,1=2 ,2 (x) (n = 1; 2; : : :). qSNO, ^TO fn |
! |
f |
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[n |
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;1] |
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I PO P. 2 |
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Z fn d = (R)Z0 |
1 |
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2 |
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fn (x) dx = 2 , n 2: |
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oSTA•ETSQ WOSPOLXZOWATXSQ TEOREMOJ fATU. |
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"!0+ |
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1 |
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|
j |
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1 |
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|||
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Z" j |
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4. eSLI |
lim (R) |
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|
f (x) dx < + |
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, TO f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU NA |
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|
Z |
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1 |
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[0; 1], PRI^EM• |
f d |
= |
|
lim (R) |
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f(x) dx (!!). |
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1 |
"!0+ |
Z" |
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"!0+ |
|
j |
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|
j |
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1 |
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||||
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|
Z" |
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5. eSLI |
lim (R) |
|
|
f (x) dx = + |
|
, TO f NE INTEGRIRUEMA PO lEBEGU, |
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1 |
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DAVE ESLI |
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lim (R) |
f(x)dx SU]ESTWUET. |
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"!0+ |
|
Z" |
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P.W. |
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fpOLOVIM fn = f (1=n;1] |
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(n = 1; 2; : : :). tOGDA jfnj jfj; jfnj ,! jfj. eSLI |
|||||||||||||||||||
DOPUSTITX, ^TO f INTEGRIRUEMA PO lEBEGU, TO W SILU 207.12 Z jfj d < |
|||||||||||||||||||
+1; W ^ASTNOSTI, |
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1 |
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(R)Z1=njf (x)j dx = |
Z jfnj d Z jfj d ; |
|
|
ODNAKO, (R)Z 1jf (x)j dx ! +1 (" ! 0).g
"
350